第02講-反比例函數(shù)的綜合(解析版)

學(xué)科教師輔導(dǎo)講義

反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

在知識(shí)精講

反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)

反比例函數(shù)的圖像：反比例函數(shù)y=為常數(shù)，%#（））的圖象由兩條曲線組成，每條曲線隨

X

著X的不斷增大（或減?。┰絹碓浇咏鴺?biāo)軸，反比例函數(shù)的圖象屬于雙曲線.

反比例函數(shù)y=七與y=-A（k工0）的圖象關(guān)于X軸對稱，也關(guān)于y軸對稱.

XX

>?<?

反比例函數(shù)的性質(zhì)：反比例函數(shù)y=（（Z為常數(shù)，kxO）的圖象是雙曲線；

X

當(dāng)無>0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限內(nèi)，它們關(guān)于原點(diǎn)對稱，在每一個(gè)象

限內(nèi)，y隨X的增大而減?。?/p>

當(dāng)左<0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限內(nèi)，它們關(guān)于原點(diǎn)對稱，在每一個(gè)象

限內(nèi)，y隨x的增大而增大.

反比例函數(shù)的對稱性：反比例函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱，關(guān)于y=±x這兩條直線軸對稱.

二.反比例函數(shù)k的兒何意義

反比例函數(shù)y=A（k為常數(shù)，k*0）中比例系數(shù)k的幾何意義，即過雙曲線y=K上任意一點(diǎn)引X

XX

軸、y軸垂線，所得矩形面積為閑.

在三點(diǎn)剖析

一.考點(diǎn)：反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，反比例函數(shù)k的幾何意義.

二.重難點(diǎn)：反比例函數(shù)k的幾何意義.

—.易錯(cuò)點(diǎn)：

1.k的幾何意義求出面積時(shí)注意k的正負(fù)；

2.反比例函數(shù)圖像隱藏的對稱性.

'0題模精講

題模一：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

2

例1.1.1關(guān)于反比例函數(shù)y=-4,下列說法正確的是（）

x

A.圖象過（1,2）點(diǎn)B.圖象在第一、三象限

C.當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小D.當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而增大

例1.1.2對于反比例函數(shù)>=女，下列說法正確的是（）

X

A.圖像經(jīng)過點(diǎn)（2,-1）B.圖像位于第二、四象限

C.當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減小D.當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大

例1.1.3反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（-2,1）,則這個(gè)函數(shù)的圖象位于（）

A.第一、三象限B.第二、三象限C.第二、四象限D(zhuǎn).第一、二象限

例1.1.4如圖是反比例函數(shù)y=巴的圖象，下列說法正確的是（）

>??<

A.常數(shù)m<T

B.在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大

C.若A(-1,h),B(2,k)在圖象上，貝UhVk

D.若P(x,y)在圖象上，則P'(-x,y)也在圖象上

例1.1.5對于函數(shù)片9,下列說法錯(cuò)誤的是()

x

A.它的圖象分布在一、三象限

B.它的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

C.當(dāng)x>0時(shí)，y的值隨x的增大而增大

D.當(dāng)x<0時(shí)，y的值隨x的增大而減小

例L1.6林老師給出一個(gè)函數(shù)，甲、乙、丙三位同學(xué)分別指出了這個(gè)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì):

甲：函數(shù)的圖象經(jīng)過第二象限；

乙：函數(shù)的圖象經(jīng)過第四象限；

丙：在每一個(gè)象限內(nèi)，y值隨x值增大而增大.

根據(jù)他們的敘述，林老師給出的這個(gè)函數(shù)可能是()

3,

A.y="3xB.y二一一C.y=x_3D.y=x-3

x

例1.1.7函數(shù)y=芻與y=ax?(aNO)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是()

A.A選項(xiàng)B.B選項(xiàng)C.C選項(xiàng)D.D選項(xiàng)

例1.1.8若反比例函數(shù)y=土二1的圖象位于第二、四象限，則k的取值可以是()

>??<

A.0B.1C.2D,以上都不是

點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=l的圖象上.若

例1.1.9如圖，AAOB是直角三角形,ZA0B=90°,0B=20A,

X

A.-4B.4C.-2D.2

例LL10下列各點(diǎn)中，在函數(shù)y二上的圖象上的點(diǎn)是()

x

A.(1,0.5)B.(2,-1)C.(-1,-2)D.(-2,1)

h

例1.1.11已知一次函數(shù)yfx+c和反比例函數(shù)y=-的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y3=ax2+bx+c的大

2x

致圖象是（）

>?<?

