考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點模擬試卷2（共135題）

考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點模擬試卷2（共9套）（共135題）考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點模擬試卷第1套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、標準答案：知識點解析：暫無解析2、已知求f(1)．標準答案：知識點解析：暫無解析3、求標準答案：原式=一(e—2xarctanex+e—x+arctanex)+C。知識點解析：暫無解析4、設(shè)標準答案：方程兩邊對χ求導(dǎo)數(shù)得知識點解析：暫無解析5、設(shè)有參數(shù)方程0≤t≤π．(Ⅰ)求證該參數(shù)方程確定y＝y(tǒng)(χ)，并求定義域；(Ⅱ)討論y＝y(tǒng)(χ)的可導(dǎo)性與單調(diào)性；(Ⅲ)討論y＝y(tǒng)(χ)的凹凸性．標準答案：(Ⅰ)＝3cos2t(－sint)≤0，(t∈[0，π])，僅當(dāng)t＝0，，π時為零，因而得χ是t的單調(diào)(減)函數(shù)．反函數(shù)t＝t(χ)y＝sin3t(χ)＝y(tǒng)(χ)，χ∈[－1．1]．(Ⅱ)記0≤t≤π．當(dāng)t≠0，，π時反函數(shù)t＝t(χ)可導(dǎo)，得y＝y(tǒng)(χ)可導(dǎo)，則注意y＝y(tǒng)(χ)在[－1，1]連續(xù)，t與χ的對應(yīng)關(guān)系：得0≤χ≤1時y(χ)單調(diào)下降，－1≤χ≤0時y(χ)單調(diào)上升．因此y(χ)在[－1，0]，[0，1]均是凹的．y＝y(tǒng)(χ)的圖形如圖4．2．知識點解析：暫無解析6、飛機以勻速v沿y軸正向飛行，當(dāng)飛機行至。時被發(fā)現(xiàn)，隨即從x軸上(x0，0)處發(fā)射一枚導(dǎo)彈向飛機飛去(x0＞0)，若導(dǎo)彈方向始終指向飛機，且速度大小為2v．(1)求導(dǎo)彈運行的軌跡滿足的微分方程及初始條件；(2)導(dǎo)彈運行方程．標準答案：(1)設(shè)t時刻導(dǎo)彈的位置為M(x，y)，根據(jù)題意得兩邊對x求導(dǎo)數(shù)得又所以導(dǎo)彈運行軌跡滿足的微分方程及初始條件為(2)令進一步解得故軌跡方程為知識點解析：暫無解析7、設(shè)χ＝χ(t)由sint－∫tχ(t)φ(u)du＝0確定，φ(0)＝φ′(0)＝1且φ(u)＞0為可導(dǎo)函數(shù)，求χ〞(0)．標準答案：t＝0時，χ(0)＝0．sint－∫tχ(t)φ(u)du＝0兩邊關(guān)于t求導(dǎo)得cost－φ[χ(t)]χ′(t)＋φ(t)＝0，取t＝0得χ′(0)＝2；兩邊再關(guān)于t求導(dǎo)可得－sint－φ′[χ(t)][χ′(t)]2－φ[χ(t)]χ〞(t)＋φ′(t)＝0，取t＝0得χ〞(0)＝－3．知識點解析：暫無解析8、若行列式的某個元素aij加1，則行列式的值增加Aij．標準答案：修改后的行列式第j列為(a1j，aij，…，anj+1，…，a)T=(a1j，…，aij，…，anj)T+(0，…，1，…，0)T，對它分解(性質(zhì)⑤)，分為兩個行列式之和，一個就是原行列式，另一個的值為Aij．知識點解析：暫無解析9、計χy(χ＋y)dσ，其中D是由χ2－y2＝1及y＝0，y＝1圍成的平面區(qū)域．標準答案：知識點解析：暫無解析10、已知齊次線性方程組=有非零解，且矩陣A=是正定矩陣．(1)求a的值；(2)求當(dāng)XTX=2時，XTAX的最大值，其中X=(x1，x2，x3)T∈R3．標準答案：(1)由方程組的系數(shù)行列式△=a(a+1)(a一3)=0,a的取值范圍為：0，一1，3，再由矩陣A正定，得a=3；(2)可求得A的最大特征值為10，設(shè)對應(yīng)的單位特征向量為ξ(即Aξ=10ξ，且ξTξ=1)．對二次型XTAX，存在正交變換X=AX，使XTAXλ1y12+λ2y22+λ3y32≤10(y12+y22+y32)，當(dāng)XTX=YTY=y12+y22+y32=2時，有XTAX≤10×2=20，又X0=滿足X0TX0=2，且X0TAX0==2ξT(Aξ)=2ξT(10ξ)=20(ξTξ)=20，綜上可知=20．知識點解析：暫無解析11、為清除井底污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥提出井口，設(shè)井深30m，抓斗自重400N，纜繩每米重50N，抓斗盛污泥2000N，提升速度為3m／s，在提升過程中，污泥以20N／S的速度從抓斗中漏掉，現(xiàn)將抓斗從井底提升到井口，問克服重力做功多少?標準答案：設(shè)拉力對空斗所做的功為W1，則W1=400×30=12000J．設(shè)拉力對繩所做的功為W2，任取[x，x+dx][0，30]，dW2=50(30-x)dx，則W2=∫030dW2=22500J．設(shè)拉力對污泥做功為W3，任取[t，t+dt][0，10]，dW3=(2000-20t)×3dt，則W3=∫010dW3=57000J，拉力克服重力所做的功為W=W1+W2+W3=91500J．知識點解析：暫無解析12、由方程聽確定的函數(shù)z=z(x，y)在點(1，0，一1)處的全微分dz=_________.標準答案：在給定方程的兩邊分別對x求偏導(dǎo)數(shù)，并注意到z是x,y的二元函數(shù)，得知識點解析：暫無解析設(shè)其中f(x)在x=0處二階可導(dǎo)，且f(0)=f'(0)=1。13、a、b為何值時，g(x)在x=0處連續(xù)。標準答案：由題意若要g(x)在x=0處連續(xù)，必須故b=一1，a為任意實數(shù)時，g(x)在x=0處連續(xù)。知識點解析：暫無解析14、a、b為何值時，g(x)在x=0處可導(dǎo)。標準答案：若要g(x)在x=0處可導(dǎo)，則必須g(x)在x=0處連續(xù)(b=一1)，且g+’(0)=g+’(0)，所以知識點解析：暫無解析15、設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)和[a，b]上存在二階導(dǎo)數(shù)，并且g〞(x)≠0，f(a)＝f(b)＝g(a)＝g(b)＝O，試證(1)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)g(x)≠0；(2)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點ε，使標準答案：證：將欲證的等式變形為f(ε)g〞(ε)－f〞(ε)g(ε)＝0，由此可啟發(fā)我們構(gòu)造輔助函數(shù)φ(x)＝f(x)gˊ(x)－fˊ(x)g(x)．