考研數(shù)學(xué)三（多元函數(shù)微積分學(xué)）模擬試卷1（共231題）

考研數(shù)學(xué)三（多元函數(shù)微積分學(xué)）模擬試卷1（共8套）（共231題）考研數(shù)學(xué)三（多元函數(shù)微積分學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共29題，每題1.0分，共29分。)1、設(shè)f(x，y)=則f(x,y)在點(0，0)處()A、兩個偏導(dǎo)數(shù)都不存在。B、兩個偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微。C、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。D、可微但偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由偏導(dǎo)數(shù)定義，有fx＇(0，0)==0，由對稱性知fy＇(0，0)=0，而上式極限不存在。事實上，故f(x，y)在(0，0)點不可微，故選B。2、已知f(x，y)=，則()A、f＇x(0，0),f＇y(0，0)都存在。B、f＇x(0，0)不存在f＇y(0，0)存在。C、f＇x(0，0)不存在,f＇y(0，0)不存在。D、f＇x(0，0),f＇y(0，0)都不存在。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由于故fx＇(0，0)不存在。fy＇(0，0)==0，所以fy＇(0，0)存在，故選B。3、已知f＇x(x0，y0)存在，則=()A、f＇x(x0，y0)。B、0。C、2f＇x(x0，y0)。D、f＇x(x0，y0)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由題意=fx＇(x0，y0)+fx＇(x0，y0)=2fx＇(x0，y0)，故選C。4、設(shè)z=f(x，y)在點(x0，y0)處可微，Δz是f(x，y)在點(x0，y0)處的全增量，則在點(x0，y0)處()A、Δz=dz。B、Δz=f＇x(x0，y0))Δx+f＇y(x0，y0)Δy。C、Δz=f＇x(x0，y0)dx+f＇y(x0，y0)dy。D、Δz=dz+o(p)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由于z=f(x，y)在點(x0,y0)處可微，則Δz=fx＇(x0，y0)Δx+fy＇(x0，y0)Δy+o(p)=dz+o(p)，故選D。5、設(shè)=0，則f(x，y)在點(0，0)處()A、不連續(xù)。B、連續(xù)但兩個偏導(dǎo)數(shù)不存在。C、兩個偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微。D、可微。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由=0知f(x，y)一f(0，0)+2x—y=o(p)，(當(dāng)(x，y)→(0，0)時)即f(x，y)-f(0，0)=一2x+y+o(p)，由微分的定義可知f(x，y)在點(0，0)處可微，故選D。6、考慮二元函數(shù)f(x，y)的四條性質(zhì)：①f(x，y)在點(x0，y0)處連續(xù)，②f(x，y)在點(x0，y0)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，③f(x,y)在點(x0，y0)處可微，④f(x，y)在點(x0，y0)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在。則有()A、②→③→①。B、③→②→①。C、③→④→①。D、③→①→④。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由于f(x，y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分條件，而f(x，y)可微是其連續(xù)的充分條件，故選A。7、函數(shù)f(x，y)在(0，0)點可微的充分條件是()A、f＇x(x，0)=f＇x(0，0)，且f＇y(0，y)=f＇y(0，0)。B、[f(x，y)一f(0，0)]=0。C、都存在。D、f＇x(x，y)=f＇x(0，0)，且f＇y(x，y)=f＇y(0，0)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由f＇x(x，y)=f＇x(0，0)，且f＇y(x，y)=f＇y(0，0)，可知f(x，y)的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)f＇x(x，y)和f＇y(x，y)在(0，0)點連續(xù)，因此f(x，y)在(0，0)點可微，故選D。8、二元函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處可微的一個充分條件是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：按可微性定義f(x，y)在(0，0)處可微f(x，y)=f(0，0)+Ax+By+0()((x，y)→(0，0))=0．其中A，B是與x，y無關(guān)的常數(shù)。題中的C項即A=B=0的情形，故選C。9、設(shè)函數(shù)z(x，y)由方程F=0確定，其中F為可微函數(shù)，且F＇2≠0，則=()A、x。B、z。C、一x。D、一z。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：對已知的等式F()兩邊求全微分可得整理可得故選B。10、設(shè)函數(shù)u(x，y)=φ(x+y)+φ(x一y)+ψ(t)dt，其中函數(shù)φ具有二階導(dǎo)數(shù)，ψ具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：先分別求出，再進(jìn)一步比較結(jié)果。因為=φ＇(x+y)+φ＇(x一y)+ψ(x+y)一ψ(x一y)，=φ＇(x+y)－φ＇(x一y)+ψ(x+y)一ψ(x一y)，于是=φ＂(x+y)+φ＂(x一y)+ψ＇(x+y)一ψ＇(x一y)，=φ＂(x+y)－φ＂(x一y)+ψ＇(x+y)一ψ＇(x一y)，=φ＂(x+y)+φ＂(x一y)+ψ＇(x+y)一ψ＇(x一y)，可見有故選B。11、設(shè)z=(xy)，其中函數(shù)f可微，則=()A、2yf＇(xy)。B、一2yf＇(xy)。C、(xy)D、一(xy)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：先根據(jù)函數(shù)求出必要偏導(dǎo)數(shù)的表達(dá)形式，將結(jié)果代入=－f(xy)+yf＇(xy)+f(xy)+yf＇(xy)=2yf＇(xy)，故選A。12、設(shè)可微函數(shù)f(x，y)在點(x0，y0)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是()A、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)大于零。B、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)等于零。C、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)小于零。D、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)不存在。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因可微函數(shù)f(x，y)在點(x0，y0)取得極小值，故有f＇x(x0，y0)=0,f＇y(x0，y0)=0。又由f＇x(x0，y0)=可知B項正確，故選B。13、設(shè)函數(shù)f(x，y)可微，且對任意x，y都有，則使不等式f(x1，y1)2，y2)成立的一個充分條件是()A、x1＞x2，y1＜y2。B、x1＞x2，y1＞y2。C、x1＜x2，y1＜y2。D、x1＜x2，y1＞y2。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由<0，需對x和y分開考慮，則已知的兩個不等式分別表示函數(shù)f(x,y)關(guān)于變量x是單調(diào)遞增的，關(guān)于變量y是單調(diào)遞減的。因此，當(dāng)x1＜x2，y1＞y2時，必有(x1，y1)＜f(x2，y1)＜f(x2，y2)，故選D。14、設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足f(0)>0，g(0)<0，且f＇(0)=g＇(0)=0，則函數(shù)z=f(x)g(y)在點(0，0)處取得極小值的一個充分條件是()A、f＂(0)<0，g＂(0)>0B、f＂(0)<0，g＂(0)<0。C、f＂(0)>0，g＂(0)>0。D、f＂(0)>0，g＂(0)<0。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由z=f(x)g(y)，得=f＇(x)g(y)，=f(x)g＇(y)，=f＂(x)g(y)，=f＇(x)g＇(y)，=f(x)g＂(y)，A==f＂(0)g(0)，B==f＇(0)g＇(0)，C==f(0)g＂(0)，而且=f＇(0)g(0)=0=f(0)g＇(0)=0,f(0)>0，g(0)<0，當(dāng)f＂(0)<0，g＂(0)>0時，B2一AC<0，且A>0，此時z=f(x)g(y)在點(0，0)處取得極小值，故選A。15、設(shè)函數(shù)z=f(x，y)的全微分為dz=xdx+ydy，則點(0，0)()A、不是f(x,y)的連續(xù)點。B、不是f(x,y)的極值點。C、是f(x,y)的極大值點。D、是f(x,y)的極小值點。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：根據(jù)dz=xdx+ydy可得，=y，則A==1。又在(0，0)處，，AC—B2=1>0，根據(jù)二元函數(shù)極值點的判斷方法可知，(0，0)為函數(shù)z=f(x，y)的一個極小值點，故選D。16、設(shè)f(x,y)與φ(x,y)均為可微函數(shù)，且φ＇y(x,y)≠0。