2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊同步練習(xí)-第七章 概率

2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊

第七章概率

（全卷滿分150分，考試用時120分鐘）

一、單項選擇題（本大題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的）

1.在天氣預(yù)報中，有"降水概率預(yù)報"，例如預(yù)報"明天降水的概率為80%",則

（）

A.明天該地區(qū)有80%的地方降水，有20%的地方不降水

B.明天該地區(qū)降水的可能性為80%

C.氣象臺的專家中有80%的專家認為會降水，另外20%的專家認為不降水

D.明天該地區(qū)有80%的時間降水，其他時間不降水

2.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出

的點數(shù)的差為X,則"X>4"表示試驗的結(jié)果為（）

A.第一枚為5點，第二枚為1點

B.第一枚為6點，第二枚為1點或第一枚為1點，第二枚為6點

C.第一枚為6點，第二枚為1點

D.第一枚為1點，第二枚為6點

3.若隨機事件A,B互斥,A,B發(fā)生的概率均不等于0,且P（A）=2-a,P（B）=4a-5,則

實數(shù)a的取值范圍是（）

嗚2）B?|）

C[?l]D.（|t

4.盤子里有肉餡、素餡和豆沙餡的包子共10個,從中隨機取出1個，若它是肉餡

包子的概率為|,它不是豆沙餡包子的概率為乙則素餡包子的個數(shù)為（）

A.lB.2C.3D.4

5.投壺是從先秦延續(xù)至清末的中國傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在戰(zhàn)國時期較為盛行.如

圖為一幅投壺圖，假設(shè)甲、乙、丙是三位投壺游戲參與者,且甲、乙、丙每次投壺

時投中與不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壺1次，則這3人中至多有1人投

中的概率為（）

315

A1C

3-8-2-D.8-

B.

6.古代"五行"學(xué)說認為:物質(zhì)分"金、木、水、火、土"五種屬性，"金克木，木

克土，土克水,水克火，火克金".從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機抽取兩種，則抽到的

兩種物質(zhì)不相克的概率為（）

A.1B.|C.|

23510

7.某電視臺的夏日水上闖關(guān)節(jié)目中的前四關(guān)每次闖關(guān)的過關(guān)率分別為翡數(shù),只有

655Z

通過前一關(guān)才能進入下一關(guān)，其中，第三關(guān)有兩次闖關(guān)機會，目每關(guān)是否通過相互獨

立.若某選手參加該節(jié)目，則他能進入第四關(guān)的概率為（）

A./B.|C.1|D.^

2552525

8.為了調(diào)查某廠2000名工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機抽查了20名工人某天

生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量（單位:個），產(chǎn)品數(shù)量（單位:個）的分組區(qū)間為

[10,15）,[15,20）,[20,25）,[25,30）,[30,35]瀕率分布直方圖如圖所示.工廠規(guī)定從生

產(chǎn)低于20個產(chǎn)品的工人中隨機選取2名進行培訓(xùn)，則這2名工人不在同一組的

概率是（）

二、多項選擇題（本大題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,

有多個選項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0

分）

9.不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍色卡片各2張,一次任意取出2張卡片，則

下列事件中與事件"2張卡片都為紅色"互斥而不對立的事件為()

A.2張卡片都不是紅色

B.2張卡片中恰有1張為紅色

C.2張卡片中至少有1張為紅色

D.2張卡片都為綠色

10.在一個古典概型中，若兩個不同的隨機事件A、B發(fā)生的概率相等，則稱A和B

是"等概率事件"，如:隨機拋擲一枚骰子一次，事件"朝上的面的點數(shù)為奇數(shù)"和

"朝上的面的點數(shù)為偶數(shù)"是"等概率事件".若事件C中只含有一個樣本點，則

稱事件C為基本事件.關(guān)于"等概率事件"，以下判斷正確的是()

A.在同一個古典概型中，所有的基本事件之間都是"等概率事件"

B.若一個古典概型的事件總數(shù)大于2,則在這個古典概型中除基本事件外沒有其

他"等概率事件"

C.因為所有必然事件的概率都是L所以任意兩個必然事件都是"等概率事件”

D.同時拋擲三枚硬幣一次則事件"僅有一次正面向上"和"僅有兩次正面向上"

是"等概率事件"

11利用簡單隨機抽樣的方法抽查某工廠的100件產(chǎn)品，其中一等品有20件，合

格品有70件，其余為不合格品.現(xiàn)在這個工廠隨機抽查T牛產(chǎn)品，設(shè)事件A為"是

一等品"，B為"是合格品"(為"是不合格品"，則下列結(jié)果正確的是()

