考研數(shù)學二（選擇題）高頻考點模擬試卷2（共225題）

考研數(shù)學二（選擇題）高頻考點模擬試卷2（共9套）（共225題）考研數(shù)學二（選擇題）高頻考點模擬試卷第1套一、選擇題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)1、設當x→0時，α是β的()．A、低階無窮小B、高階無窮小C、等價無窮小D、同階但非等價的無窮小標準答案：D知識點解析：故α是β的同階但非等價的無窮小，應選(D)．2、設函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)單調(diào)有界，{xn}為數(shù)列，下列命題正確的是()A、若{xn}收斂，則{f(xn)}收斂．B、若{xn}單調(diào)，則{f(xn)}收斂．C、若{f(xn)}收斂，則{xn}收斂．D、若{f(xn)}單調(diào)，則{xn}收斂．標準答案：B知識點解析：因為f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)單調(diào)有界，且結合選項B，{xn}單調(diào)，所以{f(xn)}單調(diào)且有界．故{f(xn)}一定存在極限，即{f(xn)}一定收斂．3、設f(x)為可導函數(shù)，且f’(x)嚴格單調(diào)增加，則在(a，b]內(nèi)()A、有極大值。B、有極小值。C、單調(diào)遞減。D、單調(diào)遞增。標準答案：D知識點解析：由導數(shù)運算法則及拉格朗日中值定理得，其中a＜ξ＜x≤b。因f’(x)嚴格單調(diào)增加，所以f’(x)一f’(ξ)＞0，從而F’(x)＞0，即F(x)在(a，b]內(nèi)單調(diào)遞增。故選D。4、設α1，α2，α3，α4是四維非零列向量組，A=(α1，α2，α3，α4)，A*為A的伴隨矩陣。已知方程組Ax=0的基礎解系為k(1，0，2，0)T，則A*x=0的基礎解系為()A、α1，α2，α3。B、α1+α2，α2+α3，α1+α3。C、α2，α3，α4。D、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1。標準答案：C知識點解析：方程組Ax=0的基礎解系只含一個解向量，所以四階方陣A的秩r(A)=4一1=3，則其伴隨矩陣A*的秩r(A*)=1，于是方程組A*x=0的基礎解系含有三個線性無關的解向量。又A*(α1，α2，α3，α4)：A*A=｜A｜E=0，所以向量α1，α2，α3，α4都是方程組A*x=0的解。將(1，0，2，0)T代入方程組Ax=0可得α1+2α3=0，這說明α1可由向量組α2，α3，α4線性表出，而向量組α1，α2，α3，α4的秩等于3，所以向量組α2，α3，α4必線性無關。所以選C。事實上，由α1+2α3=0可知向量組α1，α2，α3線性相關，選項A不正確；顯然，選項B中的向量都能被α1，α2，α3線性表出，說明向量組α1+α2，α2+α3，α1+α3線性相關，選項B不正確；而選項D中的向量組含有四個向量，不是基礎解系，所以選型D也不正確。5、設f(x)連續(xù)可導，g(x)連續(xù)，且=0，又f’(x)=-2x2+∫01g(x-t)dt，則()．A、x=0為f(x)的極大值點B、x=0為f(x)的極小值點C、(0，f(0))為y=f(x)的拐點D、x=0既不是f(x)極值點，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐點標準答案：C知識點解析：由∫0xg(x-t)dt=∫0xg(t)dt得f’(x)=-2x2+∫0xg(t)dt，f’’(x)=-4x+g(x)，因為=-4＜0，所以存在δ＞0，當0＜｜x｜＜δ時，＜0，即當x∈(-δ，0)時，f’’(x)＞0；當x∈(0，δ)時，f’’(x)＜0，故(0，f(0))為y=f(x)的拐點，應選(C)．6、設當χ→0時，(χ－sinχ)ln(1＋χ)是比－1高階的無窮小，而－1是比(1－cos2t)dt高階的無窮小，則n為()．A、1B、2C、3D、4標準答案：C知識點解析：當χ→0時，－1～χn，因為sinχ＝χ－＋o(χ3)，所以(χ－sinχ)ln(1＋χ)～，所以當χ→0時，，于是n＝3，選C．7、若連續(xù)函數(shù)f(x)滿足關系式，則f(x)等于()A、exln2．B、e2xln2．C、ex+ln2．D、e2x+In2．標準答案：B知識點解析：在等式，兩端對x求導得f’(x)=2f(x)，則即f(x)=Ce2x．由題設知f(0)=ln2，則C=ln2,f(x)=e2xln2．選B．8、設F(x)=∫xx+2πesintsintdt，則F(x)()A、為正常數(shù)．B、為負常數(shù)．C、恒為零．D、不為常數(shù)．標準答案：A知識點解析：由分析可知，F(xiàn)(x)=F(0)，而故選A．9、曲線r=aebθ(a＞0，b＞0)從θ=0到θ=α(α＞0)的一段弧長為()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：利用極坐標表示曲線的弧長公式，故選A。10、設α0是A的特征向量，則α0不一定是其特征向量的矩陣是A、(A+E)2．B、－2A．C、AT．D、A*．標準答案：C知識點解析：由｜λE－AT｜=｜(λE－A)T｜=｜λE－A｜，知A與AT有相同的特征值，但方程組(λE－A)x=0與(λE－AT)x=0不一定同解，故A與AT特征向量不一定相同．故應選C．11、設向量組(I)：α1，α2，…，αr可由向量組(Ⅱ)：β1，β2，…，βs線性表示，則()．A、若α1，α2，…，αr線性無關，則r≤sB、若α1，α2，…，αr線性相關，則r≤sC、若β1，β2，…，βs線性無關，則r≤sD、若β1，β2,…，βs線性相關，則r≤s標準答案：A知識點解析：因為(I)可由(Ⅱ)，所以(Ⅰ)的秩≤(Ⅱ)的秩，所以若α1，α2，…，αr線性無關，即(I)的秩=r，則r≤(Ⅱ)的秩≤s，應選(A)．12、設A是n×m矩陣，B是m×n矩陣，E是n階單位矩陣．若AB=E，則()．A、B的行向量組線性無關B、B的列向量組線性無關C、A-1=BD、|AB|=|A||B|標準答案：B知識點解析：由AB=E得r(AB)=n，從而r(A)≥n，r(B)≥n，又r(A)≤n，r(B)≤n，所以r(A)=n，r(B)=n，故B的列向量組線性無關，應選(B)．13、二元函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處可微的一個充分條件是()A、B、C、D、標準答案：C知識點解析：按可微性定義f(x，y)在(0，0)可微題中的C項即A=B=0的情形．故選C．14、設f(x，y)在D：x2+y2≤a2上連續(xù)，則=f(x，y)dσ()A、不一定存在。B、存在且等于f(0，0)。C、存在且等于πf(0，0)。D、存在且等于f(0，0)。標準答案：C知識點解析：由積分中值定理知f(x，y)dσ=πa2f(ξ，η)，(ξ，η)∈D，15、設函數(shù)f(x)在x=0處可導，且f(0)=0，則A、-f’(0)．B、f’(0)．C、2f’(0)．D、3f’(0)．標準答案：D知識點解析：由于f(x)在x=0處可導，且f(0)=0，從而f’(0)=16、已知三階矩陣A與三維非零列向量α，若向量組α，Aα，A2α線性無關，而A3α=3Aα一2A2α，那么矩陣A屬于特征值λ=一3的特征向量是()A、α。B、Aα+2α。C、A2α一Aα。D、A2α+2Aα一3α。標準答案：C知識點解析：因為A3α+2A2α一3Aα=0。故(A+3E)(A2α一Aα)=0=0(A2α一Aα)。因為α，Aα，A2α線性無關，必有A2α一Aα≠0，所以A2α一Aα是矩陣A+3E屬于特征值λ=0的特征向量，即矩陣A屬于特征值λ=一3的特征向量。所以應選C。17、設A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，…，γn)。記向量組(I)α1，α2，…，αn，向量組(Ⅱ)β1，β2，…，βn，向量組(Ⅲ)γ1，γ2，…，γn。已知向量組(Ⅲ)線性相關，則有()A、向量組(I)(Ⅱ)均線性相關。B、向量組(I)(Ⅱ)中至少有一個線性相關。C、向量組(I)一定線性相關。D、向量組(Ⅱ)一定線性相關。