已知(x0,y0)是f(x,y)在約束條件φ(x，y)=0下的一個極值點，下列選項正確的是()A、若f＇x(x0,y0)=0，則f＇y(x0,y0)=0。B、若f＇x(x0,y0)=O，則f＇y(x0,y0)≠0。C、若f＇x(x0,y0)≠0，則f＇y(x0,y0)=0。D、若f＇x(x0,y0)≠0，則f＇y(x0,y0)≠0。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：令F=f(x，y)+λφ(x，y)，若f＇x(x0，y0)=0，由(1)得λ=0或φ＇x=(x0，y0)=0。當(dāng)λ=0時，由(2)得f＇y(x0，y0)=0，但λ≠0時，由(2)及φ＇y(x0，y0)≠0得f＇y(x0，y0)≠0因而A、B兩項錯誤。若f＇x(x0，y0)≠0，由(1)，則λ≠0，再由(2)及φ＇y(x0，y0)≠0，則f＇y(x0，y0)≠0，故選D。17、=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：結(jié)合二重積分的定義可得故選D。18、設(shè)I1=dσ,I2=cos(x2+y2)dσ，I3=cos(x2+y2)2dσ，其中D={(x，y)|x2+y2≤1}，則()A、I3＞I2＞I1。B、I1>I2＞I3。C、I2＞I1＞I3。D、I3＞I1＞I2。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：在區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤1}上，有0≤x2+y2≤l，從而有≥x2+y2≥(x2+y2)2≥0。已知函數(shù)cosx在(0，)上為單調(diào)減函數(shù)，于是0≤cos≤cos(x2+y2)≤cos(x2+y2)2，因此cos(x2+y2)dσ<cos(x2+y2)2dσ。故選A。19、設(shè)平面D由x+y=，x+y=1及兩條坐標(biāo)軸圍成，I1=ln(x+y)3dxdy，I2=(x+y)3dxdy，I3=sin(x+y)3dxdy，則()A、I1＜I2＜I3。B、I3＜I1＜I2。C、I1＜I3＜I2。D、I3＜I2＜I1。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：顯然存D上03≤0，03＜(x+y)3，從而有l(wèi)n(x+y)3dxdy＜sin(x+y)3dxdy＜(x+y)3dxdy，故選C。20、設(shè)D為單位圓x2+y2≤I1=(x3+y3)dxdy，I2=(x4+y4)dxdy，I3=(2x6+y5)dxdy，則()A、I1＜I2＜I3。B、I3＜I1＜I2。C、I3＜I2＜I1。D、I1＜I3＜I2。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由于積分域D關(guān)于兩個坐標(biāo)軸都對稱，而x3是x的奇函數(shù)，y3是y的奇函數(shù)，則I1=(x3+y3)dxdy=0，y3dxdy=0，積分區(qū)域D關(guān)于直線y=x對稱，從而由輪換對稱性可得I3=2x6dxdy=(x6+y6)dxdy，由于在D內(nèi)|x|≤1，|y|≤1，則x6+y6≤x4+y4，則0＜(x6+y6)dxdy＜(x4+y4)dxdy，從而有，I1＜I3＜I2，故選D。21、設(shè)Dk是圓域D={(x，y)|x2+y2≤1}位于第k象限的部分，記Ik=(y一x)dxdy(k=l，2，3，4)，則()A、I1＞0。B、I2＞0。C、I3＞0。D、I4＞0。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：根據(jù)極坐標(biāo)系下二重積分的計算可知Ik=(y一x)dxdy=(sinθ—cosθ)r2dr=(sinθ—cosθ)dθ=一(sinθ+cosθ)所以I1=I3=0，I2=，I4=一，故選B。22、設(shè)f(x，y)在D：x2+y2≤a2上連續(xù)，則f(x，y)dσ()A、不一定存在。B、存在且等于f(0，0)。C、存在且等于πf(0，0)。D、存在且等于[*]f(0，0)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由積分中值定理知f(x，y)dσ=，πa2f(ξ，η)，(ξ，η)∈D，(ξ，η)=πf(0，0)，故選C。23、設(shè)函數(shù)f(u)連續(xù)，區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤2y}，則f(xy)dxdy等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：積分區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤2y}(如圖l-4-3)。在直角坐標(biāo)系下，故排除A、B兩個選項。在極坐標(biāo)系下f(xy)dxdy=f(r2sinθcosθ)rdr，故選D。24、設(shè)函數(shù)f(x，y)連續(xù)，則二次積分f(x，y)dy等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由題設(shè)可知，≤x≤π，sinx≤y≤1，可轉(zhuǎn)化為0≤y≤1，π—arcsiny≤x≤π，故選B。25、累次積分∫01dx∫x1f(x，y)dy+∫12dy∫02-yf(x，y)dx可寫成()A、∫02dy∫x2-xf(x,y)dyB、∫01dy∫02-yf(x,y)dxC、∫01dy∫x2-xf(x,y)dyD、∫01dy∫y2-yf(x,y)dx標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：原積分域為直線y=x，x+y=2，與y軸圍成的三角形區(qū)域，故選C。26、設(shè)函數(shù)f(x，y)連續(xù)，則∫12dx∫x2f(x,y)dy+∫12dy∫y4-yf(x,y)dx=()A、∫12dx∫14-xf(x,y)dyB、∫12dx∫x4-xf(x,y)dy。C、∫12dy∫14-xf(x,y)dxD、∫12dy∫y2f(x,y)dx標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：∫12dx∫x2f(x，y)dy+∫21dy∫y4-yf(x，y)dx的積分區(qū)域為兩部分(如圖1-4-4所示)D1={(x，y)|1≤x≤2，x≤y≤2}；D2={(x,y)|1≤y≤2，y≤x≤4一y}，將其寫成一個積分區(qū)域為D={(x，y)|1≤y≤2，1≤x≤4一y}。故二重積分可以表示為∫12dy∫14-yf(x，y)dx，故選C。27、交換積分次序∫1edx∫0lnxf(x,y)dy為()A、∫0edy∫0lnxf(x,y)dxB、∫eyedy∫01f(x,y)dxC、∫0lnxdy∫1ef(x,y)dxD、∫01dy∫eyef(x,y)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：交換積分次序得f(x，y)dx，故選D。28、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，若F(u，v)=，其中區(qū)域Duv為圖1-4-1中陰影部分所示，則=()A、vf(u2)。B、(u2)。C、vf(u)。D、f(u)。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：題設(shè)圖像中所示區(qū)域用極坐標(biāo)表示為0≤θ≤v，1≤r≤u。因此可知F(u，v)=根據(jù)變限積分求導(dǎo)可得=vf(u2)，故選A。29、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(t)=∫tldy∫tyf(x)dx則F＇(2)等于()A、2f(2)。B、f(2)。C、－f(2)。D、0。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：交換累次積分的積分次序，得F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx=∫1tdx∫1xf(x)dy=∫1t(x一1)f(x)dx，于是F＇(t)=(t一1)f(t)，從而F＇(2)=f(2)，故選B?？佳袛?shù)學(xué)三（多元函數(shù)微積分學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設(shè)D是由曲線y=x3與直線x=－1與y=1圍成的區(qū)域，D1是D在第一象限的部分，則A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：用曲線段Г={(x，y)|y=－x3，－1≤x≤0}與x軸，y軸將區(qū)域D分成D1，D2，D3，D4四個部分(見圖4．19)，于是D1與D2關(guān)于)，軸對稱，D3與D4關(guān)于x軸對稱．由于xy對x或?qū)均為奇函數(shù)，因此又由于cosxsiny對x是偶函數(shù)，而對y是奇函數(shù)，所以綜上所述，應(yīng)選A．2、設(shè)區(qū)域D={(x，y)||x|+|y|≤1}，D1為D在第一象限部分，f(x，y)在D上連續(xù)且f(x，y)≠0，則成立的一個充分條件是A、f(－x，－y)=f(x，y)B、f(－x，－y)=-f(x，y)C、f(－x，y)=f(x，－y)=－f(x，y)D、f(－x，y)=f(x，－y)=f(x，y)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：D表明f(x，y)關(guān)于x是偶函數(shù)，關(guān)于y也是偶函數(shù)，故當(dāng)條件(D)成立時，結(jié)論成立．A不充分．如f(x，y)=xy，有f(－x，－y)=xy=f(x，y)，但同樣，令f(x，y)=xy，可知滿足C的條件，但故條件C不充分．對條件B，令f(x，y)=xy2，有f(－x，－y)=－f(x，y)，但二、解答題(本題共26題，每題1.0分，共26分。)3、設(shè)函數(shù)f(x，y)連續(xù)，則二次積分等于標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：設(shè)二次積分則積分區(qū)域D又可表示為D={(x，y)|0≤y≤1，π－arcsiny≤x≤π}，故交換積分次序即得所以選B．