例1.1.12反比例函數(shù)是y=2的圖象在()

X

A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D(zhuǎn).第二、四象限

例1.1.13已知函數(shù)y=(m+2)x"1之一1。是反比例函數(shù)，且圖象在第二、四象限內(nèi)，則m的值是

()

A.3B.-3C.±3D.--1

例1.1.14如圖，已知直線y=-2x經(jīng)過點(diǎn)P(-2,a),點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P'在反比例函數(shù)y=

-(kWO)的圖象上.

X

(1)求a的值：

(2)直接寫出點(diǎn)P'的坐標(biāo)；

(3)求反比例函數(shù)的解析式.

例1.1.15已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB分別與X,y軸交于點(diǎn)B、A,與反比例

函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)C、D,CE±x軸于點(diǎn)E,tanZABO=-,0B=8,0E=4.求該反比例函數(shù)的解

2

析式.

例1.1.16如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0為原點(diǎn)，一次函數(shù)y產(chǎn)x+m與反比例函數(shù)”=七的圖象相交

X

于A(2,1),B(n,-2)兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C.

(1)求反比例函數(shù)解析式和點(diǎn)B坐標(biāo)；

(2)當(dāng)x的取值范圍是_____時(shí)，有

>??<

例1.1.17已知：如圖，反比例函數(shù)y=K的圖象與一次函數(shù)y=x+2的圖象交于點(diǎn)A(l,m),求反比

例函數(shù)y=七的解析式.

X

例1.1.18如圖，一次函數(shù)y=-—x+1的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,以線段AB為邊在第

3

一象限作等邊aABC.

(1)若點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=A的圖象上，求該反比例函數(shù)的解析式；

X

(2)點(diǎn)P(2白，m)在第一象限，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D,當(dāng)APAD與AOAB相似時(shí)，P

點(diǎn)是否在(1)中反比例函數(shù)圖象上？如果在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；如果不在，請加以說明.

例1.1.19已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B、C在第一象限,

>??<

k

且四邊形OABC是平行四邊形，0C=2>/L5，sinZAOC=2-VL?，反比例函數(shù)y=-的圖象經(jīng)過點(diǎn)C以及

5x

邊AB的中點(diǎn)D.

求：(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式;

(2)四邊形OABC的面積.

例12。如圖，-次函數(shù)—.x+1的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,以線段AB為邊在第

一象限作等邊△ABC.

(1)若點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=月的圖象上，求該反比例函數(shù)的解析式：

X

(2)點(diǎn)P(26，m)在第一象限，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D,當(dāng)△PAD與aOAB相似時(shí)，P

如果不在，請加以說明.

X

(1)求該函數(shù)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)2Vx<4時(shí)，求y的取值范圍(直接寫出結(jié)果).

例1.1.22已知：關(guān)于x的一元二次方程X?-(2+，”)x+(l+〃?)=0.

(1)求證：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;

(2)設(shè)加<0,且方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為西，々，(其中不<馬)，若y是關(guān)于m的函數(shù)，且

丫=占，求這個(gè)函數(shù)的解析式.

1-x,

例1.1.23已知函數(shù)y與x+1成反比例，且當(dāng)x=-2時(shí)，y=-3.

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)x=1時(shí)，求y的值.

2

>??<

k

例1.1.24已知反比例函數(shù)y=￡的圖象經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)

x

(1)求該函數(shù)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)2VxV4時(shí)，求y的取值范圍(直接寫出結(jié)果).

例1.1.25已知函數(shù)y與x+1成反比例,且當(dāng)x=-2時(shí),y=-3.

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)x=1時(shí)，求y的值.

2

例1.1.26已知：在平面直角坐標(biāo)系了火中，將直線)，=x繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到直線/,反比例

函數(shù)y的圖象與直線/的一個(gè)交點(diǎn)為4(。,2),試確定反比例函數(shù)的解析式.

X

例1.1.27如圖，正方形的邊長為2,邊0A,0C分別在x軸與y軸上，反比例函數(shù)y=-(k為常數(shù),

X

k#0)的圖像經(jīng)過正方形的中心D.

(1)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)求反比例函數(shù)的解析式.

例1.1.28如圖，四邊形被笫為菱形,已知4(0,4),8(-3,0).

