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文檔簡介
2024-2025學年吉林省長春市養(yǎng)正高級中學高三二診考試數(shù)學試題試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知三點A(1,0),B(0,),C(2,),則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A. B.C. D.2.已知定義在上的函數(shù),若函數(shù)為偶函數(shù),且對任意,,都有,若,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.3.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),當x∈[﹣3,﹣2]時,f(x)=﹣x﹣2,則()A. B.f(sin3)<f(cos3)C. D.f(2020)>f(2019)4.已知數(shù)列對任意的有成立,若,則等于()A. B. C. D.5.已知集合,,,則()A. B. C. D.6.若時,,則的取值范圍為()A. B. C. D.7.已知函數(shù),若函數(shù)的極大值點從小到大依次記為,并記相應的極大值為,則的值為()A. B. C. D.8.已知集合,將集合的所有元素從小到大一次排列構(gòu)成一個新數(shù)列,則()A.1194 B.1695 C.311 D.10959.設集合,,則()A. B.C. D.10.已知滿足,,,則在上的投影為()A. B. C. D.211.若表示不超過的最大整數(shù)(如,,),已知,,,則()A.2 B.5 C.7 D.812.關于函數(shù),有下列三個結(jié)論:①是的一個周期;②在上單調(diào)遞增;③的值域為.則上述結(jié)論中,正確的個數(shù)為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)過定點________.14.在平面直角坐標系中,已知圓,圓.直線與圓相切,且與圓相交于,兩點,則弦的長為_________15.已知三棱錐中,,,,且二面角的大小為,則三棱錐外接球的表面積為__________.16.已知函數(shù),令,,若,表示不超過實數(shù)的最大整數(shù),記數(shù)列的前項和為,則_________三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設點,分別是橢圓的左、右焦點,為橢圓上任意一點,且的最小值為1.(1)求橢圓的方程;(2)如圖,動直線與橢圓有且僅有一個公共點,點,是直線上的兩點,且,,求四邊形面積的最大值.18.(12分)已知,.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)的三個內(nèi)角、、所對邊分別為、、,若且,求面積的取值范圍.19.(12分)以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸,且在兩種坐標系中取相同的長度單位,建立極坐標系,判斷直線為參數(shù))與圓的位置關系.20.(12分)已知函數(shù)的最大值為,其中.(1)求實數(shù)的值;(2)若求證:.21.(12分)如圖,設A是由個實數(shù)組成的n行n列的數(shù)表,其中aij(i,j=1,2,3,…,n)表示位于第i行第j列的實數(shù),且aij{1,-1}.記S(n,n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.對于,記ri(A)為A的第i行各數(shù)之積,cj(A)為A的第j列各數(shù)之積.令a11a12…a1na21a22a2n…………an1an2…ann(Ⅰ)請寫出一個AS(4,4),使得l(A)=0;(Ⅱ)是否存在AS(9,9),使得l(A)=0?說明理由;(Ⅲ)給定正整數(shù)n,對于所有的AS(n,n),求l(A)的取值集合.22.(10分)如圖所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點.求證:(1)AM∥平面BDE;(2)AM⊥平面BDF.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
選B.考點:圓心坐標2.A【解析】
根據(jù)題意,分析可得函數(shù)的圖象關于對稱且在上為減函數(shù),則不等式等價于,解得的取值范圍,即可得答案.【詳解】解:因為函數(shù)為偶函數(shù),所以函數(shù)的圖象關于對稱,因為對任意,,都有,所以函數(shù)在上為減函數(shù),則,解得:.即實數(shù)的取值范圍是.故選:A.本題考查函數(shù)的對稱性與單調(diào)性的綜合應用,涉及不等式的解法,屬于綜合題.3.B【解析】