A.P(B)=(B.P(AUB)竦

C.P(AnB)=0D.P(AUB)=P(C)

12.已知事件A,B,且P(A)=0.6,P(B)=0.3,則下列結(jié)論正確的是()

A.如果BGA,那么P(AUB)=0.6,P(AB)=0.3

B.如果A與B互斥，那么P(AUB)=0.9,P(AB)=0

C.如果A與B相互獨立，那么P(AB)=0

D.如果A與B相互獨立，那么P(Z^)=0.28,P(XB)=0.12

三、填空題(本大題共4小題,每小題5分洪20分.將答案填

在題中橫線上)

13.A,B,C三人站成三角形相互傳球，由A開始傳球,每次可傳給另外兩人中的任

何一人按此規(guī)則繼續(xù)往下傳，傳球4次后，球又回到A手中的傳球方式的種數(shù)

為.

14.某人撿到了一個形狀不規(guī)則的五面體石塊,他在各個面上用數(shù)字1~5進行了

標記投擲100次，記錄朝向桌面的數(shù)字彳導(dǎo)到如下數(shù)據(jù)：

朝向桌面的數(shù)字12345

頻數(shù)3218151322

用頻率估計概率，則朝向桌面的數(shù)字不小于4的概率為.

15.甲、乙二人進行射擊游戲，目標靶上有三個區(qū)域,分別涂有紅、黃、藍色，已知

甲擊中紅、黃、藍區(qū)域的概率依次是|舄乙擊中紅、黃、藍區(qū)域的概率依次是

制］二人射擊情況互不影響,若甲、乙各射擊一次，則二人命中同色區(qū)域的概率

624

為，二人命中不同色區(qū)域的概率為.（第一空2分,第二空3

分）

16.甲、乙兩人投籃命中的概率分別為p,q,已知pg,且他們各投2次，甲比乙投

中次數(shù)多的概率為看則q的值為.

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟）

17.（10分）現(xiàn)有8名馬拉松志愿者（他們都只通曉一門外語），其中志愿者

Ai,A2,A3通曉日語,Bi,B2,B3通曉俄語,QC2通曉英語，從中選出通曉日語、俄語和

英語的志愿者各1名，組成一個小組.

⑴列出該試驗包含的所有樣本點；

⑵求Ai被選中的概率；

⑶求Bi和G不全被選中的概率.

18.（12分）某種電路開關(guān)閉合后，會出現(xiàn)紅燈或綠燈，已知開關(guān)第一次閉合后，出現(xiàn)

紅燈和出現(xiàn)綠燈的概率都是去從開關(guān)第二次閉合起，若前一次出現(xiàn)紅燈，則下一次

出現(xiàn)紅燈的概率是也出現(xiàn)綠燈的概率是|；若前一次出現(xiàn)綠燈,則下一次出現(xiàn)紅燈的

概率是|,出現(xiàn)綠燈的概率是|?求：

（1）開關(guān)第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率；

（2）三次發(fā)光后，出現(xiàn)一次紅燈、兩次綠燈的概率.

19.（12分）下面是某市某年2月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖及空氣質(zhì)量

指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)表.某人隨機選擇2月1日至2月13日中的某一天到

該市出差，第二天返回（往返共兩天）.

空氣.質(zhì)量理數(shù)

01234567891011121314日期

空氣質(zhì)量指數(shù)空氣質(zhì)量等級

小十或等十1UU優(yōu)良

.UU且小于或等于15U輕度污染

.5U且小于或等于2UU中度污染

100且小于或等于300重度污染

大于300嚴重污染

(1)觀察空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，你認為從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最

大?(只寫出結(jié)論，不要求證明)

⑵求此人到達當日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率；

(3)求此人出差期間(兩天)空氣質(zhì)量至少有一天為中度或重度污染的概率.

20.(12分)小張大學(xué)畢業(yè)后決定選擇自主創(chuàng)業(yè)，在進行充分的市場調(diào)研下得到如下

的兩張表格：

項目A

10%5%

50%40%

項目B

10%5%

40%X

項目B的表格中兩個數(shù)據(jù)丟失，現(xiàn)用x,y代替.調(diào)研時發(fā)現(xiàn):投資A,B這兩個項目的

平均利潤率相同以下用頻率代替概率AB兩個項目的利潤情況互不影響.

(1)求x,y的值,并分別求投資A,B項目不虧損的概率；

(2)小張在進行市場調(diào)研的同時，拿到了100萬人民幣的風(fēng)險投資.現(xiàn)在小張與投

資方?jīng)Q定選擇其中的一個項目進行投資,請你從統(tǒng)計學(xué)的角度給出一個建議，并闡

述你的理由.

