湖北省荊門市京山市2023-2024學年八年級下學期期中數(shù)學試題【含答案解析】

湖北省荊門市京山市2023-2024學年八年級下學期期中數(shù)學試題（本試題卷共6頁，滿分120分，考試時間120分鐘）一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）1.若在實數(shù)范圍內有意義，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，求解即可．【詳解】解：∵在實數(shù)范圍內有意義，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的性質以及有意義的條件是解題的關鍵．2.下列各組中的三條線段，能組成直角三角形的是（）A.3，3，5 B.4，5，6 C.6，8，10 D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理進行計算，逐一判斷即可解答，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．【詳解】解：A、，不能構成直角三角形，故選項不符合題意；B、，不能構成直角三角形，故選項不符合題意；C、，能構成直角三角形，故選項符合題意；D、，不能構成直角三角形，故選項不符合題意；故選：C．3.若平行四邊形中兩個內角的度數(shù)比為，則其中較小的內角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質，掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．根據(jù)平行四邊形的性質可得，，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，如圖所示，四邊形為平行四邊形，∴，，∴，∴較小的內角為，

故選：

．4.化簡的結果是()A.5 B.-5 C.±5 D.25【答案】A【解析】【分析】根據(jù)開平方的運算法則計算即可．【詳解】解：==5，

故選：A．【點睛】本題考查了開平方運算，關鍵是掌握基本的運算法則．5.矩形ABCD中,AB=3，兩條對角線AC、BD所夾的鈍角為120°，則對角線BD的長為（）A.6 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質推出AC=BD，OA=OC=AC，OD=OB=BD，求出OA=OB，求出等邊三角形AOB，推出OB=AB=3，即可求出答案．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=AC，OD=OB=BD，∴OA=OB，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OB=AB=3，∵OB=BD，∴BD=6．故選A．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質和判定，矩形的性質的應用，本題具有一定的代表性，是一道比較好的題目．6.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了最簡二次根式的判斷，掌握最簡二次根式滿足的條件是解題關鍵．根據(jù)最簡二次根式的被開方數(shù)是整數(shù)或整式，且不含能開得盡方的因數(shù)或因式，逐一判斷即可．【詳解】解：A、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；B、被開方數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；C、二次根式在分母位置，不是最簡二次根式，不符合題意；D、是最簡二次根式，符合題意，故選：D7.如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD平分∠BAC，AD⊥BF于點D，點E為BC的中點，連接DE，則DE的長是（）A.0.5 B.0.75 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】先證明再證明是的中位線，從而可得結論.【詳解】解：AD平分∠BAC，AD⊥BF于點D，AB＝3，AC＝5，點E為BC的中點，故選：【點睛】本題考查的是三角形全等的判定與性質，三角形中位線的性質，掌握三角形的中位線定理是解題的關鍵.8.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若ab=8，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長為A.9 B.6 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長為：，根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出小正方形的邊長．【詳解】解：由題意可知：中間小正方形的邊長為：，每一個直角三角形的面積為：，，，或（舍去），故選：D．【點睛】本題考查勾股定理，解題的關鍵是熟練運用勾股定理以及完全平方公式，本題屬于基礎題型．9.四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，給出下列四個條件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD從中任選兩個條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有（）A.3種 B.4種 C.5種 D.6種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題目所給條件，利用平行四邊形的判定方法分別進行分析即可．