考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷2（共256題）

考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷2（共9套）（共256題）考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、若f(x)的導(dǎo)函數(shù)是sinx，則f(x)有一個(gè)原函數(shù)為()A、1+sinx。B、1一sinx。C、1+cosx。D、1一cosx。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由F’(x)=sinx，得F(x)=∫f’(x)dx=∫sinxdx=一cosx+C1，所以f(x)的原函數(shù)是F(x)=∫f(x)dx=∫(一cosx+C1)dx=一sinx+C1x+C2，其中C1，C2為任意常數(shù)。令C1=0，C2=1得F(x)=1一sinx。故選B。2、定積分I==()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：這是無界函數(shù)的反常積分，x=±1為瑕點(diǎn)，與求定積分一樣，作變量替換x=sint，則I=。故選B。3、設(shè)f(x)=F(x)=∫0xf(t)dt，則()A、F(x)在x=0處不連續(xù)。B、F(x)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，但在x=0處不可導(dǎo)。C、F(x)在(一∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足F’(x)=f(x)。D、F(x)在(一∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，但不一定滿足F’(x)=f(x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：關(guān)于具有跳躍間斷點(diǎn)的函數(shù)的變限積分，有下述定理：設(shè)f(x)在[a，b]上除點(diǎn)c∈(a，b)外的其他點(diǎn)都連續(xù)，且x=c為f(x)的跳躍間斷點(diǎn)。又設(shè)F(x)=∫cxf(t)dt，則：①F(x)在[a，b]上必連續(xù)；②當(dāng)x∈[a，b]且x≠c時(shí)，F(xiàn)’(x)=f(x)；③F’(c)必不存在，且F＋’(c)=f(c＋)，F(xiàn)－’(c)=f(c－)。直接利用上述結(jié)論(本題中的c=0)，可知選項(xiàng)B正確。4、設(shè)m，n均是正整數(shù)，則反常積分的收斂性()A、僅與m的取值有關(guān)。B、僅與n的取值有關(guān)。C、與m，n的取值都有關(guān)。D、與m，n的取值都無關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：顯然x=0，x=1是該積分可能的兩個(gè)瑕點(diǎn)，因此有5、由曲線y=(0≤x≤π)與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由曲線y=f(x)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算公式，得Vx=∫0ππf2(x)dx=∫0ππ()2=π∫0πsin3xdx=一π∫0π(1一cos2x)dcosx=－π(cosx一cos3x)｜0π=π。故選B。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、已知∫f’(x3)dx=x3+C(C為任意常數(shù))，則f(x)=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：+C知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)等式∫f’(x3)dx=x3+C兩邊求導(dǎo)得f’(x3)=3x2。令t=x3，等式兩邊積分，故f(x)=+C。7、=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：secx—tanx+x+C知識(shí)點(diǎn)解析：=∫tanxsecxdx一∫(sec2x一1)dx=secx一tanx+x+C。9、=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令x=tant，則dx=sec2tdt，于是10、=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：令I(lǐng)n=∫e－xsinnxdx=一e－xsinnx+n∫e－xcosnxdx=一e－xsinnx—ne－xcosnx—n2In。所以In=+C。則11、=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、∫1＋∞=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令x=，則有13、已知∫－∞＋∞ek｜x｜=1，則k=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：一2知識(shí)點(diǎn)解析：1=∫－∞＋∞ek｜x｜dx=2∫0＋∞ekxdx=2ekx｜0b，已知要求極限存在，所以k＜0。那么1=0一，所以k=一2。14、曲線y=，直線x=2及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：直接利用旋轉(zhuǎn)體的體積公式可得，如圖1-3-10所示，x的積分從1到2。V=π∫12(x2一1)dx=π[｜12一x｜12]=)=。15、曲線ρθ=1相應(yīng)于的一段弧長(zhǎng)s=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由已知可得。則三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)16、求不定積分ln(1+x2)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)=。17、證明f(x)是以π為周期的周期函數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)條件可得f(x+π)=，設(shè)t=μ+π，則有f(x+π)==f(x)，因此f(x)是以，π為周期的周期函數(shù)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求f(x)的值域。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)椋黶inx｜周期為π，故只需在[0，π]上討論值域。因?yàn)閒’(x)=｜sin(x+)｜—｜sinx｜=｜c(diǎn)osx｜—｜sinx｜，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在[一π，π]上連續(xù)，且有f(x)=+∫－ππf(x)sinxdx，求f(x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于∫－ππf(x)sinxdx存在，且記為A，于是可得，f(x)=+A，對(duì)等式右邊積分作積分變量變換：x=π—t，當(dāng)x=0時(shí)，t=π；當(dāng)x=π時(shí)，t=0。于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、已知f(2)=，f’(2)=0及∫02f(x)dx=1，求∫01x2f’’(2x)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、(I)設(shè)f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，證明f(x)是以l(＞0)為周期的周期函數(shù)的充要條件是對(duì)任意a∈(一∞，+∞)恒有∫aa＋lf(x)dx=∫0lf(x)dx。(Ⅱ)計(jì)算∫02πdx。標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)證明：必要性：設(shè)φ(a)=∫aa＋lf(x)dx一∫0lf(x)dx，由題設(shè)φ’(a)=f(a+l)一f(a)=0，則φ(a)=c(常數(shù))。設(shè)a=0，則c=φ(0)=0，那么∫aa＋lf(x)dx=∫0lf(x)dx。充分性：在∫aa＋lf(x)dx=∫0lf(x)dx兩邊對(duì)a求導(dǎo)，得f(a+l)一f(a)=0，故f(x)以l為周期。(Ⅱ)利用上述性質(zhì)，將原區(qū)間變換成對(duì)稱區(qū)間，從而利于使用函數(shù)的奇偶性，于是在上式第2項(xiàng)中作變量替換x=π一t，即可化為第1項(xiàng)，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，且滿足f(b)．cosb=．cosxdx。證明至少存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ)．tanξ。標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x)在區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，知f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，從而F(x)=f(x)．cosx在[a，]上連續(xù)，由積分中值定理，知存在一點(diǎn)c∈[a，]使得F(b)=f(b)cosb=f(x)．cosxdx==F(c)。在[c，b]上，由羅爾定理得至少存在一點(diǎn)ξ∈(c，b)(a，b)，使F’(ξ)=f’(ξ)cosξ一f(ξ)sinξ=0，即得f’(ξ)=f(ξ)tanξ，ξ∈(a，b)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)f(x)，g(x)在[0，1]上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且f(0)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0。證明對(duì)任何a∈[0，1]，有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)F(x)=∫0xg(t)f’(t)dt+∫01f(t)g’(t)dt一f(x)g(1)，則F(x)在[0，1]上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且F’(x)=g(x)f’(x)－f’(x)g(1)=f’(x)[g(x)一g(1)]，由于x∈[0，1]時(shí)，f’(x)≥0，g’(x)≥0，因此F’(x)≤0，即F(x)在[0，1]上單調(diào)遞減。注意到F(1)=∫01g(t)f’(t)dt+∫01f(t)g’(t)dt一f(1)g(1)，而又因?yàn)椤?1g(t)f’(t)dt=∫01g(t)df(t)=g(t)f(t)｜01—∫01f(t)g’(t)dt=f(1)g(1)一∫01f(t)g’(t)dt，故F(1)=0。