(1)用反證法．若存在c∈(a，b)，使g(c)＝0，對g(x)在[a，c]和[c，b]上應(yīng)用羅爾定理，知存在ε1∈(a，c)，ε2∈(c，d)，使gˊ(ε1)＝gˊ(ε2)＝0．gˊ(x)再在[ε1，ε2]上應(yīng)用羅爾定理，應(yīng)存在ε3∈(ε1，ε2)，使g〞(ε3)＝0，這與條件g〞(x)≠0矛盾．故在(a，b)內(nèi)g(x)≠0．(2)令φ(x)＝f(x)gˊ(x)－fˊ(x)g(x)，則φ(a)＝φ(b)＝0，由羅爾定理知，存在ε∈(a，b)，使φˊ(ε)＝0，即fˊ(ε)gˊ(ε)＋f(ε)g〞(ε)－f〞(ε)g(ε)－fˊ(ε)gˊ(ε)＝0即f(ε)g〞(ε)＝f〞(ε)g(ε)因g(ε)≠0，g〞(ε)≠0，故得知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點模擬試卷第2套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、設(shè)f(x，y)＝，x＞0，y＞0，求(1)；(2)。標準答案：(1)；(2)π知識點解析：暫無解析2、設(shè)f(χ)在[0，＋∞)連續(xù)，f(χ)＝A＞0，求證：∫0χf(t)dt＝＋∞．標準答案：因，由極限的不等式性質(zhì)可知，X，當(dāng)χ＞X時f(χ)＞，則χ＞X時有因此∫0χf(t)dt＝＋∞．知識點解析：暫無解析3、設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)滿足f(x)=f(x-π)+sinx，且f(x)=x，x∈[0，π)，求∫π3πf(x)dx．標準答案：∫π3πf(x)dx=∫π3π[f(x-π)+sinx]dx=∫π3πf(x-π)dx=∫02πf(t)dt=∫0πf(t)dt+∫02πf(t)dt=∫0πtdt+∫π2π[f(t-π)+sint]dt=-2+∫π2πf(t-π)dt-2+∫0πf(u)du=π2-2．知識點解析：暫無解析4、標準答案：此題為用導(dǎo)數(shù)定義去求極限，關(guān)鍵在于把此極限構(gòu)造為廣義化的導(dǎo)數(shù)的定義式．=(x10)’|x=2+(x10)|x=2=2×10×29=10×210．知識點解析：暫無解析5、證明：當(dāng)0＜x＜1時，(1+x)ln2(1+x)＜x2標準答案：令f(x)=x2-(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0；f’(x)=2x-ln2(1+x)-2ln(1+x)，f’(0)=0；故當(dāng)0＜x＜1時，(1+x)ln2(1+x)＜x2知識點解析：暫無解析6、求證：當(dāng)x＞0時，(x2一1)lnx≥(x一1)2標準答案：設(shè)f(x)=(x2一1)lnx一(x一1)2．所以f(1)=0．又因為f’(x)=2xlnx-x+2一,f’(1)=0，且f"(x)=2lnx+1+，f"(1)=2＞0，所以當(dāng)x≥1時，f"(x)＞0，知f’(x)單調(diào)遞增，則f’(x)≥f’(1)=0，從而f(x)單調(diào)遞增，故f(x)≥f(1)=0．原式成立．當(dāng)0＜x＜1時，f"’(x)＜0，知f"(x)單調(diào)遞減，則f"(x)≥f"(1)=2＞0，從而f’(x)單調(diào)遞增，故f’(x)＜f’(1)=0，所以f(x)單調(diào)遞減，知f(x)＞f(1)=0．原式成立．知識點解析：暫無解析7、求曲線y＝的上凸區(qū)間．標準答案：由y〞＜0得(χ－3)2－1＜0，解得2＜χ＜4，故曲線y＝的上凸區(qū)間為(2，4)．知識點解析：暫無解析8、求不定積分標準答案：令有dx=tdt，于是知識點解析：暫無解析9、求雙紐線(x2+y2)2=a2(x2-y2)所圍成的面積．標準答案：根據(jù)對稱性，所求面積為第一卦限面積的4倍，令則雙紐線的極坐標形式為r2=所求面積為A=4A1=a2．知識點解析：暫無解析10、計算(x+y)2dxdy，其中D：ay≤x2+y2≤2ay(a>0)．標準答案：知識點解析：暫無解析11、求微分方程y2dx+(2xy+y2)dy=0的通解．標準答案：由y2dx+(2xy+y2)dy=0得所以原方程的通解為y2(y+3x)=C知識點解析：暫無解析12、已知對于n階方陣A，存在自然數(shù)k，使得Ak=O．試證明：矩陣E一A可逆，并寫出其逆矩陣的表達式(E為n階單位陣)．標準答案：E=E一Ak=Ek一Ak=(E一A)(E+A+…+Ak一1)，所以E一A可逆，且(E—A)一1=E+A+…+Ak一1．知識點解析：暫無解析13、標準答案：知識點解析：暫無解析設(shè)矩陣為A*對應(yīng)的特征向量．14、求a，b及α對應(yīng)的A*的特征值；標準答案：顯然α也是矩陣A的特征向量，令A(yù)α=λ1α，則有｜A｜=12，設(shè)A的另外兩個特征值為λ2，λ3，由得λ2=λ3=2．α對應(yīng)的A*的特征值為=4．知識點解析：暫無解析15、判斷A可否對角化．標準答案：2E-A=，因為r(2E-A)=2，所以λ2=λ3=2只有一個線性無關(guān)的特征向量，故A不可以對角化．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點模擬試卷第3套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、求極限：標準答案：當(dāng)x→0時，tanx～x，知識點解析：暫無解析2、求極限。標準答案：由麥克勞林展開式sinx=x一+o(x3)，cosx=1一+o(x2)及常見的等價無窮小代換，可得知識點解析：暫無解析3、設(shè)矩陣相似，求x，y；并求一個正交矩陣P，使P－1AP=A。標準答案：A與相似，相似矩陣有相同的特征值，故λ=5，λ=一4，λ=y是A的特征值。因為λ=一4是A的特征值，所以｜A+4E｜==9(x一4)=0，解得x=4。又因為相似矩陣的行列式相同，｜A｜==一100，=一20y，所以y=5。當(dāng)λ=5時，解方程(A一5E)x=0，得兩個線性無關(guān)的特征向量，將它們正交化、單位化得：當(dāng)λ=一4時，解方程(A+4E)x=0，得特征向量，單位化得：知識點解析：暫無解析4、計算∫01dy∫y1x2dx．標準答案：改變積分次序得知識點解析：暫無解析5、f(χ，y)＝χ3＋y3－3χy的極小值．標準答案：由得(χ，y)＝(0，0)，(χ，y)＝(1，1)．