21.(12分)某村為提高村民收益，種植了一批蜜柚，現(xiàn)為了更好地銷售，從該村的蜜

柚樹上隨機摘下了100個蜜柚進行測重，測得其質(zhì)量(單位:克)均分布在區(qū)間［1

500,3000］內(nèi)，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)按分層隨機抽樣的方法從質(zhì)量落在區(qū)間［1750,2000),［2000,2250)內(nèi)的蜜

柚中隨機抽取5個,再從這5個蜜柚中隨機抽取2個，求這2個蜜柚質(zhì)量均小于2

000克的概率；

(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該村的

蜜柚樹上大約還有5000個蜜柚待出售，某電商提出兩種收購方案：

方案A:所有蜜柚均以10元/千克收購；

方案B:低于2250克的蜜柚以15元/個的價格收購，高于或等于2250克的蜜柚

以20元/個的價格收購.

請你通過計算為該村選擇收益最好的方案.

22.（12分）某市政府為減輕汽車尾氣對大氣的污染，保衛(wèi)藍天，鼓勵廣大市民使用

電動交通工具出行,決定為電動車（含電動自行車和電動汽車）免費提供電池檢測

服務(wù).現(xiàn)從全市已掛牌照的50000輛電動車中隨機抽取100輛委托專業(yè)機構(gòu)免

費為它們進行電池性能檢測，電池性能分為需要更換、尚能使用、較好、良好四

個等級，并分成電動自行車和電動汽車兩個群體分別進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如圖所示

Q）采用分層隨機抽樣的方法從電池性能較好的電動車中隨機抽取9輛,再從這9

輛車中隨機抽取2輛，求至少有1輛為電動汽車的概率；

（2）為進一步提高市民對電動車的使用熱情，市政府準備為所有電動車車主發(fā)放補

助,標準如下:①每輛電動自行車補助300元;②每輛電動汽車補助500元;③對電

池需要更換的電動車每輛額外補助400元.試求抽取的100輛電動車執(zhí)行此方案

的預(yù)算，并估計市政府執(zhí)行此方案的預(yù)算.

答案與解析

第七章概率

1.13

2c由題意得"X>4"即"X=5",表示的試驗結(jié)果為"第一枚為6點,第二枚

為1點”.故選C.

（0<2-a<1,

3.D由題意得{o<即0<4a-5<l,

（0<P（6+P（B）41,（0<3a-3<l,

1<a<2,

?<a<Up!<a4

{1<a<5，

所以實數(shù)a的取值范圍是信J故選D.

4C由題意可知這個包子是肉餡或素餡的概率為看又它是肉餡包子的概率為I，

所以它是素餡包子的概率為言|4,故素餡包子的個數(shù)為10xA=3.

5c甲、乙、丙3人投中與否的所有情況有仲，中，中）,（中，中，不中）,（中,不中，

中）,（不中，中，中）,（中，不中，不中）,（不中用不中）,（不中，不中，中）,（不中，不中，不中）洪

8種，其中至多有1人投中的有仲，不中，不中）,（不中用不中）,（不中，不中，中）,（不中,

不中,不中），共4種,故所求概率為^

6.A從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機抽取兩種,所有的抽法有10種，而相克的有5

種，則抽取的兩種物質(zhì)相克的概率是玄壬，故抽取的兩種物質(zhì)不相克的概率是1一

A3故選A.

7.P第一種情況:該選手一次性通過前三關(guān)，進入第四關(guān)，其概率為泌"|=|；第二

種情況:該選手通過前兩關(guān)，第三關(guān)第一次沒有通過，第二次通過，進入第四關(guān)，其概

率為伊3（1詞胃胃.

所以該選手能進入第四關(guān)的概率為|+卷=奈故選D.

8C根據(jù)題中頻率分布直方圖可知,生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量(單位:個)在［10,15),［15,20)內(nèi)

的人數(shù)分別為5x0.02x20=2,5x0.04x20=4.設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量在［10,15)內(nèi)的2

人分別是人后在［15,20)內(nèi)的4人分別為C,D,E,F,則從生產(chǎn)低于20個產(chǎn)品的工人

中隨機選取2名工人的樣本點有

(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(

E,F),共15個，目這15個樣本點發(fā)生的可能性相等，其中2名工人不在同一組的

樣本點有(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F)^8個廁選取的2名工

人不在同一組的概率為出

9.ABD從6張卡片中一次任意取出2張卡片的所有情況有："2張卡片都為紅

色”"2張卡片都為綠色""2張卡片都為藍色""1張卡片為紅色,1張卡片為

綠色""1張卡片為紅色,1張卡片為藍色""1張卡片為綠色,1張卡片為藍

色”.選項中給出的四個事件中與"2張卡片都為紅色”互斥而不對立的事件為

"2張卡片都不是紅色""2張卡片中恰有1張為紅色""2張卡片都為綠色”,

其中"2張卡片中至少有1張為紅色"包含事件"2張卡片都為紅色"，故二者

并不互斥.

