第44講 復(fù)數(shù)（八大題型）（講義）（解析版）-2025數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（含2024年高考真題+回歸教材）

3/29第03講復(fù)數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識(shí)點(diǎn)1：復(fù)數(shù)的概念 4知識(shí)點(diǎn)2：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 4解題方法總結(jié) 6題型一：復(fù)數(shù)的概念 6題型二：復(fù)數(shù)的運(yùn)算 8題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義 10題型四：復(fù)數(shù)的相等與共軛復(fù)數(shù) 12題型五：復(fù)數(shù)的模 14題型六：復(fù)數(shù)的三角形式 16題型七：與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題 19題型八：復(fù)數(shù)方程 2304真題練習(xí)·命題洞見(jiàn) 2505課本典例·高考素材 2606易錯(cuò)分析·答題模板 27易錯(cuò)點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用有誤 27答題模板：復(fù)數(shù)式的計(jì)算 28

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）復(fù)數(shù)的有關(guān)概念（2）復(fù)數(shù)的幾何意義（3）復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算2024年I卷第2題，5分2024年II卷第1題，5分2023年I卷第2題，5分2023年II卷第1題，5分2022年I卷II卷第2題，5分2021年II卷第1題，5分2021年I卷第2題，5分高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查相對(duì)穩(wěn)定，每年必考題型，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．復(fù)數(shù)的運(yùn)算、概念、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義是常考點(diǎn)，難度較低，預(yù)測(cè)高考在此處仍以簡(jiǎn)單題為主．復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）通過(guò)方程的解，認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)．（2）理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義．（3）掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義．

