高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點(diǎn)精講+精練(人教A版2019必修第二冊(cè))第03練平面向量的數(shù)乘運(yùn)算(原卷版+解析)

第3練平面向量數(shù)乘運(yùn)算eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,關(guān))eq\o\ac(○,練)一．選擇題1．設(shè)為非零向量，則（）．A． B． C． D．2．化簡(jiǎn)的結(jié)果是A． B． C． D．3．若，化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A． B． C． D．4．若，，均為任意向量，，則下列等式不一定成立的是（）A． B．C． D．5．對(duì)實(shí)數(shù)、和向量，，，正確的是（）A． B．C．若，則 D．若，則6．設(shè)是非零向量，是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A．與的方向相反 B．與的方向相同C． D．7．設(shè)是非零向量，是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A．與的方向相反B．與的方向相同 C． D．若，則8．下列結(jié)論正確的是（）A．若，則或B．若，，則C．若，，則或D．若，其中，則9．若，則實(shí)數(shù)的值是A． B． C． D．10．設(shè)，分別為兩邊，的中點(diǎn)，則A． B． C． D．11．在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則A． B． C． D．12．在中，是的中點(diǎn)，則A． B． C． D．13．在中，點(diǎn)滿足，則A． B． C． D．14．已知平行四邊形，若，，且交于點(diǎn)，則A． B． C． D．15．已知是平面上的兩個(gè)不共線向量，向量，．若，則實(shí)數(shù)（）A．6 B． C．3 D．16．在所在平面內(nèi)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且，是的中點(diǎn)．設(shè)，，則A． B． C． D．17．在中為邊的中點(diǎn)，則A． B． C． D．18．在中，為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，若，則的值為A． B． C． D．19．已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則A． B． C． D．20．在中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，并且，則A． B． C． D．21．在平行四邊形中，，，若是的中點(diǎn)，則A． B． C． D．22．如圖，在中，，，和相交于點(diǎn)，則向量等于A． B． C． D．23．如圖在梯形中，，，設(shè)，，則A． B． C． D．24．在等腰梯形中，，為的中點(diǎn)，則A． B． C． D．25．如圖，平行四邊形中，分別是的中點(diǎn)，若，，則A． B． C． D．26．在中，，，若，則等于A． B． C． D．27．如圖四邊形為平行四邊形，，若，則的值為A．1 B． C． D．28．如圖，中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，與交于點(diǎn)，，則A． B． C． D．29．如圖，四邊形是平行四邊形，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，與交于點(diǎn)，若，則A． B． C． D．30．命題及點(diǎn)滿足；命題是的重心，則是的A．充分不必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件31．已知，是不共面向量，設(shè)，，，，若的面積為3，則的面積為A．4 B．5 C．6 D．832．如圖，設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，且，，，則的面積與的面積之比等于A． B． C． D．33．已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則A． B． C． D．34．若點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則A． B． C． D．35．已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，為中點(diǎn)，且，設(shè)，，的面積分別為，，，則A． B． C． D．36．已知是內(nèi)一點(diǎn)，，記的面積為，的面積為，則A．3 B．4 C．6 D．837．設(shè)點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)．且，則A． B． C． D．38．設(shè)點(diǎn)在內(nèi)部，且有，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，設(shè)與的面積分別為、，則A． B． C． D．二．多選題39．已知實(shí)數(shù)，和向量，，下列說(shuō)法中正確的是A． B． C．若，則 D．若，則40．若點(diǎn)是線段外一點(diǎn)，點(diǎn)是平面上任意一點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的有A．若且，則點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上 B．若且，則點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上 C．若，則點(diǎn)在外 D．