(1)求點(diǎn)〃的坐標(biāo)；

(2)求經(jīng)過點(diǎn)。的反比例函數(shù)表達(dá)式.

>??<

例1.1.29已知點(diǎn)A(1,-k+2)在雙曲線丫=&上，求常數(shù)k的值.

X

例1.1.30如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將坐標(biāo)原點(diǎn)0沿x軸向左平移2個(gè)單位長度得到點(diǎn)A,過點(diǎn)

A作y軸的平行線交反比例函數(shù)y=-的圖象于點(diǎn)B,AB=-.

x2

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)若P(xi,y。、Q(x2,ya)是該反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且xi<X2時(shí);yi>y”指出點(diǎn)P、

Q各位于哪個(gè)象限？并簡要說明理由.

例1.1.31已知反比例函數(shù)丫=(伙工0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,3).在x=6時(shí)，求y的值.

例1.1.32反比例函數(shù)y="的圖象與直線y=x-2交于點(diǎn)4且/縱坐標(biāo)為1,求該反比例函數(shù)的解

X

析式.

例1.1.33如圖，正方形的邊長為2,邊0A,0C分別在x軸與y軸上，反比例函數(shù)y=8(k為常數(shù),

>??<

k#0)的圖像經(jīng)過正方形的中心D.

(1)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)求反比例函數(shù)的解析式.

例1.1.34已知，在同一直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=*與二次函數(shù)y=-x2+2x+c的圖象交于點(diǎn)A

x

(-1,m).

(1)求m、c的值；

(2)求二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

3k

例1.1.35直線y=kx+b過x軸上的點(diǎn)A,0),且與雙曲線y=-相父于B、C兩點(diǎn)，已知B點(diǎn)坐

2x

標(biāo)為(?1,4),求直線和雙曲線的解析式.

2

例1.1.36如圖，一次函數(shù)y=-2x-2的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，PC±x

2

k1

軸于點(diǎn)C,延長PC交反比例函數(shù)y=-(x<0)的圖象于點(diǎn)Q,且tanNAOQ=-.

x2

(1)求k的值；

(2)連接OP、AQ,求證：四邊形APOQ是菱形.

例1.1.37已知：在平面直角坐標(biāo)系x勿中，將直線y=x繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到直線1,反比例

函數(shù)y=g的圖象與直線1的一個(gè)交點(diǎn)為4(”,2),試確定反比例函數(shù)的解析式。

>??<

例1.1.38如圖，在平面直徑坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=&(x>0)的圖象上有一點(diǎn)A(m,4),過點(diǎn)

x

A作AB±x軸于點(diǎn)B,將點(diǎn)B向右平移2個(gè)單位長度得到點(diǎn)C,過點(diǎn)C作y軸的平行線交反比例函

4

數(shù)的圖象于點(diǎn)D,CD=-

3

(1)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為_(用含m的式子表示)；

(2)求反比例函數(shù)的解析式.

例1.1.39蓄電池的電壓為定值，使用此電源時(shí)，電流I(A)是電阻R(Q)的反比例函數(shù)，其圖象

如圖所示.

(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)R=10Q時(shí)，電流能是4A嗎？為什么？

題模二：反比例函數(shù)k的幾何意義

k

例1.2.1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=3(x>0)圖象上的一點(diǎn)，分別過點(diǎn)P

x

作PA_LX軸于點(diǎn)A,PBLy軸于點(diǎn)B.若四邊形OAPB的面積為3,則k的值為()

>??<

33

A.3B.-3C.-D.--

22

例1.2.2如圖，正方形ABOC的邊長為2,反比例函數(shù)y=V的圖象過點(diǎn)A,則k的值是（）

A.2B.-2C.4D.-4

例1.2.3雙曲線必、必在第一象限的圖象如圖所示，已知y=±,過y上的任意一點(diǎn)A,作

X

軸的平行線交火于3,交y軸于C,若則力的解析式是（）

2、3「5、6

A.y-,=—B.y=—C?y=-D?y=—

x2x2x2x

例124如圖，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=9（x>0）的圖像上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作兩坐標(biāo)軸的垂

X

線，與坐標(biāo)軸構(gòu)成矩形OAPB,點(diǎn)D是矩形OAPB內(nèi)任意一點(diǎn)，連接DA、DB、DP、DO,則圖中陰影部

分的面積是（）

>??<

A.1B.2C.3D.4.