知識(shí)點(diǎn)1：復(fù)數(shù)的概念（1）叫虛數(shù)單位，滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，．（2）形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作．=1\*GB3①?gòu)?fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，叫z的實(shí)部，b叫z的虛部；Z點(diǎn)組成實(shí)軸；叫虛數(shù)；且，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成虛軸（不包括原點(diǎn)）．兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)．=2\*GB3②兩個(gè)復(fù)數(shù)相等（兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn)）=3\*GB3③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線段的長(zhǎng)度，其計(jì)算公式為，顯然，．【診斷自測(cè)】（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，所以的虛部為.故選：D.知識(shí)點(diǎn)2：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1、復(fù)數(shù)運(yùn)算（1）（2）其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù)．（3）．實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則）都適用于復(fù)數(shù)．注意：復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義以復(fù)數(shù)分別對(duì)應(yīng)的向量為鄰邊作平行四邊形，對(duì)角線表示的向量就是復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量．對(duì)應(yīng)的向量是．2、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)；（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面向量；（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù)．（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．3、復(fù)數(shù)的三角形式（1）復(fù)數(shù)的三角表示式一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成形式，其中是復(fù)數(shù)的模；是以軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角．叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形式．（2）輻角的主值任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無(wú)限多個(gè)值，且這些值相差的整數(shù)倍．規(guī)定在范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值．通常記作，即．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式．（3）三角形式下的兩個(gè)復(fù)數(shù)相等兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等．（4）復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算①兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和，即．②復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示的幾何意義復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，把向量繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角（如果，就要把繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角），再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到向量，表示的復(fù)數(shù)就是積．（5）復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差，即．【診斷自測(cè)】（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）若為純虛數(shù)，，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，所以，，所以.故選：A.解題方法總結(jié)復(fù)數(shù)的方程在復(fù)平面上表示的圖形(1)表示以原點(diǎn)O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；(2)表示以為圓心，r為半徑的圓．題型一：復(fù)數(shù)的概念【典例1-1】（2024·新疆·三模）復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)且，則，因?yàn)椋?解得：，則的虛部為.故選：C【典例1-2】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)復(fù)數(shù),則的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】,則,虛部是.故選:A.【方法技巧】無(wú)論是復(fù)數(shù)模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等或代數(shù)運(yùn)算都要認(rèn)清復(fù)數(shù)包括實(shí)部和虛部?jī)刹糠郑栽诮鉀Q復(fù)數(shù)有關(guān)問(wèn)題時(shí)要將復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都認(rèn)識(shí)清楚．【變式1-1】（2024·重慶·三模）設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z的虛部為（）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿(mǎn)足，可得，即，則，，解得，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.【變式1-2】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）若，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以的虛部是.故選：C【變式1-3】若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，且為純虛數(shù)，則.【答案】/【解析】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，設(shè)，且，則，因?yàn)?，所以，所以，解得，所?故答案為：.題型二：復(fù)數(shù)的運(yùn)算【典例2-1】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令復(fù)數(shù)，則，根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件有，解得，所以．故選：A【典例2-2】設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由.故選:C．【方法技巧】設(shè)，則（1）（2）（3）【變式2-1】（2024·青海海南·一模）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，則，故選：D.【變式2-2】（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）下列有關(guān)復(fù)數(shù)，的等式中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，對(duì)于A，令，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，則，，因此，C正確；對(duì)于D，，D正確.故選：A【變式2-3】已知復(fù)數(shù)，的模長(zhǎng)為1，且，則的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，則，，所以，，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，所以，，所?故選：.題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義【典例3-1】（2024·山西呂梁·三模）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】由復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，可得，則，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.故選：D.【典例3-2】若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限．故選：D．【方法技巧】復(fù)數(shù)的幾何意義在于復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)是復(fù)平面上的點(diǎn)，其實(shí)部、虛部分別是該點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，這是研究復(fù)數(shù)幾何意義的最重要的出發(fā)點(diǎn)．【變式3-1】（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為的虛部為，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】，所以，所以，其在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，位于第一象限．故選：A．【變式3-2】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】設(shè)，則，則，即，所以，，解得，，故，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．故選：D．【變式3-3】（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為的虛部為，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】由復(fù)數(shù)，可得，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，位于第四象限．故選：D．【變式3-4】（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，所得向量在上的投影向量對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榘褟?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，所以旋轉(zhuǎn)后的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，所以旋轉(zhuǎn)后的向量，又因?yàn)?，，所以向量在上的投影向量是，即?duì)應(yīng)復(fù)數(shù)是.故選：.題型四：復(fù)數(shù)的相等與共軛復(fù)數(shù)【典例4-1】（2024·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則．【答案】1【解析】由題意可得：，所以.故答案為：1.【典例4-2】已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是，若，則.【答案】【解析】設(shè)，則，因?yàn)椋?，整理得，所以，解得，所?故答案為：【方法技巧】復(fù)數(shù)相等：共軛復(fù)數(shù)：．【變式4-1】（2024·山東聊城·二模）已知，且，則．【答案】1【解析】，所以，解得.故答案為：1【變式4-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則的虛部為．【答案】【解析】解法一：設(shè)復(fù)數(shù)，則，由復(fù)數(shù)相等，得，解得，即復(fù)數(shù)，所以，所以的虛部為．解法二：由，得．因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以也是實(shí)數(shù)，則有，所以的虛部為．故答案為：【變式4-3】已知，且滿(mǎn)足（其中為虛數(shù)單位），則．【答案】2【解析】由題意，可得，所以，解得，所以.故答案為：2【變式4-4】已知a，，，則.【答案】6【解析】，故，，得，，所以.故答案為：6.題型五：復(fù)數(shù)的?！镜淅?-1】已知復(fù)數(shù)，且，則.【答案】或3【解析】復(fù)數(shù)，可得，則整理得，，即因?yàn)椋郧?，又因，故，解得，?故答案為：或3.【典例5-2】（2024·江西南昌·三模）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則.【答案】【解析】令，則有，即，，解得，即，.故答案為：.【方法技巧】【變式5-1】復(fù)數(shù)的模為.【答案】/【解析】故．故答案為：．【變式5-2】已知，則．【答案】5【解析】假設(shè)，則，，∵，∴①，②，③，∴③-①-②得，∴，∴，故答案為：5【變式5-3】（2024·福建廈門(mén)·三模）復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，，則.【答案】【解析】設(shè)，則，由，，得，解得，所以，故答案為：.【變式5-4】已知復(fù)數(shù)數(shù)列滿(mǎn)足，則.【答案】【解析】因?yàn)?，則，所以所以，所以.故答案為：題型六：復(fù)數(shù)的三角形式【典例6-1】一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)（，）都可以表示成形式，其中是復(fù)數(shù)的模，是以軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角，叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形式.為了與“三角形式”區(qū)分開(kāi)來(lái)，（，）叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)“代數(shù)形式”.已知，，，其中，，則．(結(jié)果表示代數(shù)形式)【答案】【解析】因?yàn)椋?，又，，所以，所?所以，，.故答案為：.【典例6-2】計(jì)算的結(jié)果是.【答案】【解析】，同理可得，原式．故答案為：【方法技巧】一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成形式，其中是復(fù)數(shù)的模；是以軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角．叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形式．【變式6-1】（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知，則在下列表達(dá)式中表示的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因，則，對(duì)于A，，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B項(xiàng)知，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A.【變式6-2】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，設(shè)是以軸的非負(fù)半軸為始邊，以所在的射線為終邊的角，則，把叫做復(fù)數(shù)的三角形式，利用復(fù)數(shù)的三角形式可以進(jìn)行復(fù)數(shù)的指數(shù)運(yùn)算，，例如：，，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足：，則可能取值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，所以，，即，所以故時(shí)，，故可取，故選：D【變式6-3】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】，在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限.故選：B.【變式6-4】（2024·湖北恩施·模擬預(yù)測(cè)）任意一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667－1754年）創(chuàng)立的，指的是：設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)，，則，已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由題意可得，故，所以.故選：B題型七：與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題【典例7-1】（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)，滿(mǎn)足，，則的最大值是（