若，則點(diǎn)在內(nèi)41．設(shè)點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是A．若，則點(diǎn)是邊的中點(diǎn) B．若，則點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上 C．若，則點(diǎn)是的重心 D．若，且，則的面積是面積的三．填空題42．在平行四邊形中，是對(duì)角線上的一點(diǎn)，且，設(shè)，，則．（用，表示）43．在中，已知點(diǎn)滿足，若，則．44．已知為的重心，且，則．45．已知，則．46．在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，若，則．47．已知是內(nèi)部一點(diǎn)，且，則的面積與的面積之比為．48．已知、、是平面內(nèi)任意三點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若，則．49．設(shè)向量，不平行，若向量與平行，則實(shí)數(shù)的值為．50．已知向量，不共線，且，則___________.51．設(shè)是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，，，，．若A，，三點(diǎn)共線，則的最小值是___________.52．在中，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），若，則的最小值為______．53．已知非零向量不共線，若，，，且，，三點(diǎn)共線，則___________.四．解答題54．如圖所示平行四邊形中，設(shè)向量，，又，，用，表示、、．55．設(shè)，分別是梯形的對(duì)角線與的中點(diǎn)（1）試用向量證明：；（2）若，求的值．56．如圖所示，在中，，，與相交于點(diǎn)，設(shè)，．（1）試用向量，表示；（2）過(guò)點(diǎn)作直線，分別交線段，于點(diǎn)，．記，，求證：為定值．57．如圖，已知中，為的中點(diǎn)，，，交于點(diǎn)，設(shè)，．（1）用，分別表示向量，；（2）若，求實(shí)數(shù)的值．58．如圖，在中，為的四等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)，，分別為，的三等分點(diǎn)，且分別靠近，兩點(diǎn)，設(shè)，．（1）試用，表示，，；（2）證明：，，三點(diǎn)共線．第3練平面向量數(shù)乘運(yùn)算eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,關(guān))eq\o\ac(○,練)一．選擇題1．設(shè)為非零向量，則（）．A． B． C． D．【解析】，故答案為：A.2．化簡(jiǎn)的結(jié)果是A． B． C． D．【解析】原式等于．故選：．3．若，化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A． B． C． D．【解析】，故選：A.4．若，，均為任意向量，，則下列等式不一定成立的是（）A． B．C． D．【解析】選項(xiàng)A是向量加法的結(jié)合律，正確；選項(xiàng)B是向量數(shù)量積運(yùn)算對(duì)加法的分配律，正確；選項(xiàng)C是數(shù)乘運(yùn)算對(duì)向量加法的分配律，正確；選項(xiàng)D．根據(jù)數(shù)量積和數(shù)乘定義，等式左邊是與共線的向量，右邊是與共線的向量，兩者一般不可能相等，也即向量的數(shù)量積運(yùn)算沒有結(jié)合律存在．D錯(cuò)．故選：D．5．對(duì)實(shí)數(shù)、和向量，，，正確的是（）A． B．C．若，則 D．若，則【解析】對(duì)于A：由數(shù)乘向量的性質(zhì)可知：，故A正確；對(duì)于B：表示與平行的某個(gè)向量，表示與平行的某個(gè)向量，顯然不一定相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)或時(shí)，，顯然成立，但不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，成立，但不一定成立，故D錯(cuò)誤；故選：．6．設(shè)是非零向量，是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A．與的方向相反 B．與的方向相同C． D．【解析】對(duì)于A，若，則與的方向相同，A錯(cuò)；對(duì)于B，，則與的方向相同，B對(duì)；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)；對(duì)于D，是向量，而表示長(zhǎng)度，兩者不能比較大小，D錯(cuò).故選：B.7．設(shè)是非零向量，是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A．與的方向相反B．與的方向相同 C． D．若，則【解析】對(duì)于A，當(dāng)λ＞0時(shí)，與的方向相同，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，而，故與的方向相同，B正確；對(duì)于C，，由于|λ|的大小不確定，故與的大小關(guān)系不確定，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，向量不能比較大小，故D錯(cuò)誤.故選：B.8．下列結(jié)論正確的是（）A．若，則或B．若，，則C．若，，則或D．若，其中，則【解析】時(shí)，與可能不共線，如，，滿足，但沒有或成立，A錯(cuò)；，，若，則與可能不共線，B錯(cuò)；由向量數(shù)乘定義知C正確；時(shí)，，但與可以是任意向量，不一定相等，D錯(cuò)．故選：C．9．若，則實(shí)數(shù)的值是A． B． C． D．