設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ，把下列直角坐標(biāo)系中的累次積分改寫成極坐標(biāo)系(r，θ)中的累次積分：4、標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖4．24所示，可見區(qū)域D位于的扇形中，且極點在D的邊界上，D的邊界方程為r=cosθ，于是D可表示為故知識點解析：暫無解析5、標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖4．25所示，可見區(qū)域D位于的扇形中，且極點在D的邊界上，D的上邊界方程的直角坐標(biāo)方程是x+y=1，從而它的極坐標(biāo)方程是于是D可表示為故知識點解析：暫無解析6、設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ，把極坐標(biāo)系中的累次積分改寫成直角坐標(biāo)系中兩種積分次序的累次積分．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖4．26所示，可見D由直線x+y=0與圓x2+y2=2y圍成，且D位于直線x+y=0的右上側(cè)．容易得出直線x+y=0與圓x2+y2=2y，的交點為(0，0)及(－1，1)，從而區(qū)域D可表示為或故知識點解析：暫無解析7、設(shè)求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析計算下列二重積分：8、標(biāo)準(zhǔn)答案：交換積分順序．由于0≤x≤1時，區(qū)域D的下側(cè)邊界為y=x，上側(cè)邊界為其圖形為圖4．28．這樣，就有知識點解析：暫無解析9、標(biāo)準(zhǔn)答案：由現(xiàn)有積分限畫出積分區(qū)域的圖形為圖4．29，這樣就有知識點解析：暫無解析10、標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域如圖4．30所示，因此知識點解析：暫無解析11、標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D是三角形，如圖4．31所示，交換x，y的積分次序，得而所以原式=知識點解析：暫無解析12、計算累次積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：由累次積分限知：0≤x≤1時1≤y≤x+1；1≤x≤2時x≤y≤x+1；2≤x≤3時x≤y≤3，于是積分區(qū)域D如圖4．32所示，因此D可表示為D={(x，y)|1≤y≤3，y－1≤x≤y}，從而知識點解析：暫無解析13、計算二重積分其中D是由y=1，y=x2及x=0所圍區(qū)域(如圖4．33)．標(biāo)準(zhǔn)答案：被積函數(shù)中含有xey2，若先對y積分，其原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示，因此先對x積分．知識點解析：暫無解析14、計算二重積分其中D是由y=x，y=0，x=1所圍成的區(qū)域(如圖4．34)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因被積函數(shù)中含必須先用倍角公式化成一次冪，即而D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤x}，于是知識點解析：暫無解析15、計算其中D是由圓心在點(a，a)、半徑為a且與坐標(biāo)軸相切的圓周的較短一段弧和坐標(biāo)軸所圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域D如圖4．35，區(qū)域D的上邊界是方程為(x－a)2+(y－a)2=a2的下半圓上的一段弧，它的方程為下邊界方程為y=0，故區(qū)域D可表示為知識點解析：暫無解析16、計算二重積分其中積分區(qū)域D是由直線x=0，x=2，y=2與曲線所圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：【解法一】積分區(qū)域D如圖4．36所示，D的不等式表示是D={(x，y)|0≤x≤2，從而為計算定積分可用換元法，令x－1=t即得故【解法二】設(shè)u=x－1，v=y作坐標(biāo)軸的平移，在uv平面上積分區(qū)域變?yōu)榍依脜^(qū)域D’關(guān)于v軸對稱可知利用區(qū)域D’的面積是邊長為2的正方形面積與半徑為l的半圓面積之差可知又因故知識點解析：暫無解析17、計算二重積分其中D={(x，Y)10≤x≤2，－2≤y≤2}．標(biāo)準(zhǔn)答案：因如圖4．37所示，用直線y=－x+2，y=－x將D分成D1，D2與D3，于是可得知識點解析：暫無解析計算下列二重積分：18、其中D是由曲線圍成的區(qū)域；標(biāo)準(zhǔn)答案：積分域D見圖4．38．D的極坐標(biāo)表示是：0≤r≤sin2θ．于是知識點解析：暫無解析19、其中D是由直線y=x，圓x2+y2=2x以及x軸圍成的平面區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：在極坐標(biāo)系x=rcosθ，y=rsinθ中積分區(qū)域如圖4．39，故知識點解析：暫無解析計算下列二重積分：20、其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}；標(biāo)準(zhǔn)答案：將積分區(qū)域分塊，如圖4．40．設(shè)D1={(x，y)|x2+y2≤1}∩D，D2={(x，y)|x2+y2≥1}∩D，則D=D1+D2，且可分塊計算二重積分用極坐標(biāo)x=rcosθ，y=rsinθ計算第一個二重積分．由于故計算第二個二重積分．由于D2=D—D1，故最后可得知識點解析：暫無解析21、其中D={(x，y)|0≤x≤y≤2π}．標(biāo)準(zhǔn)答案：依圖4．41所示將區(qū)域D分割，則知識點解析：暫無解析22、設(shè)函數(shù)計算二重積分其中D={(x，y)||x|+|y|≤2}．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖4．42所示．不難發(fā)現(xiàn)，區(qū)域D分別關(guān)于x軸和y軸對稱，而被積函數(shù)關(guān)于x和y都是偶函數(shù)，從而原積分可化為在第一象限積分的4倍，即因為區(qū)域D關(guān)于直線x=y對稱，從而且為計算D2上積分的方便，引入極坐標(biāo)：x=rcosθ，y=rsinθ，則x+y=1的方程為x+y=2的方程為從而所以于是知識點解析：暫無解析求下列二重積分：23、其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}；標(biāo)準(zhǔn)答案：盡管D的邊界不是圓弧，但由被積函數(shù)的特點知選用極坐標(biāo)比較方便．D的邊界線x=1及y=1的極坐標(biāo)方程分別為于是知識點解析：暫無解析24、其中D={(x，y)|x2+y2≤1}．標(biāo)準(zhǔn)答案：在積分區(qū)域D上被積函數(shù)分塊表示，若用分塊積分法較復(fù)雜．因D是圓域，可用極坐標(biāo)變換，轉(zhuǎn)化為考慮定積分的被積函數(shù)是分段表示的情形．這時可利用周期函數(shù)的積分性質(zhì)．作極坐標(biāo)變換x=rcosθ，y=rsinθ，則D={(r，θ)|0≤θ≤2π，0≤r≤1}．從而其中由周期函數(shù)的積分性質(zhì)，令t=θ+θ0就有知識點解析：暫無解析25、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=1，且滿足其中Dt={(x，y)|0≤x≤t，0≤y≤t－x}(0標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域Dt如圖4．43所示，計算可得從而f(t)滿足將(*)式兩端對t求導(dǎo)數(shù)得解微分方程(**)又可得代入f(0)=1可確定常數(shù)C=16，故知識點解析：暫無解析26、計算二重積分其中D是由直線y=x與y軸在第一象限圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：無界區(qū)域D的左邊界是y軸，右邊界是y=x，而y的取值范圍是0≤y＜+∞(如圖4．44)．D的不等式表示：D={(x，y)|0≤y＜+∞，0≤x≤y}于是知識點解析：暫無解析27、設(shè)D={(x，y)|0≤x＜+∞，0≤y＜+∞}，求標(biāo)準(zhǔn)答案：用極坐標(biāo)變換x=rcosθ，y=rsinθ，D的極坐標(biāo)表示：于是又因故知識點解析：暫無解析28、設(shè)D={(x，y)|－∞＜x＜+∞，－∞＜y＜+∞}，求標(biāo)準(zhǔn)答案：記D是全平面．方法1引入極坐標(biāo)變換：x=rcosθ，y=rsinθ，D的極坐標(biāo)表示：0≤0≤2π，0≤r＜+∞于是因為故方法2全平面D關(guān)于y=x對稱，D的y=x上方部分記為D1，D1={(x，y)l－∞＜x＜+∞，x≤y＜+∞}，或D1：{(x，y)|－∞＜y＜+∞，－∞＜x≤y}，則知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（多元函數(shù)微積分學(xué)）模擬試卷第3套一、解答題(本題共28題，每題1.0分，共28分。)1、已知=2x+y+1，=x+2y+3，u(0，0)=1，求u(x，y)及u(x，y)的極值，并問此極值是極大值還是極小值?說明理由。標(biāo)準(zhǔn)答案：由=2x+y+1，有u(x，y)=x2+xy+x+φ(y)，再結(jié)合=x+2y+3，有x+φ＇(y)=x+2y+3，得φ＇(y)=2y+3，φ(y)=y2+3y+C。于是u(x，y)=x2+xy+x+y2+3y+C。又由u(0，0)=1得C=1，因此u(x，y)=x2+xy+y2+x+3y+1。由=2>0．所以u為極小值。知識點解析：暫無解析2、求曲線x3一xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的點到坐標(biāo)原點的最長距離與最短距離。標(biāo)準(zhǔn)答案：構(gòu)造函數(shù)L(x，y)=x2+y2+λ(x3一xy+y3一1)，令得唯一駐點x=1，y=1，即M1(1，1)。