標準答案：B知識點解析：向量組(Ⅲ)線性相關，即r(AB)18、設α1，α2，α3是四元非齊次線性方程組AX=b的三個解向量，且r(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，k是任意常數(shù)，則方程組AX=b的通解是()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：方程組有齊次解：2α1一(α2+α3)=[2，3，4，5]T，故選(C)．19、設向量組α1，α2，…，αm線性無關，β1可由α1，α2，…，αm線性表示，但β2不可由α1，α2，…，αm線性表示，則()．A、α1，α2，…，αm-1，β1線性相關B、α1，α2，…，αm-1，β1，β2線性相關C、α1，α2，…，αm，β1＋β2線性相關D、α1，α2，…，αm，β1＋β2線性無關標準答案：D知識點解析：選項A不對，因為β1可由向量組α1，α2，…，α3線性表示，但不一定能被α1，α2，…，αm-1線性表示，所以α1，α2，…，αm-1，β1不一定線性相關；選項B不對，因為α1，α2，…，αm-1，β1不一定線性相關，β2不一定可由α1，α2，…，αm-1，β1線性表示，所以α1，α2，…，αm-1，β1，β2不一定線性相關；選項C不對，因為β2不可由α1，α2，…，αm線性表示，而β1可由α1，α2，…，αm線性表示，所以β1＋β2不可由α1，α2，…，αm線性表示，于是α1，α2，…，αm，β1＋β2線性無關，選D．20、下列矩陣中與合同的矩陣是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：因f=XTAX=x12+2x1x2+x32=(x1+x2)2一x22+x32=y12+y22一y32，故選B.21、設f(x)=sint2dt，g(x)=x3+x4，當x→0時，f(x)是g(x)的()．A、等價無窮小B、同階但非等價無窮小C、高階無窮小D、低階無窮小標準答案：B知識點解析：因為，所以正確答案為(B)．22、下列命題成立的是()．A、若f(x)在x0處連續(xù)，則存在δ>0，使得f(x)在｜x-x0｜<δ內(nèi)連續(xù)B、若f(x)在x0處可導，則存在δ>0，使得f(x)在｜x-x0｜<δ內(nèi)可導C、若f(x)在x0的去心鄰域內(nèi)可導，在x0處連續(xù)且存在，則f(x)在x0處可導，且f(x0)=D、若f(x)在x0的去心鄰域內(nèi)可導，在x0處連續(xù)且不存在，則f(x)在x0處不可導標準答案：C知識點解析：設顯然f(x)在x=0處連續(xù)，對任意的x0≠0，因為不存在，所以f(x)在x0處不連續(xù)，(A)不對；同理f(x)在x=0處可導，對任意的x0≠0，因為f(x)在x0處不連續(xù)，所以f(x)在x0處也不可導，(B)不對；在，選(C)23、設y(χ)是微分方程y〞＋(χ－1)y′＋χ2y＝eχ滿足初始條件y(0)＝0，y′(0)＝1的解，則()．A、等于1B、等于2C、等于0D、不存在標準答案：A知識點解析：微分方程y〞＋(χ－1)y′＋χ2y＝eχ中，令χ＝0，則y〞(0)＝2，于是，故選A．24、設常數(shù)λ＞0，且A、發(fā)散．B、條件收斂．C、絕對收斂．D、收斂性與A有關．標準答案：C知識點解析：因為絕對收斂，由絕對收斂與收斂的關系，即絕對收斂的級數(shù)必收斂知應選(C)．25、A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（選擇題）高頻考點模擬試卷第2套一、選擇題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)1、設函數(shù)則f(x)在x=0處()A、極限不存在。B、極限存在但不連續(xù)。C、連續(xù)但不可導。D、可導。標準答案：C知識點解析：顯然f(0)=0，對于極限由于當x→0時，是無窮小量，為有界變量，故由無窮小量的運算性質(zhì)可知，因此f(x)在x=0處連續(xù)，排除A、B。又因為不存在，所以f(x)在x=0處不可導。故選C。2、曲線()A、沒有漸近線．B、僅有水平漸近線．C、僅有垂直漸近線．D、既有水平漸近線也有垂直漸近線．標準答案：D知識點解析：顯然x=0是函數(shù)的間斷點．因為，故x=0是該函數(shù)的無窮型間斷點，即x=0是該曲線的垂直漸近線．又因故原曲線有水平漸近線y=1，因此選D．3、設當x→0時，(1一cosx)In(1+x2)是比xsinxn高階的無窮小，而xsinxn是tt(ex2一1)高階的無窮小，則正整數(shù)n等于()A、1．B、2．C、3．D、4．標準答案：B知識點解析：因當x→0時，而由(1一cosx)ln(1+x2)是比xsinxu高階的無窮小，知4＞n+1，即n＜3；由xsinxn是比(ex2一1)高階的無窮小，知n+1＞2，即n＞1．因此正整數(shù)n=2，故選B．4、x=－2是=0的A、充分必要條件．B、充分而非必要條件．C、必要而非充分條件．D、既不充分也非必要條件．標準答案：B知識點解析：對于范德蒙行列式因為x=－2時，行列式的值為0．但D=0時，x可以為1．所以x=－2是D=0的充分而非必要條件．故應選B．5、設隨機變量X的概率密度為f(x)，且有f(一x)=f(x)，F(xiàn)(x)為X的分布函數(shù)，則對任意實數(shù)a，有()A、F(-a)=1一∫0af(x)dx．B、F(-a)=一∫0af(x)dx．C、F(-a)=F(a)．D、F(-a)=2F(a)-1．標準答案：B知識點解析：由分布函數(shù)的定義，將其用概率密度表示，再通過積分換元可得結果．因為f(-x)=f(x)，∫-∞0f(x)dx=∫0+∞f(x)dx=．而F(一a)=∫-∞-af(x)dx=∫-∞0f(x)dx+∫0-af(x)dx，令x=一t，則∫0-af(x)dx=一∫0af(一t)dt=一∫0af(t)dt=一∫0af(x)dx，所以F(一a)=一∫0af(x)dx，故應選B．6、設f(0)=0．則f(x)在點x=0可導的充要條件為A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：暫無解析7、設A，B為滿足AB=O的任意兩個非零矩陣，則必有()A、A的列向量組線性相關，B的行向量組線性相關．B、A的列向量組線性相關，B的列向量組線性相關．C、A的行向量組線性相關，B的行向量組線性相關．D、A的行向量組線性相關，B的列向量組線性相關．標準答案：A知識點解析：本題考查矩陣的秩及其矩陣行、列向量組的線性相關性．注意向量組α1,α2……αr線性相關的充分必要條件是方程組x1α1+x2α2+…+xrαr=0有非零解，若令矩陣A=(α1,α2……αr)，則矩陣A的列向量組線性相關的充分必要條件Ax=0有非零解．本題的4個選項的差別在于行與列，所以應從已知條件出發(fā)進行分析，若舉反例，則更容易找出正確選項．設A為m×n矩陣，B為n×p矩陣，當AB=O時，有r(A)+r(B)≤n，又A，B為非零矩陣，則必有r(A)＞0，r(B)＞0，可見r(A)＜n，r(B)＜n，即A的列向量組線性相關，B的行向量組線性相關．故選A．注：本題也可以用齊次線性方程組有非零解考慮正確選項．由于AB=O，則矩陣B的每一列向量均為方程組Ax=0的解，而B≠O，于是方程組Ax=0有非零解，所以矩陣A的列向量組線性相關．又BTAT=O，而AT≠O，于是方程組BTx=0有非零解，所以BT的列向量組，也即B的行向量組線性相關，選項A正確．本題還可以用取特殊值法：如若取A=(1，0)，，易知AB=O，且有A的行向量組線性無關，B的列向量組也線性無關．即選項B、C、D均不正確．8、設，則當x→0時，f(x)是g(x)的A、低階無窮?。瓸、高階無窮?。瓹、等價無窮?。瓺、同階但不等價的無窮?。畼藴蚀鸢福築知識點解析：暫無解析9、設f(x)=arctanx一(x≥1)，則()A、f(x)在[1，+∞)單調(diào)增加。B、f(x)在[1，+∞)單調(diào)減少。C、f(x)在[1，+∞)為常數(shù)。D、f(x)在[1，+∞)為常數(shù)0。標準答案：C知識點解析：按選項要求，先求f’(x)。又f(x)在[1，+∞)連續(xù)，則f(x)=常數(shù)=f(1)=。故選C。10、設A，B，C均為n階矩陣，若AB=C，且B可逆，則()A、矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價。B、矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價。C、矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價。D、矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價。