【解析】由題意得，結(jié)合圖示可得：所以，故選：．10．設(shè)，分別為兩邊，的中點(diǎn)，則A． B． C． D．【解析】因?yàn)?，分別為兩邊，的中點(diǎn)，所以．故選：．11．在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則A． B． C． D．【解析】由題意知．故選：．12．在中，是的中點(diǎn)，則A． B． C． D．【解析】在中，是的中點(diǎn)，，故選：．13．在中，點(diǎn)滿足，則A． B． C． D．【解析】．故選：．14．已知平行四邊形，若，，且交于點(diǎn)，則A． B． C． D．【解析】因?yàn)樵谏希源嬖趯?shí)數(shù)，使得．在平行四邊形中，，所以．因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，解得．故選：．15．已知是平面上的兩個(gè)不共線向量，向量，．若，則實(shí)數(shù)（）A．6 B． C．3 D．【解析】，．向量，，．．是平面上的兩個(gè)不共線向量，，．故選：B16．在所在平面內(nèi)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且，是的中點(diǎn)．設(shè)，，則A． B． C． D．【解析】因?yàn)?，所以，則．故選：．17．在中為邊的中點(diǎn)，則A． B． C． D．【解析】因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，則．故選：．18．在中，為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，若，則的值為A． B． C． D．【解析】如圖，為的中點(diǎn)，，且為線段上一點(diǎn)，，解得．故選：．19．已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則A． B． C． D．【解析】因?yàn)闉樗谄矫鎯?nèi)一點(diǎn)，，所以．故選：．20．在中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，并且，則A． B． C． D．【解析】如圖，為的中點(diǎn)，，又，，．故選：．21．在平行四邊形中，，，若是的中點(diǎn)，則A． B． C． D．【解析】如圖所示，平行四邊形中，，，則，又是的中點(diǎn)，則．故選：．22．如圖，在中，，，和相交于點(diǎn)，則向量等于A． B． C． D．【解析】設(shè)，，．，，則．，，，．故選：．23．如圖在梯形中，，，設(shè)，，則A． B． C． D．【解析】取中點(diǎn)，由可知，四邊形為平行四邊形，則．故選：．24．在等腰梯形中，，為的中點(diǎn)，則A． B． C． D．【解析】如圖所示，等腰梯形中，，，；又為的中點(diǎn)，，又，；；．故選：．25．如圖，平行四邊形中，分別是的中點(diǎn)，若，，則A． B． C． D．【解析】平行四邊形中，分別是的中點(diǎn)，，，故選：．26．在中，，，若，則等于A． B． C． D．【解析】在中，，，，，，，．故選：．27．如圖四邊形為平行四邊形，，若，則的值為A．1 B． C． D．【解析】由題意，可知：在中，，，，又，綜上兩式，可知：．故選：．28．如圖，中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，與交于點(diǎn)，，則A． B． C． D．【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，又，則，所以，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，則，解得．故選：．29．如圖，四邊形是平行四邊形，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，與交于點(diǎn)，若，則A． B． C． D．【解析】連接，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，則，解得．故選：．30．命題及點(diǎn)滿足；命題是的重心，則是的A．充分不必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【解析】如圖：充分性：取的中點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)至，使，則四邊形為平行四邊形，．又，，即、、三點(diǎn)共線，且為三等分點(diǎn)，故為的重心；必要性：設(shè)是的重心，則是的三邊中線的交點(diǎn)，，又，．命題成立，故必要性成立．綜上，則是的充要條件．故選：．31．已知，是不共面向量，設(shè)，，，，若的面積為3，則的面積為A．4 B．5 C．6 D．8【解析】因?yàn)?，，，，所以，，所以，所以且，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，做，垂足為，則，則，，所以，所以，，三點(diǎn)共線且，所以，，所以，所以的面積為8．故選：．32．如圖，設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，且，，，則的面積與的面積之比等于A． B． C． D．【解析】，，，四邊形為平行四邊形，，，的面積與的面積之比為：．故選：．33．已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則A． B． C． D．【解析】根據(jù)題意，如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則有，又由，則有，是線段的中點(diǎn)，則到的距離是到距離的，故，故選：．34．若點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則A． B． C． D．【解析】由題意知點(diǎn)是的重心，如圖所示：作，，垂足分別為、，，是重心，，與同底，．