高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))9.10統(tǒng)計(jì)概率和其他專題綜合(精練)(原卷版+解析)

9.10統(tǒng)計(jì)概率和其他專題綜合【題型解讀】【題型一統(tǒng)計(jì)概率和函數(shù)綜合】1.(2023·華師大二附中高三練習(xí)）在疫情防控常態(tài)化的背景下，山東省政府各部門(mén)在保安全，保穩(wěn)定的前提下有序恢復(fù)生產(chǎn)，生活和工作秩序，五一期間，文旅部門(mén)在落實(shí)防控舉措的同時(shí)，推出了多款套票文旅產(chǎn)品，得到消費(fèi)者的積極回應(yīng)．下面是文旅部門(mén)在某地區(qū)推出六款不同價(jià)位的旅游套票，每款的套票價(jià)格x（單位：元）與購(gòu)買人數(shù)y（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)如下表：旅游類別城市展館科技游鄉(xiāng)村特色游齊魯紅色游登山套票游園套票觀海套票套票價(jià)格x（元）394958677786購(gòu)買數(shù)量y（萬(wàn)人）16.718.720.622.524.125.6在分析數(shù)據(jù)、描點(diǎn)繪圖中，發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)集中在一條直線附近，其中附：①可能用到的數(shù)據(jù)；．②對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線ω=bv+（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程；（2）按照文旅部門(mén)的指標(biāo)測(cè)定，當(dāng)購(gòu)買數(shù)量y與套票價(jià)格x的比在區(qū)間上時(shí)，該套票受消費(fèi)者的歡迎程度更高，可以被認(rèn)定為“熱門(mén)套票”，現(xiàn)有三位同學(xué)從以上六款旅游套票中，購(gòu)買不同的三款各自旅游．記三人中購(gòu)買“熱門(mén)套票”的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望．2.2020年10月16日，是第40個(gè)世界糧食日.中國(guó)工程院院士袁隆平海水稻團(tuán)隊(duì)迎來(lái)了海水稻的測(cè)產(chǎn)收割，其中寧夏石嘴山海水稻示范種植基地YC-801測(cè)產(chǎn)，畝產(chǎn)超過(guò)648.5公斤，通過(guò)推廣種植海水稻，實(shí)現(xiàn)億畝荒灘變糧倉(cāng)，大大提高了當(dāng)?shù)鼐用袷杖?某企業(yè)引進(jìn)一條先進(jìn)食品生產(chǎn)線，以海水稻為原料進(jìn)行深加工，發(fā)明了一種新產(chǎn)品，若該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值為，其質(zhì)量指標(biāo)等級(jí)劃分如下表：質(zhì)量指標(biāo)值質(zhì)量指標(biāo)等級(jí)良好優(yōu)秀良好合格廢品為了解該產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)效益并及時(shí)調(diào)整生產(chǎn)線，該企業(yè)先進(jìn)行試生產(chǎn).現(xiàn)從試生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000件，將其質(zhì)量指標(biāo)值的數(shù)據(jù)作為樣本，繪制如下頻率分布直方圖：（1）若將頻率作為概率，從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，記“抽出的產(chǎn)品中至少有1件不是廢品”為事件，求事件發(fā)生的概率；（2）若從質(zhì)量指標(biāo)值的樣本中利用分層抽樣的方法抽取7件產(chǎn)品，然后從這7件產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，求質(zhì)量指標(biāo)值的件數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）若每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與利潤(rùn)（單位：元）的關(guān)系如下表：質(zhì)量指標(biāo)值利潤(rùn)（元）試分析生產(chǎn)該產(chǎn)品能否盈利？若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若能，試確定為何值時(shí)，每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)達(dá)到最大（參考數(shù)值：，）.3.(2023·貴州省思南中學(xué)高三月考）某地區(qū)進(jìn)行疾病普查，為此要檢驗(yàn)每一人的血液，如果當(dāng)?shù)赜腥耍糁饌€(gè)檢驗(yàn)就需要檢驗(yàn)次，為了減少檢驗(yàn)的工作量，我們把受檢驗(yàn)者分組，假設(shè)每組有個(gè)人，把這個(gè)個(gè)人的血液混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這個(gè)人的血液全為陰性，因而這個(gè)人只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果為陽(yáng)性，為了明確這個(gè)個(gè)人中究竟是哪幾個(gè)人為陽(yáng)性，就要對(duì)這個(gè)人再逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，這時(shí)個(gè)人的檢驗(yàn)次數(shù)為次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的人群中，每個(gè)人的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性是獨(dú)立的，且每個(gè)人是陽(yáng)性結(jié)果的概率為.