因此x∈[0，1]時(shí)，F(xiàn)(x)≥F(1)=0，由此可得對(duì)任何a∈[0，1]，有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(x)=∫－1xt｜t｜dt(x≥一1)，求曲線y=f(x)與x軸所圍封閉圖形的面積。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閠｜t｜為奇函數(shù)，可知其原函數(shù)f(x)=∫－1xt｜t｜dt=∫－10t｜t｜dt+∫0xt｜t｜dt為偶函數(shù)，由f(一1)=0，得f(1)=0，即y=f(x)與x軸有交點(diǎn)(一1，0)，(1，0)。又由f’(x)=x｜x｜，可知x＜0時(shí)，f’(x)＜0，故f(x)單調(diào)減少，因此f(x)＜f(一1)=0(一1＜x≤0)。當(dāng)x＞0時(shí)，f’(x)=x｜x｜＞0，故f(x)單調(diào)增加，所以當(dāng)x＞0時(shí)，y=f(x)與x軸有一交點(diǎn)(1，0)。綜上，y=f(x)與x軸交點(diǎn)僅有兩個(gè)。所以封閉曲線所圍面積A=∫－11｜f(x)｜dx=2∫－10｜f(x)｜dx。當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=∫－1xt｜t｜dt=∫－1x一t2dt=一(1+x3)，因此A=2∫－10(1+x3)dx=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)曲線y=ax2+bx+c過原點(diǎn)，且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y≥0，并與x軸所圍成的圖形的面積為，試確定a、b、c的值，使該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積最小。標(biāo)準(zhǔn)答案：已知該曲線過原點(diǎn)，因而c=0，又當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y≥0，可知a＜0，a+b≥0，于是該曲線在0≤x≤1上與x軸所圍成的面積為∫01(ax2+bx)dx=，即a=1一b。該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積為V=∫01πy2dx=∫01π(ax2+bx)2dx=，可知，要使該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積最小，a，b的值應(yīng)分別是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析函數(shù)y=與直線x=0，x=t(t＞0)及y=0圍成一曲邊梯形。該曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，其體積為V(t)，側(cè)面積為S(t)，在x=t處的底面積為F(t)。26、求的值；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、計(jì)算極限。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析一容器的內(nèi)側(cè)是由圖中(如圖1—3—6)曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，該曲線由x2+y2=2y(y≥)與x2+y2=1(y≤)連接而成。28、求容器的容積；標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線可表示為x=f(y)=則其容積為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、若將容器內(nèi)盛滿的水從容器頂部全部抽出，至少需要做多少功?(長(zhǎng)度單位為m，重力加速度為gm／s2，水的密度為103kg／m3。)標(biāo)準(zhǔn)答案：利用微元法，所做功的計(jì)算分為兩部分：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)一元函數(shù)f(x)有下列四條性質(zhì)：①f(x)在[a，b]連續(xù)；②f(x)在[a，b]可積；③f(x)在[a，b]存在原函數(shù)；④f(x)在[a，b]可導(dǎo)。若用“”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q，則有()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：這是討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的可導(dǎo)性、連續(xù)性及可積性與原函數(shù)存在性間的關(guān)系問題。由f(x)在[a，b]可導(dǎo)，則f(x)在[a，b]連續(xù)，那么f(x)在[a，b]可積且存在原函數(shù)。故選C。2、設(shè)，則I，J，K的大小關(guān)系為()A、I＜J＜K。B、I＜K＜J。C、J＜I＜K。D、K＜J＜I。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)0＜x＜時(shí)，因?yàn)?＜sinx＜cosx，所以ln(sinx)＜ln(cosx)，因此綜上可知，I，J，K的大小關(guān)系是I＜K＜J。3、設(shè)g(x)=∫0xf(μ)dμ，其中f(x)=則g(x)在區(qū)間(0，2)內(nèi)()A、無界。B、遞減。C、不連續(xù)。D、連續(xù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0，2]上只有一個(gè)第一類間斷點(diǎn)(x=1為f(x)的跳躍間斷點(diǎn))，所以f(x)在該區(qū)間上可積，因而g(x)=∫0xf(μ)dμ在該區(qū)間內(nèi)必連續(xù)，故選D。4、如圖1一3一I，連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[一3，一2]，[2，3]上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間[一2，0]，[0，2]的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周。設(shè)F(x)=∫0xf(t)dt，則下列結(jié)論正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：結(jié)合定積分的幾何意義，可知F(3)=，F(xiàn)(2)=，F(xiàn)(一2)=∫0－2f(x)dx=一∫－20f(x)dx=∫02f(x)dx=。所以F(3)=F(一3)=F(一2)，故選C。5、曲線y=x(x一1)(2一x)與x軸所圍成的平面圖形的面積可表示為()A、一∫02x(x一1)(2一x)dx。B、∫01x(x一1)(2一x)dx一∫12x(x一1)(2一x)dx。C、一∫01x(x一1)(2一x)dx+∫12x(x一1)(2一x)dx。D、∫02x(x—1)(2一x)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于所求平面圖形在x軸上、下方各有一部分，其面積為這兩部分的面積之和，所以只要考查B、C選項(xiàng)中的每一部分是否均為正即可，顯然C正確。事實(shí)上，S=∫02｜y｜dx=∫02｜x(x一1)(2一x)｜dx=∫01｜x(x一1)(2一x)｜dx+∫12｜x(x一1)(2一x)｜dx=一∫01x(x一1)(2一x)dx+∫12x(x一1)(2一x)dx。6、曲線r=aebθ(a＞0，b＞0)從θ=0到θ=α(α＞0)的一段弧長(zhǎng)為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：利用極坐標(biāo)表示曲線的弧長(zhǎng)公式，故選A。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)7、=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：cos2x一2cosx+3ln(cosx+2)+C知識(shí)點(diǎn)解析：令t=cosx，則=cos2x一2cosx+3ln(cosx+2)+C。9、=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x一ln(1+e2x)+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：一4π知識(shí)點(diǎn)解析：令=t，原式為∫0π2=2∫0πt2costdt=2(t2sint｜0π－∫0π2tsintdt)=一4∫0πtsintdt=4(tcost｜0π－∫0πcostdt)=一4π。11、設(shè)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：已知函數(shù)可化為12、設(shè)f(x)==__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令x一1=t，13、∫1＋∞=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：ln2知識(shí)點(diǎn)解析：14、設(shè)封閉曲線L的極坐標(biāo)方程為r=，則L所圍平面圖形的面積是________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：直接利用封閉曲線圖形的面積公式可得15、當(dāng)0≤θ≤π時(shí)，對(duì)數(shù)螺旋r=eθ的弧長(zhǎng)為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(eπ—1)知識(shí)點(diǎn)解析：利用極坐標(biāo)的弧長(zhǎng)公式：∫ds=∫0π(eπ一1)。16、設(shè)有擺線x=a(t一sint)，y=a(1一cost)(0≤t≤2π)的第一拱L，則L繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)面的面積S=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：πa2知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)面面積公式可得s=2π∫02πy(t)=2π∫02πa(1－cost)=2πa2∫02π=8πa2∫02π｜sin｜3dt=16πa2∫0πsin3tdt=32πa2πa2。三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)17、計(jì)算不定積分。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)連續(xù)，且∫0xtf(2x一t)dt=arctanx3，f(1)=1，求∫12f(x)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：令2x—t=μ，則原等式變?yōu)椤襵2x(2x一μ)f(μ)dμ=arctanx3，即2x∫x2xf(μ)dμ—∫x2xμf(μ)dμ=arctan(x3)，兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，可得2∫x2xf(μ)dμ—xf(x)=。