專題08 直接法模型

1例1．已知參加某項活動的六名成員排成一排合影留念，且甲乙兩人均在丙領導人的同側，則不同的排法共例2．有3位男生，3位女生和1位老師站在一起照相，要求老師必須站中間，與老師相鄰的不能同時為男生或女生，則這樣的排法種數(shù)是()例3．李雷和韓梅梅兩人都計劃在國慶節(jié)的7天假期中，到“東亞文化之都--泉州”“二日游”，若他們不同一天出現(xiàn)在泉州，則他們出游的不同方案共有例4．2020年3月31日，某地援鄂醫(yī)護人員A，B，C，D，E，F(xiàn)，6人（其中A是隊長）圓滿完成抗擊新冠肺炎疫情任務返回本地，他們受到當?shù)厝罕娕c領導的熱烈歡迎．當?shù)孛襟w為了宣傳他們的優(yōu)秀事跡，讓這6名醫(yī)護人員和接見他們的一位領導共7人站一排進行拍照，則領導和隊長站在兩端且BC相鄰，而BD不相鄰的排法種數(shù)為()例5．將甲、乙、丙、丁四位輔導老師分配到A、B、C、D四個班級，每個班級一位老師，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，則共有分配方案的種數(shù)為()例6．在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C在實施時必須相鄰，則在該實驗中程序順序的編排方法共有()例7．甲、乙、丙、丁四個人到A，B，C三個景點旅游，每個人只去一個景點，每個景點至少有一個人去，則甲不到A景點的方案有()例8．某城市關系要好的A，B，C，D四個家庭各有兩個小孩共8人，分別乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4名（乘同一輛車的4名小孩不考慮位置其中A戶家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名小孩恰有2名來自于同一個家庭的乘坐方式共有()例9．中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美2育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)”，指數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在第三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有()例10．2019年10月17日是我國第6個“扶貧日”，某醫(yī)院開展扶貧日“送醫(yī)下鄉(xiāng)”醫(yī)療義診活動，現(xiàn)有五名醫(yī)生被分配到四所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中，醫(yī)生甲被指定分配到醫(yī)院A，醫(yī)生乙只能分配到醫(yī)院A或醫(yī)院B，醫(yī)生丙不能分配到醫(yī)生甲、乙所在的醫(yī)院，其他兩名醫(yī)生分配到哪所醫(yī)院都可以，若每所醫(yī)院至少分配一名醫(yī)生，則不同的分配方案共有()例11．用數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復數(shù)字的四位奇數(shù)的個數(shù)是()例12．甲、乙、丙、丁、戊五名同學參加某種技術競賽，決出了第一名到第五名的五個名次，甲、乙去詢問成績，組織者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”；對乙說：“你當然不會是最差的”.從組織者的回答分析，這五個人的名次排列的不同情形種數(shù)共有()例13．現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戌5名同學參加上海世博會志愿者服務活動，每人從事翻譯、導游、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加．甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙丁戌都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是例14．為了支持山區(qū)教育，某中學安排6位教師到A、B、C、D四個山區(qū)支教，要求A、B兩個山區(qū)各安排一位教師，C、D兩個山區(qū)各安排兩位教師，其中甲、乙兩位教師不在一起，不同的安排方案共有 A．180種B．172種例15．某籃球隊有12名隊員，其中有6名隊員打前鋒，有4名隊員打后衛(wèi)，甲、乙兩名隊員既能打前鋒又能打后衛(wèi).若出場陣容為3名前鋒，2名后衛(wèi)，則不同的出場陣容共有種.例16．有7張卡片分別寫有數(shù)字1,1,1,2,2,3,4,從中任取4張，可排出不同的四位數(shù)的個數(shù)是.例17．從A，B，C，D，a，b，c，d中任選5個字母排成一排，要求按字母先后順序排列（即按A(a),B(b),C(c),D(d)先后順序，但大小寫可以交換位置，如AaBc或aABc都可以這樣的情況有 種用數(shù)字作答）例18．