（Ⅰ）為熟悉檢驗(yàn)流程，先對(duì)3個(gè)人進(jìn)行逐個(gè)檢驗(yàn)，若，求3人中恰好有1人檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的概率；（Ⅱ）設(shè)為個(gè)人一組混合檢驗(yàn)時(shí)每個(gè)人的血需要檢驗(yàn)的次數(shù).①當(dāng)，時(shí)，求的分布列；②是運(yùn)用統(tǒng)計(jì)概率的相關(guān)知識(shí)，求當(dāng)和滿足什么關(guān)系時(shí)，用分組的辦法能減少檢驗(yàn)次數(shù).4．(2023·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）某蔬菜批發(fā)商分別在甲、乙兩個(gè)市場(chǎng)銷售某種蔬菜（兩個(gè)市場(chǎng)的銷售互不影響），已知該蔬菜每售出1噸獲利500元，未售出的蔬菜降價(jià)處理，每噸虧損100元．現(xiàn)分別統(tǒng)計(jì)該蔬菜在甲、乙兩個(gè)市場(chǎng)以往100個(gè)周期的市場(chǎng)需求量，制成頻數(shù)分布條形圖如下：以市場(chǎng)需求量的頻率代替需求量的概率．設(shè)批發(fā)商在下個(gè)銷售周期購(gòu)進(jìn)噸該蔬菜，在甲、乙兩個(gè)市場(chǎng)同時(shí)銷售，以（單位：噸）表示下個(gè)銷售周期兩個(gè)市場(chǎng)的總需求量，（單位：元）表示下個(gè)銷售周期兩個(gè)市場(chǎng)的銷售總利潤(rùn)．（1）求變量概率分布列；（2）當(dāng)時(shí)，求與的函數(shù)解析式，并估計(jì)銷售利潤(rùn)不少于8900元的概率；（3）以銷售利潤(rùn)的期望作為決策的依據(jù)，判斷與應(yīng)選用哪一個(gè)．【題型二統(tǒng)計(jì)概率和導(dǎo)數(shù)綜合】1.(2023·四川模擬）甲?乙兩人參加一個(gè)游戲，該游戲設(shè)有獎(jiǎng)金256元，誰(shuí)先贏滿5局，誰(shuí)便贏得全部的獎(jiǎng)金，已知每局游戲乙贏的概率為，甲贏的概率為，每局游戲相互獨(dú)立，在乙贏了3局甲贏了1局的情況下，游戲設(shè)備出現(xiàn)了故障，游戲被迫終止，則獎(jiǎng)金應(yīng)該如何分配才為合理？有專家提出如下的獎(jiǎng)金分配方案：如果出現(xiàn)無(wú)人先贏5局且游戲意外終止的情況，則甲?乙按照游戲再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金.(1)若，則乙應(yīng)該得多少獎(jiǎng)金；(2)記事件A為“游戲繼續(xù)進(jìn)行下去甲獲得全部獎(jiǎng)金”，試求當(dāng)游戲繼續(xù)進(jìn)行下去，甲獲得全部獎(jiǎng)金的概率，并判斷當(dāng)時(shí)，事件A是否為小概率事件，并說(shuō)明理由.（注：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于，則稱隨機(jī)事件為小概率事件）2.(2023·武昌模擬）為落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊(duì)員來(lái)自3個(gè)不同校區(qū)，三個(gè)校區(qū)的隊(duì)員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行11場(chǎng)比賽（每場(chǎng)比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以或取勝的隊(duì)員積3分，失敗的隊(duì)員積0分；而在比賽中以取勝的隊(duì)員積2分，失敗的隊(duì)員的隊(duì)員積1分.已知第10輪張三對(duì)抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為.（1）比賽結(jié)束后冠亞軍(沒(méi)有并列)恰好來(lái)自不同校區(qū)的概率是多少？（2）第10輪比賽中，記張三取勝的概率為.①求出的最大值點(diǎn)；②若以作為的值，這輪比賽張三所得積分為，求的分布列及期望.3．(2023·石家莊模擬）中國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局2019年9月30日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2019年9月中國(guó)制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)為49.8%，反映出中國(guó)制造業(yè)擴(kuò)張步伐有所加快.以新能源汽車?機(jī)器人?增材制造?醫(yī)療設(shè)備?高鐵?電力裝備?船舶?無(wú)人機(jī)等為代表的高端制造業(yè)突飛猛進(jìn)，則進(jìn)一步體現(xiàn)了中國(guó)制造目前的跨越式發(fā)展.已知某精密制造企業(yè)根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，得到生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量差服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品稱為一等品，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件，測(cè)得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（1）根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測(cè)數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，記質(zhì)量差，求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率P；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)（2）假如企業(yè)包裝時(shí)要求把2件優(yōu)等品和(，且)件一等品裝在同一個(gè)箱子中，質(zhì)檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級(jí)相同則該箱產(chǎn)品記為，否則該箱產(chǎn)品記為B.