標準答案：B知識點解析：把矩陣A，C列分塊：A=(α1，α2，…，αn)，B=(bij)n×n，C=(γ1，γ2，…，γn)。由于AB=C，即于是得到矩陣C的列向量組可用矩陣A的列向量組線性表示。同時由于B可逆，即A=CB—1。同理可知矩陣A的列向量組可用矩陣C的列向量組線性表示，所以矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價，故選B。11、設y1，y2是一階線性非齊次微分方程y’+p(x)y=q(x)的兩個特解，若常數(shù)λ，μ使λy1+μy2是該方程的解，λy1一μy2是該方程對應的齊次方程的解，則()A、B、C、D、標準答案：A知識點解析：由已知條件可得由λy1+μy2仍是該方程的解，得(λy1’+μy2’)+p(x)(λy1+μy2)=(λ+μ)q(x)，則λ+μ=1；由λy1一μy2是所對應齊次方程的解，得(λy1’一μy2’)+ρ(x)(λy1一μy2)=(λ一μ)q(x)，那么λ一μ=0。綜上所述12、當χ→0時，χ－sinχ是χ2的()．A、低階無窮小B、高階無窮小C、等價無窮小D、同階但非等價的無窮小標準答案：B知識點解析：因為＝0，所以χ－sinχ為χ2的高階無窮小，應選B．13、已知實二二次型f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩陣A=(aij)3×3，則()A、A是正定矩陣。B、A是可逆矩陣。C、A是不可逆矩陣。D、以上結論都不對。標準答案：B知識點解析：f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2=xTATAx=(Ax)T(Ax)。因為實二次型f正定，所以對任意x≠0，f＞0的充要條件是Ax≠0，即齊次線性方程組Ax=0只有零解，故A是可逆矩陣。所以選B。14、已知f’x(x0，y0)存在，則=()A、f’x(x0，y0)。B、0。C、2f’x(x0，y0)。D、f’x(x0，y0)。標準答案：C知識點解析：由題意=f’x(x0，y0)+f’x(x0，y0)=2f’x(x0，y0)，故選C。15、設f(x)是以l為周期的周期函數(shù)，則∫a+kla+(k+1)lf(x)dx之值()A、僅與a有關B、僅與a無關C、與a及k都無關D、與a及k都有關標準答案：C知識點解析：因為f(x)是以l為周期的周期函數(shù)，所以∫a+kla+(k+1)lf(x)dx=∫kl(k+1)lf(x)dx=∫0lf(x)dx，故此積分與a及k都無關．16、曲線y=f(x)=的拐點有A、1個．B、2個．C、3個．D、4個．標準答案：B知識點解析：f(x)的定義域為(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，+∞)，且在定義域內(nèi)處處連續(xù)．由令f"(x)=0，解得x1=0，x2=2；f"(x)不存在的點是x3=－1，x4=1(也是f(x)的不連續(xù)點)．現(xiàn)列下表：由上表可知，f(x)在x1=0與x2=2的左右鄰域內(nèi)凹凸性不一致，因此它們都是曲線y=f(x)的拐點，故選B．17、具有特解y1=e－x，y2=2xe－x，y3=3ex的三階常系數(shù)齊次線性微分方程是()A、y’’’一y’’一y’+y=0。B、y’’’+y’’一y’一y=0。C、y’’’一6y’’+11y’一6y=0。D、y’’’一2y’’一y’+2y=0。標準答案：B知識點解析：由y1=e－x，y2=2xe－x，y3=3ex是所求方程的三個特解知，λ=一1，一1，1為所求三階常系數(shù)齊次微分方程的特征方程的三個根，則其特征方程為(λ一1)(λ+1)2=0，即λ3+λ2一λ—1=0，對應的微分方程為y’’’+y’’一y’一y=0，故選B。18、設A為三階矩陣，將A的第二行加到第一行得到矩陣B，再將B的第一列的一1倍加到第二列得到矩陣C。記P=，則()A、C=P—1AP。B、C=PAP—1。C、C=PTAP。D、C=PAPT。標準答案：B知識點解析：令，則Q=P—1。P是將單位矩陣的第二行加到第一行所得的初等矩陣，則B=PA；Q是將單位矩陣第一列的一1倍加到第二列所得的初等矩陣，則C=BQ；所以C=PAQ=PAP—1。故選B。19、設A，B均為n階可逆矩陣，且(A+B)*=E，則(E+BA－1)－1=()A、(A+B)B。B、E＋AB－1。C、A(A+B)。D、(A+B)A。標準答案：C知識點解析：因為(E+BA－1)－1=(AA－1+BA－1)－1=[(A+B)A－1]－1=(A－1)－1(A+B)－1=A(A+B)，所以應選C。注意，由(A+B)2=E，即(A+B)(A+B)=E，按可逆矩陣的定義知(A+B)－1=(A+B)。20、設A為正交矩陣，則下列矩陣中不屬于正交矩陣的是()A、AT。B、A2。C、A*。D、2A。標準答案：D知識點解析：因A為正交矩陣，所以AAT=ATA=E，且｜A｜2=1。而(2A)(2A)T=4AAT=4E，故2A不為正交矩陣。所以選D。事實上，由AT(AT)T=ATA=E，(AT)TAT=AAT=E，可知AT為正交矩陣。由A2(A2)T=A(AAT)AT=AAT=E，(A2)TA2=AT(ATA)A=ATA=E，可知A2為正交矩陣。由A*=｜A｜A－1=｜A｜AT，可得A*(A*)T=｜A｜AT(｜A｜A)=｜A｜2ATA=｜A｜2E=E，(A*)TA*=(｜A｜A)｜A｜AT=｜A｜2AAT=｜A｜2E=E，故A*為正交矩陣。21、設向量組(Ⅰ)α1，α2，…，αs線性無關，(Ⅱ)β1，β2，…，βt線性無關，且αi(i=1，2，…，s)不能由(Ⅱ)β1，β2，…，βt線性表出，βi(i=1，2，…，t)不能由(Ⅰ)α1，α2，…，αs線性表出，則向量組α1，α2，…αs，β1，β2，…，βs()A、必線性相關B、必線性無關C、可能線性相關，也可能線性無關D、以上都不對標準答案：C知識點解析：只要對兩種情況舉出例子即可．(1)取線性無關，且顯然不能相互線性表出，但四個三維向量必定線性相關；(2)取線性無關，且顯然不能相互線性表出，且四個向量仍然線性無關．由(1)，(2)知，應選(C)．22、設a＝，β＝，則當χ→0時，兩個無窮小的關系是()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階非等價無窮小D、等價無窮小標準答案：C知識點解析：因為≠1，所以兩無窮小同階但非等價，選C．23、設A為n階實對稱矩陣，下列結論不正確的是()．A、矩陣A與單位矩陣E合同B、矩陣A的特征值都是實數(shù)C、存在可逆矩陣P，使PAP-1為對角陣D、存在正交陣Q，使QTAQ為對角陣標準答案：A知識點解析：根據(jù)實對稱矩陣的性質(zhì)，顯然B、C、D都是正確的，但實對稱矩陣不一定是正定矩陣，所以A不一定與單位矩陣合同，選A．24、設A，B為n階可逆矩陣，則()．A、存在可逆矩陣P，使得P-1AP＝BB、存在正交矩陣Q，使得QTAQ＝BC、A，B與同一個對角矩陣相似D、存在可逆矩陣P，Q，使得PAQ＝B標準答案：D知識點解析：因為A，B都是可逆矩陣，所以A，B等價，即存在可逆矩陣P，Q，使得PAQ＝B，選D．25、A、高階無窮小B、低階無窮小C、等價無窮小標準答案：C知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（選擇題）高頻考點模擬試卷第3套一、選擇題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)1、4階行列式的值等于()A、a1a2a3a4一b1b2b3b4．B、a1a2a3a4+b1b2b3b4．C、(a1a2一b1b2)(a3a4一b3b4)．D、(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)．標準答案：D知識點解析：根據(jù)行列式的按k行(列)展開法則，將此行列式第2、3行(列)展開，得所以應選D．2、設當x→0時，f(x)=ln(1+x2)一ln(1+sin2x)是x的n階無窮小，則正整數(shù)n等于()A、1B、2C、3D、4標準答案：D知識點解析：因此，n=4．3、設則()A、f(x)在點x=1處連續(xù)，在點x=一1處間斷B、f(x)在點x=1處間斷，在點x=一1處連續(xù)C、f(x)在點x=1，x=一1處均連續(xù)D、f(x)在點x=1，x=一1處均間斷標準答案：B知識點解析：由函數(shù)連續(xù)定義可知所以f(x)在x=1處間斷。為有界量，，則所以f(x)在x=一1處連續(xù)。