令x=1，則上面的等式可以化為2∫12f(μ)dμ一f(1)=，根據(jù)已知條件f(1)=1可知∫12f(x)dx=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)=∫x－12e－y2dy，計(jì)算I=∫13f(x)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(x)=一e－(x－1)2，由分部積分公式可得I=x．f(x)｜13一∫13x．f’(x)dx=3f(3)一f(1)+∫13xe－(x－1)2dx=∫13xe－(x－1)2一∫02e－y2dy(在第一個(gè)積分式中令x一1=y)=∫02(y+1)e－y2dy—∫02e－y2dy=∫02ye－y2dy=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在[a，b]上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明∫abf(x)dx=(b－a)[f(a)+f(b)]+∫abf’’(x)(x－a)(x－b)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：連續(xù)利用分部積分法有∫abf(x)dx=∫abf(x)d(x一b)=f(a)(b一a)一∫abf’(x)(x一b)d(x一a)=f(a)(b一a)+∫ab(x一a)d[f’(x)(x一b)]=f(0)(b一a)+∫ab(x一a)df(x)+∫abf’’(x)(x一a)(x一b)dx=f(a)(b一a)＋f(b)(b一a)一∫abf(x)dx+∫abf’’(x)(x一a)(x一b)dx，移項(xiàng)并整理得∫abf(x)dx=(b一a)[f(a)+f(b)]+∫abf’’(x)(x一a)(x一b)dx。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[0，+∞]連續(xù)，且=0。證明至少存在ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：作函數(shù)F(x)=f(x)+x，有∫01F(x)dx=∫01[f(x)＋x]dx=∫01f(x)dx+＜0。所以由積分中值定理，存在a∈[0，1]，使∫01F(x)dx=(1一0)F(a)＜0，即F(a)＜0。又因?yàn)椋?=1，所以，由極限的保號(hào)性，存在b＞a，使＞0，即F(b)＞0。因此，由介值定理，至少存在一個(gè)ξ∈[a，b](0，+∞)，使F(ξ)=0，即f(ξ)+ξ=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23．證明：22、若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)η∈[a，b]，使得∫abf(x)dx=f(η)(b一a)；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)M與m是連續(xù)函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值與最小值，即m≤f(x)≤M,x∈[a，b]。根據(jù)定積分性質(zhì)，有m(b一a)≤∫abf(x)dx≤M(b—a)，即m≤≤M。根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值定理，至少存在一點(diǎn)η∈[a，b]，使得f(η)=，即∫abf(x)dx=f(η)(b一a)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、若函數(shù)φ(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，則至少存在一點(diǎn)ξ∈(1，3)，使得φ’’(ξ)＜0。標(biāo)準(zhǔn)答案：由(I)的結(jié)論可知至少存在一點(diǎn)η∈[2，3]，使∫23φ(x)dx=φ(η)(3—2)=φ(η)，又由φ(2)＞∫23φ(x)dx=φ(η)，知2＜η≤3。對(duì)φ(x)在[1，2]，[2，η]上分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，并結(jié)合φ(1)＜φ(2)，φ(η)＜φ(2)可得φ’(ξ1)=＞0，1＜ξ1＜2，φ’(ξ2)=＜0，2＜ξ1＜η≤3，在[ξ1，ξ2]上對(duì)導(dǎo)函數(shù)φ’(x)應(yīng)用拉格朗日中值定理，有φ’’(ξ)=＜0，ξ∈(ξ1，ξ2)(1，3)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(x)在[a，b]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，證明+∫ab｜f’(x)｜dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：可設(shè){｜f(x)｜}=｜f(x0)｜，即證(b一a)｜f(x0)≤｜∫abf(x)dx｜＋(b－a)∫ab｜f’(x)｜dx，即｜∫abf(x0dx｜—｜∫abf(x)dx｜≤(b－a)∫ab｜f’(x)｜dx。事實(shí)上，｜∫abf(x0)dx｜－｜∫abf(x)dx｜≤｜∫ab[f(x0)一f(x)]dx｜=｜∫ab[∫xx0f’(t)dt]dx｜≤∫ab[∫ab｜f’(t)｜dt]dx=(b—a)∫ab｜f’(x)｜dx。的得證。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)D是由曲線y=，直線x=a(a＞0)及x軸所圍成的平面圖形，Vx，Vy分別是D繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，若Vy=10Vx，求a的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：由微元法可知Vx=π∫0ay2dx=，Vx=2π∫0axf(x)dx=，由已知條件10Vx=Vy，解得a=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、積分()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：2、設(shè)f(x)在[a，b]上非負(fù)，在(a，b)內(nèi)f"(x)＞0，f’(x)＜0．I3=(b-a)f(b)，則I1，I2，I3的大小關(guān)系為()A、I1≤I2≤I3B、I2≤I3≤I1C、I1≤I3≤I2D、I3≤I2≤I1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于f’(x)＜0，f"(x)＞0，故y=f(x)單調(diào)遞減且圖形為凹．如圖1．3—1所示，I1是梯形ABCD的面積，I2是曲邊梯形ABCD的面積，I3是長(zhǎng)方形A1BCD的面積．由圖可知I3≤I2≤I1．3、函數(shù)的最小值為()A、B、一1C、0D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：令得唯一駐點(diǎn)知f(x)在處取最小值4、設(shè)f(x)連續(xù)，則在下列變上限積分中，必為偶函數(shù)的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：奇函數(shù)的原函數(shù)是偶函數(shù)(但要注意，偶函數(shù)f(x)的原函數(shù)只有為奇函數(shù)，因?yàn)槠渌瘮?shù)與此原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)，而奇函數(shù)加上一個(gè)非零常數(shù)后就不再是奇函數(shù)了)，選項(xiàng)(A)中被積函數(shù)為奇函數(shù)，選項(xiàng)(B)，(C)中被積函數(shù)都是偶函數(shù)，選項(xiàng)(D)中僅能確定為非負(fù)函數(shù)，故變上限積分不一定是偶函數(shù)．應(yīng)選(A)．5、設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(x)＞0．則方程在(a，b)內(nèi)的根有()A、0個(gè)B、1個(gè)C、2個(gè)D、無窮多個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：令則F(x)在[a，b]上連續(xù)，而且故F(x)在(a，b)內(nèi)有根．又所以F(x)單調(diào)遞增，它在(a，b)內(nèi)最多只有一個(gè)根．應(yīng)選(B)．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)6、定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閤2sinx是奇函數(shù)，故在上的定積分為0．所以7、設(shè)f(x)連續(xù)，f(0)=1，則曲線在(0，0)處的切線方程是___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=x知識(shí)點(diǎn)解析：曲線在(0，0)處的切線斜率所以曲線在(0，0)處的切線方程為y=x．8、設(shè)則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：作定積分換元x+1=t，則9、標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：被積函數(shù)是奇函數(shù)，在對(duì)稱區(qū)間[一2，2]上積分為零．10、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且則F’(x)=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由變限積分求導(dǎo)公式即知．11、標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：12、設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且則f(7)=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：要從變上限積分得到被積函數(shù)，可以對(duì)變限積分求導(dǎo)．等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得f(x3-1)·3x2=1，令x=2，即得13、標(biāo)準(zhǔn)答案：ln3知識(shí)點(diǎn)解析：因是奇函數(shù)，因此所以三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)14、判別積分的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：而發(fā)散，所以發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)k的取值，分情況討論：當(dāng)k＞1時(shí)，即積分收斂；當(dāng)k=1時(shí)，即積分發(fā)散；當(dāng)k＜1時(shí)，即積分發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、求不定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)D是由曲線y=sinx+1與三條直線x=0，x=π，y=0所圍成的曲邊梯形，求D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、計(jì)算曲線yln(1一x2)上相應(yīng)于的一段弧的長(zhǎng)度．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、求心形線r=a(1+cosθ)的全長(zhǎng)，其中a＞0且是常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：r’(θ)=一asinθ，由對(duì)稱性得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)求標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x＞1時(shí)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，當(dāng)x＜0時(shí)，因?yàn)閒(x)在(一∞，1)內(nèi)連續(xù)，所以在(一∞，1)內(nèi)存在，因而在x=0處可導(dǎo)、連續(xù)，因此有即C2=一1+C3，C3=1+C2．又因x=1為f(x)的第一類間斷點(diǎn)，所以在包含x=1的區(qū)間內(nèi)f(x)的原函數(shù)不存在，故此處的C1和C2是兩個(gè)相互獨(dú)立的常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、求不定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一方法二令則所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、求標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一因?yàn)閤2+1一(x2+1)2一2x2=(x2++1)(x2一+1)，所以可令比較系數(shù)得方法二知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、求標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一方法二于是所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：令于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、求標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一方法二用萬能代換知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、求標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一令則所以方法二知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)曲線y=ax2(a≥0，常數(shù)a＞0)與曲線y=1一x2交于點(diǎn)A，過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A的直線與曲線y=ax2圍成一平面圖形D．求29、D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積V(a)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由的交點(diǎn)為直線OA的方程為旋轉(zhuǎn)體的體積知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、a的值，使V(a)為最大．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)a＞0時(shí)，得V(a)的唯一駐點(diǎn)a=4；當(dāng)0＜a＜4時(shí)，V’(a)＞0；當(dāng)a＞4時(shí)，V’(a)＜0．故a=4為V(a)的唯一極大值點(diǎn)，為最大值點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設(shè)f(χ)，g(χ)是連續(xù)函數(shù)，當(dāng)χ→0時(shí)，f(χ)與g(χ)是等價(jià)無窮小，令F(χ)＝∫0χf(χ－t)dt，G(χ)＝∫χgχg(χt)dt，則當(dāng)χ→0時(shí)，F(xiàn)(χ)是G(χ)的()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階但非等價(jià)無窮小D、等價(jià)無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：F(χ)＝∫0χf(χ－t)dt＝－∫0χf(χ－t)d(χ－t)＝∫0χf(u)du，G(χ)＝∫01χg(χt)dt＝∫0χg(u)du，則＝1．故選D．2、設(shè)F(χ)＝∫χχ+2πesintsintdt，則F(χ)()．A、為正常數(shù)B、為負(fù)常數(shù)C、為零D、取值與χ有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析二、填空題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)3、設(shè)f(sin2χ)＝，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：arcsin2＋C知識(shí)點(diǎn)解析：4、f(lnχ)＝，則∫f(χ)dχ＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－－ln(1＋e－χ)＋C知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)∫χf(χ)dχ＝arcsinχ＋C，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：6、設(shè)F(χ)為連續(xù)函數(shù)，且滿足∫01f(χt)dt＝f(χ)＋χsinχ，則f(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：cosχ－χsinχ＋C知識(shí)點(diǎn)解析：由∫01f(χt)dt＝f(χ)＋χsinχ，得∫01(χt)d(χt)＝χf(χ)＋χ2sinχ即∫0χf(t)dt＝χf(χ)＋χ2sinχ，兩邊求導(dǎo)得f′(χ)＝－2sinχ－χcosχ，積分得f(χ)＝cosχ－χsinχ＋C．7、求＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、求＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：9、求＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、求＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：＋arctan(sinχ)＋C知識(shí)點(diǎn)解析：11、求＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、求：∫χarctandχ＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、求arcsinχdχ＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：14、求＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：15、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)16、設(shè)f(χ)＝，求∫01χ2f(χ)dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(χ)連續(xù)，且f(χ)＝2∫0χf(χ－t)dt＋eχ，求f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0χf(χ－t)dt∫χ0f(u)－(du)＝∫0χf(u)du，f(χ)＝2∫0χf(u)du＋eχ兩邊求導(dǎo)數(shù)得f′(χ)－2f(χ)＝eχ，則f(χ)＝(∫eχ.e∫－2dχdχ＋C)e－∫－2dχ＝Ce2χ－eχ，因?yàn)閒(0)＝1，所以C＝2，故f(χ)＝2e2χ－eχ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?χ2eχ)′＝(χ2＋2χ)eχ，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)F(χ)為f(χ)的原函數(shù)，且當(dāng)χ≥0時(shí)，f(χ)F(χ)＝，又F(0)＝1，F(xiàn)(χ)＞0，求f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：兩邊積分得F2(χ)＝，解得F2(χ)＝＋C，由F(0)＝1，F(xiàn)(χ)＞0，得F(χ)＝，于是f(χ)＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)f′(lnχ)＝，求f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令lnχ＝t，則f′(t)＝，當(dāng)t≤0時(shí)，f(t)＝t＋C1；當(dāng)t＞0時(shí)，f(t)＝et＋C2．顯然f′(t)為連續(xù)函數(shù)，所以f(t)也連續(xù)，于是有C1＝1＋C2，故f(χ)＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、∫-22(χ＋3χ＋4)dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、標(biāo)準(zhǔn)答案：令χ＝tant，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(χ)＝，當(dāng)0≤χ≤1時(shí)，當(dāng)1＜χ≤2時(shí)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)f(χ)連續(xù)，∫0χtf(χ－t)dt＝1－cosχ，求f(χ)dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：由∫1χtf(χ－t)dt∫χ0(χ－u)f(u)(－du)＝∫0χ(χ－u)f(u)du＝χ∫0χfj(u)du－∫0χuf(u)du得χ∫0χf(u)du－∫0χuf(u)du＝1－cosχ，兩邊求導(dǎo)得∫f(u)du＝sinχ，令χ＝得f(χ)dχ＝1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)S(χ)＝∫0χ｜c(diǎn)ost｜dt．