根據(jù)函數(shù)的周期性以及x∈[﹣3,﹣2]的解析式,可作出函數(shù)f(x)在定義域上的圖象,由此結(jié)合選項判斷即可.【詳解】由f(x+2)=f(x),得f(x)是周期函數(shù)且周期為2,先作出f(x)在x∈[﹣3,﹣2]時的圖象,然后根據(jù)周期為2依次平移,并結(jié)合f(x)是偶函數(shù)作出f(x)在R上的圖象如下,選項A,,所以,選項A錯誤;選項B,因為,所以,所以f(sin3)<f(﹣cos3),即f(sin3)<f(cos3),選項B正確;選項C,,所以,即,選項C錯誤;選項D,,選項D錯誤.故選:B.本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運用,考查函數(shù)值的大小比較,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.4.B【解析】
觀察已知條件,對進行化簡,運用累加法和裂項法求出結(jié)果.【詳解】已知,則,所以有,,,,兩邊同時相加得,又因為,所以.故選:本題考查了求數(shù)列某一項的值,運用了累加法和裂項法,遇到形如時就可以采用裂項法進行求和,需要掌握數(shù)列中的方法,并能熟練運用對應方法求解.5.A【解析】
求得集合中函數(shù)的值域,由此求得,進而求得.【詳解】由,得,所以,所以.故選:A本小題主要考查函數(shù)值域的求法,考查集合補集、交集的概念和運算,屬于基礎題.6.D【解析】
由題得對恒成立,令,然后分別求出即可得的取值范圍.【詳解】由題得對恒成立,令,在單調(diào)遞減,且,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,又在單調(diào)遞增,,的取值范圍為.故選:D本題主要考查了不等式恒成立問題,導數(shù)的綜合應用,考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.求解不等式恒成立問題,可采用參變量分離法去求解.7.C【解析】
對此分段函數(shù)的第一部分進行求導分析可知,當時有極大值,而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán),而值域則是每一次前面兩個單位長度定義域的值域的2倍,故此得到極大值點的通項公式,且相應極大值,分組求和即得【詳解】當時,,顯然當時有,,∴經(jīng)單調(diào)性分析知為的第一個極值點又∵時,∴,,,…,均為其極值點∵函數(shù)不能在端點處取得極值∴,,∴對應極值,,∴故選:C本題考查基本函數(shù)極值的求解,從函數(shù)表達式中抽離出相應的等差數(shù)列和等比數(shù)列,最后分組求和,要求學生對數(shù)列和函數(shù)的熟悉程度高,為中檔題8.D【解析】
確定中前35項里兩個數(shù)列中的項數(shù),數(shù)列中第35項為70,這時可通過比較確定中有多少項可以插入這35項里面即可得,然后可求和.【詳解】時,,所以數(shù)列的前35項和中,有三項3,9,27,有32項,所以.故選:D.本題考查數(shù)列分組求和,掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列前項和公式是解題基礎.解題關鍵是確定數(shù)列的前35項中有多少項是中的,又有多少項是中的.9.A【解析】
解出集合,利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為,又,所以.故選:A.本題考查交集的計算,同時也考查了一元二次不等式的求解,考查計算能力,屬于基礎題.10.A【解析】
根據(jù)向量投影的定義,即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A本題考查向量的投影,屬于基礎題.11.B【解析】
求出,,,,,,判斷出是一個以周期為6的周期數(shù)列,求出即可.【詳解】解:.,∴,,,同理可得:;;.;,,…….∴.故是一個以周期為6的周期數(shù)列,則.故選:B.本題考查周期數(shù)列的判斷和取整函數(shù)的應用.12.B【解析】
利用三角函數(shù)的性質(zhì),逐個判斷即可求出.【詳解】①因為,所以是的一個周期,①正確;②因為,,所以在上不單調(diào)遞增,②錯誤;③因為,所以是偶函數(shù),又是的一個周期,所以可以只考慮時,的值域.當時,,在上單調(diào)遞增,所以,的值域為,③錯誤;綜上,正確的個數(shù)只有一個,故選B.本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
令,,與參數(shù)無關,即可得到定點.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得,函數(shù)值與參數(shù)無關,所有過定點.故答案為:此題考查函數(shù)的定點問題,關鍵在于找出自變量的取值使函數(shù)值與參數(shù)無關,熟記常見函數(shù)的定點可以節(jié)省解題時間.14.【解析】
利用直線與圓相切求出斜率,得到直線的方程,幾何法求出【詳解】解:直線與圓相切,圓心為由,得或,當時,到直線的距離,不成立,當時,與圓相交于,兩點,到直線的距離,故答案為.考查直線與圓的位置關系,相切和相交問題,屬于中檔題.15.【解析】
設的中心為T,AB的中點為N,AC中點為M,分別過M,T做平面ABC,平面PAB的垂線,則垂線的交點為球心O,將的長度求出或用球半徑表示,再利用余弦定理即可建立方程解得半徑.【詳解】設的中心為T,AB的中點為N,AC中點為M,分別過M,T做平面ABC,平面PAB的垂線,則垂線的交點為球心O,如圖所示因為,,所以,,,又二面角的大小為,則,,所以,設外接球半徑為R,則,,在中,由余弦定理,得,即,解得,故三棱錐外接球的表面積.故答案為:.本題考查三棱錐外接球的表面積問題,解決此類問題一定要數(shù)形結(jié)合,建立關于球的半徑的方程,本題計算量較大,是一道難題.16.4【解析】