考慮邊界上的點，M2(0，1)，M3(1，0)，距離函數(shù)f(x，y)=在三點的取值分別為f(1，1)=√2,f(0，1)=1,f(1，0)=1，因此可知最長距離為√2，最短距離為1。知識點解析：暫無解析3、求函數(shù)u=x3+y2+z2在約束條件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值與最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一：可以利用拉格朗日乘數(shù)法求極值，兩個約束條件的情況下，作拉格朗日函數(shù)F(x，y，z，λ，μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2一z)+μ(z+y+z一4)，令解方程組得(x1，y1，z1)=(1，1，2)，(x2，y2，z2)=(一2，一2，8)。代入原函數(shù)，求得最大值為72，最小值為6。方法二：問題可轉(zhuǎn)化為一個約束函數(shù)的情況，求u=x2+y2+x4+2x2y2+y4在條件x+y+x2+y2=4下的最值，設(shè)F(x，y，λ)=u=x4+y4+2x2y2+x2+y2+λ(x+y+x2+y2一4)，令解得(x1，y1)=(1，1)，(x2，y2)=(一2，一2)，代入z=x2+y2，得z1=2，z1=8。同理可得原函數(shù)最大值為72，最小值為6。知識點解析：暫無解析4、求二元函數(shù)z=f(x，y)=x2y(4一x—y)在直線x+y=6，x軸與y軸圍成的閉區(qū)域D上的最大值與最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：先求在D內(nèi)的駐點，即因此在D內(nèi)只有駐點相應(yīng)的函數(shù)值為f(2，1)=4。再求f(x，y)在D邊界上的最值(1)在x軸上y=0，所以f(x，0)=0。(2)在y軸上x=0，所以f(0，y)=0。(3)在x+y=6上，將y=6一x代入f(x，y)中，得f(x，y)=2x2(x一6)，因此f＇x=6x2一24x=0。得x=0(舍)，x=4。所以y=6一x=2。于是得駐點相應(yīng)的函數(shù)值f(4，2)=x2y(4一x一y)|(4,2)=－64。綜上所述，最大值為f(2，1)=4，最小值為f(4，2)=一64。知識點解析：暫無解析5、求|z|在約束條件下的最大值與最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：|z|的最值點與z2的最值點一致，用拉格朗日乘數(shù)法，作F(x，y，z，λ，μ)=z2+λ(x2+9y2一2z2)+μ(x+3y+3z一5)。令解得(x，y，z)一(1，，1)；(x，y，z)2=(一5，－，5)。所以當(dāng)x=1，y=時，|z|=1最?。划?dāng)x=一5，y=一時，|z|=5最大。知識點解析：暫無解析6、求二重積分max(xy，1)dxdy，其中D={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2}。標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線xy=1將區(qū)域分成兩個區(qū)域D1和D2+D3(如圖1—4—15)max(xy，1)dxdy知識點解析：暫無解析7、已知函數(shù)z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2。求f(x，y)在橢圓域D={(x，y)|x2+≤1}上的最大值和最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意可知=一2y，于是f(x，y)=x2+C(y)，且C＇(y)=一2y，因此有C(y)=一y2+C，由f(1，1)=2，得C=2，故f(x，y)=x2一y2+2。令=0得可能極值點為x=0，y=0。且A==一2．Δ=B2一AC=4>0，所以點(0，0)不是極值點，也不可能是最值點。下面討論其邊界曲線x2+=1上的情形，令拉格朗日函數(shù)為F(z，y，λ)=f(x，y)+λ(x2+一1)，解得可能極值點x=0，y=2，λ=4；x=0,y=一2，λ=4；x=1，y=0，λ=一1；x=一1，y=0，λ=一1。將其分別代入f(x，y)得f(0，±2)=一2,f(±1，0)=3，因此z=f(x，y)在區(qū)域D={(x，y)|x2+≤1}內(nèi)的最大值為3，最小值為一2。知識點解析：暫無解析8、設(shè)平面區(qū)域D由直線x=3y，y=3x及x+y=8圍成。計算x2dxdy。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)已知因此知識點解析：暫無解析9、求二重積分(x一y)dxdy，其中D={(x，y)|(x一1)2+(y一1)2≤2，y≥x}。標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知條件，積分區(qū)域D={(x，y)|(x一1)2+(y一1)2≤2，y≥x}。由(x一1)2+(y一1)2≤2，得r≤2(sinθ+cosθ)，于是I=(x一y)dσ=r(cosθ一sinθ)rdr=(cosθ一sinθ)·dθ=(cosθ一sinθ)(cosθ+sinθ)3dθ=(cosθ+sinθ)2d(cosθ+sinθ)=(cosθ+sinθ)4知識點解析：暫無解析10、計算二重積分(x+y)3dxdy，其中D由曲線x=與直線x+√2y=0及x一√2y=0圍成。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域如圖1—4—16所示，D=D1∪D2，其中D1={(x，y)|0≤y≤1，√2y≤x≤D2={(x，y)|一1≤y≤0，一√2≤x≤由于(x+y)3dxdy=(x3+3x3y+3xy2+y3)dxdy．且區(qū)域D關(guān)于x軸是對稱的，被積函數(shù)3x2y+y3是y的奇函數(shù)，所以(3x2y+y3)dxdy=0。因此(x+y)3dxdy=(x3+3xy2)dxdy=2(x3+3xy2)dxdy=2[(x3+3xy2)dx]=。知識點解析：暫無解析11、計算二重積分xydσ，其中區(qū)域D由曲線r=1+cosθ(0≤θ≤π)與極軸圍成。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意，rcosθ·rsinθ·rdr=sinθ·cosθ·(1+cosθ)4dθ=一cosθ·(1+cosθ)4dcosθ令u=cosθ得，原式=u(1+u)4du=知識點解析：暫無解析12、計算二重積分I=其中計D={(r，θ)|0≤r≤secθ,0≤θ≤}。標(biāo)準(zhǔn)答案：將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，可得積分區(qū)域如圖1—4—17所示。D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤x}，則利用換元法，記x=sint，則上式I=知識點解析：暫無解析13、設(shè)D={(x，y)|(x一1)2+(y一1)2=2}，計算二重積分(x+y)dσ。標(biāo)準(zhǔn)答案：(x+y)dσ=[(x一1)+(y一1)+2]dσ=(x一1)dσ+(y一1)dσ+2dσ其中同理(y一1)dσ=0。而2dσ=2·2π=4π。所以原式=4π。知識點解析：暫無解析14、求二重積分ydσ，其中D是由曲線r=2(1+cosθ)的上半部分與極軸所圍成的區(qū)域。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖1—4—18，D的極坐標(biāo)表示是：0≤θ≤π，0≤r≤2(1+cosθ)，因此原式=r2sinθdrdθ=r2dr=(1+cosθ)3sinθdθ=知識點解析：暫無解析15、計算，其中D={(x，y)|0≤y≤min{z，1一x}}。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域如圖1—4—19所示，在極坐標(biāo)中知識點解析：暫無解析16、計算|x+y|dxdy。標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={(p，φ)|一，0≤p≤1}；D2={(P，φ)|，0≤p≤1}；D3={(p,φ)|一，0≤P≤1}；因此|x+y|dxdy=|x+y|dxdy—|x+y|dxdy=2(x+y)dxdy一(x+y)dxdy=2(x+y)dxdy一0=4xdxdy=。知識點解析：暫無解析17、計算二重積分dxdy，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}。標(biāo)準(zhǔn)答案：D是正方形區(qū)域(如圖l-4-20所示)。因在D上被積函數(shù)分塊表示為max{x2，y2}=(x，y)∈D，于是要用分塊積分法，用y=x將D分成兩塊：D=D1∪D2，D1=D∩{y≤x}，D2=D∩{y≥x}。則原式==ex2dxdy+ey2dxdy=2ex2dxdy(D關(guān)于y=x對稱)=2∫01dx∫0xex2dy=2∫01xex2dx=ex2|01=e一1。知識點解析：暫無解析18、計算二重積分|x2+y2一1|dσ，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤l}。標(biāo)準(zhǔn)答案：記D1={(x，y)|x2+y2≤1，(x，y)∈D}，D2={(x，y)|x2+y2＞1，(x，y)∈D}，因此|x2+y2一1|dσ=一(x2+y2－1)dxdy+(x2+y2—1)dxdy=一(r2一1)rdr+(x2+y2一1)dxdy一(x2+y2一1)dxdy=(x2+y2—1)dy一(r2一1)rdr=知識點解析：暫無解析19、設(shè)D={(x，y)|x2+y2≤√2，x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超過1+x2+y2的最大整數(shù)。計算二重積分xy[1+x2+y2]dxdy。標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={(x，y)|0≤x2+y2＜1，x≥0，y≥0}，D2={(x，y)|1≤x2+y2≤√2，x≥0，y≥0}。則xy[1+x2+y2]dxdy=xydxdy+2xydxdy知識點解析：暫無解析20、設(shè)二元函數(shù)f(x，y)=計算二重積分f(x，y)dσ，其中D={(x，y)||x|+|y|≤2}。