①試用含的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為的概率；②設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為的概率為，求當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，并求出最大值.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則：，，.4.(2023·臨沂二模）隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，市場(chǎng)石料需求急增．西部某縣有豐富的優(yōu)質(zhì)石料，當(dāng)?shù)卣疀Q定有序開(kāi)發(fā)本縣石料資源．因建立石料廠會(huì)破壞生態(tài)，該縣決定石料開(kāi)發(fā)走“開(kāi)發(fā)治理結(jié)合，人類生態(tài)友好”的路線.當(dāng)?shù)卣?qǐng)國(guó)家環(huán)保機(jī)構(gòu)每年對(duì)該縣與石料開(kāi)發(fā)相關(guān)的生態(tài)（以下簡(jiǎn)稱生態(tài)）進(jìn)行評(píng)估．若生態(tài)開(kāi)始變差，則下一年石料廠將停產(chǎn)（本問(wèn)題中，時(shí)間以整數(shù)年為單位），生態(tài)友好后復(fù)產(chǎn)．該縣在建石料廠之初投入巨資進(jìn)行與之有關(guān)的生態(tài)建設(shè)，考慮到可持續(xù)發(fā)展，這種生態(tài)投入（以下簡(jiǎn)稱生態(tài)投入）將逐年減少（a是常數(shù)，）億元．該縣從2021年起，若某年生態(tài)友好，則下一年生態(tài)變差的概率是；若某年生態(tài)變差，則下一年生態(tài)友好的概率為．模型顯示，生態(tài)變差的概率不大于0.16683時(shí)，該縣生態(tài)將不再變差，生態(tài)投入結(jié)束．（1）若2021年該縣生態(tài)變差的概率為，求該縣2022年生態(tài)友好的概率；（2）若2021年該縣生態(tài)變差概率為，生態(tài)投入是40億元，a為何值時(shí)，從2021年開(kāi)始到生態(tài)投入結(jié)束，對(duì)該縣總生態(tài)投入額最?。坎⑶蟪銎渥钚≈担绢}型三統(tǒng)計(jì)概率和數(shù)列綜合】1.(2023·唐山二模）規(guī)定抽球試驗(yàn)規(guī)則如下：盒子中初始裝有白球和紅球各一個(gè)，每次有放回的任取一個(gè)，連續(xù)取兩次，將以上過(guò)程記為一輪．如果每一輪取到的兩個(gè)球都是白球，則記該輪為成功，否則記為失?。诔槿∵^(guò)程中，如果某一輪成功，則停止；否則，在盒子中再放入一個(gè)紅球，然后接著進(jìn)行下一輪抽球，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功．(1)某人進(jìn)行該抽球試驗(yàn)時(shí)，最多進(jìn)行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其進(jìn)行抽球試驗(yàn)的輪次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)為驗(yàn)證抽球試驗(yàn)成功的概率不超過(guò)，有1000名數(shù)學(xué)愛(ài)好者獨(dú)立的進(jìn)行該抽球試驗(yàn)，記表示成功時(shí)抽球試驗(yàn)的輪次數(shù)，表示對(duì)應(yīng)的人數(shù)，部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：1234523298604020求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)成功的總?cè)藬?shù)（精確到1）；(3)證明：．附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程系數(shù)：，；參考數(shù)據(jù)：，，（其中，）．2.(2023·山東·臨沂市蘭山區(qū)教學(xué)研究室高三開(kāi)學(xué)考試）為有效防控新冠疫情從境外輸入，中國(guó)民航局根據(jù)相關(guān)法律宣布從2020年6月8日起實(shí)施航班熔斷機(jī)制，即航空公司同一航線航班，入境后核酸檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的旅客人數(shù)達(dá)到一定數(shù)量的民航局對(duì)其發(fā)出“熔斷”指令，暫停該公司該航線的運(yùn)行（達(dá)到5個(gè)暫停運(yùn)行1周，達(dá)到10個(gè)暫停運(yùn)行4周），并規(guī)定“熔斷期”的航班量不得調(diào)整用于其他航線，“熔斷期”結(jié)束后，航空公司方可恢復(fù)每周1班航班計(jì)劃.已知某國(guó)際航空公司A航線計(jì)劃每周有一次航班入境，該航線第一次航班被熔斷的概率是，且被熔斷的一次航班的下一次航班也被熔斷的概率是，未被熔斷的一次航班的下一次航班也未被熔斷的概率是.一條航線處于“熔斷期”的原計(jì)劃航班不記入該航線的航班次數(shù)，記該航空公司A航線的第n次航班被熔斷的概率為.（1）求；（2）證明：為等比數(shù)列；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和，并說(shuō)明的實(shí)際意義.3．(2023·高三課時(shí)練習(xí)）2022年2月日，中國(guó)女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國(guó)女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國(guó)女足通過(guò)點(diǎn)球大戰(zhàn)驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝日本女足，其中門(mén)將朱鈺兩度撲出日本隊(duì)員的點(diǎn)球，表現(xiàn)神勇.