10.AP對于A,由古典概型的概念知，在同一個古典概型中,所有基本事件發(fā)生的

概率都相等，故在同一個古典概型中，所有的基本事件之間都是"等概率事件"，故

A正確;對于B,如在135,7,9這五個數(shù)中任取兩個數(shù)，"所得兩數(shù)和為8"和"所

得兩數(shù)和為10"這兩個事件發(fā)生的概率相等，故B錯誤;對于C,由題可知"等概

率事件"是針對同一個古典概型來說的，故C錯誤;對于D,同時拋擲三枚硬幣一

次共有8種不同的結(jié)果，其中"僅有一次正面向上"包含3種結(jié)果，其概率為

也“僅有兩次正面向上"包含3種結(jié)果，其概率為也故這兩個事件是"等概率事

件"，故D正確.故選AD.

11.ABC由題意知A,B,C為互斥事件，故C正確;因為從100件產(chǎn)品中抽取符合

古典概型的條件，所以P(A)=言畤P(B)=^=春P(C)=M喘3=七則

P(AUB)=^P(C),故A、B正確,D錯誤.故選ABC.

12.ABD對于A,如果BwA,那么P(AUB)=P(A)=0.6,P(AB)=P(B)=0.3,故A正

確;對于B,如果A與B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B)=0.9,P(AB)=0,故B正確；

對于C如果A與B相互獨立，那么P(AB)=P(A)P(B)=0.18,故C錯誤;對于D,如

果A與B相互獨立，那么P(I

功二P(?P(動=0.4x0.7=0.28,PWB)=Pa)P(B)=0.4x0.3=0.12,故D正確.故選

ABD.

13答案6

解轉(zhuǎn)A,B,C三人傳球4次的所有結(jié)果用樹狀圖表示如下:

由圖可知，傳球4次后，球又回到A手中的傳球方式的種數(shù)為6.

14.答案0.35

解析朝向桌面的數(shù)字不小于4的頻數(shù)為13+22=35,所以頻率為需=0.35,用頻

率估計概率,則所求概率為0.35.

15答案1Z-2.

上，口木60'20

解析設(shè)甲射中紅、黃、藍區(qū)域分別為事件A1,A2,A3,乙射中紅、黃、藍區(qū)域分

別為事件BI,B2,B3廁P(AI)=1P(A2)=|ZP(A3)=1P(BI)=1P(B2)=1P(B3)=1

,??二人射擊情況互不影響，

.，二人命中同色區(qū)域的概率為

P(AiBi+A2B2+A3B3)=P(Ai)P(Bi)+P(A2)P(B2)4-P(A3)P(B3)=lxl+^xl+lxl=lZ；-

□O□Z□4oU

人命中不同色區(qū)域的概率為

P(A1B2+A1B3+A2B1+A2B3+A3B1+A3B2)=P(A1)P(B2)+P(A1)P(B3)+P(A2)P(B1)+

P(A2)P(B3)+P(A3)P(Bi)+P(A3)-P(B2)=ixl+lxl+|xl+|xl+lxl+lxl=A.

16.答案|

解析甲比乙投中次數(shù)多的可能情形有兩種:甲投中1次,乙投中0次;甲投中2

次,乙投中1次或0次,分別記為事件A,B.P(甲投中1次)=pQ-p)+(l-p)pW，P(乙

投中0次)=Q-q)，所以P(A)W(l-q)2,P(甲投中2次)=p2=\p(乙投中1

次)=q(l-q)+(l-q)q=2q(l-q),所以P(B)Wx[2q(l-q)+(l-q)2],顯然事件A,B互

斥，所以由甲比乙投中次數(shù)多的概率為[導(dǎo)P(A)+P(B)胃，即Xl-q)2+[x[2q(l-

q)+(l-q)2]嗎，即9q2-36q+20=0,解得q=|或q=學(xué)(舍去).故q的值為|.