）A． B． C．7 D．8【答案】D【解析】設(shè)，，，，因?yàn)椋?，所以，，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，又表示點(diǎn)與的距離，所以的最大值是，故選：D.【典例7-2】（2024·山東煙臺(tái)·三模）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則由復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集是線段的垂直平分線，其中，所以的最小值為.故選：B.【方法技巧】利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化【變式7-1】（2024·高三·河北滄州·期中）已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為（

）A．7 B．6 C． D．【答案】A【解析】，又，即在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，又點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，所以的最大值為.故選：A.【變式7-2】（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】表示對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是單位圓上的點(diǎn)，的幾何意義表示單位圓上的點(diǎn)和之間的距離，的取值范圍轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離加上半徑可得最大值，減去半徑可得最小值，所以最大距離為，最小距離為，所以的取值范圍為.故選：B【變式7-3】（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為以原點(diǎn)為圓心的單位圓上一點(diǎn)，而在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不妨設(shè)為，所以，易知.故選：B【變式7-4】（2024·湖北鄂州·一模）已知復(fù)數(shù)，滿(mǎn)足，（其中i是虛數(shù)單位），則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】D【解析】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，由題意可知：，可知點(diǎn)的軌跡表示為焦點(diǎn)分別為的橢圓，則長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，半焦距，短半軸長(zhǎng)為，且該橢圓的長(zhǎng)軸所在直線為，短軸所在直線為．因?yàn)辄c(diǎn)在上，且，若使得最小，則需取得最小值，即點(diǎn)為第一象限內(nèi)的短軸端點(diǎn)，此時(shí)．故選：D.【變式7-5】（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則可表示為復(fù)平面上點(diǎn)到的距離，可表示為復(fù)平面上點(diǎn)到的距離，由題意可知：點(diǎn)在線段的中垂線上，如下圖：線段的中點(diǎn)為，直線的斜率，則的軌跡方程為，整理可得，由可表示為點(diǎn)到的距離，.故選：A.【變式7-6】已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，則橢圓短半軸長(zhǎng)為，橢圓方程為，表示橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，當(dāng)點(diǎn)位于橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)時(shí)，取值大值2；當(dāng)點(diǎn)位于橢圓短軸上的頂點(diǎn)時(shí)，取值小值；故的取值范圍為，故選：D【變式7-7】（2024·安徽安慶·一模）設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足條件|z|＝1，那么取最大值時(shí)的復(fù)數(shù)z為（

）A．+i B．+i C．i D．i【答案】A【解析】復(fù)數(shù)滿(mǎn)足條件，它是復(fù)平面上的單位圓，那么表示單位圓上的點(diǎn)到的距離，要使此距離取最大值的復(fù)數(shù)，就是和連線和單位圓在第一象限的交點(diǎn)．點(diǎn)到原點(diǎn)距離是2．單位圓半徑是1，又，所以．故對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為．故選：A題型八：復(fù)數(shù)方程【典例8-1】（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（

）A．25 B．5 C． D．41【答案】C【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，所以，所以，所以，所以，則，故選：C.【典例8-2】（2024·江蘇·一模）已知是關(guān)于x的方程的根，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】依題意知方程的根互為共軛復(fù)數(shù)，結(jié)合韋達(dá)定理可求得結(jié)果.因?yàn)槭顷P(guān)于x的方程的根，則另一根為由韋達(dá)定理得，所以故選：B【方法技巧】復(fù)數(shù)方程是包含復(fù)數(shù)的方程，其中復(fù)數(shù)具有實(shí)部和虛部。解復(fù)數(shù)方程時(shí)，通常將利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及三角形式進(jìn)行求解?！咀兪?-1】（2024·上海嘉定·三模）已知復(fù)數(shù)x滿(mǎn)足方程，那么.【答案】【解析】因?yàn)椋瑒t.故答案為：.【變式8-2】已知是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，其中p，，則p＋q＝．【答案】19【解析】因?yàn)槭顷P(guān)于x的方程的一個(gè)根，所以是方程的另一個(gè)根，所以，解得，所以，故答案為：19【變式8-3】若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則.【答案】3【解析】∵實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根為，∴其共軛復(fù)數(shù)也是方程的根.由根與系數(shù)的關(guān)系知，，∴，.故答案為：【變式8-4】的平方根為【答案】【解析】設(shè)所求復(fù)數(shù)為，由題意有，即，則，解得或，即或，即的平方根為，故答案為.【變式8-5】（2024·高三·上海浦東新·開(kāi)學(xué)考試）若實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根是，則．【答案】1【解析】因?yàn)殛P(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根是，所以另一個(gè)根為，根據(jù)韋達(dá)定理可得，所以.又，所以，所以故答案為：.1．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．2【答案】D【解析】依題意得，，故.故選：D2．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C.3．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）若，則（

）A． B． C．10 D．【答案】A【解析】由，則.故選：A4．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得.故選：C.5．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知，則（

）