故選：．35．已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，為中點(diǎn)，且，設(shè)，，的面積分別為，，，則A． B． C． D．【解析】因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，代入條件有，即，所以，，三點(diǎn)共線，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，，兩式相減，得．故選：．36．已知是內(nèi)一點(diǎn)，，記的面積為，的面積為，則A．3 B．4 C．6 D．8【解析】因?yàn)?，所以，設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，如圖所示：則有，，所以，則，，三點(diǎn)共線，且，所以，所以點(diǎn)到的高等于點(diǎn)到的高的4倍（相似三角形的性質(zhì)），則，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，即，所以，故選：．37．設(shè)點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)．且，則A． B． C． D．【解析】，，設(shè)為邊的中點(diǎn)，則：，如圖，，，三點(diǎn)共線，，．故選：．38．設(shè)點(diǎn)在內(nèi)部，且有，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，設(shè)與的面積分別為、，則A． B． C． D．【解析】如圖，取的中點(diǎn)為，，，，、、三點(diǎn)共線且，，，故選：．二．多選題39．已知實(shí)數(shù)，和向量，，下列說(shuō)法中正確的是A． B． C．若，則 D．若，則【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則可知，選項(xiàng)，正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，但向量，不一定相等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)正確．故選：．40．若點(diǎn)是線段外一點(diǎn)，點(diǎn)是平面上任意一點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的有A．若且，則點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上 B．若且，則點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上 C．若，則點(diǎn)在外 D．若，則點(diǎn)在內(nèi)【解析】因?yàn)槿羟?，故即又則點(diǎn)在線段或其反向延長(zhǎng)線上，錯(cuò)誤；若且，同上可得而則點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，正確；若，，同上可得，當(dāng)時(shí)，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可以看出則點(diǎn)在外，正確；若，不防令，則，很顯然此時(shí)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，不在內(nèi)，錯(cuò)誤．故選：．41．設(shè)點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是A．若，則點(diǎn)是邊的中點(diǎn) B．若，則點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上 C．若，則點(diǎn)是的重心 D．若，且，則的面積是面積的【解析】若，則點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，故正確；若，即有，即，則點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，故錯(cuò)誤；若，即，則點(diǎn)是的重心，故正確；若，且，可得，設(shè)，由右圖可得為的中點(diǎn)，則的面積是面積的，故正確．故選：．三．填空題42．在平行四邊形中，是對(duì)角線上的一點(diǎn)，且，設(shè)，，則．（用，表示）【解析】，故答案為：，43．在中，已知點(diǎn)滿足，若，則．【解析】，，故答案為：．44．已知為的重心，且，則．【解析】取中點(diǎn)，則，為的重心，，，故．故答案為：．45．已知，則．【解析】由得得，即，，得，．故答案為：．46．在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，若，則．【解析】由題意，，，，．故答案為：．47．已知是內(nèi)部一點(diǎn)，且，則的面積與的面積之比為．【解析】根據(jù)題意，設(shè)在邊上，且，則，又由，變形可得：，則，則是的中點(diǎn)，故到邊的距離為到邊距離的，則的面積與的面積之比為，故答案為：．48．已知、、是平面內(nèi)任意三點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若，則．【解析】點(diǎn)在直線上，且，，；故答案為：．49．設(shè)向量，不平行，若向量與平行，則實(shí)數(shù)的值為．【解析】向量與平行，存在實(shí)數(shù)使得，化為，向量，不平行，，解得．故答案為：．50．已知向量，不共線，且，則___________.【解析】因?yàn)橄蛄?，不共線，且，所以有，則解得.故答案為：51．設(shè)是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，，，，．若A，，三點(diǎn)共線，則的最小值是_________