【詳解】①②組合可根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；①③可證明△ADO≌△CBO，進而得到AD=CB，可利用一組對邊平行且相等四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；①④可證明△ADO≌△CBO，進而得到AD=CB，可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；③④組合可根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形．故選B．10.如圖，將矩形沿折疊后點與重合.若原矩形的長寬之比為,則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質得到ED′＝BE，∠D′EF＝∠BEF，根據(jù)平行線的性質得到∠D′EF＝∠EFB，求得BE＝BF，設AD′＝BC′＝3x，AB＝x，根據(jù)勾股定理得到BE＝x，于是得到結論．【詳解】如圖，將矩形ABCD沿EF折疊后點D與B重合，∴ED′＝BE，∠D′EF＝∠BEF，∵AD′∥BC′，∴∠D′EF＝∠EFB，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF，∵原矩形的長寬之比為3：1，∴設AD′＝BC′＝3x，AB＝x，∴AE＝3x?ED′＝3x?BE，∵AE2＋AB2＝BE2，∴（3x?BE）2＋x2＝BE2，解得：BE＝x，∴BF＝BE＝x，AE＝3x?BE=x∴＝=，故選：D．【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11.寫出一個比3小的正無理數(shù)______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查了實數(shù)大小的比較，根據(jù)實數(shù)大小比較法則計算即可，解題的關鍵是理解正無理數(shù)的概念．【詳解】解：是無理數(shù)，且，故答案為：（答案不唯一）．12.如圖，在菱形中，，則菱形的周長是_____________.【答案】16【解析】【分析】由四邊形是菱形，即可得，又由，即可證得是等邊三角形，即可求得菱形的邊長，繼而求得菱形的周長．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴菱形的周長是：．故答案為：16．【點睛】本題考查了菱形性質，解題關鍵是得出是等邊三角形，求出菱形的邊長．13.如圖，從一個大正方形裁去面積為15cm2和24cm2的兩個小正方形，則留下的部分的面積為____________cm2.【答案】【解析】【分析】先求出兩個小正方形的邊長，再根據(jù)長方形的面積公式即可得．【詳解】由題意得，兩個小正方形的邊長分別為，由長方形的面積公式得：留下部分的面積為故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的幾何應用，依據(jù)正方形的面積求出長方形的長與寬是解題關鍵．14.如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面積依次為4、6、18，則正方形B的面積為__________．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的幾何意義：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E解得即可．【詳解】解：由題意：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E，∴S正方形A+S正方形B=S正方形D-S正方形C，∵正方形A、C、D的面積依次為4、6、18，∴S正方形B+4=18-6，∴S正方形B=8．故答案為：8．【點睛】本題考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的幾何意義，知道直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．15.如圖，在中，是的中點，作，垂足在線段上，連接、，則下列結論中：①；②；③；④．一定成立的是______．（只填序號）．【答案】①②④【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質，即可判斷①結論；延長、交于點，證明，得到，再根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，即可判斷②結論；根據(jù)等高三角形面積比等于底邊之比，即可判斷③結論；設，根據(jù)等邊對等角的性質，三角形內角和定理表示出各角，即可判斷④結論．【詳解】解：在中，是的中點，，，，,,，①結論成立；如圖，延長、交于點，，，在和中，，，，,，，，，在中，點是斜邊的中點，，②結論成立；，,，,，，③結論不成立；設，，,，，，，，，④結論成立；一定成立的是①②④，故答案為：①②④【點睛】本題考查了平行四邊形性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，直角三角形的性質，等高三角形的面積，三角形內角和定理等知識，熟練掌握相關知識點，找出角度之間的數(shù)量關系是解題關鍵．三、解答題（本題共8小題，共72分）16.計算【答案】（1）；（2）15【解析】【分析】（1）先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后合并即可；

（2）根據(jù)二次根式的乘除法則運算．【詳解】解：（1）原式==；（2）原式===15【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．17.如圖，小明為了測得學校旗桿的高度，他先將旗繩拉直，繩尾端正好落在地面點，此時，點到桿底點距離，他又將旗繩拉直到桿底部點，此時，繩子多出一截，量得多出部分長度為，請你幫他計算出旗桿的高度．【答案】旗桿的高度為米．【解析】【分析】此題主要考查學生對勾股定理在實際生活中的運用能力，根據(jù)題意列出已知條件，再根據(jù)勾股定理求得旗桿的高度，從實際問題中整理出直角三角形模型是解題的關鍵．【詳解】解：設旗桿的高度為米，則，在中，由勾股定理可得：，整理得：，解得：，答：旗桿的高度為米．18.如圖，在中，點、分別是、的中點．求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的性質定理和判定定理是解題的關鍵．在中，根據(jù)平行四邊形的性質可得，，根據(jù)中點的定義得出，根據(jù)平行四邊形的判定可證四邊形是平行四邊形．【詳解】證明：在中，，．點，分別是，的中點，，，，四邊形是平行四邊形．19.如圖，菱形花壇的邊長為，，沿著菱形的對角線修建兩條小路和．（1）求和的長；（2）求菱形花壇的面積．【答案】（1）；（2）菱形花壇的面積是．【解析】【分析】本題考查了菱形的性質，勾股定理，直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半，熟記各性質是解題的關鍵．（1）根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分可得菱形的對角線平分一組對角線可得根據(jù)直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半可得再利用勾股定理列式求出，然后求出即可；（2）根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半列式計算即可得解．【小問1詳解】解：∵花壇是菱形，，中，，．【小問2詳解】解：∴菱形花壇的面積是．20.如圖，每個小正方形的邊長都為1（1）求四邊形面積與周長；（2）是直角嗎？【答案】（1），（2）是，理由如下【解析】【分析】（1）用四邊形所在的矩形減去周圍三角形面積得出答案，利用勾股定理可以得出四邊形的周長；（2）連接，求得的長，根據(jù)、、三邊長之間的關系可得出結果．【小問1詳解】解：四邊形的面積為：，根據(jù)勾股定理可得：，，，，四邊形的周長為：；小問2詳解】解：是直角，理由如下：連接如圖所示：由（1）可得，，根據(jù)勾股定理得，可以得到，故是直角．【點睛】本題考查了勾股定理以及勾股定理得逆定理，正確應用勾股定理是解題的關鍵．21.已知正六邊形，請用無刻度直尺畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示．（1）在圖1中，畫出一個以BD為邊的等邊三角形；（2）在圖2中，畫出一個以CD為邊的矩形；（3）在圖3中，畫出一個以BC為邊的菱形；（4）在圖4中，畫出一個以AB為邊的平行四邊形（非矩形、非菱形）．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；（4）見解析．【解析】【分析】本題考查了作圖-復雜作圖，正六邊形的性質，掌握正六邊形的性質是解題的關鍵．（1）連接，利用正六形的性質可得為等邊三角形；（2）連接，利用正六形的性質可得四邊形為矩形；（3）連接交于點，四邊形為菱形；（4）延長交于點，連接，四邊形為平行四邊形．【小問1詳解】解：連接，如圖1，在正六邊形中，，，∴，∴，∴為等邊三角形，∴就是所求的等邊三角形．【小問2詳解】解：連接，如圖2，在正六邊形中，，，，∴，∴，同理可得；，∴，∴，∴四邊形為矩形，∴四邊形為所求的矩形．【小問3詳解】解：連接交于點，如圖3，∵多邊形正六邊形，∴，∴四邊形為平行四邊形，又∵∴四邊形為菱形，∴四邊形為所求的菱形．【小問4詳解】解：延長交于點，連接，如圖：由（2）知，正六邊形中，，即，∴四邊形為平行四邊形，∴四邊形為所求的平行四邊形．22.閱讀材料：我國南宋數(shù)學家秦九韶（約1202—1261）在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術”，即已知三角形的三邊長，求它的面積，用現(xiàn)代式子表示即為：S=．①（其中為三角形的面積，a、b、c為三角形的三邊長）．而古希臘的幾何學家海倫（Heron，約公元50年），在《度量》中也有求三角形面積的“海倫公式”：②（其中S為三角形的面積，a、b、c為三角形的三邊長，為半周長，即）．我國宋代數(shù)學家秦九韶提出的“三斜求積術”與這個公式基本一致，所以這個公式也叫“海倫—秦九韶公式”．解答問題：（1）若在中，已知，試分別運用公式①和公式②計算的面積；（2）請你寫出由公式①推導出公式②的過程；（3）計算（1）中的BC邊上的高．【答案】（1）的面積為；（2）見解析；（3）的邊上的高為．【解析】【分析】本題考查了二次根式的性質與化簡，三角形面積的海倫公式的用法，培養(yǎng)了學生的推理和計算能力．（1）代入計算即可；（2）需要在括號內都乘以4，括號外再乘，保持等式不變，構成完全平方公式，再進行計算；（3）設的邊上的高為，得到，即可求解．【小問1詳解】解：在中，，即，∴公式①：，公式②：，．【小問2詳解】證明：，∵，∴原式，∴．【小問3詳解】解：設的邊上的高為，∴，∵，∴，∴的邊上的高為．23.已知和都是等腰直角三角形，的頂點在的斜邊上．（1）如圖1，連接．①請你探究與之間的關系，并證明你的結論；②求證：．（2）如圖2，若，點F是的中點，求的長．【答案】（1）①，理由見解析；②證明見解析；（2）．【解析】【分析】本題是考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理等知識，添加恰當輔助線是本題的關鍵．（1）先得到，再證明即可得出答案；由可證，可得，由勾股定理可求解；（2）由勾股定理可求的長，由等腰直角三角形的性質可得可求的長，由勾股定理可求的長．【小問1詳解】解：①，理