f〞χχ＝6χ，f〞χy＝－3，f〞yy＝6y，當(dāng)(χ，y)＝(0，0)時，A＝0，B＝－3，C＝0，因為AC－B2＜0，所以(0，0)不是極值點；當(dāng)(χ，y)＝(1，1)時，A＝6，B＝－3，C＝6，因為AC－B2＞0且A＞0，所以(1，1)為極小值點，極小值為f(1，1)＝－1．知識點解析：暫無解析6、設(shè)單位質(zhì)點在水平面內(nèi)作直線運動，初速度v｜t=0=v0．已知阻力與速度成正比(比例系數(shù)為1)，問t為多少時此質(zhì)點的速度為v0／3?并求到此時刻該質(zhì)點所經(jīng)過的路程．標準答案：設(shè)t時刻質(zhì)點運動的速度為v(t)，阻力F=ma=解此微分方程得v(t)=v0et．由v0e-t=v0／3得t=ln3，從開始到t=ln3的時間內(nèi)質(zhì)點所經(jīng)過的路程為知識點解析：暫無解析7、A＝E－αβT，其中α，β都是n維非零列向量，已知A2＝3E－2A，求αTβ．標準答案：A2＝3E－2A，A2＋2A一3E＝0，(A＋3E)(A－E)＝0，(4E－αβT)(－αβT)＝0，4αβT－αβTαβT＝0，(βTα是數(shù)!)(4－βTα)αβT＝0，(由于α，β都是非零列向量，αβT不是零矩陣)4－βTα＝0，βTα＝4，從而αTβ＝βTα＝4．知識點解析：暫無解析8、設(shè)f(x)在[0，a](a>0)上非負、二階可導(dǎo)，且f(0)=0，為y=f(x)，y=0，x=a圍成區(qū)域的形心，證明：標準答案：知識點解析：暫無解析9、討論方程組的解的情況，在方程組有解時求出其解，其中a，b為常數(shù)．標準答案：D==-(a+1)(b+2)．(1)當(dāng)a≠-1，b≠-2時，因為D≠0，所以方程組有唯一解，由克拉默法則得(2)當(dāng)a=-1，b≠-2時，當(dāng)b≠-1時，方程組無解當(dāng)b=-1時，(3)當(dāng)a≠-1，b=-2時，當(dāng)a≠1時，顯然r(A)=2≠r()=3，方程組無解．知識點解析：暫無解析10、設(shè)A為n階矩陣，α1，α2，α3為n維列向量，其中α1≠0，且Aα1＝α1，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝α2＋α3，證明：α1，α2，α3線性無關(guān)．標準答案：由Aα1＝α1得(A－E)α1＝0；由Aα2＝α1＋α2得(A－E)α2＝α1；由Aα3＝α2＋α3得(A－E)α3＝α2，令k1α1＋k2α2＋k3α3＝0，(1)(1)兩邊左乘A－E得k2α1＋k3α2＝0，(2)(2)兩邊左乘A－E得k3α1＝0，因為α1≠O，所以k30，代入(2)、(1)得k1＝0，k2＝0，故α1，α2，α3線性無關(guān)．知識點解析：暫無解析11、設(shè)y＝f(x)在(－1，1)內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且f〞(x)≠0，試證：(1)對于(－1，1)內(nèi)的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使下式成立f(x)＝f(0)＋xfˊ[θ(x)x]標準答案：知識點解析：暫無解析12、計算下列曲線所圍成的平面圖形的面積：(1)y＝x2，y＝x＋2(2)y＝sinx，y＝cosx，x＝0(3)y＝x2，y＝x，y＝2x標準答案：知識點解析：暫無解析設(shè)(X，Y)服從G={(x，y)|1>y>x>0}上的均勻分布(圖3-6)，求：13、(X，Y)的密度函數(shù)；標準答案：知識點解析：暫無解析14、X和Y的邊緣密度函數(shù).標準答案：知識點解析：暫無解析15、標準答案：因α,β,γ是方程x3+px+q=0的三個根，故α+β+γ=0．將行列式的其余各列都加到第一列，得：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點模擬試卷第4套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、求極限：標準答案：這是“1∞”型未定式極限，可用公式計算(事實上lnu=ln[1+(u一1)]～u一1(u→1))．故原式=知識點解析：暫無解析2、設(shè)f(χ)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)＝f′(0)＝0，f〞(0)≠0，設(shè)u(χ)為曲線y＝f(χ)在點(χ，f(χ))處的切線在χ軸上的截距，求．標準答案：曲線y＝f(χ)在點(χ，f(χ))的切線為Y－f(χ)＝f′(χ)(X－χ)，令Y＝0，則u(χ)＝X＝χ－知識點解析：暫無解析3、已知三元二次型f=xTAx的秩為2，且求此二次型的表達式，并求正交變換x=Qy化二次型為標準形。標準答案：二次型xTAx的秩為2，即r(A)=2，所以λ=0是A的特征值。所以3是A的特征值，(1，2，1)T是與3對應(yīng)的特征向量；一1也是A的特征值值，(1，一1，1)T是與一1對應(yīng)的特征向量。因為實對稱矩陣不同特征值的特征向量相互正交，設(shè)λ=0的特征向量是(x1，x2，x3)T，則有由方程組解出λ=0的特征向量是(1，0，一1)T。因此xTAx=(x12+10x22+x32+16x1x2+2x1x3+16x2x3)，令Q=，則經(jīng)正交變換x=Qy，有xTAx=yTy=3y12一y32。知識點解析：暫無解析4、計算標準答案：令于是知識點解析：暫無解析5、設(shè)函數(shù)y(x)(x≥0)二階可導(dǎo)且y’(x)>0，y(0)=1．過曲線y=y(x)上任意一點P(x，y)作該曲線的切線及x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S1，區(qū)間[0，x]上以y=y(x)為曲邊的曲邊梯形面積記為S2，并設(shè)2S1一S2恒為1，求此曲線y=y(x)的方程．標準答案：曲線y=y(x)上點P(x，y)處的切線方程為Y—y=y’(X—x)．它與x軸的交點為由于y’(x)>0，y(0)=1，從而y(x)＞0，于是又由條件2S1一S2=1知兩邊對x求導(dǎo)并化簡得yy"=(y’)2．令p=y’，則上述方程可化為從而解得p=C1y，即于是y=eC1x+C2．注意到y(tǒng)(0)=1，并由式①得y’(0)=1．由此可得C1=1，C2=0，故所求曲線的方程是y=ex．知識點解析：暫無解析6、(1)計算(2)當(dāng)x→1-時，求與等價的無窮大量．標準答案：(2)要解決第二個問題，首先需要弄清楚以下幾個要點：①x→x0時，f(x)與g(x)為等價無窮大②無窮大量的表達形式眾多，有一種常用的形式：此題x→1-，故考慮用于是，根據(jù)第一問的提示，我們要湊出“[]”這種形式，故令即知識點解析：暫無解析7、(1)設(shè)A是對角矩陣，并且對角線上元素兩兩不相等．