(1)證明：當(dāng)nπ≤χ＜(n＋1)π時(shí)，2n≤S(χ)＜2(n＋1)；(2)求．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)當(dāng)nπ≤χ＜(n＋1)π時(shí)，(2)由nπ≤χ＜(n＋1)π，得根據(jù)迫斂定理得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)f(χ)在[0，＋∞)上連續(xù)，非負(fù)，且以T為周期，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)充分大的χ，存在自然數(shù)n，使得nT≤χ<(n＋1)T，因?yàn)閒(χ)≥0，所以注意到當(dāng)χ→＋∞時(shí)，n→＋∞，且知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析33、設(shè)f(χ)在[0，1]上連續(xù)，f(0)＝0，∫01f(χ)dχ＝0．證明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξ＝f(χ)dχ＝ξf(ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(χ)＝因?yàn)閒(χ)在[0，1]上連續(xù)，所以φ(χ)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，又φ(0)＝0，φ(1)＝∫01f(χ)dχ＝0，由羅爾定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(φ)＝，所以∫0ξf(χ)dχ＝ξf(ξ)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第5套一、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：2、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－χ3－χ＋arctanχ＋c知識(shí)點(diǎn)解析：3、設(shè)f(χ)＝χ＋∫0af(χ)dχ，a≠1，則∫0af(χ)dχ＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令A(yù)＝∫0af(χ)dχ，則f(χ)＝χ＋A，兩邊積分得A＝＋aA，解得A＝．二、解答題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)4、計(jì)算定積分∫01χarcsinχdχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、計(jì)算定積分∫-aa(χ－a)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、計(jì)算定積分(χ＋cosχ2)sinχdχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、計(jì)算定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、計(jì)算定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、計(jì)算定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)連續(xù)非負(fù)函數(shù)f(χ)滿足f(χ)f(－χ)＝1，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、計(jì)算定積分∫-12χe－｜χ｜dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、計(jì)算積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、計(jì)算積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、計(jì)算積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、計(jì)算定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、計(jì)算定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、計(jì)算定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、計(jì)算定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、計(jì)算定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、計(jì)算定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、計(jì)算定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、計(jì)算定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、計(jì)算積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、計(jì)算定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、計(jì)算積分∫0πχln(sinχ)dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、計(jì)算積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、計(jì)算積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設(shè)f(χ)＝F(χ)＝∫0χf(t)dt∈[0，2])，則()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)0≤χ≤1時(shí)，F(xiàn)(χ)＝；當(dāng)1＜χ≤2時(shí)，故選B．2、下列廣義積分發(fā)散的是()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)3、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：4、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：tan＋C知識(shí)點(diǎn)解析：5、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：χ－tan()＋C知識(shí)點(diǎn)解析：6、∫sin3χcosχdχ＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－cos4χ－cos2χ＋C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閟in3χcosχ＝(sin4χ＋sin2χ)，所以∫sin3χcosχdχ＝(∫sin4χdχ＋∫sin2χdχ)＝－cos4χ－cos2χ＋C．7、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：＋C知識(shí)點(diǎn)解析：8、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：＋C知識(shí)點(diǎn)解析：9、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：eχtan＋C知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)10、設(shè)f(χ2－1)＝，且f[φ(χ)]＝lnχ，求∫φ(χ)dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(χ2－1)＝，得f(χ)＝ln再由f[φ(χ)＝ln＝lnχ，得φ(χ)＝，所以∫φ(χ)dχ＝＝χ＋2ln｜χ－1｜＋C．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)f(lnχ)＝求∫f(χ)dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：由C1＝1＋C2，取C2＝C得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、∫χ2arctanχdχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、∫(arccosχ)2dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)χ≥－1，求∫-1χ(1－｜t｜)dt標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)－1≤χ≤0時(shí)，∫-1χ(1－｜t｜)dt＝∫-1χ(1＋t)dt＝(1＋χ)2當(dāng)χ＞0時(shí)，∫-1χ(1－｜t｜)dt＝∫-10(1＋t)dt＋∫0χ(1－t)dt＝1－(1－χ)2，因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(χ)＝，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、當(dāng)χ≥0時(shí)，f(χ)＝χ，設(shè)g(χ)＝當(dāng)χ≥0時(shí)，求∫0χf(t)g(χ－t)dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0χf(t)g(χ－t)dt∫χ0f(χ－u)g(u)(－du)＝∫0χf(χ－u)g(u)du，(1)當(dāng)0≤χ≤時(shí)，∫0χf(t)g(χ－t)dt＝∫0χ(χ－u)sinudu＝χ－sinχ；(2)當(dāng)χ＞時(shí)，∫0χf(t)g(χ－t)dt＝(χ－u)sinudu＝χ－1，于是∫0χf(t)g(χ－t)dt＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、φ(χ)＝∫sinχcos2χln(1＋t2)，求φ′(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：φ′(χ)＝－2ln(1＋cos22χ)sin2χ～ln(1＋sin2χ)cosχ知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)φ(χ)＝∫0χ(χ－t)2f(t)dt，求φ″′(χ)，其中f(χ)為連續(xù)函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：φ(χ)＝χ2∫0χf(t)dt－2χ∫0χtf(t)dt＋∫0χt2f(t)dt，φ′(χ)＝2χ∫0χf(t)dt＋χ2f(χ)－2∫0χtf(t)dt－2χ2f(χ)＋χ2f(χ)＝2χ∫0χf(t)dt－2∫0χtf(t)dt，φ〞(χ)＝2∫0χf(t)dt＋2χf(χ)－2χf(χ)＝2∫0χf(t)dt，φ″′(χ)＝2f(χ)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)φ(χ)＝∫abln(χ2＋t)dt，求φ′(χ)，其中a＞0，b＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：φ(χ)＝∫abln(χ2＋t)＝lnuduφ′(χ)＝2χln(χ2＋b)－2χln(χ2＋a)＝2χln．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)f(χ)連續(xù)，且F(χ)＝∫0χ(χ－2t)f(t)dt．證明：(1)若f(χ)是偶函數(shù)，則F(χ)為偶函數(shù)；(2)若f(χ)單調(diào)不增，則F(χ)單調(diào)不減．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)設(shè)f(－χ)＝f(χ)，因?yàn)镕(－χ)＝∫0－χ(－χ－2t)f(t)dt∫0χ(－χ＋2u)f(－u)(－du)＝∫0χ(χ－2u)f(u)du＝F(χ)所以F(χ)為偶函數(shù)．(2)F(χ)＝∫0χ(χ－2t)f(t)dt＝χ∫0χf(t)dt＝2∫0χtf(t)dt，F(xiàn)′(χ)＝∫0χf(t)dt－χf(χ)＝χ[f(ξ)－f(χ)]，其中ξ介于0與χ之間，當(dāng)χ＜0時(shí)，χ≤ξ≤0，因?yàn)閒(χ)單調(diào)不增，所以F′(χ)≥0，當(dāng)χ≥0時(shí)，0≤ξ≤χ，因?yàn)閒(χ)單調(diào)不增，所以F′(χ)≥0，從而F(χ)單調(diào)不減．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(χ)＝求∫02f(χ－1)dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、∫0nπ｜c(diǎn)osχ｜dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、∫0nπχ｜c(diǎn)osχ｜dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、∫02π｜sinχ－cosχ｜dχ標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)f(χ)∈C[－π，π]，且f(χ)＝＋∫-ππf(χ)sinχdχ求f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令∫-ππf(χ)sinχdχ＝A，則f(χ)＝＋A，于是f(χ)sinχ＝＋Asinχ，兩邊從－π到π積分得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)f(χ)＝∫1χdt，求∫01χ2f(χ)dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)f(x)=下述命題成立的是()A、f(x)在[一1，1]上存在原函數(shù)。B、令F(x)=∫－1xf(t)dt，則f’(0)存在。C、g(x)在[一1，1]上存在原函數(shù)。D、g’(0)存在。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由=0=g(0)可知，g(x)在x=0處連續(xù)，所以g(x)在[一1，1]上存在原函數(shù)。故選C。以下說明選項(xiàng)A、B、D均不正確的原因：A項(xiàng)，=0可知，x=0是f(x)的跳躍間斷點(diǎn)，所以在包含x=0的區(qū)間上f(x)不存在原函數(shù)。B項(xiàng)，由F－’(0)==1，可知F’(0)不存在。D項(xiàng)，由不存在，可知g’(0)不存在。2、設(shè)F(x)=∫xx＋2πesintsintdt，則F(x)()A、為正常數(shù)。B、為負(fù)常數(shù)。C、恒為零。D、不為常數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由分析可知，F(xiàn)(x)=F(0)，而F(0)=∫02πesintsintdt=一∫02πesintdcost=一esintcost｜02π+∫02πesintcos2tdt=∫02πesintcos2tdt＞0故選A。3、設(shè)f(x)=F(x)=∫－1xf(t)dt，則F(x)在x=0處()A、極限存在但不連續(xù)。B、連續(xù)但不可導(dǎo)。C、可導(dǎo)。D、可導(dǎo)性與a有關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x≤0時(shí)，F(xiàn)(x)=∫－1xf(t)dt=ex一e－1；當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)(x)=∫－10f(t)dt＋∫0xf(t)dt=1－e－1＋＋ax。因?yàn)?1一e－1=F(0)，所以F(x)在x=0處連續(xù)。而=a，即F(x)在x=0處的可導(dǎo)性與a有關(guān)。所以選D。4、設(shè)函數(shù)f(x)=若反常積分∫1＋∞f(x)dx收斂，則()A、α＜一2。B、α＞2。C、一2＜α＜0。D、0＜α＜2。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)反常積分的收斂性判斷，將已知積分分解為∫1＋∞f(x)dx=，其中當(dāng)且僅當(dāng)α一1＜1時(shí)才收斂；，當(dāng)且僅當(dāng)α＞0才收斂。從而僅當(dāng)0＜α＜2時(shí)，反常積分∫1＋∞f(x)dx才收斂，故應(yīng)選D。5、如圖1-3—2，曲線段的方程為y=f(x)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，a]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則定積分∫0axf’(x)dx等于()A、曲邊梯形ABOD面積。B、梯形ABOD面積。C、曲邊三角形ACD面積。D、三角形ACD面積。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椤?axf’(x)dx=∫0axf(x)=xf(x)｜0a一∫0af(x)dx=af(a)一∫0af(x)dx，其中af(a)是矩形ABOC的面積，∫0af(x)dx為曲邊梯形ABOD的面積，所以∫0axf’(x)dx為曲邊三角形ACD的面積。6、半圓形閘門半徑為R(米)，將其垂直放入水中，且直徑與水面齊，設(shè)水密度ρ=1。若坐標(biāo)原點(diǎn)取在圓心，x軸正向朝下，則閘門所受壓力P為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：如圖1—3—7所示，任取[x，x+dx]∈[0，R]，相應(yīng)的小橫條所受壓力微元dP=ρ．x．2ydx=2xdx，于是閘門所受壓力P=∫0R2xdx。故選C。二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)7、=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：4ln｜x｜+2ln｜x一1｜++C知識(shí)點(diǎn)解析：所以計(jì)算可得A=4，B=2，C=一1。8、=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：+C知識(shí)點(diǎn)解析：9、當(dāng)a＞0時(shí)，=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令x=asint，則10、=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令x一1=sint，則11、=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、∫01=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令x=sint，則13、設(shè)函數(shù)f(x)=且λ＞0，則∫－∞＋∞xf(x)dx=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：已知x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)值恒為0，因此可得∫－∞＋∞xf(x)dx=∫0＋∞λxe－λxdx=－∫0＋∞xd(e－λx)=－x－λx｜0＋∞＋∫0＋∞e－λxdx=。14、在曲線y=x2(0≤x≤1)上取一點(diǎn)(t，t2)(0＜t＜1)，設(shè)A1是由曲線y=x2(0≤x≤1)，直線y=t2和x=0所圍成圖形的面積；A2是由曲線y=x2(0≤x≤1)，直線y=t2和x=1所圍成圖形的面積，則t取________時(shí)，A=A1+A2取最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：如圖1—3—9所示，A1=∫0t(t2一x2)dx，A2=∫t1(x2一t2)dx，A(t)=A1(t)+A2(t)=2∫0t(t2一x2)dx+∫01(x2一t2)dx=(0＜t＜1)，A’(t)=2t(2t一1)所以，當(dāng)t=時(shí)，A=A1+A2取最小值。15、曲線y=∫0xtantdt(0≤x≤)的弧長(zhǎng)s=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：ln(1+)知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)16、求。標(biāo)準(zhǔn)答案：原式知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、證明I=sinx2dx＞0。標(biāo)準(zhǔn)答案：令x2=t，則I==I1+I2。對(duì)于I2，令t=s+π，則I2=，于是I=I1+I2=。上述積分中被積函數(shù)f(t)==0，若補(bǔ)充定義f(0)=0，則f(t)在[0，π]上連續(xù)，且f(t)＞0。根據(jù)定積分的性質(zhì)可得I＞0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、計(jì)算∫01。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f’(x)=arcsin(x一1)2，f(0)=0，求∫01f(x)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意∫01f(x)dx=∫01f(x)d(x一1)=(x一1)f(x)｜01一∫01(x一1)f’(x)dx=f(0)一∫01(x一1)f’(x)dx=一∫01(x一1)arcsin(x一1)2dx=∫01arcsin(x一1)2d(x一1)2，令(x一1)2=t，則上式可化為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析計(jì)算下列反常積分(廣義積分)。20、∫3＋∞；標(biāo)準(zhǔn)答案：由于x2一2x=(x一1)2—1，因此為去掉被積函數(shù)中的根號(hào)，可令x一1=sect則有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、∫0＋∞dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：采用分解法與分部積分法，由于，故可將被積函數(shù)分解，并用分部積分法有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)f(x)在[0，a]上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明至少存在一點(diǎn)ξ∈[0，a]，使得∫0af(x)dx=af(0)+f’(ξ)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知∫0af(x)dx=∫0af(x)d(x－a)=[(x一a)f(x)]｜0a一∫0a(x一a)f’(x)dx=af(0)一∫0a(x一a)f’(x)dx。因?yàn)閒’(x)連續(xù)，所以f’(x)在[0，a]上存在最小值m和最大值M，則m(a一x)≤(a一x)f’(x)≤M(a一x)，故≤∫0a(a一x)f’(x)dx≤，再由介值定理可知，至少存在一點(diǎn)ξ∈[0，a]，使得∫0a(a－x)f’(x)dx=f’(x)，于是∫0af(x)dx=af(0)＋f’(ξ)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，且滿足∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt。證明∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=f(x)一g(x)，G(x)=∫axF(t)dt，由題設(shè)G(x)≥0，x∈[a，b]，且G(a)=G(b)=0，G’(x)=F(x)。從而∫abxF(x)dx=∫abxdG(x)=xG(x)｜ab一∫abG(x)dx=一∫abG(x)dx。由于G(x)≥0，x∈[a，b]，故有－∫abG(x)dx≤0，即∫abxF(x)dx≤0。因此可得∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(x)=，證明曲線y=f(x)在區(qū)間(ln2，+∞)上與x軸圍成的區(qū)域有面積存在，并求此面積。標(biāo)準(zhǔn)答案：考慮廣義積分I=的收斂性。因此廣義積分收斂，即所圍成區(qū)域的面積存在。取變換ex=sect，則x=ln(sect)，exdx=secttantdt，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)曲線y=ax2(x≥0，常數(shù)a＞0)與曲線y=1一x2交于點(diǎn)A，過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A的直線與曲線y=ax2圍成一平面圖形D，求(I)D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積V(a)；(Ⅱ)a的值，使V(a)為最大。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意知y=ax2與y=1一x2的交點(diǎn)為1060，直線OA的方程為V=x。(I)旋轉(zhuǎn)體的體積V(a)=。(Ⅱ)。當(dāng)a＞0時(shí)，得V(a)的唯一駐點(diǎn)a=4。當(dāng)0＜a＜4時(shí)，V’(a)＞0；當(dāng)a＞4時(shí)，V’(a)＜0。故a=4為V(a)的唯一極大值點(diǎn)，即為最大值點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、一個(gè)高為l的柱體形貯油罐，底面是長(zhǎng)軸為2a，短軸為2b的橢圓?，F(xiàn)將貯油罐平放，當(dāng)油罐中油面高度b時(shí)(如圖1—3—4)，計(jì)算油的質(zhì)量。(長(zhǎng)度單位為m，質(zhì)量單位為kg，油的密度為常數(shù)ρkg／m3)標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖1—3—11，建立直角坐標(biāo)系，則油罐底面橢圓方程為=1。圖中陰影部分為油面與橢圓所圍成的圖形。記S1為下半橢圓面積，則S1=πab，記S2是位于x軸上方陰影部分的面積，則S2=，記y=bsint，則dy=bcostdt，則因此可知油的質(zhì)量為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、為清除井底的污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(如圖1—3—5所示)。已知井深30m，抓斗自重400N，纜繩每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度為3m／s，在提升過程中，污泥以20N／s的速率從抓斗縫隙中漏掉。現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升至井口，問克服重力需做多少焦耳的功?(說明：①1N×1m=1J，m，N，s，J分別表示米，牛，秒，焦。②抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長(zhǎng)度忽略不計(jì)。)標(biāo)準(zhǔn)答案：作x軸如圖1—3—12所示，將抓起污泥的抓斗提升至井口需做功記為W，當(dāng)抓斗運(yùn)動(dòng)到x處時(shí)，作用力f(x)包括抓斗的自重400N，纜繩的重力50(30一x)N，污泥的重力2000一x．20(N)，即f(x)=400+50(30一x)+2000一，于是W=∫030(3900一x)dx=3900x－x2｜030=91500(J)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、矩形閘門寬a米，高h(yuǎn)米，垂直放在水中，上邊與水面相齊，閘門壓力為()．A、ρg∫0hahdhB、ρg∫0aahdhC、ρg∫0hahdhD、2ρg∫0hahdh標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：取[χ，χ＋dχ][0，h]，dF＝ρg×χ×a×dχ＝ρgaχdχ，則F＝ρg∫0haχdχ＝ρg∫0hahdh，選A．2、在曲線y＝(χ－1)2上的點(diǎn)(2，1)處作曲線的法線，由該法線、χ軸及該曲線所圍成的區(qū)域?yàn)镈(y＞0)，則區(qū)域D繞χ軸旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積為()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：過曲線y＝(χ－1)2上點(diǎn)(2，1)的法線方程為y＝－χ＋2，該法線與χ軸的交點(diǎn)為(4，0)，則由該法線、χ軸及該曲線所圍成的區(qū)域D繞χ軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為V＝，選D．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)3、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：4、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：5、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：6、設(shè)f(χ)連續(xù)，則χf(χ－t)dt＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0χf(u)du＋χf(χ)知識(shí)點(diǎn)解析：∫0χχf(χ－t)dt＝－χ∫0χf(χ－t)d(χ－t)＝－χ∫0χf(u)du＝χ∫0χf(u)du，則＝∫0χf(u)du＋χf(χ)．7、曲線y＝χ4(χ≥0)與χ軸圍成的區(qū)域面積為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：9、∫01χarctanχdχ＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)10、求曲線y＝與χ軸圍成的區(qū)域繞χ軸、y軸形成的幾何體體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：Vχ＝取[χ，χ＋dχ][0，]，dVy＝2πχcosχdχ，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、求曲線y＝χ2－2χ、y＝0、χ＝1、χ＝3所圍成區(qū)域的面積S，并求該區(qū)域繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V．標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域面積為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)L：y＝e－χ(χ≥0)．(1)求由y＝e-χ、χ軸、y軸及χ＝a(a＞0)所圍成平面區(qū)域繞χ軸一周而得的旋轉(zhuǎn)體的體積V(a)．(2)設(shè)V(c)＝V(a)，求c．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)V(a)＝π∫0ae－2χdχ＝(1－e－2a)．(2)解得c＝ln2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)y＝f(χ)為區(qū)間[0，1]上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)．(1)證明存在c∈(0，1)，使得在區(qū)間[0，c]上以f(c)為高的矩形面積等于區(qū)間[c，1]上以y＝f(χ)為曲邊的曲邊梯形的面積；(2)設(shè)f(χ)在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f′(χ)＞－，證明(1)中的c是唯一的．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)S1(c)＝cf(c)，S2(c)＝∫c1f(t)dt－∫1cf(t)dt即證明S1(c)＝S2(c)或cf(c)＋∫c1f(t)dt＝0．令φ(χ)＝χ∫1χf(t)dt，φ(0)＝φ(1)＝0，根據(jù)羅爾定理，存在c∈(0，1)，使得φ′(c)＝0，即cf(c)＋∫1cf(t)dt＝0，所以S1(c)＝S2(c)，命題得證．(2)令h(χ)＝χf(χ)－∫χ1f(t)dt，因?yàn)閔′(χ)＝2f(χ)＋f′(χ)＞0，所以h(χ)在[0，1]上為單調(diào)函數(shù)，所以(1)中的c是唯一的．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、求圓χ2＋y2＝2y內(nèi)位于拋物線y＝χ2上方部分的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：由所圍成的面積為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、求雙紐線(χ2＋y2)2＝a2(χ2－y2)所圍成的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)對(duì)稱性，所求面積為第一卦限面積的4倍，令則雙紐線的極坐標(biāo)形式為r＝acos2θ(0≤θ≤)，第一卦限的面積為所求面積為A＝4A1＝a2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、拋物線y2＝2χ把圓χ2＋y2＝8分成兩個(gè)部分，求左右兩個(gè)部分的面積之比．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)左邊的面積為S1，右邊的面積為S2，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)C1，C2是任意兩條過原點(diǎn)的曲線，曲線C介于C1，C2之間，如果過C上任意一點(diǎn)P引平行于35軸和Y軸的直線，得兩塊陰影所示區(qū)域A，B有相等的面積，設(shè)C的方程是y＝χ2，C1的方程是y＝χ2，求曲線C2的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)C：y＝χ2，C1：y＝χ2，令C2：χ＝(y)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(χ，y)，則所以，因?yàn)镻∈C，所以有∫0yf(y)dy＝，即，兩邊對(duì)χ求導(dǎo)，得2χ.f(χ3)＝χ2，即f(χ2)＝χ．從而C2的方程為χ＝f(y)＝，即y＝χ2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)曲線y＝a＋χ－χ3，其中a＜0．當(dāng)χ＞0時(shí)，該曲線在χ軸下方與y軸、χ軸所圍成圖形的面積和在χ軸上方與χ軸所圍成圖形的面積相等，求a．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)曲線y＝a＋χ－χ3與χ軸正半軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為α，β(α＜β)，由條件得－∫0α(a＋χ－χ3)dχ＝∫αβ(a＋χ－χ3)dχ，移項(xiàng)得∫0α(a＋χ－χ3)dχ＋∫αβ(a＋χ－χ3)dχ＝∫0β(a＋χ－χ3)dχ－0β(4a＋2β－β3)＝0，因?yàn)棣拢?，所以4α＋2β－β3＝0．又因?yàn)?β，0)為曲線y＝a＋χ－χ3與χ軸的交點(diǎn)，所以有a＋β－β3＝0，從而有β＝－3aa－3a＋27a3＝0a＝－．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、曲線y＝(χ－1)(χ－2)和χ軸圍成平面圖形，求此平面圖形繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：取[χ，χ＋dχ][1，2]，dv＝2πχ｜(χ－1)(χ－2)｜dχ＝－2πχ(χ－1)(χ－2)dχ，V＝∫12dv＝－2π∫12(χ3－3χ2＋2χ)dχ＝．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)平面圖形D由χ2＋y2≤2χ與y≥χ圍成，求圖形D繞直線χ＝2旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：取[χ，χ＋dχ][0，1]，則dv＝2π(2－χ)(－χ)dχ，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、求曲線y＝3－｜χ2－1｜與χ軸圍成的封閉圖形繞y＝3旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：取[χ，χ＋dχ][0，1]，dv1＝π[32－(χ2－1)2]dχ＝π(8＋2χ2－χ4)dχ，V1＝∫01dv1＝π∫01(8＋2χ2－χ4)dχ，[χ，χ＋dχ][1，2]，dv2＝π[32－(1－χ2)2]dχ＝π(8＋2χ2－χ4)dχ，V2＝∫12dv2＝π∫12(8＋2χ2－χ4)dχ，則所求體積為V＝2(V1＋V2)＝2π∫02(8＋2χ2－χ4)dχ＝．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、求由曲線y＝4－χ與χ軸圍成的部分繞直線χ＝3旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：取[y，y＋dy][0，4]，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、曲線y＝χ2(χ≥0)上某點(diǎn)處作切線，使該曲線、切線與χ軸所圍成的面積為，求切點(diǎn)坐標(biāo)、切線方程，并求此圖形繞χ軸旋轉(zhuǎn)一周所成立體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(a，a2)(a＞0)，則切線方程為y－a2＝2a(χ－a)．即y＝2aχ－a2．由題意得S＝，解得a＝1，則切線方程為y＝2χ－1，旋轉(zhuǎn)體的體積為V＝．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、求擺線L：(a＞0)的第一拱繞χ軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)曲線＝1(0＜a＜4)與χ軸、y軸所圍成的圖形繞z軸旋轉(zhuǎn)所得立體體積為V1(a)，繞y軸旋轉(zhuǎn)所得立體體積為V2(a)，問a為何值時(shí)，V1(a)＋V2(a)最大，并求最大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線與χ軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(a，0)，(0，b)，其中b＝4－a．曲線可化為y＝，對(duì)任意的[χ，χ＋dχ][0，a]，dV2＝2πχ.ydχ＝2πχ.dχ．于是V2＝，根據(jù)對(duì)稱性，有V1＝ab2．于是V(a)＝V1(a)＋V2(a)＝(4－a)．令V′(a)＝(4－2a)＝0a＝2，又V〞(2)＜0，所以a＝2時(shí)，兩體積之和最大，且最大值為V(2)＝π．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)一拋物線y＝aχ2＋bχ＋c過點(diǎn)(0，0)與(1，2)，且a＜0，確定a，b，c，使得拋物線與χ軸所圍圖形的面積最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榍€過原點(diǎn)，所以c＝0，又曲線過點(diǎn)(1，2)，所以a＋b＝2，b＝2－a．因?yàn)閍＜0，所以b＞0，拋物線與z軸的兩個(gè)交點(diǎn)為0，－，所以令S′(a)＝0，得a＝－4，從而b＝6，所以當(dāng)a＝－4，b＝6，c＝0時(shí)，拋物線與χ軸所圍成的面積最?。R(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)直線y＝kχ與曲線y＝所圍平面圖形為D1，它們與直線χ＝1圍成平面圖形為D2．(1)求k，使得D1與D2分別繞χ軸旋轉(zhuǎn)一周成旋轉(zhuǎn)體體積V1與V2之和最小，并求最小值；(2)求此時(shí)的D1＋D2．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由方程組得直線與曲線交點(diǎn)為k≥1．因?yàn)閂〞(k)＞0，所以函數(shù)V(k)當(dāng)k＝時(shí)取最小值，且最小值為．(2)因?yàn)镾(k)＝，所以此時(shí)S＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、求擺線(0≤t≤2π)的長(zhǎng)度．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)曲線y＝，過原點(diǎn)作切線，求此曲線、切線及χ軸所圍成的平面圖形繞χ軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的表面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)切點(diǎn)為(a，)，則過原點(diǎn)的切線方程為y＝，將(a，)代入切線方程，得a＝2，＝1，故切線方程為y＝χ，由曲線y＝在區(qū)間[1，2]上的一段繞χ軸一周所得旋轉(zhuǎn)面的面積為切線y＝χ在區(qū)間[0，2]上一段繞χ軸一周所得旋轉(zhuǎn)曲面面積為所求旋轉(zhuǎn)曲面的表面積為S＝S1＋S2＝．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、一半徑為R的球沉入水中，球面頂部正好與水面相切，球的密度為1，求將球從水中取出所做的功．標(biāo)準(zhǔn)答案：以球頂部與水面相切的點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，χ軸鉛直向下，取[χ，χ＋dχ][0，2R]，由于球的密度與水的密度相同，所以水面以下不做功，dw＝(2R－χ)×π[R2－(R－χ)2]×1×gdχ－πχ(2R－χ)2gdχ，W＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第9套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)，則()A、I1＞I1＞。B、I1＞＞I2。C、I2＞I1＞。D、I2＞＞I1。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，有tanx＞x，于是有，從而可見有I1＞I2，又由，I2＜知，故選B。2、設(shè)f(x)=∫0π(ecost—e—cost)dt，則()A、f(x)=f(x+2π)。B、f(x)＞f(x+2π)。C、f(x)＜f(x+2π)。D、當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞f(x+2π)；當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＜f(x+2π)。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由題意f(x+2π)一f(x)=∫xx+2π(ecost一e—cost)dt，被積函數(shù)以2π為周期且為偶函數(shù)，由周期函數(shù)的積分性質(zhì)得f(x+2π)一f(x)=∫—ππ(ecost—e—cost)dt=2∫0π(ecost—e—cost)dt2∫0π(ecosu+e—cosu)du，因此f(x+2π)—f(x)=0。故選A。3、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，則在下列變上限積分定義的函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是()A、∫0xtf(t)一f(一t)dtB、∫0xtf(t)+f(一t)dt。C、∫0xf(t2)dt。D、∫0x[f(t)]2dt。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：取f(x)=x，則相應(yīng)的∫0xt[f(t)—f(—t)]dt=∫0x2t2dt=x3，∫0xf(t2)dt=∫0xt2dt=x3，∫0x[f(t)]2dt=∫0xt2dt=x3，均為奇函數(shù)，故選B。4、曲線y=e—x