（1）撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門(mén)的左?中?右三個(gè)方向射門(mén)，門(mén)將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門(mén)的左?中?右三個(gè)方向來(lái)?yè)潼c(diǎn)球，而且門(mén)將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門(mén)將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)的分布列和期望；（2）好成績(jī)的取得離不開(kāi)平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲?乙?丙?丁4名女足隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開(kāi)始，等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，易知，.①試證明為等比數(shù)列；②設(shè)第次傳球之前球在乙腳下的概率為，比較與的大小.4.(2023·廣東高三模擬）某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是不是陽(yáng)性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：方式一：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)次．方式二：混合檢驗(yàn)，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)．若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這份血液樣本全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了；若檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這份血液樣本究竟哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這份血液樣本再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這份血液樣本的檢驗(yàn)次數(shù)總共為．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為．現(xiàn)取其中份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為．（1）若，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）若與干擾素計(jì)量相關(guān)，其中是不同的正整數(shù)，且，都有成立．①求證：數(shù)列是等比數(shù)列；②當(dāng)時(shí)，采用混合檢驗(yàn)方式可以使樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比采用逐份檢驗(yàn)方式的檢驗(yàn)總次數(shù)的期望值更少，求的最大值．參考數(shù)據(jù)：，．9.10統(tǒng)計(jì)概率和其他專題綜合【題型解讀】【題型一統(tǒng)計(jì)概率和函數(shù)綜合】1.(2023·華師大二附中高三練習(xí)）在疫情防控常態(tài)化的背景下，山東省政府各部門(mén)在保安全，保穩(wěn)定的前提下有序恢復(fù)生產(chǎn)，生活和工作秩序，五一期間，文旅部門(mén)在落實(shí)防控舉措的同時(shí)，推出了多款套票文旅產(chǎn)品，得到消費(fèi)者的積極回應(yīng)．下面是文旅部門(mén)在某地區(qū)推出六款不同價(jià)位的旅游套票，每款的套票價(jià)格x（單位：元）與購(gòu)買人數(shù)y（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)如下表：旅游類別城市展館科技游鄉(xiāng)村特色游齊魯紅色游登山套票游園套票觀海套票套票價(jià)格x（元）394958677786購(gòu)買數(shù)量y（萬(wàn)人）16.718.720.622.524.125.6在分析數(shù)據(jù)、描點(diǎn)繪圖中，發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)集中在一條直線附近，其中附：①可能用到的數(shù)據(jù)；．②對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線ω=bv+（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程；（2）按照文旅部門(mén)的指標(biāo)測(cè)定，當(dāng)購(gòu)買數(shù)量y與套票價(jià)格x的比在區(qū)間上時(shí)，該套票受消費(fèi)者的歡迎程度更高，可以被認(rèn)定為“熱門(mén)套票”，現(xiàn)有三位同學(xué)從以上六款旅游套票中，購(gòu)買不同的三款各自旅游．記三人中購(gòu)買“熱門(mén)套票”的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望．答案：見(jiàn)解析【解析】（1）解：散點(diǎn)集中在一條直線附近，設(shè)回歸直線方程為ω=b由v=1變量關(guān)于的回歸方程為綜上，y關(guān)于x的回歸方程為（2）解：由，解得，鄉(xiāng)村特色游，齊魯紅色游，登山套票，游園套票為“熱門(mén)套票”則三人中購(gòu)買“熱門(mén)套票”的人數(shù)X服從超幾何分布，的可能取值為的分布列為：123P2.2020年10月16日，是第40個(gè)世界糧食日.