證明和A乘積可交換的一定是對角矩陣．(2)n階矩陣C如果和任何n階矩陣乘積可交換，則C必是數(shù)量矩陣．標準答案：(1)設(shè)B和A乘積可交換，要證明B是對角矩陣，即要說明B的對角線外的元素bij(i≠j)都為0．設(shè)A的對角線元素為λ1，λ2，…，λn．則AB的(i，j)位元素為λibij，而BA的(i，j)位元素為λibij因為AB＝BA，得aibij＝λjbij，因為λi≠λj，所以bij＝0．(2)先說明C一定是對角矩陣．由于C與對角線上元素兩兩不相等的n階對角矩陣乘積可交換，由(1)的結(jié)論得出C是對角矩陣．再說明C的對角線元素c11，c22，…，cnn都相等．構(gòu)造n階矩陣A，使得其(i，j)位元素為1，i≠j，則CA的(i，j)位元素為cij，AC的(i，j)位元素為cjj．于是cii＝cjj．這里的i，j是任意的，從而．c11＝c22＝…＝cnn．知識點解析：暫無解析8、設(shè)A，B滿足A*BA=2BA一8E，其中A=，求矩陣B。標準答案：｜A｜=一2，利用恒等式AA*=｜A｜E，在等式A*BA=2BA一8E兩邊同時左、右分別乘A、A－1得｜A｜B=2AB一8E，移項合并得(A+E)B=4E，則B=4(A+E)－1=。知識點解析：暫無解析9、設(shè)三階實對稱矩陣A的特征值為λ1＝8，λ2＝λ3＝2，矩陣A的屬于特征值λ1＝8的特征向量為ξ1＝，屬于特征值λ2＝λ3＝2的特征向量為ξ2＝，求屬于λ2＝λ3＝2的另一個特征向量．標準答案：因為實對稱矩陣不同的特征值對應(yīng)的特征向量正交，所以有ξ1Tξ2＝－1＋k＝0k＝1λ1＝8對應(yīng)的特征向量為ξ1＝令λ2＝λ3＝2對應(yīng)的另一個特征向量為ξ3＝，由不同特征值對應(yīng)的特征向量正交，得χ1＋χ2＋χ3＝0知識點解析：暫無解析10、設(shè)a＞1，n為正整數(shù)，證明：標準答案：對f(x)=ax在上用拉格朗日中值定理，有知識點解析：暫無解析設(shè)A=，方程組AX=β有解但不唯一．11、求a；標準答案：因為方程組AX=β有解但不唯一，所以｜A｜=0，從而a=-2或a=1．當(dāng)a=-2時，=2＜3，方程組有無窮多解；當(dāng)a=1時，，方程組無解，故a=-2．知識點解析：暫無解析12、求可逆矩陣P，使得P-1AP為對角陣；標準答案：由｜λE-A｜=λ(λ+3)(λ-3)=0得λ1=0，λ2=3，λ3=-3．由(0E-A)X=0得λ1=0對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為ξ1=由(3E-A)X=0得λ2=3對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為ξ2=由(-3E-A)X=0得λ3=-3對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為ξ3=知識點解析：暫無解析13、求正交陣Q，使得QTAQ為對角陣．標準答案：令γ=知識點解析：暫無解析14、設(shè)A＝，已知A有三個線性無關(guān)的特征向量且λ＝2為矩陣A的二重特征值，求可逆矩陣P，使得P-1AP為對角矩陣．標準答案：由λ1＝λ2＝2及λ1＋λ2＋λ3＝tr(A)＝10得λ3＝6．因為矩陣陣A有三個線性無關(guān)的特征向量，所以r(2E－A)＝1，由2E－A＝得a＝2，b＝－2．λ1＝λ2＝2代入(XE－A)X＝0，由得λ1＝λ2＝2對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為λ3＝6代入(λE－A)X＝0，由6E－A＝得λ3＝6對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為則P可逆，且P－1AP＝知識點解析：暫無解析15、標準答案：(x-a1)(x-a2)(x-a3)…(x-an)知識點解析：第i列減去最后一列的ai倍，i=1，2，…，n．考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點模擬試卷第5套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、求極限：．標準答案：知識點解析：暫無解析2、分段函數(shù)一定不是初等函數(shù)，若正確，試證之；若不正確，試說明它們之間的關(guān)系?標準答案：不正確．初等函數(shù)是指由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算及有限次復(fù)合步驟所得到的，并用一個式子表示的函數(shù)．分段函數(shù)雖用幾個表達式表示，但并不能說肯定不能用一個表達式表示，因此，分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，也可能不是初等函數(shù)，如ψ(x)=|x|，通常寫成分段函數(shù)的形式但也可以寫成一個表達式所以函數(shù)ψ(x)=|x|是初等函數(shù)．而則不是初等函數(shù)．知識點解析：暫無解析3、證明：若單調(diào)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有間斷點，則必為第一類間斷點．標準答案：不妨設(shè)．f(x)在(a，b)內(nèi)是單調(diào)遞增的，x0∈(a，b)是f(x)的間斷點．再設(shè)x∈(a，x0)，則x＜x0，由單調(diào)遞增性知：f(x)＜f(x0)(為常數(shù))，即f(x)在(a，x0)上單調(diào)遞增有上界，它必定存在左極限：式中“≤”處若取“一”號，則f(x)在點x0處左連續(xù)，同理可證，當(dāng)x＞x0時，單調(diào)增函數(shù)f(x)存在右極限x(x0)≥f(x0)，則f(x)在x0處右連續(xù)．反之點x0為跳躍間斷點．綜合之，單調(diào)增函數(shù)f(x)在間斷點x0處的左、右極限都存在，故若x0是f(x)的間斷點，則x0一定是f(x)的第一類間斷點．同理可證f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減的情形．知識點解析：暫無解析4、設(shè)an=，證明：{an}收斂，并求標準答案：顯然{an}單調(diào)增加，現(xiàn)證明：an≤3，當(dāng)n=1時，a1=≤3，設(shè)n=k時，ak≤3，當(dāng)n=k+1時，ak+1==3．由歸納法原理，對一切的自然數(shù)n，有an≤3，所以存在．令=A，由ak+1=，得A=，解得A=3，即=3．知識點解析：暫無解析5、求圓弧x2+y2=a2繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得球冠的面積．