根據(jù)導數(shù)的運算,結(jié)合數(shù)列的通項公式的求法,求得,,,進而得到,再利用放縮法和取整函數(shù)的定義,即可求解.【詳解】由題意,函數(shù),且,,可得,,又由,可得為常數(shù)列,且,數(shù)列表示首項為4,公差為2的等差數(shù)列,所以,其中數(shù)列滿足,所以,所以,又由,可得數(shù)列的前n項和為,數(shù)列的前n項和為,所以數(shù)列的前項和為,滿足,所以,即,又由表示不超過實數(shù)的最大整數(shù),所以.故答案為:4.本題主要考查了函數(shù)的導數(shù)的計算,以及等差數(shù)列的通項公式,累加法求解數(shù)列的通項公式,以及裂項法求數(shù)列的和的綜合應用,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)2.【解析】
(1)利用的最小值為1,可得,,即可求橢圓的方程;(2)將直線的方程代入橢圓的方程中,得到關于的一元二次方程,由直線與橢圓僅有一個公共點知,即可得到,的關系式,利用點到直線的距離公式即可得到,.當時,設直線的傾斜角為,則,即可得到四邊形面積的表達式,利用基本不等式的性質(zhì),結(jié)合當時,四邊形是矩形,即可得出的最大值.【詳解】(1)設,則,,,,由題意得,,橢圓的方程為;
(2)將直線的方程代入橢圓的方程中,得.
由直線與橢圓僅有一個公共點知,,化簡得:.
設,,當時,設直線的傾斜角為,則,,,,∴當時,,,.當時,四邊形是矩形,.
所以四邊形面積的最大值為2.本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關系、向量知識、二次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)等基礎知識,考查運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力,考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想.18.(1);(2).【解析】
(1)利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為,然后解不等式,可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由求得,利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的取值范圍,再結(jié)合三角形的面積公式可求得面積的取值范圍.【詳解】(1),解不等式,解得.因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由題意,則,,,,解得.由余弦定理得,又,,當且僅當時取等號,所以,的面積.本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解,同時也考查了三角形面積取值范圍的計算,涉及余弦定理和基本不等式的應用,考查計算能力,屬于中等題.19.直線與圓C相切.【解析】
首先把直線和圓轉(zhuǎn)換為直角坐標方程,進一步利用點到直線的距離的應用求出直線和圓的位置關系.【詳解】直線為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為.圓轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為,轉(zhuǎn)換為標準形式為,所以圓心到直線,的距離.直線與圓C相切.本題考查的知識要點:參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉(zhuǎn)換,直線與圓的位置關系式的應用,點到直線的距離公式的應用,主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎題型.20.(1)1;(2)證明見解析.【解析】
(1)利用零點分段法將表示為分段函數(shù)的形式,由此求得的最大值,進而求得的值.(2)利用(1)的結(jié)論,將轉(zhuǎn)化為,求得的取值范圍,利用換元法,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,證得,由此證得不等式成立.【詳解】(1)當時,取得最大值.(2)證明:由(1)得,,,當且僅當時等號成立,令,則在上單調(diào)遞減當時,.本小題主要考查含有絕對值的函數(shù)的最值的求法,考查利用基本不等式進行證明,屬于中檔題.21.(Ⅰ)答案見解析;(Ⅱ)不存在,理由見解析;(Ⅲ)【解析】
(Ⅰ)可取第一行都為-1,其余的都取1,即滿足題意;(Ⅱ)用反證法證明:假設存在,得出矛盾,從而證明結(jié)論;(Ⅲ)通過分析正確得出l(A)的表達式,以及從A0如何得到A1,A2……,以此類推可得到Ak.【詳解】(Ⅰ)答案不唯一,如圖所示數(shù)表符合要求.(Ⅱ)不存在AS(9,9),使得l(A)=0,證明如下:假如存在,使得
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