標(biāo)準(zhǔn)答案：因為被積函數(shù)關(guān)于x，y均為偶函數(shù)，且積分區(qū)域關(guān)于x，y軸均對稱，所以f(x，y)dσ=f(x，y)dσ，其中D1為D在第一象限內(nèi)的部分。而所以可得f(x，y)dσ=+4√2ln(1+√2)。知識點解析：暫無解析21、求dσ，其中D是由圓x2+y2=4和(x+1)2+y2=1所圍成的平面區(qū)域(如圖1-4-2所示)。標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={(x，y)|x2+y2≤4}，D2={(x，y)|(x+1)2+y2≤1}，(如圖1—4—21所示)根據(jù)圖像的對稱性，ydσ=0。知識點解析：暫無解析22、計算二重積分x(y+1)dσ，其中積分區(qū)域D是由y軸與曲線y=，y=所圍成。標(biāo)準(zhǔn)答案：引入極坐標(biāo)(r，θ)滿足x=rcosθ，y=rsinθ，在極坐標(biāo)(r，θ)中積分區(qū)域D可表示為D={(r，θ)|0≤θ≤，2cosθ≤r≤2)，于是x(y+1)dσ=rcosθ(rsinθ+1)rdr==cosθsinθ(1一cos4θ)dθ+cosθ(1一cos3θ)dθ=I+J。其中，I=-cosθsinθ(1一cos4θ)dθ=4∫01t(1一t4)dt=4,J=cosθ(1一cos3θ)dθ==故知識點解析：暫無解析23、計算積分+sin3y)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)二重積分區(qū)域為D，D1是D的第一象限部分，由對稱性，得知識點解析：暫無解析24、設(shè)區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0}，計算二重積分I=。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖1—4—22所示。因為區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，函數(shù)f(x，y)=是變量y的偶函數(shù)，函數(shù)g(x，y)=變量y的奇函數(shù)。則取D1=D∩{y≥0}，知識點解析：暫無解析求下列積分。25、設(shè)f(x)=∫1xe-y2dy，求∫01x2f(x)dx；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析26、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)且∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫1xf(x)f(y)dy。標(biāo)準(zhǔn)答案：令Φ(x)=∫x1f(y)dy，則Φ，(x)=一f(x)，于是∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=∫01[∫x1f(y)dy]f(x)dx=一∫01Φ(x)dΦ(x)=一知識點解析：暫無解析27、已知函數(shù)f(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，計算二重積分I=xyfxy＂(x，y)dxdy。標(biāo)準(zhǔn)答案：將二重積分xyfxy＂(x，y)dxdy轉(zhuǎn)化為累次積分可得xyfxy＂(x，y)dxdy=∫01dy∫01xyfxy＂(x，y)dx。首先考慮∫01xyfxy＂(x，y)dx，注意這里把變量y看作常數(shù)，故有∫01xyfxy＂(x，y)dx=y∫01xdfy＇(x，y)=xyfy＇(x,y)|01一∫01yfy＇(x，y)dx=yfy＇(1，y)一∫01yfy＇(x，y)dx。由f(1，y)=f(x，1)=0易知fy＇(1，y)=fx＇(x，1)=0。所以∫01xyfxy＂(x，y)dx=－∫01yfy＇(x，y)dx。因此xyfxy＂(x，y)dxdy=∫01dy∫01xyfxy＂(x，y)dx=一∫01dy∫01yfy＇(x，y)dx，對該積分交換積分次序可得，一∫01dy∫01yfy＇(x，y)dx=一∫01dx∫01yfy＇(x,y)dy再考慮積分∫01yfy＇(x，y)dy，注意這里把變量x看作常數(shù)，故有∫01yfy＇(x，y)dy=∫01ydf(x，y)=yf(x，y)|01一∫01f(x，y)dy=一∫01f(x，y)dy，因此xyfxy＂(x,y)dxdy=一∫01dx∫01yfy＇(x,y)dy=∫01dx∫01f(x,y)dy=f(x，y)dxdy=a。知識點解析：暫無解析28、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy。標(biāo)準(zhǔn)答案：交換積分次序可得∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=∫01dy∫0yf(x)f(y)dx=∫01dx∫0xf(y)f(x)dy，因此，可得∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=[dx∫01f(x)f(y)dy+∫0dx∫0xf(x)f(y)dy]=∫01dx∫01f(x)f(y)dy=∫01f(x)dx·∫01f(y)dy=A2。知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（多元函數(shù)微積分學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)則f(x，y)在點(0，0)處A、連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在B、連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在C、不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在D、不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：這是討論f(x，y)在點(0，0)處是否連續(xù)，是否可偏導(dǎo)．先討論容易的，即f(x，y)在點(0，0)處是否可偏導(dǎo)．由于f(x，0)=0(x∈(－∞，+∞))，則同理因此B，D被排除．再考察f(x，y)在點(0，0)處的連續(xù)性．令y=x3，則因此f(x，y)在點(0，0)處不連續(xù)．故應(yīng)選C．2、設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(x0，y0)的某鄰域內(nèi)有定義，且在點(x0，y0)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)f’x(x0，y0)，f’y(x0，y0)都存在，則A、存在常數(shù)k，使B、C、D、當(dāng)(△x)2+(△y)2→0時f(x0+△x,y0+△y)－f(x0，y0)－[f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)△y]=標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：選項A表示f(x，y)當(dāng)(x，y)→(x0，y0)時極限存在；選項B表示f(x，y)在點(x0，y0)處連續(xù)；選項D表示f(x，y)在點(x0，y0)處可微．它們在題設(shè)條件下都未必成立．而選項C表示一元函數(shù)f(x0，y)與f(x，y0)分別在點y=y0，x=x0處連續(xù)．由于根據(jù)一元函數(shù)可導(dǎo)必連續(xù)的性質(zhì)知C成立．3、設(shè)則A、I1＜I2＜I3B、I2＜I2＜I1C、I3＜I1＜I2D、I3＜I2＜I1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：先比較I1和I3的大小：由于I1和I3被積函數(shù)連續(xù)，相同且非負(fù)，而I1的積分域包含了I3的積分域，由性質(zhì)7可知I1＞I3．再比較I2和I3的大?。河捎贗2和I3的積分域相同，又x2+y2≥2|xy|，由比較定理的【注】可知I3＞I2，從而有I1＞I3＞I2．故應(yīng)選B．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)4、設(shè)則在點的值為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：【分析一】(對x求導(dǎo)時y為常量)．將上式對y求導(dǎo)，得(對y求導(dǎo)時x為常量)把x=2，代入上式，得【分析二】5、設(shè)D是Oxy平面上以A(1，1)，B(－1，1)和C(－1，－1)為頂點的三角形區(qū)域，則標(biāo)準(zhǔn)答案：8知識點解析：連將區(qū)域D分成D1(三角形OAB)，D2(三角形OBC)兩個部分(見圖4．13)，它們分別關(guān)于y軸與x軸對稱．由于對x與y均為奇函數(shù)，因此又由于D的面積=所以于是I=0+8=8．三、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)求下列極限：6、標(biāo)準(zhǔn)答案：而因此，知識點解析：暫無解析7、標(biāo)準(zhǔn)答案：由x4+y2≥2x2|y而因此原極限為0．知識點解析：暫無解析8、證明極限不存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：(x，y)沿不同的直線y=kx趨于(0，0)，有再令(x，y)沿拋物線y2=x趨于(0，0)，有由二者不相等可知極限不存在．知識點解析：暫無解析9、標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)因f(x，1)=x2，故又因故(Ⅱ)按定義類似可求(或由x，y的對稱性得)．知識點解析：暫無解析10、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：按定義故知識點解析：暫無解析11、設(shè)z=xy·yx，求標(biāo)準(zhǔn)答案：【解法一】=yxy-1·yx+xy·yxlny=xy－1·yx(y+xlny)，=xy-1lnx·yx(y+xlny)+xy－1·xyx－1()，+xlny)+xy－1yx=xy－1yx－1(x2lny+y2lnx+xylnxlny+xy+x+y)．【解法二】把題目中的二元函數(shù)化為指數(shù)型函數(shù)eg(x,y)后再求偏導(dǎo)數(shù)．由于z=xy·yx=eylnxexlny=eylnx+xlny．從而知識點解析：暫無解析12、設(shè)z=f(u，v，z)，u=φ(x，y)，v=ψ(y)都是可微函數(shù)，求復(fù)合函數(shù)z=f(φ(x，y)，ψ(y)，x)的偏導(dǎo)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法可得知識點解析：暫無解析13、設(shè)z=f(u，v)，u=φ(x，y)，v=ψ(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求復(fù)合函數(shù)z=f[φ(x，y)，ψ(x，y)]的一階與二階偏導(dǎo)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：已求得下面進(jìn)一步求第一步，先對的表達(dá)式用求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則得第二步，再求與這里f(u，v)對中間變量u，v的導(dǎo)數(shù)仍然是u，v的函數(shù)，而u，v還是x，y的函數(shù)，它們的復(fù)合仍是x，y的函數(shù)，因而還要用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求即第三步，將它們代入(*)式得用類似方法可求得知識點解析：暫無解析14、設(shè)z=f(2x－y，ysinx)，其中f(u，v)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：【解法一】=f’1(2x－y，ysinx)·2+f’2(2x－y，ysinx)·ycosx，=－2f"11(2x－y，ysinx)+2f"12(2x－y，ysinx)sinx－f"21(2x－y，ysinx)ycosx+f"22(2x－y，ysinx)·sinx·ycosx+f’2(2x－y，ysinx)cosx．為書寫簡便，可以把變量省略，寫成=－2f"11+(2sinx－ycosx)f"12+ysinxcosxf"22+cosxf’2，因為f有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，故其中的f"12=f"21．【解法二】用一階全微分形式不變性可得dz=f’1d(2x－y)+f’2d(ysinx)=f’1(2dx－dy)+f’2(ycosxdx+sinxdy)=(2f’1+ycosxf’2)dx+(－f’1+sinxf’2)dy，由此可得再求可得知識點解析：暫無解析15、設(shè)f(x，y)與φ(y)均是二次可微函數(shù)．若z=f(x，y)，其中y=y(x)是由方程x=y+φ(y)所確定，求標(biāo)準(zhǔn)答案：將x=y+φ(y)兩端對x求導(dǎo)，得知識點解析：暫無解析16、設(shè)z=z(x，y)是由方程F(xy，y+z，xz)=0所確定的隱函數(shù)，且F具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：【解法一】此題既有復(fù)合函數(shù)運(yùn)算又有隱函數(shù)求導(dǎo)問題，將隱函數(shù)方程對x，y求偏導(dǎo)數(shù)，則有【解法二】把方程F(xy，y+z，xz)=0看成關(guān)于(x，y)的恒等式，兩端求全微分，由一階全微分形式不變性可得0=dF(xy，y+z，xz)=F’1d(xy)+F’2d(y+z)+F’3d(xz)=F’1(ydx+xdy)+F’2(dy+dz)+F’3(zdx+xdz)=(yF’1+zF’3)dx+(xF’1+F’2)dy+(F’2+xF’3)dz，由此可解出于是知識點解析：暫無解析17、求二元函數(shù)f(x，y)=x4+y4－2x2－2y2+4xy的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：為求函數(shù)f(x，y)的駐點，解如下方程組得到三個駐點(x1，y1)=(0，0)，為判定上述三個駐點是否是極值點，再計算在點(0，0)處，由于A(0，0)=－4＜0，8(0，0)=4，C(0，0)=－4，且AC－B2=0，故無法用充分條件判斷點(0，0)是不是f(x，y)的極值點．但由于在直線y=x上，f(x，y)=2x4在x=0取極小值；而在直線y=－x上，f(x，－x)=2x4－8x2在x=0取極大值，所以點(0，0)不是函數(shù)f(x，y)的極值點．在點處，由于A=20＞0，B=4，C=20，AC－B2=384＞0，故是函數(shù)f(x，y)的極小值．在點處，由于A=20＞0，B=4，C=20，AC－B2=384＞0，故也是函數(shù)f(x，y)的極小值．知識點解析：暫無解析18、求函數(shù)z=x22y(4－x－y)在由直線x+y=6，x軸和y軸所圍成的區(qū)域D上的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域D如圖4．1所示，它是有界閉區(qū)域．z(x，y)在D上連續(xù)，所以在D上一定有最大值與最小值，或在D內(nèi)的駐點達(dá)到，或在D的邊界上達(dá)到．為求D內(nèi)駐點，先求再解方程組得z(x，y)在D內(nèi)有唯一駐點(x，y)=(2，1)且z(2，1)=4．在D的邊界y=0，0≤x≤6或x=0，0≤y≤6上z(x，y)=0；在邊界x+y=6(0≤x≤6)上將y=6－x代入得z=x2(6－x)(－2)=2(x3－6x2)，0≤x≤6，令h(x)=2(x3－6x2)，則h’(x)=6(x2－4x)，h’(4)=0，h(0)=0，h(4)=－64，h(6)=0，即z(x，y)在邊界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值為0，最小值為－64．因此，知識點解析：暫無解析19、求函數(shù)f(x，y)=3x2+3y2－x3在D={(x，y)|x2+y2≤16}上的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為函數(shù)f(x，y)在有界閉域D上連續(xù)，所以f(x，y)在D上存在最大值與最小值．解方程組令F(x，y，λ)=3x2+3y2－x3－λ(x2+y2—16)，解方程組由于f(0，0)=0，f(2，0)=4，f(4，0)=－16，f(－4，0)=112，f(0，±4)=48，所以函數(shù)f(x，y)在D上的最大值為f(－4，0)=112，最小值為f(4，0)=－16．知識點解析：暫無解析20、將化為累次積分，其中D為x2+y2≤2ax與x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：方法1采用直角坐標(biāo)系．x2+y2=2ax與x2+y2=2ay是兩個圓，其交點為D(0，0)與P(0，a)．從D的圖形(圖4．10)可知因此，若先對y求積分，就有若先對x求積分，則方法2采用極坐標(biāo)系．如圖4．11，由于兩個圓在極坐標(biāo)系下的表達(dá)式分別為r=2acosθ與r=2asinθ，并且連線OP將區(qū)域D分成兩部分，故D=D1+D2，而因此知識點解析：暫無解析21、設(shè)D是由曲線與x軸，y軸圍成的區(qū)域，求標(biāo)準(zhǔn)答案：【解法一】先對x積分．區(qū)域D如圖4．12所示．【解法二】先對y積分．令則x=a(1－t)2，dx=2a(t－1)dt．于是知識點解析：暫無解析22、求其中D為y=x及x=0所圍成區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域D如圖4．14．被積函數(shù)只含y，先對x積分，雖然積分區(qū)域要分塊，但計算較簡單．若先對y積分，則求積分要費(fèi)點功夫．選擇先對x積分，將D分塊：于是知識點解析：暫無解析23、求其中D：|x|≤1，0≤y≤2．標(biāo)準(zhǔn)答案：在積分區(qū)域D上被積函數(shù)分段表示為因此要將D分塊，用分塊積分法．又D關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)關(guān)于x為偶函數(shù)，記D1={(x，y)|(x，y)∈D，x≥0，y≥x2}，D2：{(x，y)|(x，y)∈D，x≥0，y≤x2}，于是知識點解析：暫無解析24、設(shè)D由拋物線y=x2，y=4x2及直線y=1所圍成．用先x后y的順序?qū)⒒衫鄞畏e分．標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域D如圖4．15所示，將D分成x≥0與x≤0兩部分，用分塊積分法得知識點解析：暫無解析25、求其中D由直線x=－2，y=0，y=2及曲線所圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：D的圖形如圖4．16所示．若把D看成正方形區(qū)域挖去半圓D1，則計算D1上的積分自然選用乏坐標(biāo)變換．若只考慮區(qū)域D，則自然考慮先x后y的積分順序化為累次積分．若注意D關(guān)于直線y=1對稱，選擇平移變換則最為方便．方法1作平移變換u=x，v=y－1，注意曲線即x2+(y－1)2=1，x≤0，則D變成D’．D’由u=一2，v=－1，v=1，u2+v2=1(u≤0)圍成，則方法2在極坐標(biāo)變換下，從而于是方法3選擇先x后y的積分順序，D表為D={(x，y)l0≤y≤2，則知識點解析：暫無解析26、設(shè)z(x，y)滿足求z(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：把y看作任意給定的常數(shù)，將等式①兩邊對x求積分得其中φ(y)為待定函數(shù)．由②式得故因此，知識點解析：暫無解析設(shè)27、求標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)(x，y)≠(0，0)時，當(dāng)(x，y)=(0，0)時，因f(x，0)=0(x)，于是由對稱性得當(dāng)(x，y)≠(0，0)時，知識點解析：暫無解析28、討論f(x，y)在點(0，0)處的可微性，若可微并求df|(0,0).標(biāo)準(zhǔn)答案：方法1考察在(0，0)的連續(xù)性．