標準答案：如圖3.15，由對稱性只需考慮y軸右方部分的圓弧.將它表示為直接由旋轉(zhuǎn)面的面積計算公式得知識點解析：暫無解析6、設(shè)f(χ)在[0，3]上連續(xù)，在(0，3)內(nèi)二階可導(dǎo)，且2f(0)＝∫02f(t)dt＝f(2)＋f(3)．證明：(1)存在ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f′(ξ1)＝f′(ξ2)＝0．(2)存在ξ∈(0，3)，使得f〞(ξ)－2f′(ξ)＝0．標準答案：(1)令F(χ)＝∫0χf(t)dt，F(xiàn)′(χ)＝f(χ)，∫02f(t)dt＝F(2)－F(0)＝F′(c)(2－0)－2f(c)，其中0＜c＜2．因為f(χ)在[2，3]上連續(xù)，所以f(χ)在[2，3]上取到最小值m和最大值M，m≤≤M，由介值定理，存在χ0∈[2，3]，使得f(χ0)＝，即f(2)＋f(3)＝2f(χ0)，于是f(0)＝f(c)＝f(χ0)，由羅爾定理，存在ξ1∈(0)(0，3)，ξ2∈(c，χ0)(0，3)，使得f′(ξ1)＝f′(ξ2)＝0．(2)令φ(χ)＝e－2χf′(χ)，φ(ξ1)＝φ(ξ2)＝0，由羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(0，3)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(χ)＝e－2χ[f〞(χ)－2f′(χ)]且e－2χ≠0，故f〞(ξ)－2f′(ξ)＝0．知識點解析：暫無解析7、設(shè)f(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求標準答案：由積分中值定理可知，存在ξ∈[一a，a]，使∫-aa[f(t+a)一f(t一a)]dt=2a[f(ξ+a)一f(ξ一a)]，再由微分中值定理可知，存在η∈(ξ—a，ξ+a)，使f(ξ+a)-f(ξ一a)=2af’(η)．由夾逼準則可知，當(dāng)a→0+時ξ→0，η→0，故知識點解析：暫無解析8、標準答案：知識點解析：暫無解析9、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，證明：至少存在一點ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．標準答案：記G(x)=f(x)∫xbg(t)dt—g(x)∫axf(t)dt．求得G(x)的原函數(shù)為F(x)=∫axf(t)dt∫xbg(t)dt+C，其中C為任意常數(shù)，因為f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，所以F(x)：(1)在[a，b]上連續(xù)；(2)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)；(3)F(a)=F(b)=C，即F(z)在[a，b]上滿足羅爾定理，所以，至少存在一個ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0，即f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．知識點解析：暫無解析10、設(shè)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為x件和y件，利潤函數(shù)為L(x，y)=6x-x2+16y-4y2-2(萬元)．已知生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品時，每件產(chǎn)品都要消耗原料2000kg，現(xiàn)有該原料12000kg，問兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時總利潤最大?最大利潤是多少?標準答案：根據(jù)題意，即求函數(shù)L(x，y)=6x-x2+16y-4y2—2在02+16y-4y2-2+λ(x+y-6)，由，根據(jù)題意，x，y只能取正整數(shù)，故(x，y)的可能取值為L(4，2)=22，L(3，3)=19，L(3，2)=23，故當(dāng)x=3，y=2時利潤最大，最大利潤為23萬元．知識點解析：暫無解析11、設(shè)A，B均為n階矩陣，A有n個互不相同的特征值，且AB=BA，證明：B相似于對角陣．標準答案：A有n個互不相同的特征值，故存在可逆陣P，使得P一1AP=diag(λ1，λ2，…，λs)=A1，其中λi，i=1，2，…，n是A的特征值，且λi≠λj(i≠j)．又AB=BA，故P一1APP=P一1BPP一1AP，即．設(shè)P一1BP=(cij)n×n，則知識點解析：暫無解析12、設(shè)f(x+y2)dxdy，其中D：x2+y2≤16．標準答案：由于f(y+1)=所以I的被積函數(shù)f(y+1)f(x+y2)的非零值區(qū)域D1為D1={(x，y)|1≤x+y2≤3，0≤y≤2}={(x，y)|1一y2≤x≤3一y2，0≤y≤2}，故知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)為[一a，a]上的連續(xù)偶函數(shù)，且f(x)＞0，令F(x)=∫-aa|x－t|一f(t)dt13、證明F’(x)單調(diào)增加；標準答案：所以f’’(x)=2f(x)＞0，因此F’(x)為單調(diào)增加的函數(shù)。知識點解析：暫無解析14、當(dāng)x取何值時，F(xiàn)(x)取最小值；標準答案：因為且f(x)為偶函數(shù)，所以F’(0)=0，又因為f’’(0)＞0，所以x=0為F(x)的唯一極小值點，也為最小值點。知識點解析：暫無解析15、當(dāng)F(x)的最小值為f（A）一a2一1時，求函數(shù)f(x)。標準答案：由2∫0n(t)dt=f（A）一a2—1，兩邊對a求導(dǎo)得2af（A）=f’(a)一2a，于是f’(x)一2xf(x)=2x，解得f(x)=[∫2xe-2xdxdx+C∫e-∫-2xdx=Cex2一1，在2∫02tf(t)dt=f（A）一a2一1中，令a=0，得f(0)=1，則C=2，于是f(x)=2ex2一1。知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點模擬試卷第6套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、設(shè)αi=(αi1,αi2……αin)T(i=1，2，…，r，r＜n)是n維實向量，且α1,α2……αr線性無關(guān)，已知β=(b1，b2，…，bn)T是線性方程組的非零解向量，試判斷向量組α1,α2標準答案：設(shè)有一組數(shù)x1,x2,……xx+1，使得x1α1+x2α2+…+xα+xrαr+xr+1β=0，(*)用βT左乘(*)式兩端，由于β是方程組的非零解，所以βTαi=0(i=1，2，…，r)，從而得xr+1βTβ=0，而β≠0，故βTβ≠0，從而xr+1=0，代入(*)式并注意到向量組α1,α2……αr線性無關(guān)，可得x1=0，x2=0，…，xr=0，所以向量組α1,α2……αr，β線性無關(guān)．