故選B。4、設f(χ)一階連續(xù)可導，且f(0)＝0，f′(0)＝1，則＝()．A、e-1B、eC、e2D、e3標準答案：B知識點解析：故選B．5、設A是三階方陣，將A的第1列和第2列交換得B，再把B的第2列加到第3列得C，則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：根據(jù)初等矩陣的性質(zhì)，B=，所以故選D。6、已知四維向量組α1,α2,α3,α4線性無關，且向量β1=α1+α3+α4，β2=α2一α4，β3=α3+α4，β4=α2+α3，β5=2α1+α2+α3．則r(β1，β2，β3，β4，β5)=()A、1．B、2．C、3．D、4．標準答案：C知識點解析：將表示關系合并成矩陣形式有因4個四維向量α1,α2,α3,α4線性無關，故｜α1,α2,α3,α4｜≠0．A=(α1,α2,α3,α4)是可逆矩陣，A左乘C，即對C作若干次初等行變換，故有r(C)=r(AC)=r(β1，β2，β3，β4，β5)故知r(β1，β2，β3，β4，β5)=r(C)=3，因此應選C．7、設A=(α1,α2,α3,α4)是4階矩陣，A*為A的伴隨矩陣，若(1，0，1，0)T是方程組Ax=0的一個基礎解系，A*x=0的基礎解系為()A、α1,α3．B、α1,α2．C、α1,α2,α3．D、α2,α3,α4．標準答案：D知識點解析：本題考查齊次線性方程組基礎解系的概念．要求考生掌握：(1)未知數(shù)的個數(shù)(n)一系數(shù)矩陣的秩r(A)=基礎解系解向量的個數(shù)．(2)矩陣與其伴隨矩陣的秩的關系．(3)線性相關的向量組增加向量的個數(shù)所得向量組仍然線性相關．由(1，0，1，0)T是方程組Ax=0的一個基礎解系，所以r(A)=3，從而r(A*)=1，于是A*x=0的基礎解系解向量的個數(shù)為3，所以A、B不能選．又所以α1與α3線性相關，于是α1,α2,α3，線性相關．又r(A)=3，所以｜A｜=0，于是A*A=｜A｜E=0，所以α1,α2,α3,α4都是A*x=0的解，而α2,α3,α4又線性無關，因此是方程組A*x=0的基礎解系，故選D．8、已知4階方陣A=(α1,α2,α3,α4)，α1,α2,α3,α4均為四維列向量，其中α1,α2線性無關，若α1+2α2一α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2為任意常數(shù)，那么Ax=β的通解為()A、B、C、D、標準答案：B知識點解析：由α1+2α2一α3=β知即γ1=(1，2，一1，0)T是Ax=β的解．同理γ2=(1，1，1，1)T，γ3=(2，3，1，2)T也均是Ax=β的解，那么η1=γ1一γ2=(0，1，一2，一1)T，η2=γ3一γ2=(1，2，0，1)T是導出組Ax=0的解，并且它們線性無關．于是Ax=0至少有兩個線性無關的解向量，有n—r(A)≥2，即r(A)≤2，又因為α1,α2線性無關，有r(A)=r(α1,α2,α3,α4)≥2．所以必有r(A)=2，從而n—r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基礎解系，根據(jù)解的結構，所以應選B．9、若由曲線，曲線上某點處的切線以及x=1，x=3圍成的平面區(qū)域的面積最小，則該切線是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：曲線y=在點處的切線方程為由于切線位于曲線的上方，所以由曲線，切線及x=1，x=3圍成的面積為當t∈(0，2)時，S’(t)＜0；當t∈(2，3)時，S’(t)＞0，則當t=2時，S(t)取最小值，此時切線方程為，選(A)．10、n階實對稱矩陣A正定的充分必要條件是()A、二次型xTAx的負慣性指數(shù)為零B、存在可逆矩陣P使P—1AP=E。C、存在n階矩陣C使A=CTCD、A的伴隨矩陣A*與E合同。標準答案：D知識點解析：A選項是必要不充分條件。這是因為R(f)=p+q≤n。當q=0時，有R(f)=p≤n。此時有可能p＜n，故二次型xTAx不一定是正定二次型。因此矩陣A不一定是正定矩陣。例如f(x1，x2，x3)=x12+x32。B選項是充分不必要條件。這是因為P—1AP=E表示A與E相似，即A的特征值全是1，此時A是正定的。但只要A的特征值全大于零就可保證A正定，因此特征值都是1屬于不必要條件。C選項中的矩陣C沒有可逆的條件，因此對于A=CTC不能說A與E合同，也就沒有A是正定矩陣的結論。例如顯然矩陣不正定。關于選項D，由于A正定A*與E合同，所以D選項是充分必要條件，故選D。11、(a＞0)，則積分域為()A、x2+y2≤a2。B、x2+y2≤a2(x≥0)。C、x2+y2≤ax。D、x2+y2≤ax(y≥0)。標準答案：C知識點解析：由r=acosθ知r2=arcos0，即x2+y2=ax(a>0)。故選C。12、設A為三階矩陣，，則｜4A一(3A*)—1｜=()A、。B、3。C、6。D、9。標準答案：D知識點解析：｜4A一(3A*)—1｜=｜4A一(3｜A｜A—1)—1｜=｜4A—A｜=｜3A｜=9。故選D。13、下列函數(shù)在(0，0)處不連續(xù)的是A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：直接證(C)中f(x，y)在(0，0)不連續(xù)．當(x，y)沿直線y=x趨于(0，0)時因此f(x，y)在(0，0)不連續(xù)．故選(C)．14、極限()A、等于0B、不存在C、等于D、存在，但不等于也不等于0標準答案：B知識點解析：當取y=kx時，與k有關，故極限不存在．15、設平面區(qū)域D由曲線y=(xy3一1)dσ等于()A、2B、一2C、7cD、一7c標準答案：D知識點解析：如圖1．5—1所示，用曲線y=一sinx(一≤x≤0)將區(qū)域D劃分為D1和D2兩部分，則D1關于x軸對稱，D2關于y軸對稱，所圍成矩形的面積相等，故SD=π，故應選(D)．16、曲線上t＝1對應的點處的曲率半徑為()．A、B、C、10D、5標準答案：C知識點解析：故應選C．17、n維向量組α1，α2，…，αs(3≤s≤n)線性無關的充要條件是()A、存在一組不全為零的數(shù)k1，k2，…，ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs≠0。B、α1，α2，…，αs中任意兩個向量都線性無關。C、α1，α2，…，αs中存在一個向量不能用其余向量線性表示。D、α1，α2，…，αs中任意一個向量都不能用其余向量線性表示。標準答案：D知識點解析：向量組α1，α1，…，αs線性相關的充要條件是α1，α1，…，αs中至少存在一個向量能用其余向量線性表示，所以α1，α1，…，αs線性無關的充要條件是α1，α1，…，αs中任意一個向量都不能用其余向量線性表示。故選D。18、已知實二次型／=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩陣A=(aij)3×3，則()A、A是正定矩陣。B、A是可逆矩陣。C、A是不可逆矩陣。D、以上結論都不對。標準答案：B知識點解析：f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2=xTATAx=(Ax)T(Ax)。因為實二次型f正定，所以對任意x≠0,f＞0的充要條件是Ax≠0，即齊次線性方程組Ax=0只有零解，故A是可逆矩陣。所以選B。19、n階實對稱矩陣A正定的充分必要條件是()．A、A無負特征值B、A是滿秩矩陣C、A的每個特征值都是單值D、A*是正定矩陣標準答案：D知識點解析：A正定的充分必要條件是A的特征值都是正數(shù)，(A)不對；若A為正定矩陣，則A一定是滿秩矩陣，但A是滿秩矩陣只能保證A的特征值都是非零常數(shù)，不能保證都是正數(shù)，(B)不對；(C)既不是充分條件又不是必要條件；顯然(D)既是充分條件又是必要條件．20、已知n維向量的向量組α1，α2，…，αs線性無關，則向量組α’1，α’2，…，α’s可能線性相關的是()A、α’i(i=1，2，…，s)是αi(i=1，2，…，s)中第一個分量加到第2個分量得到的向量B、α’i(i=1，2，…，s)是αi(i=1，2，…，s)中第一個分量改變成其相反數(shù)的向量C、α’(i=1，2，…，s)是αi(i=1，2，…，s)中第一個分量改為0的向量D、α’i(i=1，2，…，s)是αi(i=1，2，…，s)中第n個分量后再增添一個分量的向量標準答案：C知識點解析：將一個分量均變?yōu)?