將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個字母排成一排，且A，B均在C的同側，則不同的排法共有種（用數(shù)字作答）例19．作家馬伯庸小說《長安十二時辰》中，靖安司通過長安城內(nèi)的望樓傳遞信息.同名改編電視劇中，望樓傳遞信息的方式有一種如下：如圖所示，在九宮格中，每個小方格可以在白色和紫色（此處以陰影代表紫色）之間變換，從而一共可以有512種不同的顏色組合，即代表512種不同的信息.現(xiàn)要求每一行，每一列上至多有一個紫色小方格（如圖所示即滿足要求）.則一共可以傳遞種信息.（用數(shù)字作答）例20．某一天上午的課程表要排入語文、數(shù)學、物理、體育共4節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學，那么共有排法種.(用數(shù)字作答)例21．某組委會要從五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作,若其中甲不能從事翻譯工作,乙不能從事導游工作,其余三人均能從事這四項工作,則不同的選派方案共有種.例22．甲、乙、丙、丁、戊5個人站成一排照相，其中甲不站中間，甲、乙不相鄰的排法總數(shù)是.例23．用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù).（1）可組成多少個不同的四位數(shù)？（2）可組成多少個不同的四位偶數(shù)？例24．從分別印有數(shù)字0，3，5，7，9的5張卡片中，任意抽出3張組成三位數(shù).(Ⅲ)若印有9的卡片，既可以當9用，也可以當6用，求可以組成多少個三位數(shù).例1．已知參加某項活動的六名成員排成一排合影留念，且甲乙兩人均在丙領導人的同側，則不同的排法共【解析】用分類討論的方法解決．如圖中的6個位置，123456①當領導丙在位置1時，不同的排法有A=120種；②當領導丙在位置2時，不同的排法有CA=72種；③當領導丙在位置3時，不同的排法有AA+AA=48種；④當領導丙在位置4時，不同的排法有AA+AA=48種；⑤當領導丙在位置5時，不同的排法有CA=72種；⑥當領導丙在位置1時，不同的排法有A=120種.由分類加法計數(shù)原理可得不同的排法共有480種.故選C.例2．有3位男生，3位女生和1位老師站在一起照相，要求老師必須站中間，與老師相鄰的不能同時為男生或女生，則這樣的排法種數(shù)是()【解析】先排與老師相鄰的:CCA=18,再排剩下的：A,所以共有18A=432種排法種數(shù)，選D.例3．李雷和韓梅梅兩人都計劃在國慶節(jié)的7天假期中，到“東亞文化之都--泉州”“二日游”，若他們不同一天出現(xiàn)在泉州，則他們出游的不同方案共有【解析】若李雷選①②或⑥⑦,則韓梅梅有4種選擇，選若李雷選②③或③④或④⑤或⑤⑥,則韓梅梅有3種選擇，故他們不同一天出現(xiàn)在泉州，則他們出游的不同方案共有2×（4+6）=20，故答案為C例4．2020年3月31日，某地援鄂醫(yī)護人員A，B，C，D，E，F(xiàn)，6人（其中A是隊長）圓滿完成抗擊新冠肺炎疫情任務返回本地，他們受到當?shù)厝罕娕c領導的熱烈歡迎．當?shù)孛襟w為了宣傳他們的優(yōu)秀事跡，讓這6名醫(yī)護人員和接見他們的一位領導共7人站一排進行拍照，則領導和隊長站在兩端且BC相鄰，而BD不相鄰的排法種數(shù)為()【解析】:讓這6名醫(yī)護人員和接見他們的一位領導共7人站一排進行拍照，則領導和隊長站在兩端且BC相鄰分2步進行分析：①領導和隊長站在兩端，有A=2種情況，②中間5人分2種情況討論：若BC相鄰且與D相鄰，有AA=12種安排方法，若BC相鄰且不與D相鄰，有AAA=24種安排方法，則中間5人有12+24=36種安排方法，則有2×36=72種不同的安排方法；故選：D.例5．將甲、乙、丙、丁四位輔導老師分配到A、B、C、D四個班級，每個班級一位老師，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，則共有分配方案的種數(shù)為()【解析】將分配方案分為甲分配到B班和甲不分配到B班兩種情況：①甲分配到B班：有A=6種分配方案；②甲不分配到B班：有AAA=8種分配方案；由分類加法計數(shù)原理可得：共有6+8=14種分配方案.故選：C.3例6．在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C在實施時必須相鄰，則在該實驗中程序順序的編排方法共有()【解析】試題分析：首先將B，C捆綁在一起作為整體，共有A兩種，又∵A只能出現(xiàn)在第一步或者最后一步，故總的編排方法為A×A×2=96種，故選B.例7．甲、乙、丙、丁四個人到A，B，C三個景點旅游，每個人只去一個景點，每個景點至少有一個人去，則甲不到A景點的方案有()【解析】由題意，可分為兩種請況：（1）甲單獨一個人旅游，在B、C景點中任選1個，由2種選法，再將其他3人分成兩組，對應剩下的2個景點，有CA=6種情況，所以此時共有2×6=12種方案；（2）甲和乙、丙、丁中的1人一起旅游，先在乙、丙、丁中任選1人，與甲一起在B、C景點中任選1個，有CC=6種情況，將剩下的2人全排列，對應剩下的2個景點，有A=2種情況，所以此時共有6×2=12種方案，綜上，可得甲不到A景點的方案有12+12=24種方案.