知識點解析：本題是向量與方程組的綜合題．注意β=(b1，b2，…，bn)T是線性方程組的解，則有即βTαi=0(i=1，2，…，r)．2、(1)由方程sinχy＋ln(y－χ)＝χ確定函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)，求．(2)設(shè)f(χ)＝，求df(χ)｜χ＝0．(3)設(shè)y＝y(tǒng)(χ)是由eχ－χ＋y－2＝0確定的隱函數(shù)，則y〞(0)＝_______．標準答案：(1)將χ＝0代入sinχy＋ln(y－χ)＝χ得y＝1，sinχy＋ln(y－χ)＝χ兩邊對χ求導(dǎo)得將χ＝0，y＝1代入得＝1．(2)由f(χ)＝＝χeχ得f′(χ)＝(χ＋1)eχ，從而f′(1)＝2e，故df(χ)｜χ＝1＝2edχ．(3)當(dāng)χ＝0時，y＝1，eχy－χ＋y－2＝0兩邊對χ求導(dǎo)得eχy(y＋χy′)－1＋y′＝0，解得y′(0)＝0；eχy(y＋χy′)＝1＋y′＝0兩邊對χ求導(dǎo)得eχy(y＋χy′)2＋eχy(2y′＋χy〞)＋y〞＝0，解得y〞(0)＝－1．知識點解析：暫無解析3、標準答案：知識點解析：暫無解析4、設(shè)f(χ)＝求f′(χ)并討論f′(χ)在χ＝0處的連續(xù)性．標準答案：當(dāng)χ≠0時，f′(χ)＝當(dāng)χ＝時，所以f′(χ)在χ＝0處連續(xù)．知識點解析：暫無解析5、求不定積分．標準答案：知識點解析：暫無解析6、設(shè)A=(aij)n×n是非零矩陣，且｜A｜中每個元素aij與其代數(shù)余子式Aij相等．證明：｜A｜≠0．標準答案：因為A是非零矩陣，所以A至少有一行不為零，設(shè)A的第k行是非零行，則｜A｜=ak1Ak1+ak2Ak2+…+aknAkn=ak12+ak22+…+akn2＞0．知識點解析：暫無解析7、求二重積分，其中D={(x，y)｜(x一1)2+(y—1)2≤2，y≥x}．標準答案：由已知條件，積分區(qū)域D={(x，y)｜(x一1)2+(y一1)2≤2，y≥x1．由(x一1)2+(y一1)2≤2，得r≤2(sinθ+cosθ)，于是知識點解析：暫無解析8、設(shè)函數(shù)f(x，y)可微，又f(0，0)=0，f’x(0，0)=a，f’y(0，0)=b，且φ(t)=f[t，f(t，t2)]，求φ’(0)．標準答案：在φ(t)=f[t，f(t，t2)]中令u=t，u=f(t，t2)，得φ(t)=f(u，u)，φ’(t)=f’1(u，v)．=f’1(u，v)．1+f’1(u，v)．[f’1(t，t2)．1+f’1(t，t2)．2t]=f’1[t，f(t，t2)]+f’2[t，f(t，t2)]．[f’1(t，t2)+f’2(t，t2)．2t]，所以φ’(0)=f’1(0，0)+f’2(0，0)．[f’1(0，0)+f’2(0，0)．2．0]=a+b(a+0)=a(1+b)．知識點解析：暫無解析9、把二重積分f(x，y)dxdy寫成極坐標下的累次積分的形式(先r后θ)，其中D由直線x+y=1，x=1，y=1圍成．標準答案：D1={(x，y)｜0≤θ≤≤r≤secθ}，知識點解析：暫無解析10、證明：當(dāng)0＜χ＜1時，e-2χ＞標準答案：e－2χ＞等價于－2χ＞ln(1－χ)－ln(1＋χ)，令f(χ)＝ln(1＋χ)－ln(1－χ)－2χ，f(0)＝0，f′(χ)＝＞0(0＜χ＜1)，由得f(χ)＞0(0＜χ＜1)，故當(dāng)0＜χ＜1時，e－2χ＞知識點解析：暫無解析11、標準答案：知識點解析：暫無解析12、求的最大項．標準答案：當(dāng)x∈(0，e)時，f’(x)>0；當(dāng)x∈(e，+∞)時，f’(x)<0，則x=e為f(x)的最大點，于是的最大項為因為，所以最大項為知識點解析：暫無解析13、證明：用二重積分證明標準答案：令D1＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤R2，χ≥0，y≥0}，S＝{(χ，y)｜0≤χ≤R，0≤y≤R}，D2一{(χ，y)｜χ2＋y2≤2R2，χ≥0，y≥0}φ(χ，y)＝，因為φ(χ，y)＝≥0且D2D2，令R→＋∞同時注意到＞0，根據(jù)迫斂定理得知識點解析：暫無解析設(shè)二維非零向量α不是二階方陣A的特征向量．14、證明α，Aα線性無關(guān)；標準答案：若α，Aα線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)k1，k2，使得k1α+k2Aα=0，可設(shè)k2≠0，所以Aα=，矛盾，所以α，Aα線性無關(guān)．知識點解析：暫無解析15、若A2α+Aα-6α=0，求A的特征值，討論A可否對角化；標準答案：由A2α+Aα-6α=0，得(A2+A-6E)α=0，因為α≠0，所以r(A2+A-6E)＜2，從而｜A2+A-6E｜=0，即｜3E+A｜.｜2E-A｜=0，則｜3E+A｜=0或｜2E-A｜=0．若｜3E+A｜≠0，則3E+A可逆，由(3E+A)(2E-A)α=0，得(2E-A)α=0，即Aα=2α，矛盾；若｜2E-A｜≠0，則2E-A可逆，由(2E-A)(3E+A)α=0，得(3E+A)α=0，即Aα=-3α，矛盾，所以有｜3E+A｜=0且｜2E-A｜=0，于是二階矩陣A有兩個特征值-3，2，故A可對角化．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點模擬試卷第7套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、設(shè)x1＞0，xn+1=1—e-xn，n=1，2，…．(1)證明數(shù)列{xn}收斂，并求其極限；(2)求極限標準答案：(1)因為x1＞0，所以x2=1一＞0．設(shè)xn＞0，則xn+1=1—＞0，從而{xn}有下界．令f(x)=x一(1一e-x)，則f’(x)=1一e-x，當(dāng)x＞0時，f’(x)＞0，從而f(x)＞f(0)=0，即x＞1一e-x，于是xn＞1一e-xn=xn+1，即{xn}單調(diào)遞減．由單調(diào)有界準則，{xn}收斂，設(shè)，則a=1一e-a，得a=0．(2)知識點解析：暫無解析2、設(shè)X1和X2是相互獨立的且均服從正態(tài)分布N(μ，σ)的隨機變量，求E(max(X1，X2))．