注意從而即在點(0，0)處均連續(xù)，因此f(x，y)在點(0，0)處可微．于是方法2因為考察f(x，y)在(0，0)是否可微，就是考察下式是否成立即亦即當(dāng)ρ→0時是否是無窮小量．因為所以當(dāng)ρ→0時是無窮小量，因此f(x，y)在點(0，0)處可微，且df|(0,0)=0．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（多元函數(shù)微積分學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x，y)為連續(xù)函數(shù)，則f(rcosθ，rsinθ)rdr等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由題設(shè)可知，積分區(qū)域D如圖1-4-5所示，則原式=(x，y)dx，故選C。2、累次積分f(rcos0，rsin0)rdr可以寫成()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由累次積分f(rcosθ，rsinθ)rdr可知，積分區(qū)域D為D={(r，θ)|0≤r≤cosθ,0≤θ≤}。由r=cosθ為圓心在x軸上，直徑為1的圓可作出D的圖形如圖1-4-6所示。該圓的直角坐標(biāo)方程為(x一)2+y2=。故用直角坐標(biāo)表示區(qū)域D為D={(x，y)|0≤y≤，0≤x≤1}，或D={(x,y)|}?？梢夾、B、C三項均不正確，故選D。3、f(x，y)dxdy=f(rcos0，rsin0)rdr(a>0)，則積分域為()A、x2+y2≤a2。B、x2+y2≤a2(x≥0)。C、x2+y2≤ax。D、x2+y2≤ax(y≥0)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由r=acosθ知r2=arcosθ，即x2+y2=ax(a>0)，故選C。4、設(shè)函數(shù)f(t)連續(xù)，則二重積分f(r2)rdr=()A、(x2+y2)dy。B、f(x2+y2)dy。C、f(x2+y2)dx。D、f(x2+y2)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為曲線r=2在直角坐標(biāo)系中的方程為x2+y2=4，而r=2cosθ在直角坐標(biāo)系中的方程為x2+y2=2x，即(x一1)2+y2=1，因此根據(jù)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)之間二重積分的轉(zhuǎn)化可得原式=f(x2+y2)dy，故選B。5、設(shè)有平面閉區(qū)域，D={(x，y)|一a≤x≤a，x≤y≤a}，D1={(x，y)|0≤x≤a，x≤y≤a}，則(xy+cosxsiny)dxdy=()A、2cosxsinydxdy。B、2xydxdy。C、4(xy+cosxsiny)dxdy。D、0。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：將閉區(qū)間D={(x，y)|一a≤x≤a，x≤y≤a}用直線y=一x將其分成兩部分D1和D2，如圖1-4-7所示，其中D1關(guān)于y軸對稱，D2關(guān)于x軸對稱，xy關(guān)于x和y均為奇函數(shù)，所以在D1和D2上，均有xydxdy=0。而cosxsiny是關(guān)于x的偶函數(shù)，關(guān)于y的奇函數(shù)，在D1積分不為零，在D2積分值為零，因此cosisinydxdy=cosxsinydxdy+cosxsinvdxdy=0+2cosxsinydxdy。所以(xy+cosxsiny)dxdy=2cosxsinydxdy，故選A。6、設(shè)區(qū)域D由曲線y=sinx，x=±，y=1圍成，則(x5y一1)dxdy=()A、π。B、2。C、一2。D、一π。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：區(qū)域D如圖1—4—8中陰影部分所示，引入曲線y=一sinx，將區(qū)域D分為D1，D2，D3，D4四部分。由于D1，D2關(guān)于y軸對稱，可知在D1∪D2上關(guān)于x的奇函數(shù)積分為零，故x5ydxdy=0；又由于D3，D4關(guān)于x軸對稱，可知在D3∪D4上關(guān)于y的奇函數(shù)為零，故x5ydxdy=0。因此，(x5y一1)dxdy=一dy=一π，故選D。7、設(shè)f(x，y)連續(xù)，且f(x，y)=xy+f(u，v)dudv，其中D是由y=0，y=x2，x=1所圍區(qū)域，則f(x，y)等于()A、xy。B、2xy。C、xy+D、xy+1。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：等式(x,y)=xy+f(x，y)=xy+f(u,v)dudv兩端積分得故選C。8、設(shè)區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤4，x≥0，y≥0},f(x)為D上的正值連續(xù)函數(shù)，a，b為常數(shù)，則dσ=()A、abπ。B、C、(a+b)π。D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：根據(jù)輪換對稱性可得故選D。二、填空題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)9、設(shè)f(x，y)=在點(0，0)處連續(xù)，則a=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點解析：因為0≤|x|≤|x|→0，利用夾逼定理知，=0。又知f(0，0)=a，則a=0。10、設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程(z+y)x=xy確定，則=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2—21n2知識點解析：把點(1，2)代入(z+y)x=xy，得到z(1，2)=0。在(z+y)x=xy兩邊同時對x求偏導(dǎo)數(shù)，有(z+y)x[1n(z+y)+=y。將x=1，y=2，z(1，2)=0代入得=2—21n2。11、設(shè)f(x，y，z)=ex+y2z，其中z=z(x，y)是由方程x+y+z+xyz=0所確定的隱函數(shù)，則f＇x(0，1，一1)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：已知f(x，y，z)=ex+y2z，那么有f＇=(x，y，z)=ex+y2z＇x。在等式x+y+z+xyz=0兩端對x求偏導(dǎo)可得1+z＇x+yz+xyz＇x=0。由x=0，y=1，z=一1，可得z＇x=0。故f＇x(0，1，一1)=e0=1。12、設(shè)z=ln(√x+√y)，則x=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由題意可知13、設(shè)二元函數(shù)z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，則dz=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2edx+(e+2)dy知識點解析：由已知=ex+y+xex+y+ln(1+y)，因此|(1，0)=2edx+(e+2)dy。14、設(shè)z=z(x，y)由方程z+ez=xy2所確定，則dz=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(y2dx+2xydy)知識點解析：方程兩端對x求偏導(dǎo)，=y2。整理得同理可得故dz=15、設(shè)函數(shù)f(u)可微，且f’(2)=2，則z=f(x2+y2)在點(1，1)處的全微分出dz|(1,1)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：4(dx+dy)知識點解析：由題干可知，dz=f＇(x2+y2)(2xdx+2ydy)，則dz|(1，1)=f＇(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy)。16、設(shè)函數(shù)f(u)可微，且f＇(0)=，則z=f(4x2一y2)在點(1，2)處的全微分dz|(1,2)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：4dx一2dy知識點解析：直接利用微分的形式計算，因為=f＇x(4x2一y2)·8x|(1，2)=4，=f＇y(4x2一y2)·(一2y)|(1，2)=一2，所以dz|(1，2)==4dx一2dy。17、設(shè)函數(shù)f(u，v)由關(guān)系式f[xg(y)，y]=x+g(y)，確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y)≠0，則=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：一知識點解析：令u=xg(y)，v=y，則f(u，v)=+g(v)，所以，18、設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程z=e2x-3z+2y確定，則=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：方法一：偏導(dǎo)數(shù)法。在z=e2x+3x+2y的兩邊分別對x，y求偏導(dǎo)，z為z，y的函數(shù)。方法二：全微分法。利用全微分公式，得dz=e2x-3z(2dx一3dz)+2dy=2e2x-3zdx+2dy一3e2x-3xdz，即(1+3e2x-3z)dz=2e2x-3zdx+2dy。19、設(shè)函數(shù)z=，則dz|(1,1)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(1+21n2)dx+(一1—21n2)dy知識點解析：因為因此有=1+21n2。又因為因此有=一1—21n2。所以dz|(1,1)=(1+21n2)dx+(一1—21n2)dy。20、設(shè)z==__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(1n2—1)知識點解析：設(shè)u=則z=uv，所以因此(1n2—1)。