中國(guó)工程院院士袁隆平海水稻團(tuán)隊(duì)迎來(lái)了海水稻的測(cè)產(chǎn)收割，其中寧夏石嘴山海水稻示范種植基地YC-801測(cè)產(chǎn)，畝產(chǎn)超過(guò)648.5公斤，通過(guò)推廣種植海水稻，實(shí)現(xiàn)億畝荒灘變糧倉(cāng)，大大提高了當(dāng)?shù)鼐用袷杖?某企業(yè)引進(jìn)一條先進(jìn)食品生產(chǎn)線，以海水稻為原料進(jìn)行深加工，發(fā)明了一種新產(chǎn)品，若該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值為，其質(zhì)量指標(biāo)等級(jí)劃分如下表：質(zhì)量指標(biāo)值質(zhì)量指標(biāo)等級(jí)良好優(yōu)秀良好合格廢品為了解該產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)效益并及時(shí)調(diào)整生產(chǎn)線，該企業(yè)先進(jìn)行試生產(chǎn).現(xiàn)從試生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000件，將其質(zhì)量指標(biāo)值的數(shù)據(jù)作為樣本，繪制如下頻率分布直方圖：（1）若將頻率作為概率，從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，記“抽出的產(chǎn)品中至少有1件不是廢品”為事件，求事件發(fā)生的概率；（2）若從質(zhì)量指標(biāo)值的樣本中利用分層抽樣的方法抽取7件產(chǎn)品，然后從這7件產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，求質(zhì)量指標(biāo)值的件數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）若每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與利潤(rùn)（單位：元）的關(guān)系如下表：質(zhì)量指標(biāo)值利潤(rùn)（元）試分析生產(chǎn)該產(chǎn)品能否盈利？若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若能，試確定為何值時(shí)，每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)達(dá)到最大（參考數(shù)值：，）.答案：見(jiàn)解析【解析】（1）解：設(shè)事件的概率為，則由頻率分布直方圖可得，1件產(chǎn)品為廢品的概率為，則.（2）解：由頻率分布直方圖可知，質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于85的產(chǎn)品中，的頻率為；的頻率為；的頻率為.故利用分層抽樣抽取的7件產(chǎn)品中，的有4件，的有2件，的有1件.從這件產(chǎn)品中任取件產(chǎn)品，質(zhì)量指標(biāo)值的件數(shù)的所有可能取值為，，，，，，所以的分布列為012所以.（3）解：由頻率分布直方圖可得該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與利潤(rùn)（元）的關(guān)系如下表所示（）：質(zhì)量指標(biāo)值利潤(rùn)0.050.10.150.40.3故每件產(chǎn)品的利潤(rùn).則，令得，故當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，為.所以生產(chǎn)該產(chǎn)品能夠盈利，當(dāng)時(shí)，每件產(chǎn)品的利潤(rùn)取得最大值元.3.(2023·貴州省思南中學(xué)高三月考）某地區(qū)進(jìn)行疾病普查，為此要檢驗(yàn)每一人的血液，如果當(dāng)?shù)赜腥?，若逐個(gè)檢驗(yàn)就需要檢驗(yàn)次，為了減少檢驗(yàn)的工作量，我們把受檢驗(yàn)者分組，假設(shè)每組有個(gè)人，把這個(gè)個(gè)人的血液混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這個(gè)人的血液全為陰性，因而這個(gè)人只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果為陽(yáng)性，為了明確這個(gè)個(gè)人中究竟是哪幾個(gè)人為陽(yáng)性，就要對(duì)這個(gè)人再逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，這時(shí)個(gè)人的檢驗(yàn)次數(shù)為次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的人群中，每個(gè)人的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性是獨(dú)立的，且每個(gè)人是陽(yáng)性結(jié)果的概率為.（Ⅰ）為熟悉檢驗(yàn)流程，先對(duì)3個(gè)人進(jìn)行逐個(gè)檢驗(yàn)，若，求3人中恰好有1人檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的概率；（Ⅱ）設(shè)為個(gè)人一組混合檢驗(yàn)時(shí)每個(gè)人的血需要檢驗(yàn)的次數(shù).①當(dāng)，時(shí)，求的分布列；②是運(yùn)用統(tǒng)計(jì)概率的相關(guān)知識(shí)，求當(dāng)和滿足什么關(guān)系時(shí)，用分組的辦法能減少檢驗(yàn)次數(shù).答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）①見(jiàn)解析，②當(dāng)時(shí)，用分組的辦法能減少檢驗(yàn)次數(shù).