標準答案：設(shè)X1，X2的分布函數(shù)為F(x)，Z=max{X1，X2}，則fZ(x)=2F(x)d(x)，知識點解析：暫無解析3、設(shè)有以O(shè)為圓心，r為半徑，質(zhì)量為M的均勻圓環(huán)，垂直圓面，=b，質(zhì)點P的質(zhì)量為m，試導(dǎo)出圓環(huán)對P點的引力公式標準答案：如圖3．36，由對稱性，引力沿方向．取環(huán)上某點為計算弧長的起點，任取弧長為s到s+ds的一段微元，它的質(zhì)量為，到P點的距離為的夾角為θ，cosθ=對P點的引力沿方向的分力為于是整個圓環(huán)對P點的引力為知識點解析：暫無解析4、設(shè)y=exsinx，求y(n)．標準答案：知識點解析：暫無解析5、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，3]上連續(xù)，在(0，3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．試證：必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．標準答案：函數(shù)f(x)在[0，3]上連續(xù)，則f(x)在[0，2]上連續(xù)，那么其在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，m≤f(2)≤M，由介值定理知，至少存在一點η∈[0，2]，使得于是便有f(η)=1=f(3)，滿足羅爾定理條件，于是存在ξ∈(η，3)(0，3)，使f’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析6、已知且AX+X+B+BA=P，求X2006。標準答案：由AX+X+B+BA=O可得(A+E)X=一B(E+A)，而A+E可逆的，所以X=一(A+E)B(E+A)，故X2006=(A+E)-1B2006(E+A)=(A+E)-1(E+A)=E。知識點解析：暫無解析7、標準答案：知識點解析：暫無解析8、設(shè)L：y＝e－χ(χ≥0)．(1)求由y＝e-χ、χ軸、y軸及χ＝a(a＞0)所圍成平面區(qū)域繞χ軸一周而得的旋轉(zhuǎn)體的體積V(a)．(2)設(shè)V(c)＝V(a)，求c．標準答案：(1)V(a)＝π∫0ae－2χdχ＝(1－e－2a)．(2)解得c＝ln2．知識點解析：暫無解析9、設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，證明：α1＋α2＋α3，α1＋2α2＋3α3，α1＋4α2＋9α3線性無關(guān)．標準答案：令k1(α1＋α2＋α3)＋k2(α1＋2α2＋3α3)＋k3(α1＋4α2＋9α3)＝0，即(k1＋k2＋k3)α1＋(k1＋2k2＋4k3)α2＋(k1＋3k2＋9k3)α3＝0，因為α1，α2，α3線性無關(guān)，所以有而D＝(i－j)＝2≠0，由克拉默法則得k1＝k2＝k3＝0，所以α1＋α2＋α3，α1＋2α2＋3α3，α1＋4α2＋9α3線性無關(guān)．知識點解析：暫無解析10、設(shè)A為n階非零矩陣，且存在自然數(shù)k，使得Ak=O．證明：A不可以對角化．標準答案：方法一令A(yù)X=λX(X≠0)，則有AkX=λkX，因為Ak=O，所以λkX=0，注意到X≠0，故λk=0，從而λ=0，即矩陣A只有特征值0．因為r(0E-A)=r(A)≥1，所以方程組(0E-A)X=0的基礎(chǔ)解系至多含n-1個線性無關(guān)的解向量，故矩陣A不可對角化．方法二設(shè)矩陣A可以對角化，即存在可逆陣P，使得P-1AP=從而有λ1=λ2=…=λn=0，于是P-1AP=O，進一步得A=O，矛盾，所以矩陣A不可以對角化．知識點解析：暫無解析11、用配方法化下列二次型為標準形：f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3標準答案：令知識點解析：暫無解析12、求標準答案：知識點解析：暫無解析13、證明：當(dāng)x≥0時，f(x)=標準答案：當(dāng)x＞0時，令f’(x)=(x-x2)sin2nx=0得x=1，x=kπ(k=1，2，…)，當(dāng)0＜x＜1時，f’(x)＞0；當(dāng)x＞1時，f’(x)≤0(除x=kπ(k=1，2，…)外f’(x)＜0)，于是x=1為f(x)的最大值點，f(x)的最大值為f(1)．因為當(dāng)x≥0時，sinx≤x，所以當(dāng)x∈[0，1]時，(x-x2)sin2nx≤(x-x2)x2n=x2n+1-x2n+2．于是知識點解析：暫無解析飛機以勻速v沿y軸正向飛行，當(dāng)飛機行至O時被發(fā)現(xiàn)，隨即從x軸上(x0，0)處發(fā)射一枚導(dǎo)彈向飛機飛去(x0＞0)，若導(dǎo)彈方向始終指向飛機，且速度大小為2v．14、求導(dǎo)彈運行的軌跡滿足的微分方程及初始條件；標準答案：設(shè)t時刻導(dǎo)彈的位置為M(x，y)，根據(jù)題意得知識點解析：暫無解析15、導(dǎo)彈運行方程．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點模擬試卷第8套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、設(shè)x1=1，求標準答案：假設(shè)xn＞xn-1，則即xn+1＞xn，由數(shù)學(xué)歸納法可知對一切n，都有xn=1＞xn．又所以{xn}單調(diào)遞增且有上界，故{xn}收斂．記對等式xn+1=1+兩邊取極限，得即a2一a一1=0．解得因xn≥1，故負值不合題意，于是知識點解析：暫無解析2、設(shè)α1,α2……αn是一組n維向量，證明它們線性無關(guān)的充分必要條件是任一n維向量都可由它們線性表示．標準答案：必要性：a1，a2，…,an是線性無關(guān)的一組n維向量，因此r(a1，a2，…，an)=n．對任一n維向量b，因為a1，a2，…,an，b的維數(shù)n小于向量的個數(shù)n+1，故a1，a2，…，an，b線性相關(guān)．綜上所述r(a1，a2，…，an，b)=n．又因為a1，a2，…，an線性無關(guān)，所以n維向量b可由a1，a2，…，an線性表示．充分性：已知任一n維向量b都可由a1，a2，…，an線性表示，則單位向量組：ε1，ε2，…，εn可由a1，a2，…，an，線性表示，即r(ε1，ε2，…，εn)=n≤r(a1，a2，…，an)，又a1，a2，…，an是一組n維向量，有r(a1，a2，…，an)≤n．綜上，r(a1，a2，…，an)=n．所以a1，a2，…，an線性無關(guān)．