21、將∫01dy∫0yf(x2+y2)dx化為極坐標(biāo)下的累次積分為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：f(p2)pgo知識點解析：如圖1—4—9所示，則有∫01dy∫0yf(x2+y2)dx=f(p2)pdp。22、已知極坐標(biāo)系下的累次積分I=f(rcosθ，rsinθ)rdr，其中a>0為常數(shù)，則I在直角坐標(biāo)系下可表示為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x，y)dy知識點解析：先將I表示成I=f(x，y)dσ，用D的極坐標(biāo)表示一≤θ≤，0≤r≤acosθ，因此可知區(qū)域D：(x一)2+y2≤()2。如圖1-4-l0所示：如果按照先y后x的積分次序，則有D：0≤x≤a，一因此可得I=f(x，y)dy。23、設(shè)z=f(1nx+)，其中函數(shù)f(u)可微，則=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點解析：因為所以=0。24、設(shè)z=f(xy)+yφ(x+y),f，φ具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：yf＂(xy)+φ＇(x+y)+yφ＂(x+y)知識點解析：由題干可得：f＇(xy)+yφ＂(x+y)，(xy)+yf＂(xy)+φ＇(x+y)+yφ＂(x+y)=yf＂(xy)+φ＇(x+y)+)，yφ＂(x+y)。25、設(shè)z=xg(x+y)+yφ(xy)，其中g(shù)，φ具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：g＇(x+y)+xg＂(x+y)+2yφ＇(xy)+xy2φ＂(xy)知識點解析：由題干可知，=g(x+y)+xg＇(x+y)+y2φ＇(xy)，=g＇(x+y)+xg＂(x+y)+2yφ＇(xy)+xy2φ＂(xy)。26、設(shè)函數(shù)f(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)z=f(x，xy)，則=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：xf＂12+f＇2+xyf＂22知識點解析：由題干可知，=f＇1+f＇2·y，=xf＂12+f＇2+xyf＂22。27、設(shè)D={(x，y)|x0+y2≤1}，則(x2一y)dxdy=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：利用函數(shù)奇偶性及輪換對稱性28、交換積分次序∫-12dy∫21-yf(x，y)dx=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x，y)dy知識點解析：由累次積分的內(nèi)外層積分限可確定積分區(qū)域D(如圖1—4—11所示)：一1≤y≤0，1一y≤x≤2。則有∫-10dy∫1-y2f(x,y)dx=f(x，y)dxdy。交換積分次序∫-10dy∫21-yf(x,y)dx=一∫-10dy∫1-x2f(x，y)dx=一∫12dx∫01-xf(x,y)dy=∫12dx∫01-xf(x,y)dy。29、積分=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1一sinl知識點解析：積分區(qū)域D如圖1—4—12所示=∫01(1一y)sinydy=1一sinl。30、D是頂點分別為(0，0)，(1，0)，(1，2)和(0，1)的梯形閉區(qū)域，則(1+x)sinydσ=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：+sinl+cosl一2sin2一cos2知識點解析：積分區(qū)域可以表示為D={(x，y)|0≤y≤1+x，0≤x≤1}，則(1+x)sinydσ=∫01dx∫01+x(1+x)sinydy=∫01[(1+x)一(1+x)cos(1+x)]dx，利用換元法，令1+x=t，x∈[0，1]時，t∈[1，2]，則(1+x)sinydσ=∫12(t—tcost)dt=+sinl+cosl—2sin2一cos2?？佳袛?shù)學(xué)三（多元函數(shù)微積分學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、極限()A、不存在B、等于1C、等于0D、等于2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由于0＜x2+y2＜1時，In(x2+y2)＜0，所以令x2+y2=r，則則有由夾逼準(zhǔn)則，故。故選C。2、設(shè)u=f(x+y，xz)有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則=()A、f’2+xf’’11+(x+z)f’’12+xzf’’22B、xf’’12+xzf’’22C、f’2+xf’’12+xzf’’22D、xzf’’22標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由符合函數(shù)求導(dǎo)法則，。故選C。3、設(shè)函數(shù)f(x，y)可微分，且對任意的x，y都有，則使不等式f(x1，y1)＞f(x2，y2)成立的一個充分條件是()A、x1＞x2，y1＜y2B、x1＞x2，y1＞y2C、x1＜x2，y1＜y1D、x1＜x2，y1＞y2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因，若x1＞x2，則f(x1，y1)＞f(x2，y1)。又因，若y1＜y2，則f(x2，y1)＞f(x2，y2)。故選A。4、設(shè)z=f(x，y)在點(x0，y0)處可微，△z是f(x，y)在點(x0，y0)處的全增量，則在點(x0，y0)處()A、△z=dzB、△z=f’z(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)△yC、△z=f’z(x0，y0)dx+f’y(x0，y0)dyD、△z=dz+o(p)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由于z=f(x，y)在點(x0，y0)處可微，則△z=f’z(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)△y+o(p)=dz+o(p)。故選D。5、累次積分=()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：將極坐標(biāo)系表示的積分區(qū)域轉(zhuǎn)換為所對應(yīng)的直角坐標(biāo)平面的區(qū)域為D：0≤x≤1，，故選D。6、設(shè)D={(x，y)︱0≤x≤π，0≤y≤π}，則=()A、πB、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：根據(jù)對稱性，令D1{(x，y)︱0≤x≤π，0≤y≤x}，則故選B。7、設(shè)，其中D：x2+y2≤a2，則a為()A、1B、2C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為故得a=2。故選B。8、設(shè)函數(shù)，其中函數(shù)φ具有二階導(dǎo)數(shù)，ψ具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：先分別求出，再比較結(jié)果。因為于是可見有。故選B。9、累次積分可寫成()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由所給累次積分知，原積分域為直線y=x，x+y=2與y軸圍成的三角形區(qū)域(如下圖所示)，結(jié)合積分區(qū)域及積分次序可知，故選C。10、設(shè)f(x，y)連續(xù)，且，其中D是由y=0，y=x2，x=1所圍區(qū)域，則f(x，y)=()A、xyB、2xyC、D、xy+1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：等式兩端積分得其中于是有則有所以故選C。11、設(shè)區(qū)域D={(x，y)︱x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，f(x)為D上正值連續(xù)函數(shù)，a，b為常數(shù)，則=()A、abπB、C、(a+b)πD、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由x與y的可互換性可得故選D。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)12、=_____________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：13、設(shè)z=esinxy，則dz=_____________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：14、設(shè)函數(shù)=_____________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識點解析：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法及導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，則有15、由方程確定的隱函數(shù)z=z(x，y)在點(1，0，-1)處的全微分為dz=_____________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：等式兩邊求微分得把(1，0，-1)代入上式得16、設(shè)，且f(u，v)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則=_____________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則17、設(shè)函數(shù)f(x，y)可微，且f(1，1)=1，f’x(1，1)=a，f’y(1，1)=b。又記φ(x)=f{x，f[x，f(x，