4

例1.2.5如圖，A、B兩點(diǎn)在雙曲線y=—上，分別經(jīng)過A、B兩點(diǎn)向軸作垂線段，已知S瞰=1,則

X

A.3B.4C.5D.6

例1.2.6如圖，反比例函數(shù)y=-（x>0）的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線的交點(diǎn)M,分別與AB、BC相交

X

于點(diǎn)D、E.若四邊形ODBE的面積為6,則k的值為

A.1B.2C.3D.4

例1.2.7如圖，是反比例函數(shù)丫=2和丫=與（勺<甸）在第一象限的圖象，直線相〃x軸，并分別交

XX

兩條曲線于A、B兩點(diǎn)，若SMBC=2，則的值是（）

>??<

A.1B.2C.4D.8

2

例128如圖，A,4是函數(shù)y=上的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的任意兩點(diǎn)，比〃x軸，力2y軸，XABC

x

的面積記為S,則（）

C.2<S<4D.S>4

點(diǎn)A在第一象限，AB，y軸于點(diǎn)B,函數(shù)y=4（k>0,x>0）

X

的圖象與線段AB交于點(diǎn)C,且AB=3BC.若AAOB的面積為12,則k的值為（）

A.4B.6C.8D.12

例1.2.10如圖，直y=mx與雙曲線y=公交于點(diǎn)A,B.過點(diǎn)A作AMLx軸，垂足為點(diǎn)M,連接BM.若

X

SAABW=1?則k的值是（）

A.1B.m-1C.2D.m

例1.2.U如圖，四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，若AB〃CD,AABD與4ACD的面積分別為10和

20,若雙曲線y=K恰好經(jīng)過BC的中點(diǎn)E,則k的值為（）

X

>?<?

姿隨堂練習(xí)

隨練1.1對于反比例函數(shù)y=4（kWO）,下列說法正確的是（）

X

A.當(dāng)k>0時(shí)y隨x增大而增大

B.當(dāng)k<0時(shí)，y隨x增大而增大

C.當(dāng)k>0時(shí)，該函數(shù)圖象在二、四象限

D.若點(diǎn)（1，2）在該函數(shù)圖象上，則點(diǎn)（2,1）也必在該函數(shù)圖象上

4

隨練1.2對于函數(shù)y=x,下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.這個(gè)函數(shù)的圖象位于第一、第三象限

B.這個(gè)函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

C.當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大

D.當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減小

隨練1.3如圖，點(diǎn)尸在反比例函數(shù)y=工的圖象上，門LLx軸于點(diǎn)4,△以。的面積為6.則下面

X

各點(diǎn)也在這個(gè)反比例函數(shù)圖象上的是（）

A.(3,2)B.(-2,6)C.(6,2)D.(3,-2)

隨練1.4反比例函數(shù)y1口的圖象如圖所示，以下結(jié)論正確的是（）

x

①常數(shù)m<l；

②y隨X的增大而減?。?/p>

>??<

③若A為x軸上一點(diǎn)，B為反比例函數(shù)上一點(diǎn)，則孔小工

④若P(X,y)在圖象上，則P(-x,-y)也在圖象上.

隨練1.5如圖，在反比例函數(shù)y=2(x>0)的圖象上，有點(diǎn)P”P”P；,,P?它們的橫坐標(biāo)依次為1,

x

2,3,4.分別過這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為S”S：

S3,則Si+Sa+S產(chǎn).

隨練1.6如圖，在x軸的正半軸上依次間隔相等的距離?取點(diǎn)A“A2,AS,A”…，A“分別過這些點(diǎn)做

x軸的垂線與反比例函數(shù)y=工的圖象相交于點(diǎn)P”P2,Pa,Pi,-P?,再分別過P2,P3,P”，…P”作

X

PsB.lA.PnP3B21A2P2,P.,B3±A:tP3.PnB?-1±An-,Pn-1,垂足分別為B,.B2,B3.B”…，B?-,,連接

PR,P2P3,P3P4,…，P?-iP?,得到一組RtAPiB>P2,RtAP2B2P3,RtAP3B3P4,…,儻△P.B「R,則

>??<

4

隨練1.7如圖，點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)y=2(x>0)的圖像上，過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別

x

為C、1),延長線段AB交x軸于點(diǎn)E,若OC=CD=DE,則AAOE的面積為

隨練1.8如圖，點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)y=K(k>0,x>0)的圖象上，過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂

x

足分別為M、N,延長線段AB交x軸于點(diǎn)C,若OM=MN=NC,AA0C的面積為6,則k的值為

隨練1.9如圖，在平面直角坐標(biāo)xOy中，正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y=W■的圖象都經(jīng)過

x

點(diǎn)A(2,-2).

(1)分別求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

(2)將直線OA向上平移3個(gè)單位長度后與y軸交于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)圖象在第四象限內(nèi)的交

點(diǎn)為C,連接AB,AC,求點(diǎn)C的坐標(biāo)及^ABC的面積.

反比例函數(shù)的代數(shù)綜合

在知識(shí)精講

>??<

反比例函數(shù)與方程和不等式

如圖，雙曲線與直線相交，則方程&=+b的解為交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為、馬；不等式佝》+6>勺

XX

的解為X>芭或龍2<X<0.

二.反比例函數(shù)與一次函數(shù)

已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)的一個(gè)交點(diǎn)，求函數(shù)解析式，只要把交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入到兩個(gè)解析

式即可.

當(dāng)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)相交時(shí)，交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，即占

在三點(diǎn)剖析

一.考點(diǎn)：反比例函數(shù)與代數(shù)綜合

二.重難點(diǎn)：反比例函數(shù)與代數(shù)綜合

三.易錯(cuò)點(diǎn)：

1.注意反比例函數(shù)解析式中kW0:

2.反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)要解分式方程的情況，注意分式方程增根的情況;

3.利用圖像解反比例函數(shù)與不等式的問題.

>??<

■g題模精講

題模一：與方程，不等式綜合

例2.1.1關(guān)于反比例函數(shù)丫=-上，下列說法正確的是（）

x

A.圖象過（1,2）點(diǎn)B.圖象在第一、三象限

C.當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小D.當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而增大

例2.1.2如圖，反比例函數(shù)力上的圖象與正比例函數(shù)y2=hx的圖象交于點(diǎn)（2,1）,則使的

x

C.x>2或-2<xV0D.x<-2或0<xV2

例2.1.3已知直線y=x-3與函數(shù)y=4的圖象相交于點(diǎn)（a,b）,則代數(shù)式的值是（）

x

A.13B.11C.7D.5

例2.1.4已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象（如圖所示），那么正比例函數(shù)y=kx和反比例函數(shù)y=2在同

X

一坐標(biāo)系的圖象可能是（）

>?<?

y

例2.1.5直線1與雙曲線C在第一象限相交于A,B兩點(diǎn)，其圖象信息如圖所示，則陰影部分（包括

邊界）橫，縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)（俗稱格點(diǎn)）有一

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.8個(gè)

例2.1.6求一元二次方程x>3x-1=0的解，除了課本的方法外，我們也可以采用圖象的方法：在平

面直角坐標(biāo)系中，畫出直線y=x+3和雙曲線y=」的圖象，則兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即該方程的解.類

X

似地，我們可以判斷方程x3-x-1=0的解的個(gè)數(shù)有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

例2.1.7函數(shù)y=kx+b與函數(shù)尸絲在同一坐標(biāo)系中的大致圖象正確的是（）

x

A.A選項(xiàng)B.B選項(xiàng)C.C選項(xiàng)D.D選項(xiàng)

4

例2.1.8如圖，直線y=x+a-2與雙曲線y=—交于A、B兩點(diǎn),則當(dāng)線段AB的長度取最小值時(shí)，a的

x

值為（）

A.0B.1C.2D.5

題模二：與一次函數(shù)綜合

例2.2.1已知X2+3X+5的值為11,則代數(shù)式3X2+9X-12的值為（）

A.3B.6C.9D.-9

例2.2.2如圖，已知一次函數(shù)y產(chǎn)kx+b圖象與x軸相交于點(diǎn)A,與反比例函數(shù)山二￡相交于B（-1,

x

5）>C（-?d）兩點(diǎn)?點(diǎn)P（m,n）是一次函數(shù)y1=kx+b的圖象上的動(dòng)點(diǎn).

2

（1）求k、b的值；

>?<?

(2)設(shè),過點(diǎn)P作x軸的平行線與函數(shù)丫2=￡的圖像相交于點(diǎn)D.試問4PAD的面積是

2x

否存在最大值？若存在，請求出面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)m1-a,如果在兩個(gè)實(shí)數(shù)m與n之間(不包括m和n)有且只有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范

圍.

在隨堂練習(xí)

7

隨練2.1如圖，函數(shù)yi=xT和函數(shù)y2=—的圖象相交于點(diǎn)M(2,m),N(-1,n),若y2y2,貝Ix

x

的取值范圍是()

A.xVT或0<x<2B.x<T或x>2

C.-l<x<0或0<x<2D.T<x<0或x>2

隨練2.2如圖所示，已知A(1,外)，B(2,y2)為反比例函數(shù)y=)圖象上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P(x,0)

2x

在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是()

>??<

135

A.(—,0)B.(1,0)C.(—,0D.(一,0)

222

1-6t

隨練2.3反比例函數(shù)的圖象與直線y=-x+2有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)的積為負(fù)

x

數(shù)，則t的取值范圍是()

A.t■--B.t—C.tD.t--

5666

隨練2.4已知點(diǎn)A(-2,0),B為直線x=-1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為直線AB與雙曲線y=L的交點(diǎn)，且

X

AP=2AB,則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是()

隨練2.5一次函數(shù)y=kx+b(k/0)與反比例函數(shù)y=-(k#0)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正

X

確的是()

A.k>0,b>0B.k>0,b<0C.k<0,b>0D.k<0,b<0

隨練2.6拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=±在同一平面直

X

角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為()

>?<?

隨練2.7如圖，正比例函數(shù)y=k,x與反比例函數(shù)丫=殳的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為

X

(2,1),則點(diǎn)B的坐標(biāo)是()

A.(1,2)B.(一2,1)C.(一1,-2)D.(一2,-1)

隨練2.8分解因式：ax+ay=____.

隨練2.9定義運(yùn)算max{a,b)：當(dāng)a》b時(shí)，max{a,b)=a；當(dāng)aVb時(shí)，max{a,b)=b.如max{-3,

2}=2.

(1)max{V7,3}=；

kkk

(2)已知和y2=k2x+b在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，若max{5,k2x+b}=-^,結(jié)合圖象,

XXX

直接寫出X的取值范圍；

(3)用分類討論的方法，求max{2x+l,x-2}的值.

隨練2.10如圖1,反比例函數(shù)y=&(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(273,1),射線AB與反比例函數(shù)圖

X

象交與另一點(diǎn)B(1,a),射線AC與y軸交于點(diǎn)C,NBAC=75°,AD，y軸，垂足為D.

(1)求k和a的值；

(2)直線AC的解析式；

(3)如圖2,M是線段AC上方反比例函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過M作直線l，x軸，與AC相交于N,

連接CM,求aCMN面積的最大值.

>??<

隨練2.11已知正比例函數(shù)yi=ax(aWO)與反比例函數(shù)%=月(k#0)的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A

X

(2,1)

(1)求a,k的值；

(2)在直角坐標(biāo)系中畫出這兩個(gè)函數(shù)的大致圖象，并根據(jù)圖象直接回答yi>yz時(shí)x的取值范圍.

與雙曲線4在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)8,C兩

X

點(diǎn)，且=則攵的值為多少？

反比例函數(shù)與幾何綜合

我?知識(shí)精講

一.反比例函數(shù)與三角形綜合

>?<?

一般為定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成特殊三角形情況，利用等腰三角形，直角三角形，等邊三角形，等腰直

角三角形等固有特殊性質(zhì)，進(jìn)行求解，并且注意考慮到多種結(jié)論的情況.

二.反比例函數(shù)與四邊形綜合

四邊形與反比例函數(shù)的綜合問題與三角形部分基本上相同，不同的是涉及到平行四邊形等特殊

四邊形的時(shí)候經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)頂點(diǎn)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的情況需要進(jìn)行分類討論.

三.反比例函數(shù)與面積問題

反比例函數(shù)涉及到的面積問題一般都為三角形面積和矩形面積問題，對于三角形面積我們可以

對三角形進(jìn)行分割再去求解，對于矩形面積問題，我們要注意k值的幾何意義和正負(fù)的討論.

坡?三點(diǎn)剖析

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與幾何綜合

二.重難點(diǎn)：

1.反比例函數(shù)與三角形和四邊形面積問題；

2.利用點(diǎn)坐標(biāo)乘積為定值求解面積問題.

三.易借點(diǎn)：

1.涉及到特殊三角形與動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，一般都為多個(gè)解，注意不要漏解；

2.在求三角形和四邊形面積用坐標(biāo)表示線段長度時(shí)，注意正負(fù)號(hào)的問題.

W題模精講

題模一：與三角形綜合

例3.1.1在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-3,0),(3,0),點(diǎn)P在反比例函數(shù)

y=2的圖象上，若aPAB為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為()

X

A.2個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

k

例3.1.2如圖，若雙曲線y=—與邊長為5的等邊aAOB的邊0A,AB分別相交于C,D兩點(diǎn)，且

x

0C=3BD,則實(shí)數(shù)k的值為____.

例3.1.3如圖，已知點(diǎn)A(4,0),B(0,46)，把一個(gè)直角三角尺DEF放在aOAB內(nèi)，使其斜邊

>??<

FD在線段AB上，三角尺可沿著線段AB上下滑動(dòng).其中/EFD=30°,ED=2,點(diǎn)G為邊FD的中點(diǎn).

(1)求直線AB的解析式；

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，求經(jīng)過點(diǎn)G的反比例函數(shù)y=A(k/0)的解析式；

X

(3)在三角尺滑動(dòng)的過程中，經(jīng)過點(diǎn)G的反比例函數(shù)的圖象能否同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)F?如果能，求出此

時(shí)反比例函數(shù)的解析式；如果不能，說明理由.

題模二：與四邊形綜合

例3.2.1在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,1),點(diǎn)C在反比例函數(shù)丫=幺的

X

圖象上，則k的值為()

A.-V5B.-2C.2D.y/5

例3.2.2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AB：BC=3：2,點(diǎn)A(3,0),B(0,6)分

別在x軸，y軸上，反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D,且與邊BC交于點(diǎn)E,則點(diǎn)E的坐標(biāo)

例3.2.3如圖，正方形A0CB的邊長為4,反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)E(3,4).

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)反比例函數(shù)的圖象與線段BC交于點(diǎn)D,直線y=-'x+b過點(diǎn)I),與線段AB相交于點(diǎn)F,求點(diǎn)F

2

的坐標(biāo)；

(3)連接OF,0E,探究NA0F與/EOC的數(shù)量關(guān)系，并證明.

>??<

題模三：面積問題

例3.3.1如圖，已知雙曲線y=K(kVO)經(jīng)過直角三角形。AB斜邊OA的中點(diǎn)D,且與直角邊AB相

K

交于點(diǎn)C.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-6,4),則△AOC的面積為()

例3.3.2如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=°x與雙曲線y=&相交于A,B兩點(diǎn)，C是第一象

2x

限內(nèi)雙曲線上一點(diǎn)，連接CA并延長交y軸于點(diǎn)P,連接BP,BC.若APBC的面積是20,則點(diǎn)C的

坐標(biāo)為—.

例3.3.3如圖，矩形OABC,點(diǎn)A,C分別在x軸，y軸正半軸上，直線y=-x+6交邊BC于點(diǎn)M(m,

n)(m<n),并把矩形OABC分成面積相等的兩部分，過點(diǎn)M的雙曲線y=±<x>0)交邊AB于點(diǎn)

X

N.若AOAN的面積是4,求△OMN的面積.

>?<?

我隨堂練習(xí)

隨練3.1如圖，正aAOB的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=@(x>0)的圖象上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()

X

0)

A.(2,0)B.(6,0)C.(273,0)。?與

隨練3.2如圖，直線1與反比例函數(shù)y=-的圖象在第一象限內(nèi)交于

X

A,B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)C,若AB：BC=(m-1)：1(m>l),則aOAB的面積(用m表示)為____

廿一］3(m2-l)W-1)

A.——B.----------C.-------------D.-------------

2mmm2m

隨練3.3如圖，已知點(diǎn)A(1,2)是反比例函數(shù)y=幺圖象上的一點(diǎn)，連接A0并延長交雙曲線的另

X

一分支于點(diǎn)B,點(diǎn)P是X軸上一動(dòng)點(diǎn)；若APAB是等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

>??<

隨練3.4如圖，在RtZiABC中,NABC=90。，點(diǎn)B在x軸上，且B(-1,0),A點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2,

AB=3BC,雙曲線y=—(m>0)經(jīng)過A點(diǎn)，雙曲線y=一匹經(jīng)過C點(diǎn)，則RtAABC的面積

X

為____________.

隨練3.5如圖1所示，己知：點(diǎn)A(-2,-1)在雙曲線C：y=N上，直線li：y=-x+2,直線I2與