17.解析⑴該試驗的樣本空間

Q={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1ZB3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A

2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1

),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)},共18個樣本點.(3分)

(2)-.?每個樣本點出現(xiàn)的機會相等，

這些樣本點是等可能發(fā)生的，用M表示事件"A1被選中"，

則乂={61力1(1)始1心1(2)解1力2(1)始1力2(2)以1方3(1)依1方3(2)},含有6

個樣本點,(5分)

二?A1被選中的概率P(M)=A=1.(6分)

⑶用N表示事件"Bi和Ci不全被選中"，則后表示事件"Bi和Ci全被選中"，

?.R={(ALBI,CI),(A2,BI,G),(A3,BLG)},含有3個樣本點,(8分)

.B和J不全被選中的概率P(N)=1-A=|.(1O分)

18.解析⑴記"兩次都出現(xiàn)紅燈"為事件A,則P(A)W'A32分)

記"第一次出現(xiàn)綠燈，第二次出現(xiàn)紅燈"為事件B廁P(B)Wx|=*4分)

以上兩種情況彼此互斥，所以第二次出現(xiàn)紅燈的概率為

P(AUB)=P(A)+P(B)=U^.(5分)

(2)依題意，三次發(fā)光中，出現(xiàn)一次紅燈、兩次綠燈的情況共有3種：

①依次出現(xiàn)綠、綠、紅概率為￡|x|彳;(7分)

②依次出現(xiàn)綠、紅、綠，概率為界|x|V；(9分)

③依次出現(xiàn)紅、綠、綠概率為界|x紅春(11分)

以上3種情況彼此互斥，所以三次發(fā)光后，出現(xiàn)一次紅燈、兩次綠燈的概率為

白計卷成412分)

19.解析(1)從2月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.(4分)

⑵設(shè)Ai表示事件"此人于2月i日到達該市"(i=l,2,…,13).由題意可

知,P(Ai)=%且AinAj=0(iHjJ=12...,13).(6分)

設(shè)B表示事件"此人到達當日空氣質(zhì)量優(yōu)良"，則

B=AiUA2UA3UA?UA12UA13,所以

P(B)=P(A1UA2UA3UA7UA12UA13)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A7)+P(A12)+P(A

13)=凝8分)

(3)設(shè)"此人出差期間空氣質(zhì)量至少有一天為中度或重度污染"為事件C即"此

人出差期間至少有一天的空氣質(zhì)量指數(shù)大于150且小于或等于300",

由題意可知

P(C)=P(A4UAsUAeUA7UAsUA9UA10UAn)=P(A4)+P(As)+P(Ae)+P(A7)+P(

As)+P(A9)+P(Aio)+P(Au)=^.(12分)

20.解析(1)投資項目A的平均利潤率為10%x50%+5%x40%-

5%xl0%=0.065,(l分)

投資項目B的平均利潤率為10%x40%+5%x-5%y=10%x40%+5%[x-(60%-

X)]=10%X40%+5%(2X-60%),(2分)

因為投資A,B這兩個項目的平均利潤率相同，

所以10%X40%+5%(2X-60%)=0.065,(3分)

解得x=55%,所以y=5%,(4分)

所以投資A項目不虧損的概率為50%+40%=90%,(5分)

投資B項目不虧損的概率為40%+55%=95%.(6分)

(2)建議選擇B項目進行投資.理由：

由Q)得投資B項目不虧損的概率比較大.(8分)

投資A項目利潤率的方差為Q0%-6.5%)2x50%+(5%-6.5%)2x40%+(-5%-

6.5%)2xl0%=2.025xl0-3,(9分)

投資B項目利潤率的方差為(10%-6.5%)2x40%+(5%-6.5%)2x55%+(-5%-

6.5%)2x5%=1.275xl0-3,(10分)

所以投資A項目利潤率的方差大于投資B項目利潤率的方差，

即投資B項目的利潤比較穩(wěn)定.

綜上，建議選擇B項目進行投資.（12分）

21.解析Q）由題圖可得蜜柚質(zhì)量在區(qū)間［1750,2000）和［2000,2250）內(nèi)的數(shù)

量之比為2:3,所以應(yīng)分別在質(zhì)量為口750,2000）,［2000,2250）內(nèi)的蜜柚中抽

取2個和3個.（2分）

記抽取的質(zhì)量在區(qū)間［1750,2000）的蜜柚分別為AiA,質(zhì)量在區(qū)間［2000,2

250）內(nèi)的蜜柚分別為BI,B2,B3,

則從這5個蜜柚中隨機抽取2個的情況共有10

種:A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2BLA2B2,A