知識點解析：暫無解析3、證明下列不等式：標準答案：(Ⅰ)設(shè)f(x)=，則f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且可見函數(shù)f(x)在點x=處取得它在區(qū)間[0，1]上的最小值，又因f(0)=f(1)=1，故f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值是f(0)=f(1)=1，從而注意于是有(Ⅱ)注意0＜x＜時，0＜x＜tanx＜1，則知識點解析：暫無解析4、設(shè)f(x)=，求f(n)(x)．標準答案：令f(x)=由A(2x+1)+B(x-2)=4x-3得，解得A=1，B=2，即f(x)=知識點解析：暫無解析5、設(shè)z＝f(x，y)是由方程z—y－x＋xez－y－x＝0所確定的二元函數(shù)，求dz．標準答案：。知識點解析：暫無解析6、若函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)滿足關(guān)系式f’(x)=f(x)，且f(0)=1，證明：f(x)=ex．標準答案：作函數(shù)，x∈(一∞，+∞)，于是有φ’(x)=已知f’(x)=f(x)，從而φ’(x)=0，于是當(dāng)x=0時，易知故f(x)=ex．知識點解析：暫無解析7、設(shè)一質(zhì)點在單位時間內(nèi)由點A從靜止開始做直線運動至點B停止，A，B兩點間距離為1，證明：該質(zhì)點在(0，1)內(nèi)總有某一時刻的加速度的絕對值不小于4．標準答案：設(shè)質(zhì)點運動的距離y關(guān)于時間t的函數(shù)為y=y(t)，0≤t≤1，則有y(0)=0，y(1)=1，y’(0)=0，y’(1)=0．在t=0與t=1處的一階泰勒展開式分別為若則由上述①式得y"(ξ1)≥4；若由上述②式得y"(ξ2)＜一4．證畢．知識點解析：暫無解析8、已知向量α＝(1，k，1)T是A＝的伴隨矩陣A*的一個特征向量，試求k的值及與α對應(yīng)的特征值λ．標準答案：已知A*α＝λα，兩端左乘A，并利用AA*＝｜A｜E＝4E，得λAα＝4α，即，對比兩端對應(yīng)分量得，由此解得k＝1，λ＝1，或k＝－2，λ＝4．知識點解析：暫無解析9、求標準答案：知識點解析：暫無解析10、設(shè)f(x)=x2sinx，求f(n)(0)標準答案：f(x)=x2+o(x2n+2)，f(2n+1)(0)=(-1)n-1.(2n+1)!=(-1)n-1(2n+1)2n，n=1，2，…f(2n)(0)=0，n=1，2，…，f(1)(0)=0．知識點解析：暫無解析11、設(shè)z=f(x+y，x一y，xy)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求出與。標準答案：由題意=f1’+f2’+yf3’，=f1’一f2’+xf3’，所以dz==(f1’+f2’+yf3’)dx+(f1’一f2’+xf3’)dy，=f11’’．1+f12’’．(一1)+f13’’．x+f21’’．1+f22’’．(一1)+f23’’．x+f3’+y[f31’’．1+f32’’．(一1)+f33’’．x]=f3’+f11’’一f22’’+xyf33’’+(x+y)f13’’+(x一y)f23’’。知識點解析：暫無解析12、已知齊次線性方程組(I)的基礎(chǔ)解系為ξ1=[1，0，1，1]T，ξ2=[2，1，0，一1]T，ξ3=[0，2，1，一1]T，添加兩個方程后組成齊次線性方程組(Ⅱ)，求(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系．標準答案：方程組(I)的通解為得解：η1=[2，一3，0]T，η2=[0，1，一1]T，故方程組(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系為ζ1=2ξ1一3ξ2=[一4，一3，2，5]T，ζ2=ξ2一ξ3=[2，一1，一1，0]T．知識點解析：暫無解析13、設(shè)n階矩陣(1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆矩陣P，使P一1AP為對角矩陣．標準答案：(1)1°當(dāng)b≠0時，=[λ一1一(n一1)b][λ一(1一b)]n一1，故A的特征值為λ1=1+(n一1)b，λ2=…=λn=1一b．對于λ1=1+(n一1)b，設(shè)對應(yīng)的一個特征向量為ξ1，則ξ1=[1+(n一1)b]ξ1解得ξ1=(1，1，…，1)T，所以，屬于λ1的全部特征向量為kξ1=k(1，1，…，1)T，其中k為任意非零常數(shù)．對于λ2=…=λn=1一b，解齊次線性方程組[(1一b)E一A]x=0，由解得基礎(chǔ)解系為ξ2=(1，一1，0，…，0)T，ξ3=(1，0，一1，…，0)T，…，ξn=(1，0，0，…，一1)T．故屬于λ2=…=λn的全部特征向量為k2ξ2+k3ξ3+…+knξn，其中k2，k3，…，kn為不全為零的任意常數(shù)．2°當(dāng)b=0時，A=E，A的特征值為λ1=λ2=…=λn=1，任意n維非零列向量均是特征向量．(2)1°當(dāng)b≠0時，A有n個線性無關(guān)的特征向量，令矩陣P=[ξ1ξ2…ξn]，則有P一1AP=diag(1+(N一1)b，1一b，…，1一b)．2°當(dāng)b=0時，A=E，對任意n階可逆矩陣P，均有P一1AP=E．知識點解析：暫無解析設(shè)A是三階矩陣，α1，α2，α3為三個三維線性無關(guān)的列向量，且滿足Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．14、求矩陣A的特征值；標準答案：因為α1，α2，α3線性無關(guān)，所以α1+α2+α3≠0，由A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3)，得A的一個特征值為λ1=2；又由A(α1-α2)=-(α1-α2)，A(α2-α3)=-(α2-α3)，得A的另一個特征值為λ2=-1，因為α1，α2，α3線性無關(guān)，所以α1-α2與α2-α3也線性無關(guān)，所以λ2=-1為矩陣A的二重特征值，即A的特征值為2，-1，-1．知識點解析：暫無解析15、判斷矩陣A可否對角化．標準答案：因為α1-α2，α2-α3為屬于二重特征值-1的兩個線性無關(guān)的特征向量，所以A一定可以對角化．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）高頻考點模擬試卷第9套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、設(shè)f(x)=求f[g(x)]．標準答案：本題同樣