【解析】（Ⅰ）對(duì)3人進(jìn)行檢驗(yàn)，且檢驗(yàn)結(jié)果是獨(dú)立的，設(shè)事件：3人中恰有1人檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則其概率（Ⅱ）①當(dāng)，時(shí)，則5人一組混合檢驗(yàn)結(jié)果為陰性的概率為，每人所檢驗(yàn)的次數(shù)為次，若混合檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，則其概率為，則每人所檢驗(yàn)的次數(shù)為次，故的分布列為②分組時(shí)，每人檢驗(yàn)次數(shù)的期望如下∴不分組時(shí)，每人檢驗(yàn)次數(shù)為1次，要使分組辦法能減少檢驗(yàn)次數(shù)，需即所以當(dāng)時(shí)，用分組的辦法能減少檢驗(yàn)次數(shù).4．(2023·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）某蔬菜批發(fā)商分別在甲、乙兩個(gè)市場(chǎng)銷售某種蔬菜（兩個(gè)市場(chǎng)的銷售互不影響），已知該蔬菜每售出1噸獲利500元，未售出的蔬菜降價(jià)處理，每噸虧損100元．現(xiàn)分別統(tǒng)計(jì)該蔬菜在甲、乙兩個(gè)市場(chǎng)以往100個(gè)周期的市場(chǎng)需求量，制成頻數(shù)分布條形圖如下：以市場(chǎng)需求量的頻率代替需求量的概率．設(shè)批發(fā)商在下個(gè)銷售周期購(gòu)進(jìn)噸該蔬菜，在甲、乙兩個(gè)市場(chǎng)同時(shí)銷售，以（單位：噸）表示下個(gè)銷售周期兩個(gè)市場(chǎng)的總需求量，（單位：元）表示下個(gè)銷售周期兩個(gè)市場(chǎng)的銷售總利潤(rùn)．（1）求變量概率分布列；（2）當(dāng)時(shí)，求與的函數(shù)解析式，并估計(jì)銷售利潤(rùn)不少于8900元的概率；（3）以銷售利潤(rùn)的期望作為決策的依據(jù)，判斷與應(yīng)選用哪一個(gè)．答案：見(jiàn)解析【解析】（1）解：設(shè)甲市場(chǎng)需求量為的概率為，乙市場(chǎng)需求量為的概率為，則由題意得，，；，，．設(shè)兩個(gè)市場(chǎng)總需求量為的概率為，則由題意得所有可能的取值為16，17，18，19，20，且，，，，．所以的分布列如下表．16171819200.060.230.350.270.09（2）解：由題意得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以設(shè)“銷售利潤(rùn)不少于8900元”，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得．由（1）中的分布列可知，（3）解：由（1）知，，.當(dāng)時(shí)，的分布列為：0.06所以；當(dāng)時(shí)，的分布列為：0.060.71所以.因?yàn)?，所以?yīng)選.【題型二統(tǒng)計(jì)概率和導(dǎo)數(shù)綜合】1.(2023·四川模擬）甲?乙兩人參加一個(gè)游戲，該游戲設(shè)有獎(jiǎng)金256元，誰(shuí)先贏滿5局，誰(shuí)便贏得全部的獎(jiǎng)金，已知每局游戲乙贏的概率為，甲贏的概率為，每局游戲相互獨(dú)立，在乙贏了3局甲贏了1局的情況下，游戲設(shè)備出現(xiàn)了故障，游戲被迫終止，則獎(jiǎng)金應(yīng)該如何分配才為合理？有專家提出如下的獎(jiǎng)金分配方案：如果出現(xiàn)無(wú)人先贏5局且游戲意外終止的情況，則甲?乙按照游戲再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金.(1)若，則乙應(yīng)該得多少獎(jiǎng)金；(2)記事件A為“游戲繼續(xù)進(jìn)行下去甲獲得全部獎(jiǎng)金”，試求當(dāng)游戲繼續(xù)進(jìn)行下去，甲獲得全部獎(jiǎng)金的概率，并判斷當(dāng)時(shí)，事件A是否為小概率事件，并說(shuō)明理由.（注：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于，則稱隨機(jī)事件為小概率事件）答案：(1)252（元）(2)事件A是小概率事件，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)游戲再繼續(xù)進(jìn)行下去X局乙贏得全部獎(jiǎng)金，則最后一局必然乙贏.由題知，當(dāng)時(shí)，乙以贏，所以，當(dāng)時(shí)，乙以贏，所以，當(dāng)時(shí)，乙以贏，所以，當(dāng)時(shí)，乙以贏，所以，所以乙贏得全部獎(jiǎng)金的概率為，所以乙應(yīng)該得多少獎(jiǎng)金為（元）.（2）設(shè)游戲繼續(xù)進(jìn)行Y局甲獲得全部獎(jiǎng)金，則最后一局必然甲贏.由題知，當(dāng)時(shí)，甲以贏，所以，當(dāng)時(shí)，甲以贏，所以，甲獲得全部獎(jiǎng)金的概率，所以，所以，，，在上單調(diào)遞減，所以，故事件A是小概率事件.2.(2023·武昌模擬）為落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊(duì)員來(lái)自3個(gè)不同校區(qū)，三個(gè)校區(qū)的隊(duì)員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行11場(chǎng)比賽（每場(chǎng)比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以或取勝的隊(duì)員積3分，失敗的隊(duì)員積0分；而在比賽中以取勝的隊(duì)員積2分，失敗的隊(duì)員的隊(duì)員積1分.已知第10輪張三對(duì)抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為.（1）比賽結(jié)束后冠亞軍(沒(méi)有并列)恰好來(lái)自不同校區(qū)的概率是多少？（2）第10輪比賽中，記張三取勝的概率為.①求出的最大值點(diǎn)；②若以作為的值，這輪比賽張三所得積分為，求的分布列及期望.