，相當于減少一個分量，此時新向量組可能變?yōu)榫€性相關．(A)，(B)屬初等(行)變換不改變矩陣的秩，并未改變列向量組的線性無關性，(D)增加向量分量也不改變線性無關性．21、設A是n階非零矩陣，Am＝0，下列命題中不一定正確的是A、A的特征值只有零．B、A必不能對角化．C、E＋A＋A2＋…＋Am-1必可逆．D、A只有一個線性無關的特征向量．標準答案：D知識點解析：設Aα＝λα，α≠0，則Amα＝λmα＝0．故λ＝0．選項A正確．因為A≠0，r(A)≥1，那么Aχ＝0的基礎解系有n－r(A)個解，即λ＝0有n－r(A)個線性無關的特征向量．故選項B正確，而選項D不一定正確．由(B－A)(E＋A＋A2＋…＋Am-1)＝E－Am＝E，知選項C正確．故應選D．22、設a=，則當x→0時，兩個無窮小的關系是()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階非等價無窮小D、等價無窮小標準答案：C知識點解析：因為，所以兩無窮小同階但非等價，選(C)．23、設矩陣A=(α1，α2，α3，α4)經(jīng)行初等變換為矩陣B=(β1，β2，β3，β4)，且α1，α2，α3線性無關，α1，α2，α3，α4線性相關，則()．A、β4不能由β1，β2，β3線性表示B、β4能由β1，β2，β3線性表示，但表示法不唯一C、β4能由β1，β2，β3線性表示，且表示法唯一D、β4能否由β1，β2，β3線性表示不能確定標準答案：C知識點解析：因為α1，α2，α3線性無關，而α1，α2，α3，α4線性相關，所以α4可由α1，α2，α3唯一線性表示，又A=(α1，α2，α3，α4)經(jīng)過有限次初等行變換化為B=(β1，β2，β3，β4)，所以方程組x1α1+x2α2+x3α3=α4與x1β1+x2β2+x3β3=β4是同解方程組，因為方程組x1α1+x2α2+x3α3=α4有唯一解，所以方程組x1β1+x2β2+x3β3=β4有唯一解，即β4可由β1，β2，β3唯一線性表示，選(C)．24、設A是m×n階矩陣，B是n×m階矩陣，則()．A、當m>n時，線性齊次方程組ABX=0有非零解B、當m>n時，線性齊次方程組ABX=0只有零解C、當n>m時，線性齊次方程組ABX=0有非零解D、當n>m時，線性齊次方程組ABX=0只有零解標準答案：A知識點解析：AB為m階方陣，當m>n時，因為r(A)≤n，r(B)≤n且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)25、設φ(x)為區(qū)間[0，1]上的正值連續(xù)函數(shù)，a，b為任意常數(shù)，區(qū)域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，則A、a．B、b．C、a+b．D、標準答案：D知識點解析：由于積分區(qū)域D關于y=x對稱，則故應選(D)．考研數(shù)學二（選擇題）高頻考點模擬試卷第4套一、選擇題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)1、設A，B，C是同一個試驗的隨機事件，則事件(A∪B)(A∪∪B)可以化簡為()A、A∪B．B、A—B．C、AB．D、．標準答案：C知識點解析：注：化簡數(shù)學式子主要從兩個角度著手，一是簡化形式，二是簡化結果．注意事件的運算滿足交換律、結合律、分配律，德.摩根律和吸收律．把握這些特征，有利于化簡復雜事件．2、設當x→0時，f(x)=ln(1+x2)一ln(1+sin2x)是x的n階無窮小，則正整數(shù)n等于()A、1B、2C、3D、4標準答案：D知識點解析：因此，n=4．3、設4階行列式的第2列元素依次為2，m，k，3，第2列元素的余子式依次為1，—1，1，—1，第4列元素的代數(shù)余子式依次為3，1，4，2，且行列式的值為1，則m，k的取值為()A、m=—4，k=—2B、m=4，k=—2C、D、標準答案：A知識點解析：由行列式展開定理及推論，得解得m=—4，k=—2，故選A。4、已知函數(shù)f(x)具有任意階導數(shù)，且f’(x)=f2(x)，則當n為大于2的正整數(shù)時，f(x)的n階導數(shù)是()A、n![f(x)]n+1。B、n[f(x)]n+1。C、[f(x)]n。D、n![f(x)]2n。標準答案：A知識點解析：由f’(x)=f2(x)可得，f’’(x)=2f(x)f’(x)=2![f(x)]3。假設f(k)(x)=k![f(x)]k+1，則f(k+1)(x)=(k+1)k![f(x)]kf’(x)=(k+1)![f(x)]k+2，由數(shù)學歸納法可知，f(n)(x)=n![f(x)]n+1對一切正整數(shù)成立。故選A。5、設非齊次線性方程組Ax=b有兩個不同解β1和β2，其導出組的一個基礎解系為α1，α2，c1，c2為任意常數(shù)，則方程組Ax=b的通解為A、c1α1+c2(α1+α2)+(β1-β2)B、c1α1+c2(α1-α2)+(β1+β2)C、c1α1+c2(β1+β2)+(β1-β2)D、c1α1+c2(β1-β2)+(β1+β2)標準答案：B知識點解析：因α1，α1-α2是與基礎解系α1，α2等價的線性無關向量組，故α1，α1-α2也是Ax=0的基礎解系，又由(Aβ1+Aβ2)=(B+B)=b知(β1+β2)是Ax=B的一個解，由解的結構即知(B)正確．6、設X服從N(μ，σ2)，且P{X＜σ}＞P{x＞σ}，則()A、μ＜σB、μ＞σ．C、μ=σD、μ，σ的大小關系不能確定．標準答案：A知識點解析：7、下列廣義積分中發(fā)散的是【】A、B、C、D、標準答案：A知識點解析：暫無解析8、設f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導，且f(0)=1，f(1)=0，則在(0，1)內(nèi)至少存在一點ξ，使()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：設F(x)=xf(x)，則F(x)在[0，1]上滿足羅爾定理的條件，故存在ξ∈(0，1)，使得[xf(x)]’｜x=ξ=0，即ξf’(ξ)+f(ξ)=0，有f’(ξ=一，所以選(A)．選項(B)，(C)，(D)可用反例y=1一x排除．9、設f(χ)＝｜χ3－1｜g(χ)，其中g(χ)連續(xù)，則g(1)＝0是f(χ)在χ＝1處可導的()．A、充分條件B、必要條件C、充分必要條件D、非充分非必要條件標準答案：C知識點解析：設g(1)＝0，f′-(1)＝＝0，f′+＝(χ2＋χ＋1)g(χ)＝0，因為f′-(1)＝f′+(1)＝0，所以f(χ)在χ＝1處可導．設f(χ)在χ＝1處可導，因為f′-(1)＝f′+(1)＝0，所以g(1)＝0，故g(1)＝0為f(χ)在χ＝1處可導，應選C．10、設f(x)=F(x)=∫0xf(t)dt，則()A、F(x)在x=0處不連續(xù)。B、F(x)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，但在x=0處不可導。C、F(x)在(一∞，+∞)內(nèi)可導，且滿足F’(x)=f(x)。D、F(x)在(一∞，+∞)內(nèi)可導，但不一定滿足F’(x)=f(x)。標準答案：B知識點解析：關于具有跳躍間斷點的函數(shù)的變限積分，有下述定理：設f(x)在[a，b]上除點c∈(a，b)外的其他點都連續(xù)，且x=c為f(x)的跳躍間斷點。又設F(x)=∫cxf(t)dt，則：①F(x)在[a，b]上必連續(xù)；②當x∈[a，b]且x≠c時，F(xiàn)’(x)=f(x)；③F’(c)必不存在，且F＋’(c)=f(c＋)，F(xiàn)－’(c)=f(c－)。直接利用上述結論(本題中的c=0)，可知選項B正確。11、已知fx(x0，y0)存在，則=()A、fx(x0，y0)．B、0．C、2fx(x0，y0)．D、(x0,y0)．標準答案：C知識點解析：故選C．12、設f(χ)可導，則當△χ→0時，△y－dy是△χ的()．A、高階無窮小B、等價無窮小C、同階無窮小D、低階無窮小標準答案：A知識點解析：因為f(χ)可導，所以f(χ)可微分，即△y＝dy＋o(△χ)，所以△y－dy是△χ的高階無窮小，選A．13、設函數(shù)f(χ)＝則在點χ＝0處f(χ)()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導C、可導但導數(shù)不連續(xù)D、導數(shù)連續(xù)標準答案：D知識點解析：因為f(χ)＝0，f(χ)＝f(0)＝0，所以f(χ)在χ＝0處連續(xù)；由得f(χ)在χ＝0處可導，且f′(0)＝0；當χ＞0時，f′(χ)＝3χ2sin－χcos；當χ＜0時，f′(χ)＝2χ，因為＝f′(0)，所以f(χ)在χ＝0處導數(shù)連續(xù)，選D．14、設A是m×n階矩陣，B是n×m階矩陣，則()．A、當m＞n時，必有｜AB｜≠0B、當m＞n時，必有｜AB｜=0C、當n＞m時，必有｜AB｜≠0D、當n＞m時，必有｜AB｜=0標準答案：B知識點解析：AB為m階矩陣，因為r(A)≤min{m，n)，r(B)≤min{m，n}，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)≤min{m，n}，故當m＞n時，r(AB)≤n＜m，于是｜AB｜=0，選(B)．15、方程y′sinχ＝y(tǒng)lny，滿足條件y()＝e的特解是A、B、esinχ．C、D、標準答案：D知識點解析：這是變量分離的方程．因此選D．16、設A是秩為n一1的n階矩陣，α1,α2是方程組Ax=0的兩個不同的解向量，則Ax=0的通解必定是()A、α1+α2。B、kα1。C、k(α1+α2)。D、k(α1一α2)。標準答案：D知識點解析：因為A是秩為n一1的忍階矩陣，所以Ax=0的基礎解系只含一個非零向量。又因為α1，α2是方程組Ax=0的兩個不同的解向量，所以α1一α2必為方程組Ax=0的一個非零解，即α1一α2是Ax=0的一個基礎解系，所以Ax=0的通解必定是k(α1一α2)。選D。此題中其他選項不一定正確。因為通解中必有任意常數(shù)，所以選項A不正確；若α1=0，則選項B不正確；若α1=一α2≠0，則α1+α2=0，此時選項C不正確。17、已知四階方陣A=(α1,α2,α3,α4)，α1,α2,α3,α4均為四維列向量，冥中α1,α2線性無關，若α1+2α2一α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2為任意常數(shù)，那么Ax=β的通解為()A、B、C、D、標準答案：B知識點解析：由α1+2α2一α3=β知即，γ1=(1，2，一1，0)T是Ax=β的解。同理γ2=(1，1，1，1)T，γ3=(2，3，1，2)T均是Ax=β的解，則η1=γ1一γ2=(0，1，一2，一1)T，η2=γ3一γ2=(1，2，0，1)T是導出組Ax=0的解，并且它們線性無關。于是Ax=0至少有兩個線性無關的解向量，則n一r(A)≥2，即r(A)≤2，又因為α1,α2線性無關，故r(A)=r(α1,α2,α3,α4)≥2。所以必有r(A)=2，從而n一r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基礎解系。所以應選B。18、設平面區(qū)域D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1圍成，若則I1，I2，I3的大小順序為()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I1＜I3＜I2D、I3＜I1＜I2標準答案：C知識點解析：在D內(nèi)，所以ln(x+y)＜0＜sin(x+y)＜x+y，于是19、設A，B，C都是n階矩陣，滿足B＝E＋AB，C＝A＋CA，則B－C為A、E．B、－E．C、A．D、－A．標準答案：A知識點解析：暫無解析20、設A=，則(P一1)2016A(Q2011)一1=()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：易知P2=E，故P一1=P，進一步有(P一1)2016=P2016=(P2)1008=E．由于右乘初等矩陣等于作相應的初等列變換，故計算結果應為將A第2列的2011倍加到第1列，計算可知應選(B)．21、n維向量組(Ⅰ)α1，α2，…，αs可以用n維向量組(Ⅱ)β1，β2，…，βs線性表示．A、如果(Ⅰ)線性無關，則r≤s．B、如果(Ⅰ)線性相關，則r＞s．C、如果(Ⅱ)線性無關，則r≤s．D、如果(Ⅱ)線性相關，則r＞s．標準答案：A知識點解析：(C)和(D)容易排除，因為(Ⅱ)的相關性顯然不能決定r和s的大小關系的．(A)是定理3．8的推論的逆否命題．根據(jù)該推論，當向量組(Ⅰ)可以用(Ⅱ)線性表示時，如果r＞s，則(Ⅰ)線性相關．因此現(xiàn)在(Ⅰ)線性無關，一定有r≤s．(B)則是這個推論的逆命題，是不成立的．也可用向量組秩的性質(zhì)(定理3．8)來說明(A)的正確性：由于(Ⅰ)可以用(Ⅱ)線性表示，有r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s又因為(Ⅰ)線性無關，所以r(Ⅰ)=r．于是r≤s．22、假設A是n階方陣，其秩(A)＝r＜n，那么在A的n個行向量中()．A、必有r個行向量線性無關B、任意r個行向量線性無關C、任意r個行向量都構成極大線性無關向量組D、任何一個行向量列向量均可由其他r個列向量線性表示標準答案：A知識點解析：因為矩陣的秩與行向量組的秩及列向量組的秩相等，所以由r(A)＝r得A一定有r個行向量線性無關，應選A．23、設對任意的x，總有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且則()A、存在且等于零。B、存在但不一定為零。C、一定不存在。D、不一定存在。標準答案：D知識點解析：取φ(x)=f(x)=g(x)=x，顯然有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且，但不存在，故A、B排除。再取φ(x)=f(x)=g(x)=1，同樣有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且，但可見C不正確。故選D。24、A、高階無窮小B、低階無窮小C、等價無窮小標準答案：C知識點解析：暫無解析25、已知F(x)是f(x)的原函數(shù)，則A、F(x)－F(a)B、F(t)－F(a)C、F(x＋a)－F(x－a)D、F(x＋a)－F(2a)標準答案：D知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（選擇題）高頻考點模擬試卷第5套一、選擇題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)1、A和B都是n階矩陣．給出下列條件①A是數(shù)量矩陣．②A和B都可逆．③(A+B)2=A2+2AB+B2．④AB=cE．⑤(AB)2=A2B2．則其中可推出AB=BA的有()A、①②③④⑤．B、①③⑤．C、①③④．D、①③．標準答案：D知識點解析：①和③的成立是明顯的．②是不對的，如④AB=cE，在c≠0時可推出AB=BA，但是c=0時則推不出AB=BA．如⑤(AB)2=A2B2推不出AB=BA．對于④中的A和B，(AB)2和A2B2都是零矩陣，但是AB≠BA．2、設(X，Y)服從二維正態(tài)分布，且X與Y不相關，fX(x)，fY(y)分別表示X，Y的概率密度，則在Y=y的條件下，X的條件概率密度fX｜Y(x｜y)為()A、fX(x)．B、fY(y)．(c)fX(x)fY(y)．C、．D、考查二維正態(tài)分布的獨立性的判斷和應用，如果(X，Y)服從二維正態(tài)分布，X與Y獨立的充分必要條件是X與Y不相關．標準答案：A知識點解析：由于X與Y不相關，從而X與Y獨立，所以fX｜Y(x｜y)=fX(x)．3、若隨機變量X與Y滿足Y=1一，且D(X)=2，則cov(X，Y)=()A、1．B、2．C、一1．D、一2．標準答案：C知識點解析：由于cov(X，Y)=cov(X，X)，注意到cov(X，X)=DX，cov(X，1)=0，從而cov(X，Y)=一DX=一1．4、設向量組α1，α2，α3線性無關，則下列向量組線性相關的是A、α1-α2，α2-α3,α3-α1．B、α1+α2，α2+α3,α3+α1．C、α1-2α2，α2-2α3,α3-2α1．D、α1+2α2，α2+2α3,α3+2α1．標準答案：A知識點解析：暫無解析5、曲線，當x→-∞時，它有斜漸近線()A、y=x+1B、y=一x+1C、y=一x一1D、y=x—1標準答案：C知識點解析：因此有斜漸近線y=一x一1，應選(C)．6、關于次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列說法正確的是()A、是正定的。B、其矩陣可逆。C、其秩為1。D、其秩為2。標準答案：C知識點解析：二次型的矩陣所以r(A)=1，故選項C正確，而選項A，B，D都不正確。7、曲線y=e－xsinx(0≤x≤3π)與x軸所圍成圖形的面積可表示為()A、－∫03πe－xsinxdx。B、∫03πsinxdx。C、∫0πsinxdx一∫π2πe－xsinxdx＋∫2π3πe－xsinxdx。D、∫02πe－xsinxdx一∫2π3πe－xsinxdx。標準答案：C知識點解析：當0≤x≤π或2π≤x≤3π時y≥0，當π≤x≤2π時y≤0。所以y=e－xsinx(0≤x≤3π)與x軸所圍成圖形的面積為∫0πe－xsinxdx－∫π2πe－xsinxdx＋∫2π3πe－xsinxdx。故選C。8、設f(χ)在(χ，b)定義，χ0∈(a，b)，則下列命題中正確的是A、若f(χ)在(a，b)單調(diào)增加且可導，則f′(χ)＞0(χ∈(a，b))．B、若(χ0，f(χ0))是曲線y＝f(χ)的拐點，則f〞(χ)＝0．C、若f′(χ0)＝0，f〞(χ0)＝0，f″′(χ0)≠0，則χ0一定不是f(χ)的極值點．D、若f(χ)在χ＝χ0處取極值，則f′(χ0)＝0．標準答案：C知識點解析：選項A、B、D涉及到一些基本事實．若f(χ)在(a，b)可導且單調(diào)增加推出f′(χ)≥0(χ∈(a，b))．若(χ0，f(χ0))是曲線y＝f(χ)的拐點，則f〞(χ0)可能不存在．若χ＝χ0是f(χ)的極值點，則f′(χ0)可能不存在．因此選項A、B、D均不正確(如圖4．1所示)．故選C．9、設函數(shù)f(t)連續(xù)，則二重積分=()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：因為曲線r=2在直角坐標系中的方程為x2+y2=4，而r=2cosθ在直角坐標系中的方程為x2+y2=2x，即(x一1)2+y2=1，因此根據(jù)直角坐標和極坐標之間二重積分的轉(zhuǎn)化可得原式=∫02dxf(x2+y2)dy。故選B。10、設A，B，A＋B，A－1＋B－1均為n階可逆矩陣，則(A－1＋B－1)－1等于A、A－1＋B－1．B、A＋B．C、A(A＋B)B－1．D、(A＋B)－1．標準答案：C知識點解析：暫無解析11、設A為n階方陣，齊次線性方程組Ax=0有兩個線性無關的解向量，A*是A的伴隨矩陣，則()A、A*x=0的解均是Ax=0的解。B、Ax=0的解均是A*x=0的解。C、Ax=0與A*x=0沒有非零公共解。D、Ax=0與A*x=0恰好有一個非零公共解。標準答案：B知識點解析：由題設知n一r(A)≥2，從而有r(A)≤n一2，故A*=O，任意n維向量均是A*x=0的解，故正確選項是B。12、利用變量替換u=x，可將方程化成新方程()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由復合函數(shù)微分法于是又u=x，故13、若曲線y＝χ2＋aχ＋b與曲線2y＝－1＋χy2在(1，－1)處相切，則()．A、a＝3，b＝1B、a＝1，b＝3C、a＝－1，b＝－1D、a＝1，b＝1標準答案：C知識點解析：由y＝χ2＋aχ＋b得y′＝2χ＋a；2y＝－1＋χy3兩邊對χ求導得2y′＝y(tǒng)3＋3χy2y′，解得y′＝．因為兩曲線在(1，－1)處相切，所以解得a＝－1，b＝－1，應選C．14、設三階常系數(shù)齊次線性微分方程有特解y1=ex，y2=2xex，y3=3e-x，則該微分方程為()．A、y’’’-y’’-y’+y=0B、y’’’+y’’-y’-y=0C、y’’’+2y’’-y’-2y=0D、y’’’-2y"-y’+2y=0標準答案：A知識點解析：由y1=ex，y2=2xe-x，y3=3e-x為三階常系數(shù)齊次線性微分方程的特解可得其特征值為λ1=λ2=1，λ3=-1，其特征方程為(λ-1)2(λ+1)=0，即λ3-λ2-λ+1=0，所求的微分方程為y’’’-y’’-y’+y=0，選(A)．15、下列矩陣中，不能相似對角化的矩陣是()A、B、C、D、標準答案：D知識點解析：選項A是實對稱矩陣，實對稱矩陣必可以相似對角化。選項B是下三角矩陣，主對角線元素就是矩陣的特征值，因而矩陣有三個不同的特征值，所以矩陣必可以相似對角化。選項C是秩為1的矩陣，由｜λE一A｜=λ3一4λ2，可知矩陣的特征值是4，0，0。對于二重根λ=0，由秩r(OE一A)=r(A)=1可知齊次方程組(OE一A)x=0的基礎解系有3—1=2個線性無關的解向量，即λ=0時有兩個線性無關的特征向量，從而矩陣必可以相似對角化。選項D是上三角矩陣，主對角線上的元素1，1，一1就是矩陣的特征值，對于二重特征值λ=1，由秩可知齊次線性方程組(E—A)x=0只有3—2=1個線性無關的解，即λ=1時只有一個線性無關的特征向量，故矩陣必不能相似對角化，所以應當選D。16、設A為n階實對稱矩陣，則()A、A的n個特征向量兩兩正交。B、A的n個特征向量組成單位正交向量組。C、對于A的k重特征值λ0，有r(λ0E一A)=n-k。D、對于A的k重特征值λ0，有r(λ0E—A)=k。標準答案：C知識點解析：實對稱矩陣A必可相似對角化，A的屬于k重特征值λ0的線性無關的特征向量必有k個，故r(λ0E一A)=n一k。選項C正確。需要注意的是：實對稱矩陣A的特征向量不一定兩兩正交，但屬于不同特征值的特征向量一定正交；n個特征向量不一定是單位正交向量組。17、設n維列向量組α1，α2，…，αm(m＜n)線性無關，則n維列向量組β1，β2，…，βm線性無關的充分必要條件是()．A、向量組α1，α2，…，αm可由向量組β1，β2，…，βm線性表示B、向量組β1，β2，…，βm可由向量組α1，α2，…，αm線性表示C、向量組α1，α2，…，αm與向量組β1，β2，…，βm等價D、矩陣A=(α1，α2，…，αm)與矩陣B=(β1，β2，…，βm)等價標準答案：D知識點解析：因為α1，α2，…，αm線性無關，所以向量組α1，α2，…，αm的秩為m，向量組β1，β2，…，βm線性無關的充分必要條件是其秩為m，所以選(D)．18、A是m×n矩陣，r(A)=r＜min{m，n)，則A中必()A、沒有等于零的r一1階子式，至少有一個r階子式不為零B、有不等于零的r階子式，所有r+1階子式全為零C、有等于零的r一階子式，沒有不等于零的r+1階子式D、任何r階子式不等于零，任何r+1階子式全為零標準答案：B知識點解析：由矩陣的秩的定義知，r(A)=r，r是A中最大的不等于零的子行列式的階數(shù)，故A中有不等于零的(至少一個)r階子式，而r階以上子式都等于零，這只需所有r+1階子式全為零即可，故選(B)，而(A)，(C)，(D)均不成立，請讀者自行說明理由．19、設λ1，λ2是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為α1，α2，則α1，A(α1+α2)線性無關的充分必要條件是()A、λ1≠0。B、λ2≠0。C、λ1=0。D、λ2=0。標準答案：B知識點解析：令k1α1+k2A(α1+α1)=0，則(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0。因為α1，α2線性無關，所以k1+k2λ1=0，且k2λ1=0。當λ2≠0時，顯然有k1=0，k2=0，此時α1，A(α1+α2)線性無關；反過來，若α1，A(α1+α2)線性無關，則必然有λ2≠0(否則，α1與A(α1+α2)=λ1α1線性相關)。故選B。20、設A是n階實矩陣，將A的第i列與j列對換，然后再將第i行和第j行對換，得到B，則A，B有()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由題意，EijAEij=B．其中因Eij是可逆陣，EijAEij=B，故A≌B；Eij可逆，且Eij=Eij-1，則EijAEij=Eij-1AEij=B，故A～B；Eij是對稱陣，Eij=EijT，則EijAEij=EijTAEij=B，故AB；故A～B，AB，A≌B．21、設λ1，λ2是n階矩陣A的特征值，α1，α2分別是A的對應于λ1，λ2的特征向量，則()A、當λ1=λ2時，α1，α2對應分量必成比例B、當λ1=λ2時，α1，α2對應分量不成比例C、當λ1≠λ2時，α1，α2對應分量必成比例D、當λ1≠λ2時，α1，α2對應分量必不成比例標準答案：D知識點解析：當λ1=λ2時，α1與α2可以線性相關也可以線性無關，所以α1，α2可以對應分量成比例，也可以對應分量不成比例，故排除(A)，(B)．當λ1≠λ2時，α1，α2一定線性無關，對應分量一定不成比例，故選(D)．22、設則A、A與B既合同又相似．B、A與B合同但不相似．C、A與B不合同但相似．D、A與B既不合同又不相似．標準答案：A知識點解析：A與B都是實對稱矩陣，判斷是否合同和相似只要看它們的特征值：特征值完全一樣時相似，特征值正負性一樣時合同．