故選：B.例8．某城市關系要好的A，B，C，D四個家庭各有兩個小孩共8人，分別乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4名（乘同一輛車的4名小孩不考慮位置其中A戶家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名小孩恰有2名來自于同一個家庭的乘坐方式共有()【解析】若A戶家庭的李生姐妹乘坐甲車,即剩下的兩個小孩來自其他的2個家庭,有C.22=12種方法.若A戶家庭的李生姐妹乘坐乙車,那來自同一家庭的2名小孩來自剩下的3個家庭中的一個,有C.22=12.4所以共有12+12=24種方法.本題選擇B選項.例9．中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)”，指數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在第三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有()【解析】由題意，“數(shù)”排在第三節(jié)，則“射”和“御”兩門課程相鄰時，可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6節(jié)，有3種，再考慮兩者的順序，有A=2種，剩余的3門全排列，安排在剩下的3個位置，有A=6種，所以“六藝”課程講座不同的排課順序共有3×2×6=36種不同的排法.故選：C.例10．2019年10月17日是我國第6個“扶貧日”，某醫(yī)院開展扶貧日“送醫(yī)下鄉(xiāng)”醫(yī)療義診活動，現(xiàn)有五名醫(yī)生被分配到四所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中，醫(yī)生甲被指定分配到醫(yī)院A，醫(yī)生乙只能分配到醫(yī)院A或醫(yī)院B，醫(yī)生丙不能分配到醫(yī)生甲、乙所在的醫(yī)院，其他兩名醫(yī)生分配到哪所醫(yī)院都可以，若每所醫(yī)院至少分配一名醫(yī)生，則不同的分配方案共有()【解析】根據(jù)醫(yī)院A的情況分兩類：第一類：若醫(yī)院A只分配1人，則乙必在醫(yī)院B，當醫(yī)院B只有1人，則共有C32A22種不同分配方案，當醫(yī)院B有2人，則共有CA種不同分配方案，所以當醫(yī)院A只分配1人時，共有CA+CA=10種不同分配方案；第二類：若醫(yī)院A分配2人，當乙在醫(yī)院A時，共有A種不同分配方案，當乙不在A醫(yī)院，在B醫(yī)院時，共有CA種不同分配方案，所以當醫(yī)院A分配2人時，共有種不同分配方案；5共有20種不同分配方案.故選：B例11．用數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復數(shù)字的四位奇數(shù)的個數(shù)是()【解析】根據(jù)題意，符合奇數(shù)的個位數(shù)字只能從1，3，5中選取，組成沒有重復數(shù)字的四位奇數(shù)分三步；第一步，排個位，共有C種方法；第二步，排千位，共有C種方法；第三步，排百、十位，共有A種方法；所以，可組成CCA=144個四位奇數(shù)，故答案選B。例12．甲、乙、丙、丁、戊五名同學參加某種技術競賽，決出了第一名到第五名的五個名次，甲、乙去詢問成績，組織者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”；對乙說：“你當然不會是最差的”.從組織者的回答分析，這五個人的名次排列的不同情形種數(shù)共有()【解析】先排乙，有3種，再排甲，有3種，最后排剩余三人，有A種例13．現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戌5名同學參加上海世博會志愿者服務活動，每人從事翻譯、導游、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加．甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙丁戌都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是【解析】根據(jù)題意，分情況討論，①甲乙一起參加除了開車的三項工作之一：C31×A33=18種；②甲乙不同時參加一項工作，進而又分為2種小情況；1°丙、丁、戌三人中有兩人承擔同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36種；2°甲或乙與丙、丁、戌三人中的一人承擔同一份工作：A32×C31×C21×A22=72種；由分類計數(shù)原理，可得共有18+36+72=126種，例14．為了支持山區(qū)教育，某中學安排6位教師到A、B、C、D四個山區(qū)支教，要求A、B兩個山區(qū)各安排一位教師，C、D兩個山區(qū)各安排兩位教師，其中甲、乙兩位教師不在一起，不同的安排方案共有()A．180種B．172種【解析】由題可知，分三種情況討論：（1）甲，乙兩位教師均沒有去C,D山區(qū)，共有A=12種；（2）甲，乙兩位教師只有一人去C或D山區(qū)，共有A=96種；（3）甲，乙兩位教師分別去C或D山區(qū)，共有C.A.A.A=48種，故選：D.例15．某籃球隊有12名隊員，其中有6名隊員打前鋒，有4名隊員打后衛(wèi)，甲、乙兩名隊員既能打前鋒又能打后衛(wèi).若出場陣容為3名前鋒，2名后衛(wèi)，則不同的出場陣容共有種.【解析】分以下三種情況討論：①甲、乙都不出場，則應從6名打前鋒的隊員中挑選3人，從4名打后衛(wèi)的隊員中挑選2人，此時，出場陣②甲、乙只有一人出場，若出場的這名隊員打前鋒，則應從6名打前鋒的隊員中挑選2人，從4名打后衛(wèi)的隊員中挑選2人；若出場的這名隊員打后衛(wèi)，則應從6名打前鋒的隊員中挑選3人，從4名打后衛(wèi)的隊員中挑選1人.此時，出場陣容種數(shù)為C.(CC+CC)=340；③甲、乙都出場，若這兩名隊員都打前鋒，則應從6名打前鋒的隊員中挑選1人，從4名打后衛(wèi)的隊員中挑選2人；若這兩名隊員都打后衛(wèi)，則應從6名打前鋒的隊員中挑選3人，從4名打后衛(wèi)的隊員中不用挑選；若這兩名隊員一人打前鋒、一人打后衛(wèi)，則應從6名打前鋒的隊員中挑選2人，從4名打后衛(wèi)的隊員中挑選1人，此時，出場陣容種數(shù)為CC+CC+CCC=176.綜上所述，由分類加法計數(shù)原理可知，共有120+340+176=636種不同的出場陣容.7故答案為：636.例16．有7張卡片分別寫有數(shù)字1,1,1,2,2,3,4,從中任取4張，可排出不同的四位數(shù)的個數(shù)是.【解析】根據(jù)題意，分4種情況討論：(1)取出的4張卡片中沒有重復數(shù)字,即取出的4張卡片中的數(shù)字為1、2、3、4，此時A=24種順序,可以排出24個四位數(shù);(2)取出的4張卡片中有2個重復數(shù)字,則2個重復的數(shù)字為1或2，若重復的數(shù)字為1,在2、3、4中取出2個,有C=3種取法,安排在四個位置中,有A=12種情況,剩余位置安排數(shù)字1,可以排出3×12=36個四位數(shù),同理,若重復的數(shù)字為2,也可以排出36個重復數(shù)字;(3)若取出的4張卡片為2張1和2張2,在4個位置安排兩個1,有C=6種情況,剩余位置安排兩個2,則可以排出6×1=6個四位數(shù);(4)取出的4張卡片中有3個重復數(shù)字,則重復的數(shù)字為1,在2、3、4中取出1個卡片,有C=3種取法,安排在四個位置中,有C=4種情況,剩余位置安排1,可以排出3×4=12個四位數(shù);所以一共有24+36+36+6+12=114個四位數(shù).故答案為:114.例17．從A，B，C，D，a，b，c，d中任選5個字母排成一排，要求按字母先后順序排列（即按A(a),B(b),C(c),D(d)先后順序，但大小寫可以交換位置，如AaBc或aABc都可以這樣的情況有 種用數(shù)字作答）【解析】分為四類情況：第一類：在A、B、C、D中取四個，在a、b、c、d中取一個，共有2CC=8；第二類：在A、B、C、D中取三個，在a、b、c、d中取兩個，分兩種情況：形如AaBbC(大小寫有兩個字母相同)共有4CC，形如AaBCd（大小寫只有一個字母相同）共有2CC；第三類：在A、B、C、D中取兩個，在a、b、c、d中取三個，取法同第二類情況；第四類：在A、B、C、D中取一個，在a、b、c、d中取四個，取法同第一類情況；所以共有：2(8+4CC+2CC)=160例18．將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個字母排成一排，且A，B均在C的同側，則不同的排法共有種（用數(shù)字作答）【解析】因為左右是對稱的，所以只看左的情況最后乘以2即可.當C在左邊第1個位置時，有A，當C在左邊第3個位置時，有AA+AA，共為240種，乘以2，得480．則不同的排法共有480種.故答案為480.例19．作家馬伯庸小說《長安十二時辰》中，靖安司通過長安城內(nèi)的望樓傳遞信息.同名改編電視劇中，望樓傳遞信息的方式有一種如下：如圖所示，在九宮格中，每個小方格可以在白色和紫色（此處以陰影代表紫色）之間變換，從而一共可以有512種不同的顏色組合，即代表512種不同的信息.現(xiàn)要求每一行，每一列上至多有一個紫色小方格（如圖所示即滿足要求）.則一共可以傳遞種信息.（用數(shù)字作答）【解析】顯然，紫色小方格頂多有3個.分類討論1）若無紫色小方格，則只有1種結果；（2）若有且只有1個紫色小方格，則有C=9種結果；（3）若有且只有2個紫色小方格，從行來看，先選出有紫色小方格的那兩行，有C=3種選法，這兩行的排法有CC=6種，此種情況下共有18種結果；（4）若有且只有3個紫色小方格，顯然，這三行的排法有CCC=6種.綜上，一共有34種結果，即一共可以傳遞34種信息.故答案為：34例20．某一天上午的課程表要排入語文、數(shù)學、物理、體育共4節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學，那么共有排法種.(用數(shù)字