答案：見(jiàn)解析【解析】（1）解：比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來(lái)自不同校區(qū)的概率是；（2）解：①由題可知，，令，得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.所以的最大值點(diǎn)，②的可能取值為0，1，2，3.；；；.所以的分布列為0123的期望為.3．(2023·石家莊模擬）中國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局2019年9月30日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2019年9月中國(guó)制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)為49.8%，反映出中國(guó)制造業(yè)擴(kuò)張步伐有所加快.以新能源汽車?機(jī)器人?增材制造?醫(yī)療設(shè)備?高鐵?電力裝備?船舶?無(wú)人機(jī)等為代表的高端制造業(yè)突飛猛進(jìn)，則進(jìn)一步體現(xiàn)了中國(guó)制造目前的跨越式發(fā)展.已知某精密制造企業(yè)根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，得到生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量差服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品稱為一等品，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件，測(cè)得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（1）根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測(cè)數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，記質(zhì)量差，求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率P；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)（2）假如企業(yè)包裝時(shí)要求把2件優(yōu)等品和(，且)件一等品裝在同一個(gè)箱子中，質(zhì)檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級(jí)相同則該箱產(chǎn)品記為，否則該箱產(chǎn)品記為B.①試用含的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為的概率；②設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為的概率為，求當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，并求出最大值.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則：，，.答案：見(jiàn)解析【解析】（1）解：由題意，估計(jì)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件的平均數(shù)為：，即，樣本方差，故，所以，則優(yōu)等品為質(zhì)量差在內(nèi)，即，一等品為質(zhì)量差在內(nèi)，即，所以正品為質(zhì)量差在和內(nèi)，即，所以該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率：.（2）解：①?gòu)募分腥芜x兩個(gè)，有種選法，其中等級(jí)相同有種選法，∴某箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率為：.②由題意，一箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率為，則5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為B的概率為，所以，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.此時(shí)，解得：，∴時(shí)，5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為B的概率最大，最大值為.4.(2023·臨沂二模）隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，市場(chǎng)石料需求急增．西部某縣有豐富的優(yōu)質(zhì)石料，當(dāng)?shù)卣疀Q定有序開(kāi)發(fā)本縣石料資源．因建立石料廠會(huì)破壞生態(tài)，該縣決定石料開(kāi)發(fā)走“開(kāi)發(fā)治理結(jié)合，人類生態(tài)友好”的路線.當(dāng)?shù)卣?qǐng)國(guó)家環(huán)保機(jī)構(gòu)每年對(duì)該縣與石料開(kāi)發(fā)相關(guān)的生態(tài)（以下簡(jiǎn)稱生態(tài)）進(jìn)行評(píng)估．若生態(tài)開(kāi)始變差，則下一年石料廠將停產(chǎn)（本問(wèn)題中，時(shí)間以整數(shù)年為單位），生態(tài)友好后復(fù)產(chǎn)．該縣在建石料廠之初投入巨資進(jìn)行與之有關(guān)的生態(tài)建設(shè)，考慮到可持續(xù)發(fā)展，這種生態(tài)投入（以下簡(jiǎn)稱生態(tài)投入）將逐年減少（a是常數(shù)，）億元．該縣從2021年起，若某年生態(tài)友好，則下一年生態(tài)變差的概率是；若某年生態(tài)變差，則下一年生態(tài)友好的概率為．模型顯示，生態(tài)變差的概率不大于0.16683時(shí)，該縣生態(tài)將不再變差，生態(tài)投入結(jié)束．（1）若2021年該縣生態(tài)變差的概率為，求該縣2022年生態(tài)友好的概率；（2）若2021年該縣生態(tài)變差概率為，生態(tài)投入是40億元，a為何值時(shí)，從2021年開(kāi)始到生態(tài)投入結(jié)束，對(duì)該縣總生態(tài)投入額最小？