此題中A的特征值和B的特征值都是4，0，0，0，從而A與B既合同又相似．23、設α1，α2，α3，β1，β2都是四維列向量，且｜A｜=｜α1，α2，α3，β1｜=m，｜B｜=｜α1，α2，β2，α3｜=n，則｜α3，α2，α1，β1+β2｜為()．A、m+nB、m-nC、-(m+n)D、n-m標準答案：D知識點解析：｜α3，α2，α1，β1+β2｜=｜α3，α2，α1，β1｜+｜α3，α2，α1，β2｜=-｜α1，α2，α3，β1｜-｜α1，α2，α3，β2｜=-｜α1，α2，α3，β1｜+｜α1，α2，β2，α3｜=n-m，選(D)．24、設x→0時，ax2+bx+c—cosx是x2高階的無窮小，其中a，b，c為常數(shù)，則()A、B、C、D、標準答案：C知識點解析：由題意得得c=1，又因為所以b=0,故選C。25、設常數(shù)k＞0，函數(shù)在(0，+∞)內(nèi)零點個數(shù)為()A、3B、2C、1D、0標準答案：B知識點解析：因令f’(x)=0，得唯一駐點x=e，且在f(x)的定義域內(nèi)無f’(x)不存在的點，故f(x)在區(qū)間(0，e)與(e，+∞)內(nèi)都具有單調(diào)性。又f(e)=k＞0，而因此f(x)在(0，e)與(e，+∞)內(nèi)分別有唯一零點，故選B。考研數(shù)學二（選擇題）高頻考點模擬試卷第6套一、選擇題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)1、曲線r=aebθ的(a＞0，b＞0)從θ=0到θ=α(α＞0)的一段弧長為()A、B、C、D、標準答案：A知識點解析：利用極坐標表示曲線的弧長公式，故選A。2、設f(x)為可導函數(shù)，且滿足條件則曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為()A、2。B、一1。C、D、一2。標準答案：D知識點解析：將題中等式兩端同乘2，得所以由導數(shù)定義可知，f’(1)=一2。故選D。3、設函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)單調(diào)有界，{xn}為數(shù)列，下列命題正確的是A、若{xn}收斂，則{f(xn)}收斂B、若{xn}單調(diào)，則{f(xn)}收斂C、若{f(xn)}收斂，則{xn}收斂D、若{f(xn)}單調(diào)，則{xn}收斂標準答案：B知識點解析：暫無解析4、設A為n階非零矩陣，E為n階單位矩陣．若A3=O，則()A、E—A不可逆，E+A不可逆B、E—A不可逆，E+A可逆．C、E—A可逆，E+A可逆．D、E—A可逆，E+A不可逆．標準答案：C知識點解析：已知(E—A)(E+A+A2)=E—A3=E，(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E．故E—A，E+A均可逆．故應選C．5、設A，B，A+B，A-1+B-1均為n階可逆矩陣，則(A-1+B-1)-1等于A、A-1+B-1．B、A+B．C、A(A+B)-1B．D、(A+B)-1．標準答案：C知識點解析：暫無解析6、設f(x)可導，F(xiàn)(x)=f(x)(1+｜sinx｜)，若使F(x)在x=0處可導，則必有()A、f(0)=0B、f(0)=0C、f(0)+f’(0)=0D、f(0)一f’(0)=0標準答案：A知識點解析：由于7、設函數(shù)f(χ)二階可導，且f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0，△y＝f(χ＋△χ)－f(χ)，其中△χ＜0，則()．A、△y＞dy＞0B、△y＜dy＜0C、dy＞△y＞0D、dy＜△y＜0標準答案：D知識點解析：根據(jù)微分中值定理，△y＝f(χ＋△χ)－(fχ)＝f′(ξ)△χ＜0(χ＋△χ＜ξ＜χ)，dy＝′(χ)△χ＜0，因為f〞(χ)＞0，所以f′(χ)單調(diào)增加，而ξ＜χ，所以f′(ξ)＜f′(χ)，于是f′(ξ)△χ＞f′(χ)△χ，即dy＜△y＜0，選D．8、設α1,α2,α3是4元非齊次線性方程組Ax=b的3個解向量，且r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T，c表示任意常數(shù)，則線性方程組Ax=b的通解x=()A、B、C、D、標準答案：C知識點解析：根據(jù)線性方程組解的結構性質(zhì)，易知2α1一(α2+α3)=(2，3，4，5)T是Ax=0的一個非零解，所以應選C．9、下列矩陣中，正定矩陣是()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：二次型正定的必要條件是：aij＞0。在選項D中，由于a33=0，易知f(0，0，1)=0，與x≠0，xTAx＞0相矛盾。因為二次型正定的充分必要條件是順序主子式全大于零，而在選項A中，二階主子式△2==0，在選項B中，三階主子式△3=｜A｜=一1。因此選項A、B、D均不是正定矩陣。故選C。10、如圖1-3—2，曲線段的方程為y=f(x)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，a]上有連續(xù)的導數(shù)，則定積分∫0axf’(x)dx等于()A、曲邊梯形ABOD面積。B、梯形ABOD面積。C、曲邊三角形ACD面積。D、三角形ACD面積。標準答案：C知識點解析：因為∫0axf’(x)dx=∫0axf(x)=xf(x)｜0a一∫0af(x)dx=af(a)一∫0af(x)dx，其中af(a)是矩形ABOC的面積，∫0af(x)dx為曲邊梯形ABOD的面積，所以∫0axf’(x)dx為曲邊三角形ACD的面積。11、設A是三階矩陣，其特征值是1，3，一2，相應的特征向量依次是α1,α2,α3，若P=(α1，2α3，一α2)，則P一1AP=()A、B、C、D、標準答案：A知識點解析：由Aα2=3α2，有A(一α2)=3(一α2)，即當α2是矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量時，一α2仍是矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量．同理，2α3仍是矩陣A屬于特征值λ=一2的特征向量．當P一1AP=A時，P由A的特征向量所構成，A由A的特征值所構成，且P與A的位置是對應一致的，已知矩陣A的特征值是1，3，一2，故對角矩陣A應當由1，3，一2構成，因此排除選項B、C．由于2α3是屬于λ=一2的特征向量，所以一2在對角矩陣A中應當是第2列，所以應選A．12、關于二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列說法正確的是()A、是正定的．B、其矩陣可逆．C、其秩為1．D、其秩為2．標準答案：C知識點解析：二次型的矩陣所以r(A)=1，故選項C正確，而選項A，B，D都不正確．13、設函數(shù)f(μ)連續(xù)，區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤2y}，則f(xy)dxdy等于()A、∫－11dxf(xy)dy。B、2∫02dyf(x，y)dx。C、∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)dr。D、∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)rdr標準答案：D知識點解析：積分區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤2y}(如圖1—4—3)。在直角坐標系下，故排除A、B兩個選項。在極坐標系下f(xy)dxdy=∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)rdr，因此正確答案為D。14、設A，B是滿足AB=O的任意兩個非零陣，則必有()．A、A的列向量組線性相關，B的行向量組線性相關B、A的列向量組線性相關，B的列向量組線性相關C、A的行向量組線性相關，B的行向量組線性相關D、A的行向量組線性相關，B的列向量組線性相關標準答案：A知識點解析：設A，B分別為m×n及n×s矩陣，因為AB=O，所以r(A)+r(B)≤n，因為A，B為非零矩陣，所以r(A)≥1，r(B)≥1，從而r(A)＜n，r(B)＜n，故A的列向量組線性相關，B的行向