并求出其最小值．答案：見(jiàn)解析【解析】（1）解：設(shè)“該縣2021年生態(tài)友好”，“該縣2022年生態(tài)友好”，∵該縣2021年生態(tài)變差的概率為，即，，∴如果該縣2021年生態(tài)友好，那么它2022年生態(tài)友好的概率為，該縣2021年變差，那么它2022年友好的概率為．因?yàn)椤霸摽h2021年生態(tài)友好，那么它2022年生態(tài)友好”與“該縣年生態(tài)變差，而年生態(tài)友好”是互斥事件，所以，，所以，該縣2022年生態(tài)友好的概率為．（2）解：設(shè)該縣2021年生態(tài)變差的概率為，同（1）可得，該縣年生態(tài)友好的概率為，∴該縣年生態(tài)變差的概率為，∴該縣年生態(tài)變差的概率為，該縣從年開(kāi)始的第年生態(tài)變差的概率為，，∴若從年開(kāi)始到生態(tài)投入結(jié)束共有年，則，即，∴，對(duì)該縣總生態(tài)投入額，∴．若，則，單調(diào)遞減；若，則，單調(diào)遞增，由于時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，最小，且最小值是億元，也就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，對(duì)該縣總生態(tài)投入額最小，最小值為億元．【題型三統(tǒng)計(jì)概率和數(shù)列綜合】1.(2023·唐山二模）規(guī)定抽球試驗(yàn)規(guī)則如下：盒子中初始裝有白球和紅球各一個(gè)，每次有放回的任取一個(gè)，連續(xù)取兩次，將以上過(guò)程記為一輪．如果每一輪取到的兩個(gè)球都是白球，則記該輪為成功，否則記為失?。诔槿∵^(guò)程中，如果某一輪成功，則停止；否則，在盒子中再放入一個(gè)紅球，然后接著進(jìn)行下一輪抽球，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功．(1)某人進(jìn)行該抽球試驗(yàn)時(shí)，最多進(jìn)行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其進(jìn)行抽球試驗(yàn)的輪次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)為驗(yàn)證抽球試驗(yàn)成功的概率不超過(guò)，有1000名數(shù)學(xué)愛(ài)好者獨(dú)立的進(jìn)行該抽球試驗(yàn)，記表示成功時(shí)抽球試驗(yàn)的輪次數(shù)，表示對(duì)應(yīng)的人數(shù)，部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：1234523298604020求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)成功的總?cè)藬?shù)（精確到1）；(3)證明：．附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程系數(shù)：，；參考數(shù)據(jù)：，，（其中，）．答案：(1)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為(2)回歸方程為，預(yù)測(cè)成功的總?cè)藬?shù)為465(3)證明見(jiàn)解析【解析】(1)由題知，的取值可能為1，2，3所以；；；所以的分布列為：123所以數(shù)學(xué)期望為.(2)令，則，由題知：，，所以，所以，，故所求的回歸方程為：，所以，估計(jì)時(shí)，；估計(jì)時(shí)，；估計(jì)時(shí)，；預(yù)測(cè)成功的總?cè)藬?shù)為.(3)由題知，在前輪就成功的概率為又因?yàn)樵谇拜啗](méi)有成功的概率為，故.2.(2023·山東·臨沂市蘭山區(qū)教學(xué)研究室高三開(kāi)學(xué)考試）為有效防控新冠疫情從境外輸入，中國(guó)民航局根據(jù)相關(guān)法律宣布從2020年6月8日起實(shí)施航班熔斷機(jī)制，即航空公司同一航線航班，入境后核酸檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的旅客人數(shù)達(dá)到一定數(shù)量的民航局對(duì)其發(fā)出“熔斷”指令，暫停該公司該航線的運(yùn)行（達(dá)到5個(gè)暫停運(yùn)行1周，達(dá)到10個(gè)暫停運(yùn)行4周），并規(guī)定“熔斷期”的航班量不得調(diào)整用于其他航線，“熔斷期”結(jié)束后，航空公司方可恢復(fù)每周1班航班計(jì)劃.已知某國(guó)際航空公司A航線計(jì)劃每周有一次航班入境，該航線第一次航班被熔斷的概率是，且被熔斷的一次航班的下一次航班也被熔斷的概率是，未被熔斷的一次航班的下一次航班也未被熔斷的概率是.一條航線處于“熔斷期”的原計(jì)劃航班不記入該航線的航班次數(shù)，記該航空公司A航線的第n次航班被熔斷的概率為.（1）求；（2）證明：為等比數(shù)列；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和，并說(shuō)明的實(shí)際意義.答案：見(jiàn)解析【解析】（1）解：；（2）證明：由題得，∴，又，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列；（3）解：由（2）知，故，從而，由于可以理解為第次航班平均被熔斷的次數(shù)，∴表示前次航班一共被熔斷的次數(shù).3．(2023·高三課時(shí)練習(xí)）2022年2月日，中國(guó)女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國(guó)女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國(guó)女足通過(guò)點(diǎn)球大戰(zhàn)驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝日