考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)據(jù)統(tǒng)計）模擬試卷1（共146題）

考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)據(jù)統(tǒng)計）模擬試卷1（共5套）（共146題）考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)據(jù)統(tǒng)計）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、設(shè)A和B為任意二不相容事件，且P(A)P(B)＞0，則必有A、不相容．B、相容．C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為故應(yīng)選(C)．2、設(shè)A1，A2和B是任意事件，且0＜P(B)＜1，P((A1∪A2)｜B)=P(A1｜B)+P(A2｜B)，則A、P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)．B、P(A1∪A2)=P(A1｜B)+P(A2｜B)．C、P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B)．D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由條件知，P(A1A2｜B)=0，但是這不能保證P(A1A2)=0和，故(A)和(D)不成立．由于P(A1｜B)+P(A2｜B)=P((A1∪A2)｜B)未必等于P(A1∪A2)，因此(B)一般也不成立．由P(B)＞0及P((A1∪A2)｜B)=P(A1｜B)+P(A2｜B)，可見選項(C)成立.3、設(shè)隨機事件A與B互不相容，0＜P(A)＜1，則下列結(jié)論中一定成立的是A、A∪B=Ω．B、C、A=B．D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因AB=φ，所以A∪B=AB=Ω，應(yīng)選(B)．4、下列事件中與A互不相容的事件是A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由于，不可能事件φ與任何一個事件A都互不相容，即Aφ=φ，而綜上分析，應(yīng)選(D)．5、設(shè)隨機事件A與B為對立事件，0＜P(A)＜1，則一定有A、0＜P(A∪B)＜1．B、0＜P(B)＜1．C、0＜P(AB)＜1．D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因A、B為對立事件，即A∪B=φ，AB=φ，，所以P(AB)=0，，且P(A)+P(B)=P(A∪B)=1．因此(A)，(C)，(D)均不成立，應(yīng)選(B)．6、已知事件A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生，且0＜P(B)＜1，則A、0．B、C、D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由題設(shè)知，故選(A)7、在最簡單的全概率公式中，要求事件A與B必須滿足的條件是A、0＜P(A)＜1，B為任意隨機事件．B、A與B為互不相容事件．C、A與B為對立事件．D、A與B為相互獨立事件．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由于．應(yīng)選(A)．8、在全概率公式中，除了要求條件B是任意隨機事件及P(Ai)＞0(i=1，2，…，n)之外，我們可以將其他條件改為A、A1，…，An兩兩獨立，但不相互獨立．B、A1，…，An相互獨立．C、A1，…，An兩兩互不相容．D、A1，…，An兩兩互不相容，其和包含事件B，即標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：若A1，…，An兩兩互不相容，則A1B，…，AnB亦兩兩互不相容，且因，故P(B)=應(yīng)用加法與乘法兩個公式可得出全概率公式，即應(yīng)選(D)．9、同時拋擲三枚勻稱的硬幣，正面與反面都出現(xiàn)的概率為A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：設(shè)Bk表示三枚中出現(xiàn)的正面硬幣個數(shù)，k=0，1，2，3，P．(A)為所求概率，依題意應(yīng)選(D)．10、將一枚勻稱的硬幣獨立地擲三次，記事件A=“正、反面都出現(xiàn)”；B=“正面最多出現(xiàn)一次”；C=“反面最多出現(xiàn)一次”，則下列結(jié)論中不正確的是A、A與B獨立．B、B與C獨立．C、A與C獨立．D、B∪C與A獨立．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：試驗的樣本空間有8個樣本點，即Ω={(正，正，正)，(正，反，反)，…，(反，反，反)}．顯然B與C為對立事件，且依古典型概率公式有由于即P(AB)=P(A)P(B)．因此A與B獨立，類似地A與C也獨立，又因必然事件與任何事件都獨立，因此B∪C與A也獨立，用排除法應(yīng)選(B)．或直接計算，因此B與C不獨立，亦應(yīng)選(B)．11、A，B，C三個隨機事件必相互獨立，如果它們滿足條件A、A，B，C兩兩獨立．B、P(ABC)=P(A)P(B)P(C)．C、P(A一B)=1．D、P(A一B)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由三個事件相互獨立的條件可知，(A)與(B)顯然不對．由以上1)，2)，3)可知A，B，C兩兩獨立．4)由P(ABC)≤P(B)=0→P(ABC)=0=P(A)P(B)P(C)．由以上可知，A，B，C滿足四個等式，故選(C)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)12、兩人相約于晚7點到8點間在某處會面，到達者等足20分鐘便立即離去．設(shè)兩人的到達時刻在7點到8點間都是隨機且等可能的，則兩人能會面的概率p=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：5／9知識點解析：以x，y分別表示兩人到達時刻在7點后的分鐘數(shù)，記事件A表示“兩人能會面”，如圖1．1所示，則Ω={(x，y)｜0＜x＜60，0＜y＜60}，A={(x，y)｜｜x一y｜≤20，(x，y)∈Ω}，故P=P(A)=1—402／602=5／9．13、設(shè)隨機事件A，B及A∪B的概率分別為0．4，0．3和0．6，則=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0.3知識點解析：14、口袋內(nèi)有四個同樣的球，分別標(biāo)有號碼1，2，3，4．每次從中任取一個球(每次取后放回去)，連續(xù)兩次．如果第i次取到球上的編號記為ai，i=1，2，記事件A表示事件“a12≥4a2”，則該試驗的樣本空間Ω=____________；事件A=____________；概率P(A)=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：15、設(shè)事件A發(fā)生的概率是事件B發(fā)生概率的3倍，A與B都不發(fā)生的概率是A與B同時發(fā)生概率的2倍，若，則P(A一B)=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：16、設(shè)事件A與B相互獨立，已知它們都不發(fā)生的概率為0．16，又知A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生，4不發(fā)生的概率相等，則A與B都發(fā)生的概率是____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0.36知識點解析：17、三個箱子，第一個箱子中有4個黑球與1個白球，第二個箱中有3個黑球與3個白球，第三個箱中有3個黑球與5個白球．現(xiàn)隨機地選取一個箱子從中任取1個球，則這個球為白球的概率是____________；若已發(fā)現(xiàn)取出的這個球是白球，則它不是取自第二個箱子的概率是____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：P(B)；知識點解析：設(shè)事件Ai=“取到第i箱”，i=1，2，3，B=“取到白球”，易見A1，A2，A3是一完備事件組，第一空應(yīng)填P(B)，第二空為P(A2｜B)，依題意，有應(yīng)用全概率公式與貝葉斯公式三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)18、鐵路一編組站隨機地編組發(fā)往三個不同地區(qū)E1，E2和E3的各2節(jié)、3節(jié)和4節(jié)車皮，求發(fā)往同一地區(qū)的車皮恰好相鄰的概率p．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)事件A={發(fā)往同一地區(qū)的車皮恰好相鄰}，Bi={發(fā)往Ei的車皮相鄰}(i=1，2，3)，將發(fā)往E1，E2和E3三個不同地區(qū)的車皮統(tǒng)一編組，且使發(fā)往同一地區(qū)的車皮恰好相鄰，總共有3!=6種不同情形，其中每種情形對應(yīng)B1，B2和B3的一種排列．6種不同情形都是等可能的，如B1B2B3是其中一種可能的情形，即“發(fā)往E1的2節(jié)車皮編在最前面，發(fā)往E2的3節(jié)車皮編在中間，發(fā)往E3的4節(jié)車皮編在最后面”．由古典型概率的計算公式，有知識點解析：暫無解析19、將長為L的棒隨機折成三段，求這三段能構(gòu)成三角形的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)事件A表示“三段構(gòu)成三角形”，且第一、二段的長分別為x與y，則第三段的長為L一x一y，且Ω={(x，y)｜0＜x，y，x+y＜L}．欲使三段構(gòu)成三角形，則任意兩段之和必須大于第三段，即x+y＞L一x—y，x+L一x—y＞y，y+L一x一y＞x，Ω為等腰直角三角形，直角邊長為L，A為圖1．2陰影部分，由幾何概率定義得知識點解析：暫無解析20、假設(shè)從單位正方形區(qū)域D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}中隨機地選取一點，以該點的兩個坐標(biāo)x與y作為直角三角形的兩條直角邊，求該直角三角形的面積大于的概率P．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)事件A=“直角三角形面積大于”依題意，事件A所在區(qū)域如圖1．3，則應(yīng)用幾何型概率公式知識點解析：暫無解析21、假設(shè)隨機事件A與B相互獨立，求a的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：從應(yīng)用廣義加法公式知識點解析：暫無解析22、一個班內(nèi)有20位同學(xué)都想去參觀一個展覽會，但只有3張參觀票，大家同意通過這20位同學(xué)抽簽決定3張票的歸屬．計算下列事件的概率：(I)“第二人抽到票”的概率p1；(Ⅱ)“第二人才抽到票”的概率p2；(Ⅲ)“第一人宣布抽到了票，第二人又抽到票”的概率p3；(Ⅳ)“前兩人中至少有一人抽到票”的概率p4．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)事件Ai=“第i人抽到票”，i=1，2．(I)如果是填空題，可以根據(jù)抽簽公平性原理得知中簽率應(yīng)與抽簽次序無關(guān)．直接填寫p1=P(A2)=作為計算題，應(yīng)寫出解題步驟．根據(jù)全概率公式(Ⅱ)事件“第二人才抽到票”表示“第一人未抽到票、但第二人抽到了票”，根據(jù)乘法公式(Ⅲ)“第一人宣布抽到了票，第二人又抽到票”表示已知事件A1發(fā)生，再考慮事件A2出現(xiàn)．(Ⅳ)根據(jù)加法公式與乘法公式p4=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)一P(A1A2)=P(A1)+P(A2)一P(A1)P(A2｜A1)=．知識點解析：暫無解析23、甲袋中有3個白球2個黑球，乙袋中有4個白球4個黑球，現(xiàn)從甲袋中任取2球放入乙球，再從乙袋中取一球，求取出球是白球的概率p；如果已知從乙袋中取出的球是白球，求從甲袋中取出的球是一白一黑的概率q．標(biāo)準(zhǔn)答案：記A=“從乙袋中取出一球為白球”，試驗理解為：一次從甲袋中取出兩球，記Bi=“從甲袋中取出的2球中恰有i個白球”，i=0，1，2，則B0，B1，B2是一完備事件組，A=AB0∪AB1∪／AB2，由全概率公式知識點解析：暫無解析24、三人獨立地同時破譯一個密碼，他們每人能夠譯出的概率分別為求此密碼能被譯出的概率p．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)事件A、B、C分別表示三人各自能夠譯出密碼，依題意A、B、C相互獨立，且知識點解析：暫無解析25、甲盒內(nèi)有3個白球與2個黑球，從中任取3個球放入空盒乙中，然后從乙盒內(nèi)任取2個球放入空盒丙中，最后從丙盒內(nèi)再任取1個球，試求：(I)從丙盒內(nèi)取出的是白球的概率；(Ⅱ)若從丙盒內(nèi)取到白球，當(dāng)初從甲盒內(nèi)取到3個白球的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)依題意，有應(yīng)用全概率公式知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)據(jù)統(tǒng)計）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設(shè)隨機變量序列X1，X2，…，Xn，…相互獨立，則根據(jù)辛欽大數(shù)定律，當(dāng)n→∞時依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望，只要{Xn，n≥1}A、有相同的期望．B、有相同的方差．C、有相同的分布．D、服從同參數(shù)p的0—1分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由于辛欽大數(shù)定律除了要求隨機變量X1，X2，…，Xn，…相互獨立的條件之外，還要求X1，X2，…，Xn，…同分布與期望存在，只有選項(D)同時滿足后面的兩個條件，應(yīng)選(D)．2、設(shè)隨機變量X1，…，Xn，…相互獨立，記Yn=X2n一X2n-1(n≥1)，根據(jù)大數(shù)定律，當(dāng)n→∞時依概率收斂到零，只要{Xn，n≥1}A、數(shù)學(xué)期望存在．B、有相同的數(shù)學(xué)期望與方差．C、服從同一離散型分布．D、服從同一連續(xù)型分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由于Xn相互獨立，所以Yn相互獨立．選項(A)缺少“同分布”條件；選項(C)、(D)缺少“數(shù)學(xué)期望存在”的條件，因此它們都不滿足辛欽大數(shù)定律，所以應(yīng)選(B)．事實上，若EXn=μ，DXn=σ2存在，則根據(jù)切比雪夫大數(shù)定律：對任意ε＞0有即依概率收斂到零．3、設(shè)X1，X2，…，Xn，…相互獨立且都服從參數(shù)為λ(λ＞0)的泊松分布，則當(dāng)n→∞時以φ(x)為極限的是A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由于X1，X2，…，Xn，…相互獨立同分布，其期望和方差都存在，且．以φ(x)為極限，故應(yīng)選(C)．4、設(shè)隨機變量序列X1，X2，…，Xn，…相互獨立，EXi=μi，DXi=2，i=1，2，…，令p=P{｜Yn＜p}，則A、{Xn：n=1，2，…}滿足辛欽大數(shù)定律．B、{Xn：n=1，2，…}滿足切比雪夫大數(shù)定律．C、p可以用列維一林德伯格定理近似計算．D、p可以用拉普拉斯定理近似計算．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由于X1，X2，…相互獨立，其期望、方差都存在，且對所有i=1，2，…，DYi=2＜l(l＞2)，因此{Xn：n=1，2，…}滿足切比雪夫大數(shù)定律，應(yīng)選(B)．5、設(shè)X1，X2，…，Xn是取自正態(tài)總體N(0，σ2)的簡單隨機樣本，X與S2分別是樣本均值與樣本方差，則A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：根據(jù)正態(tài)總體抽樣分布公式知應(yīng)選(D)．6、設(shè)X1，…，Xn，Xn+1，…，x2n，X2n+1，…，X3n是取自正態(tài)分布總體N(μ，σ2)的一個簡單隨機樣本(n≥2)，記則一定有A、B、Si2～χ2(n—1)．C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由于Xi與Si2分別是取自正態(tài)總體N(μ，σ2)的一個容量為n的簡單隨機樣本，根據(jù)正態(tài)總體的抽樣分布知，對i=1，2，3，有因此選項(A)、(B)、(C)均不成立，應(yīng)選(D)．7、設(shè)X1，X2，…，Xn是取自總體x的一個簡單隨機樣本，DX=σ2，是樣本均值，則下列估計量的期望為σ2的是A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：應(yīng)選(C)．8、設(shè)X1，X2，…，Xn是取自總體X的簡單隨機樣本，記則A、ES=σ．B、ES2=σ2．C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：從上題知ES2=σ2，應(yīng)選(B)．進一步分析9、設(shè)是從總體X中取出的簡單隨機樣本X1，…，Xn的樣本均值，則是μ的矩估計，如果A、X～N(μ，σ2)．B、X服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布．C、P{x=m}=μ(1一μ)m-1，m=1，2，…D、X服從[0，μ]上均勻分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：若X～N(μ，σ2)，則EX=μ，μ的矩估計為μ=X，應(yīng)選(A)．若X服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布，則μ的矩估計對于選項(C)，X服從參數(shù)為μ的幾何分布，，μ的矩估計；對選項(D)，于是μ的矩估計二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)10、設(shè)隨機變量X1，X2，…，Xn，Y1，Y2，…，Yn相互獨立，且Xi服從參數(shù)為λ的泊松分布，Yi服從參數(shù)為的指數(shù)分布，i=1，2，…，n，則當(dāng)n充分大時，近似服從__________分布，其分布參數(shù)為_____________與__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：正態(tài);知識點解析：X1+Y1，X2+Y2，…，Xn+Yn相互獨立同分布．因EXi=DXi=λ，EYi=λ，DYi=λ2，故E(Xi+Yi)=2λ，D(Xi+Yi)=λ+λ2，當(dāng)n充分大時，近似服從正態(tài)分布，其分布參數(shù)11、設(shè)總體X服從參數(shù)為p的0一1分布，則來自總體X的簡單隨機樣本X1，X2，…，Xn的概率分布為_____________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：總體X的概率分布為，此概率分布也可以表示為1于是樣本X1，X2，…，Xn的概率分布為如果記則樣本X1，X2，…，Xn的概率分布為12、假設(shè)總體X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，X1，X2，…，Xn是取自總體X的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量Y1=都服從__________分布，其分布參數(shù)分別為_____________和___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：服從分布N(0，1)；2和n一1知識點解析：根據(jù)簡單隨機樣本的性質(zhì)，X1，X2，…，Xn相互獨立同服從分布N(0，1)，所以X1一X2與X32+X42相互獨立，X1與也相互獨立，且有即Y1與Y2都服從t分布，分布參數(shù)分別為2和n一1．13、設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(0，σ2)，而X1，X2，…，X15是取自總體X的簡單隨機樣本，則服從____________分布，分布參數(shù)為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：服從分布N(0，σ2)；知識點解析：根據(jù)簡單隨機樣本的性質(zhì)，X1，X2，…，X15相互獨立且都服從分布N(0，σ2)，所以X12+…+X102與X112+…+X152相互獨立，由于，因此14、設(shè)總體X與Y獨立且都服從正態(tài)分布N(0，σ2)，已知X1，…，Xm與Y1，…，Yn是分別來自總體X與Y的簡單隨機樣本，統(tǒng)計量服從t(n)分布，則=_____________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：依題意Xi～X(0，σ2)，Yi～N(0,σ2)且相互獨立，所以U與V相互獨立，由t分布典型模式知15、設(shè)X1，X2，…，Xn是取自總體X的簡單隨機樣本的數(shù)學(xué)期望為σ2，則a=_________，b=_______________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：樣本方差由ES2=σ2可得16、設(shè)總體X服從(a，b)上的均勻分布，X1，X2，…，Xn是取自X的簡單隨機樣本，則未知參數(shù)a，b的矩估計量為=___________，=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：三、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)17、假設(shè)隨機變量X1，…，Xn相互獨立，服從同參數(shù)λ的泊松分布．記當(dāng)，2充分大時，求Sn的近似分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于Xi服從泊松分布，故EXi=DXi=λ，又因X1，…，Xn相互獨立，所以根據(jù)獨立同分布的列維一林德伯格中心極限定理，當(dāng)n充分大時，Sn一n近似服從正態(tài)分布N(nλ，nλ)，因此Sn近似服從正態(tài)分布N(nλ+n，nλ)．知識點解析：暫無解析18、假設(shè)排球運動員的平均身高(單位：厘米)為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為4．求100名排球運動員的平均身高與所有排球運動員平均身高之差在(一1，1)內(nèi)的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)100名中第i名運動員身高為Xi,i=1，…，100，可以認(rèn)為X1，X2，…，X100相互獨立同分布，且，應(yīng)用獨立同分布中心極限定理，X近似服從正態(tài)分布N(μ，0．42)，于是知識點解析：暫無解析19、一大袋麥種的發(fā)芽率為80％，從中任意取出500粒進行發(fā)芽試驗，計算其發(fā)芽率的偏差不超過2％的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)500粒麥種中發(fā)芽粒數(shù)為X，則X近似服從二項分布B(500，0．8)．由于n=500相當(dāng)大，根據(jù)拉普拉斯中心極限定理X近似服從正態(tài)分布N(400，80)，于是有知識點解析：暫無解析20、有100道單項選擇題，每個題中有4個備選答案，且其中只有一個答案是正確的．規(guī)定選擇正確得1分，選擇錯誤得0分．假設(shè)無知者對于每一個題都是從4個備選答案中隨機地選答，并且沒有不選的情況，計算他能夠超過40分的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)X表示100個題中他能選對的題數(shù)，則X服從二項分布B(100，0．25)，從而EX=25，DX=18．75，應(yīng)用拉普拉斯中心極限定理，X近似服從正態(tài)分布N(25，18．75)，于是知識點解析：暫無解析21、設(shè)某種商品的合格率為90％，某單位要想給100名職工每人一件這種商品．試求：該單位至少購買多少件這種商品才能以97．5％的概率保證每人都可以得到一件合格品?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)至少購買n件，n件中合格品數(shù)為X，易見X服從二項分布B(n，0．9)，且n≥100，根據(jù)拉普拉斯中心極限定理，X近似服從二項分布N(0．9n，0．09n)．依題意知識點解析：暫無解析22、設(shè)X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，其均值和方差分別為X與S2，且X～B(1，p)，0＜P＜1．(I)試求：X的概率分布；(Ⅱ)證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)由于X～B(1，P)，故X的概率分布為其中，因為Xi取值0或1，故Xi2=Xi．知識點解析：暫無解析23、設(shè)正態(tài)總體X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn為來自X的簡單隨機樣本，求證：標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)簡單隨機樣本的性質(zhì)，X1，X2，…，Xn相互獨立與X同分布且與S2相互獨立，于是知識點解析：暫無解析24、設(shè)X1，X2，…，X10是來自正態(tài)總體X～N(0，22)的簡單隨機樣本，求常數(shù)a，b，c，d，使Q=aX1+6(X2+X3)2+c(X4+X5+X6)2+d(X7+X8+X9+X10)2服從χ2分布，并求自由度m．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于Xi獨立同分布，則有X1～N(0，4)，X2+X3～N(0，8)，X4+X5+X6～N(0，12)，X7+X8+X9+X10～N(0，16)．于是相互獨立都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)．由χ2分布的典型模式可知所以，當(dāng)時，Q服從自由度為4的χ2分布．知識點解析：暫無解析25、設(shè)總體X和y相互獨立，分別服從N(μ，σ12)，N(μ，σ22)．X1，X2，…，Xm和Y1，Y2，…，Yn是分別來自X和Y的簡單隨機樣本，其樣本均值分別為，樣本方差分別為SX2，SY2．令求EZ．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于．SX2，SY2相互獨立，所以即Y與β也相互獨立．因此知識點解析：暫無解析已知X1，…，Xn是來自總體X容量為n的簡單隨機樣本，其均值和方差分別為與S2．26、如果EX=μ，DX=σ2，試證明：的相關(guān)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：由于總體分布未知，因此只能應(yīng)用定義與性質(zhì)證明．因為X1，…，Xn相互獨立且與總體X同分布，故知識點解析：暫無解析27、如果總體X服從正態(tài)分布N(0，σ2)，試證明：協(xié)方差Cov(X1，S2)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于總體X一N(0，σ2)，故EXi=0，DXi=σ2．知識點解析：暫無解析28、設(shè)X～N(μ，σ2)，從中抽取16個樣本，S2為樣本方差，μ，σ2未知，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析29、設(shè)總體X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn(n=16)是來自X的簡單隨機樣本，求下列概率：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析30、設(shè)456都是來自正態(tài)總體N(μ，σ2)的容量為n的兩個相互獨立的樣本均值，試確定n，使得兩個樣本均值之差的絕對值超過σ的概率大約為0．01．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析31、設(shè)總體X的概率分布為其中p(0＜p＜1)是未知參數(shù)，又設(shè)x1，x2，…，xn是總體X的一組樣本觀測值．試求參數(shù)p的矩估計量和最大似然估計量．標(biāo)準(zhǔn)答案：矩估計，故的矩估計量．最大似然估計：似然函數(shù)知識點解析：暫無解析32、設(shè)總體X的概率密度為其中α和β是未知參數(shù)，利用總體X的如下樣本值一0．5，0．3，一0．2，一0．6，一0．1，0．4，0．5，一0．8，求α的矩估計值和最大似然估計值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x；α，β)≥0和∫-∞+∞(x；α，β)dx=1，得到α≥0，β≥0且α+β=1．于是(Ⅱ)求最大似然估計值α2．由于在給定的8個樣本值中，屬(一1，0)的有5個，屬[0，1)的有3個，故似然函數(shù)為知識點解析：暫無解析33、已知總體X服從瑞利分布，其密度函數(shù)為X1，…，Xn為取自總體X的簡單隨機樣本，求θ的矩估計量并計算．標(biāo)準(zhǔn)答案：記EX=μ，DX=σ2，則知識點解析：暫無解析34、接連不斷地、獨立地對同一目標(biāo)射擊，直到命中為止，假定共進行n(n≥1)輪這樣的射擊，各輪射擊次數(shù)相應(yīng)為k1，k2，…，kn，試求命中率p的最大似然估計值和矩估計值．標(biāo)準(zhǔn)答案：依題意，總體X服從參數(shù)為P的幾何分布，即P{X=k}=p(1一p)k-1，k=1，2，…，由于，所以P的矩估計值樣本(k1，k2，…，kn)的似然函數(shù)L為L(k1，k2，…，kn；p)=P{X1=k1，X2=k2，…，Xn=kn}知識點解析：暫無解析35、設(shè)X服從[a，b]上的均勻分布，X1，…，Xn為簡單隨機樣本，求a，b的最大似然估計量．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)X的樣本觀測值為x1，…，xn，則似然函數(shù)顯然且b一a越小L值越大，但是{b≥xi，i=1，…，n}={b≥max(xi，…，xn)}，同理{a≤xi，i=1，…，a}={a≤min(xi一，xn)}，所以只有當(dāng)b=max{xi}，a=min{xi}時，L才達到最大值，故a，b的最大似然估計值分別為b=max{xi}，a=min{xi}，從而可知其最大似然估計量分別是a=min{Xi}，6=max{Xi}．知識點解析：暫無解析36、已知總體X的密度函數(shù)為其中θ，β為未知參數(shù)，X1，…，Xn為簡單隨機樣本，求θ和β的矩估計量．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析37、設(shè)總體X服從韋布爾分布，密度函數(shù)為其中α＞0為已知，θ＞0是未知參數(shù)，試根據(jù)來自X的簡單隨機樣本X1，X2，…，Xn，求θ的最大似然估計量．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)x1,x2，…,xn是樣本X1，…，Xn的觀測值，當(dāng)xi＞0(i=1，2，…，n)時其似然函數(shù)為知識點解析：暫無解析38、設(shè)某種電子器件的壽命(以小時計)T服從指數(shù)分布，概率密度為其中λ＞0未知．現(xiàn)從這批器件中任取n只在時刻t=0時投入獨立壽命試驗，試驗進行到預(yù)定時間T0結(jié)束，此時有k(0＜k＜n)只器件失效，試求λ的最大似然估計．標(biāo)準(zhǔn)答案：考慮事件A：“試驗直至?xí)r間T0為止，有k只器件失效，而有n一k只未失效”的概率．記T的分布函數(shù)為F(t)，即有一只器件在t=0時投入試驗，則在時間T0以前失效的概率為P{T≤T0}=F(T0)=1一e-λT0；而在時間T0未失效的概率為P{T＞T0}=1—F(T0)=e-λT0．由于各只器件的試驗結(jié)果是相互獨立的，因此事件A的概率為L(λ)=Cn(1一e-λT0)k(e-λT0)n-k，這就是所求的似然函數(shù)．取對數(shù)得lnL(λ)=lnCnk+kln(1一e-λT0)+(n一k)(一λT0)，于是A的最大似然估計為知識點解析：暫無解析39、設(shè)有一批同型號產(chǎn)品，其次品率記為p．現(xiàn)有五位檢驗員分別從中隨機抽取n件產(chǎn)品，檢測后的次品數(shù)分別為1，2，2，3，2．(I)若已知p=2．5％，求n的矩估計值；(Ⅱ)若已知n=100，求p的極大似然估計值；(Ⅲ)在情況(Ⅱ)下，檢驗員從該批產(chǎn)品中再隨機檢測100個產(chǎn)品，試用中心極限定理近似計算其次品數(shù)大于3的概率標(biāo)準(zhǔn)答案：記X為n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X～B(n，p).知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)據(jù)統(tǒng)計）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)則P{X=l}=A、0．B、C、D、1一e-1．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由P{X=x}=F(x)一F(x一0)，可知故應(yīng)選(C)．2、設(shè)離散型隨機變量X的概率分布為P{x=i}=cpi，i=1，2，…，其中c＞0是常數(shù)，則A、B、C、p=c+1．D、0＜p＜1的任意實數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：根據(jù)概率分布的性質(zhì)，有cpi≥0(i=1，2，…)，且3、假設(shè)隨機變量X服從指數(shù)分布，則隨機變量Y=min{x，2}的分布函數(shù)A、是連續(xù)函數(shù)．B、至少有兩個間斷點．C、是階梯函數(shù)．D、恰好有一個間斷點．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由于所以Y的分布函數(shù)計算得知Fy(y)只在y=2處有一個間斷點，應(yīng)選(D)．4、設(shè)f(x)是連續(xù)型隨機變量X的概率密度，則f(x)一定是A、可積函數(shù)．B、單調(diào)函數(shù)．C、連續(xù)函數(shù)．D、可導(dǎo)函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：根據(jù)概率密度的定義，f(x)滿足對任何實數(shù)x，F(xiàn)(x)=P{x≤x}=∫-∞xf(t)dt，因此f(x)一定是可積函數(shù)，但是f(x)可以是分段函數(shù)，比如：[a，b]上的均勻分布隨機變量X屬連續(xù)型，而其概率密度f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，且在x=a，b兩點不連續(xù)，當(dāng)然亦不可導(dǎo)，因此不能選(B)、(C)、(D)，應(yīng)選(A)．5、設(shè)隨機變量X的概率分布為則常數(shù)a=A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由泊松分布知，當(dāng)a(e+1)=1即時，X～P(1)，故應(yīng)選(B)．6、設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則隨σ的增大，概率P{｜X一μ｜＜σ}應(yīng)該A、單調(diào)增大．B、單調(diào)減少．C、保持不變．D、增減不定．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：若X～N(μ，σ2)，則，因此該概率值與σ無關(guān)，應(yīng)選(C)．7、設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，42)，Y～N(μ，52)，記p1=P{X≤μ一4}，p2=P{Y≥μ+5}，則A、p1=p2．B、p1＞p2．C、p1＜p2．D、因μ未知，無法比較p1與p2的大?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：計算得知P1=P2，應(yīng)選(A)．8、設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為fX(x)，Y=一2X+3，則Y的密度函數(shù)為A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：y=一2x+3是x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，其反函數(shù)根據(jù)隨機變量函數(shù)的公式(2．16)，應(yīng)選(B)．9、設(shè)F1(x)與F2(x)分別是隨機變量X1與X2的分布函數(shù)，為使F(x)=aF1(x)一bF2(x)是某一隨機變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：對任何x，為保證F(x)≥0，a與一b均應(yīng)大于0，又F(+∞)=aF1(+∞)一bF2(+∞)=a一b=1，應(yīng)選(A)．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)10、設(shè)離散型隨機變量X的概率函數(shù)為P{X=i}=pi+1，i=0，1，則p=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由于P{X=0}+P{X=1}=P+P2=1，所以P2+P一1=0．解得11、設(shè)離散型隨機變量X的分布函數(shù)則隨機變量的分布函數(shù)為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由于分布函數(shù)F(x)只在x=一1，0，1處有3個間斷點，因此離散型隨機變量x與｜X｜的概率分布分別為12、假設(shè)X是在區(qū)間(0，1)內(nèi)取值的連續(xù)型隨機變量，而Y=1—X．已知P{X≤0．29}=0．75，則滿足P{Y≤k}=0．25的常數(shù)k=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0．71知識點解析：由于P{y≤k}=P{1一X≤k}=P{X≥1一k}=1一P{X＜1一k}=0．25，可見P{X＜1一k}=1—0．25=0．75．由P{X≤0．29}=0．75，得1一k=0．29，k=0．71．13、設(shè)f(x)=ke-x2+2x-3(一∞＜x＜∞)是一概率密度，則k=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：將f(x)=ke-x2+2x-3作變換，得將其與正態(tài)分布N(1，1／2)的密度比較，可得14、設(shè)隨機變量X的概率密度為若k滿足概率等式則k的取值范圍是__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：[1，3]知識點解析：當(dāng)x＜0時，P{X＜x}=0，P{X≥x}=1；15、設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，1)，已知P{x≤3}=0．975，則P{X≤一0．92}=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0．025知識點解析：由可知3一μ=1．96，μ=1．04．于是P{X≤一0．92}=φ(一0．92一μ)=φ(一1．96)=0．025．16、設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)(σ＞0)，且二次方程y2+4y+x=0無實根的概率為0．5，則μ=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：μ=4知識點解析：設(shè)事件A表示方程y2+4y+X=0無實根，依題意即，可知4一μ=0，μ=4．17、設(shè)F(x)是連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)，常數(shù)a＞0，則∫-∞+∞[F(x+a)一F(x)]dx=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：a知識點解析：三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)18、袋中裝有大小相同的10只球，編號為0，1，2，…，9．從中任取一只，觀察其號碼，按“大于5”，“等于5”，“小于5”三種情況定義一個隨機變量X，并寫出X的分布律和分布函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)隨機變量Y表示從10個球中任取一只，其球上的號碼數(shù)，令則有P{Y=i}=0．1，i=0，1，…，9，P{X=0}=0．5，P{X=1}=0．1，P{X=2}=0．4．于是X的分布函數(shù)為知識點解析：暫無解析19、設(shè)隨機變量X在(0，1)上服從均勻分布，現(xiàn)有一常數(shù)a，任取X的四個值，已知至少有一個大于a的概率為0．9，問a是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：依題意0＜a＜1且P{X＞a}=1—a，P{X≤a}=a，且a4=1—0．9=0．1，知識點解析：暫無解析20、將三封信隨機地投入編號為1，2，3，4的四個郵箱，求沒有信的郵箱數(shù)X的概率函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：易見X是離散型隨機變量，其可能取值為1，2，3，則相應(yīng)概率分別為知識點解析：暫無解析21、向直線上擲一隨機點，假設(shè)隨機點落入?yún)^(qū)間(一∞，0]，(0，1]和(1，+∞)的概率分別為0．2，0．5和0．3，并且隨機點在區(qū)間(0，1]上分布均勻．設(shè)隨機點落入(一∞，0]得0分，落入(1，+∞)得1分，而落入(0，1]坐標(biāo)為x的點得x分．試求得分x的分布函數(shù)F(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：以H1，H2，H3分別表示事件：隨機點落入(一∞，0]，(0，1]和(1，+∞)，它們構(gòu)成完備事件組．由條件知P(H1)=0．2，P(H2)=0．5，P(H3)=0．3．易見于是，由全概率公式即得知識點解析：暫無解析22、設(shè)隨機變量X服從[a，a+2]上的均勻分布，對X進行3次獨立觀測，求最多有一次觀測值小于a+1的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)Y表示對X進行3次獨立觀測，其觀測值小于a+1的次數(shù)，p=P{X＜a+1}=0．5，則Y～B(3，0．5)．所求概率為P{Y=0}+P{Y=1}=0．53+C310．5×0．52=0．5．知識點解析：暫無解析23、設(shè)某一設(shè)備由三大部件構(gòu)成，設(shè)備運轉(zhuǎn)時，各部件需調(diào)整的概率分別為0．1，0．2，0．3，若各部件的狀態(tài)相互獨立，求同時需調(diào)整的部件數(shù)X的分布函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：X只取0，1，2，3各值，為計算概率P{X=i}，i=0，1，2，3，設(shè)Ai={第i個部件需要調(diào)整}，i=1，2，3．依題意，A1，A2，A3相互獨立，且P(A1)=0．1，P(A2)=0．2，P(A3)=0．3．于是X的分布函數(shù)F(x)為知識點解析：顯然X是離散型隨機變量，為求X的分布函數(shù)F(x)，我們應(yīng)首先求出X的分布律，即X的所有可能取值與相應(yīng)概率．24、設(shè)隨機變量X服從(0，1)上的均勻分布，求下列函數(shù)的密度函數(shù)：(I)Y1=eX；(Ⅱ)Y2=一2lnX；(Ⅲ)(Ⅳ)Y4=X2．標(biāo)準(zhǔn)答案：依題意，X的概率密度為(I)y=ex在(0，1)內(nèi)是x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，其反函數(shù)x=h(y)=lny的定義域為(1，e)，用公式(2．16)即得Y的概率密度為(11)y=一2lnx在(0，1)內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，其反函數(shù)的定義域為(0，+∞)，h’(y)=根據(jù)公式(2．16)，Y3的概率密度為(Ⅲ)在(0，1)內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，其反函數(shù)的定義域為(1，+∞)，當(dāng)y＞1時，其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用公式(2．16)，Y3的概率密度為(IV)y=x2在(0，1)內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，其反函數(shù)的定義域亦為(0，1)，且h’(y)=應(yīng)用公式(2．16)，Y4的概率密度為知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x)是非負隨機變量的概率密度，求的概率密度．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于X是只取非負值的隨機變量，所以在(0，+∞)內(nèi)是x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，其反函數(shù)x=h(y)=y2的定義域為(0，+∞)，h’(y)=2y≠0，根據(jù)公式(2．16)，的概率密度fY(y)為知識點解析：暫無解析26、設(shè)隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，令Y=｜X｜，求Y的概率密度．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)y＜0時，P{Y≤y}=0；當(dāng)y≥0時，P{Y≤y}=P{｜X｜≤y}=P{一y≤X≤y}=φ(y)一φ(一y)．于是Y的分布函數(shù)FY(y)為當(dāng)Y≥0時，F(xiàn)Y’(y)=φ(y)+φ(一y)=2φ(y)．y的概率密度fY(y)為知識點解析：暫無解析27、某個人參加跳高項目的及格選拔賽，規(guī)定一旦跳過指定高度就被認(rèn)為及格而被入選，但是限制每人最多只能跳6次．若6次均未過竿，則認(rèn)定其為落選．如果一位參試者在該指定高度的過竿率為0．6，求他在測試中所跳次數(shù)的概率分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)該人在選拔賽中跳的次數(shù)為X，顯然X是一個離散型隨機變量，其全部可能取值為1，2，3，4，5，6，由于各次跳躍過竿與否互不影響，因此有即X的概率分布為知識點解析：暫無解析28、設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，G(x)是區(qū)間[0，1]上均勻分布的分布函數(shù)，證明隨機變量Y=G(X)的概率分布不是區(qū)間[0，1]上的均勻分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：指數(shù)分布的分布函數(shù)與區(qū)間[0，1]上均勻分布的分布函數(shù)分別為設(shè)Y=G(X)的分布函數(shù)為H(X)，對于分布函數(shù)G(x)易見，當(dāng)y＜0時，H(y)=P{Y≤y}=P{G(X)≤y}=0；當(dāng)y≥1時，H(y)=P{y≤y}=P{G(x)≤y}=1；當(dāng)0≤y＜1時，H(y)=P{Y≤y=P{G(X)≤y}=P{X≤y}=1一e-λy．于是Y=G(X)的分布函數(shù)因此，Y=G(X)的分布函數(shù)不是區(qū)間[0，1]上的均勻分布函數(shù)．知識點解析：暫無解析29、已知隨機變量X的概率密度386(I)求分布函數(shù)F(x)；(Ⅱ)若令y=F(X)，求Y的分布函數(shù)FY(y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：直接應(yīng)用F(x)=P{X≤x}，F(xiàn)y(y)=P{F(X)≤y}求解．(I)(Ⅱ)令Y=F(X)，則由0≤F(x)≤1及F(x)為x的單調(diào)不減連續(xù)函數(shù)知(如圖2．1)，當(dāng)y＜0時，F(xiàn)y(y)=0；當(dāng)y≥1時，F(xiàn)Y(y)=1；當(dāng)時，F(xiàn)Y(y)=P{F(X)≤y}=P{F(X)≤0}+P{0＜F(X)≤y}知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)據(jù)統(tǒng)計）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且都服從區(qū)間(0，1)上的均勻分布，則下列服從相應(yīng)區(qū)間或區(qū)域上均勻分布的是A、X2．B、X一Y．C、X+Y．D、(X，Y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：從第二章題型訓(xùn)練三、7(1V)的Y4=X2知，X2不服從均勻分布；應(yīng)用獨立和卷積公式可知，X+Y與X一Y都不服從均勻分布；由X，Y的獨立性知，(X，Y)的聯(lián)合密度f(x，y)=因此(X，Y)服從區(qū)域D={(x，y)10＜x＜1，0＜y＜1}上二維均勻分布，應(yīng)選(D)．2、設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，其分布函數(shù)分別為FX(x)與FY(y)，則z=max{X，Y}的分布函數(shù)FZ(z)是A、max{FX(z)，F(xiàn)Y(z)}．B、FX(z)+FY(z)一FX(z)FY(z)．C、FX(z).FY(z)．D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：FZ(z)=P{max(X，Y)≤z}=P{X≤z，Y≤z}=P{X≤z}．P{Y≤z}=FX(z).FY(z)，應(yīng)選(C)．3、設(shè)隨機變量X1與X2相互獨立，其分布函數(shù)分別為則X1+X2的分布函數(shù)F(x)=A、F1(x)+F2(x)．B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由題意知X1為離散型隨機變量，其分布律為F(x)=P{X1+X2≤x}=P{X1=0}P{X1+X2≤x｜X1=0}+P{X1=1}P{X1+X2≤x｜X1=1}故選(D)．4、設(shè)隨機變量X和Y都服從正態(tài)分布，則A、X+Y一定服從正態(tài)分布．B、X和Y不相關(guān)與獨立等價．C、(X，Y)一定服從正態(tài)分布．D、(X，一Y)未必服從正態(tài)分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：(A)不成立，例如，若Y=一X，則X+Y≡0不服從正態(tài)分布．(C)不成立，(X，Y)不一定服從正態(tài)分布，因為邊緣分布一般不能決定聯(lián)合分布．(B)也不成立，因為只有當(dāng)X和Y的聯(lián)合分布是二維正態(tài)分布時“X和Y獨立”與“X和Y不相關(guān)”二者等價．故應(yīng)選(D)．雖然隨機變量X和一Y都服從正態(tài)分布，但是因為邊緣分布一般不能決定聯(lián)合分布，故(X，一Y)未必服從正態(tài)分布．5、已知隨機變量X1與X2相互獨立且有相同的分布則A、X1與X1X2獨立且有相同的分布．B、X1與X1X2獨立且有不同的分布．C、X1與X1X2不獨立且有相同的分布．D、X1與X1X2不獨立且有不同的分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由題設(shè)知X1X2可取一1，1，且P{X1X2=一1}=P{X1=一1，X2=1}+P{X1=1，X2=一1}=P{X1=一1}P{X2=1}+P{X1=1}P{X2=一1}又P{X1=一1，X1X2=一1}=P{X1=一1，X2=1}=所以X1與X1X2的概率分布為從而X1與X1X2有相同的分布且相互獨立，故應(yīng)選(A)．6、已知隨機變量(X，Y)在區(qū)域D={(x，y)｜—1＜x＜1，一1＜y＜1}上服從均勻分布，則A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由題設(shè)知(X，Y)的概率密度函數(shù)為由于故選(D)．7、設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合概率分布服從G={(x，y)｜x2+y2≤r2}上的均勻分布，則下列服從相應(yīng)區(qū)域上均勻分布的是A、隨機變量X．B、隨機變量X+Y．C、隨機變量Y．D、Y關(guān)于X=1的條件分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：排除法．依題設(shè)，由于X，Y對稱，(A)和(C)會同時成立，故應(yīng)排除．或利用計算，隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度為當(dāng)｜x｜＞r時，顯然fX(x)=0；當(dāng)｜x｜≤r時，有因此，X和Y都不服從均勻分布，即可排除(A)和(C)．而由熟知的事實知二均勻分布隨機變量之和也不服從均勻分布，可見(B)也不成立，故應(yīng)選(D)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)8、設(shè)隨機變量X與Y相互獨立同分布，且都服從的0一1分布，則隨機變量z=max{X，Y}的分布律為____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：顯然Z也是離散型隨機變量，只取0，1兩個值，且于是Z的分布律為9、假設(shè)隨機變量X與Y相互獨立。且則a=____________．b=____________，Z=X+Y的分布律為____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：10、從數(shù)1，2，3，4中任取一個數(shù)，記為X，再從1，…，X中任取一個數(shù)，記為Y，則P{Y=2}=_______________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：根據(jù)乘法公式P{X=i，Y=j}=P{X=i}P{Y=j｜X=i}，i，j=1，2，3，4，容易寫出(X，Y)的聯(lián)合概率分布為11、設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為則隨機變量X的分布函數(shù)F(x)為____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：分布函數(shù)F(x)是F(x，y)的邊緣分布函數(shù)：F(x)=F(x，+∞)=F(x，1)，因此12、設(shè)(X，Y)～N(μ，μ2；σ2，σ；0)，則P{X＜Y}=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)13、袋中有大小相同的10個球，其中6個紅球，4個白球，現(xiàn)隨機地抽取兩次，每次取一個，定義兩個隨機變量X，Y如下：試就放回與不放回兩種情形，求出(X，Y)的聯(lián)合分布律．標(biāo)準(zhǔn)答案：(X，Y)是二維離散型隨機變量，其全部可能取值為(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)．(I)有放回抽取，由于X與Y相互獨立，則P{X=i，Y=j}=P{X=i}P{Y=j}，i，j=0，1，P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=0．42=0．16，P{X=0，Y=1}=P{X=0}P{Y=1}=0．4.0．6=0．24，P{X=1，Y=0}=P{X=1}P{Y=0}=0．6.0．4=0．24，P{X=1，Y=1}=P{X=1}P{Y=1}=0．62=0．36．(Ⅱ)不放回抽取，(I)有放回(Ⅱ)不放回由此可見，無論是有放回還是不放回抽取其邊緣分布律X，Y都相同且都服從參數(shù)為0．6的0一1分布，且當(dāng)有放回抽取時X與Y獨立；無放回抽取時X與Y不獨立．知識點解析：暫無解析14、設(shè)二維隨機變量(X，Y)的聯(lián)合分布為其中a，b，c為常數(shù)，且記Z=X+Y．求：(I)a，b，c之值；(Ⅱ)Z的概率分布；(Ⅲ)P{Z=X}與P{Z=Y}．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)由聯(lián)合分布性質(zhì)，有0．1+a+0．2+b+0．2+0．1+c=1，即a+b+c=0．4．①由EXY=一0．1—2a一0．6+0．2+3c=一0．1→3c一2a=0．4．②聯(lián)立①，②，③，解方程組得a=0．1，b=0．1，c=0．2．(Ⅱ)由(X，Y)的聯(lián)合分布及Z=X+Y，可知Z的取值為0，1，2，3，4．由于P{Z=0}=P{X=一1，Y=1}=0．1，P{Z=1}=P{X=0，Y=1}+P{X=一1，Y=2}=0．1+0．1=0．2，P{Z=2}=P{X=0，Y=2}+P{X=一1，Y=3}+P{X=1，Y=1}=0．2+0．2=0．4．P{Z=3}=P{X=0，Y=3}+P{X=1，Y=2}=0．1，P{Z=4}=P{X=1，Y=3}=0．2，從而得Z的概率分布為(Ⅲ)由X，Y的邊緣分布可知P{Z=Y}=P{X+Y=Y}=P{X=0}=0．3，P{Z=X}=P{X+Y=X}=P{Y=0}=P(φ)=0．知識點解析：暫無解析假設(shè)二維隨機變量(X，Y)在矩形區(qū)域G={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤1}上服從均勻分布．記15、求U和V的聯(lián)合分布；標(biāo)準(zhǔn)答案：(U，V)是二維離散型隨機變量，只取(0，0)，(1，0)，(1，1)各值，且于是(X，Y)的聯(lián)合分布為知識點解析：暫無解析16、求U和V的相關(guān)系數(shù)p．標(biāo)準(zhǔn)答案：從(I)中分布表看出知識點解析：暫無解析17、設(shè)二維隨機變量(X，Y)在區(qū)域D={(x，y)｜0≤y≤1，)，≤x≤y+1}內(nèi)服從均勻分布，求邊緣密度函數(shù)，并判斷X，Y的獨立性．標(biāo)準(zhǔn)答案：依題意，由于f(x，y)≠fX(x)fY(y)，所以X與Y不獨立．知識點解析：暫無解析設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合密度為18、試求X的概率密度f(x)；標(biāo)準(zhǔn)答案：易見，當(dāng)x≮(0，1)時f(x)=0；對于0＜x＜1，有知識點解析：暫無解析19、試求事件“X大于Y”的概率P{X＞Y；標(biāo)準(zhǔn)答案：事件“X大于Y”的概率知識點解析：暫無解析20、求條件概率P{Y＞1｜X＜0．5}．標(biāo)準(zhǔn)答案：條件概率知識點解析：暫無解析21、設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X，Y)在區(qū)域D上服從均勻分布，其中D={(x，y)｜｜x+y｜≤1，｜x一y｜≤1}，求X的邊緣密度fX(x)與在X=0條件下，關(guān)于Y的條件密度fY1X(y｜0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：從圖3．2可知，區(qū)域D是以(一1，0)，(0，1)，(1，0)，(0，一1)為頂點的正方形區(qū)域，其邊長為，面積SD=2，因此(X，Y)的聯(lián)合密度是知識點解析：暫無解析已知(X，Y)的概率分布為22、求Z=X—Y的概率分布；標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)用矩陣法求解，由題設(shè)得由此即得：Z=X—Y的概率分布知識點解析：暫無解析23、記U1=XY，求(U1，V1)的概率分布；標(biāo)準(zhǔn)答案：(U1，V1)的概率分布為知識點解析：暫無解析24、記U2=max(X，Y)，V2=min(X，Y)，求(U2，V2)的概率分布及U2V2的概率分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：(U2，V2)的概率分布為U2V2的概率分布為知識點解析：暫無解析25、設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且都在[0，1]上服從均勻分布，試求：(I)U=XY，的概率密度fU(u)；(Ⅱ)V=｜X—Y｜的概率密度fV(v)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于X與Y相互獨立且密度函數(shù)已知，因此我們可以用兩種方法：分布函數(shù)法與公式法求出U、V的概率密度．(I)分布函數(shù)法．由題設(shè)知(X，Y)聯(lián)合概率密度所以U=XY的分布函數(shù)為(如圖3．3)當(dāng)u≤0時，F(xiàn)U(u)=0；當(dāng)u≥1時，F(xiàn)U(u)=1；當(dāng)0＜u＜1時，(Ⅱ)分布函數(shù)法．由題設(shè)知所以V=｜X—Y｜的分布函數(shù)FV(v)=P{｜X—Y｜≤v}．當(dāng)v≤0時，F(xiàn)V(v)=0；當(dāng)v＞0時，F(xiàn)V(v)=P{｜X—Y｜≤v}=P{一v≤X—Y≤v}由圖3．4知，當(dāng)v≥1時，F(xiàn)v(v)=1；當(dāng)0＜v＜1時，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1，｜x一y｜≤v}．知識點解析：暫無解析26、設(shè)二維隨機變量(X1，Y1)與(X2，Y2)的聯(lián)合概率密度分別為求：(I)常數(shù)k1，k2的值；(Ⅱ)Xi，Yi(i=1，2)的邊緣概率密度；(Ⅲ)P{Xi＞2Yi}(i=1，2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)由得k1=1；又由得k2=2．因此(X1，Y1)與(X1，Y2)的概率密度分別為(Ⅱ)(Ⅲ)知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)據(jù)統(tǒng)計）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)二維隨機變量(X，Y)滿足E(XY)=EXEY，則X與YA、相關(guān)．B、不相關(guān)．C、獨立．D、不獨立．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因E(XY)=EXEY，故Cov(X，Y)=E(XY)一EXEY=0，X與Y不相關(guān)，應(yīng)選(B)．2、將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則X和Y的相關(guān)系數(shù)等于A、一1．B、0．C、D、1．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：依題意，Y=n—X，故ρXY=一1．應(yīng)選(A)．一般來說，兩個隨機變量X與Y的相關(guān)系數(shù)Pxv滿足｜ρXY｜≤1．若Y=aX+b，則當(dāng)a＞0時，ρXY=1，當(dāng)a＜0時，ρXY=一1．3、對于任意二隨機變量X和Y，與命題“X和Y不相關(guān)”不等價的是A、EXY=EXEY．B、Cov(X，Y)=0．C、DXY=DXDY．D、D(X+Y)=DX+DY．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由于Cov(X，Y)=EXY—EXEY=0是“X和Y不相關(guān)”的充分必要條件，可見(A)與(B)等價．由D(X+Y)=DX+DY的充分必要條件是Cov(X，Y)=0，可見(B)與(D)等價．于是，“X和Y不相關(guān)”與(A)，(B)和(D)等價．故應(yīng)選(C)．選項(C)不成立是明顯的，為說明選項(C)不成立，只需舉一反例．設(shè)X和Y同服從參數(shù)為P(0＜P＜1)的0—1分布且相互獨立，從而X與Y不相關(guān)．易見DX=DY=P(1一P)；乘積XY服從參數(shù)為P2的0—1分布：P{XY=1}=P{X=1，Y=1}=P2，P{XY=0}=1一P2．因此DXY=P2(1一P2)≠P2(1一P)2=DXDY．4、假設(shè)隨機變量X在區(qū)間[一1，1]上服從均勻分布，則U=arcsinX和V=arccosX的相關(guān)系數(shù)等于A、一1．B、0．C、0．5．D、1．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：注意到U=arcsinX和V=arccosX滿足下列關(guān)系：即由于U是V的線性函數(shù)，且其增減變化趨勢恰恰相反，所以其相關(guān)系數(shù)ρ=一1．應(yīng)選(A)．5、設(shè)隨機變量X1，X2，…，Xn(n＞1)獨立同分布，且方差σ2＞0，記的相關(guān)系數(shù)為A、一1．B、0．C、D、1．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由于Xi獨立同分布，故故應(yīng)選(B)．6、設(shè)隨機變量X的方差存在，并且滿足不等式則一定有A、DX=2．B、C、DX≠2．D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因事件{｜X—EX｜＜3}是事件{｜X—EX｜≥3}的對立事件，且題設(shè)P{｜X—EX｜≥3}≥因此一定有即選項(D)正確．進一步分析，滿足不等式的隨機變量，其方差既可能不等于2，亦可以等于2，因此結(jié)論(A)與(C)都不能選．比如：X服從參數(shù)為p的0一1分布，DX=Pq＜1，顯然DX≠2，但是因此(A)不成立．若X服從參數(shù)n=8，p=0．5的二項分布，則有EX=4，DX=2．但是P{｜X—EX｜≥31=P{｜X一4｜≥3}因此(B)也不成立．7、設(shè)隨機變量X1，X2，…，Xn相互獨立同分布，其密度函數(shù)為偶函數(shù)，且DXi=1，i=1，…，n，則對任意ε＞0，根據(jù)切比雪夫不等式直接可得A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由題意知EXi=0，i=1，…，n．記根據(jù)切比雪夫不等式，有故選(C)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)8、兩名射手各向自己的靶獨立射擊，直到有一次命中時該射手才(立即)停止射擊．如果第i名射手每次命中概率為pi(0＜pi＜1，i=1，2)，則兩射手均停止射擊時脫靶(未命中)總數(shù)的數(shù)學(xué)期望為標(biāo)準(zhǔn)答案：-2知識點解析：每位射手的射擊只有兩個基本結(jié)果：中與不中，因此兩射手的每次射擊都是一個伯努利試驗．每位射手直到他有一次命中時方停止射擊，因此此時的射擊次數(shù)應(yīng)服從幾何分布；此時的射擊次數(shù)一1=未擊中的次數(shù)．以Xi表示第i名射手首次命中時的脫靶數(shù)，則此時他的射擊次數(shù)Xi+1服從參數(shù)為pi的幾何分布，因此P{Xi=k}=(1一pi)kpi，i=1，2，且于是EXi=兩射手脫靶總數(shù)X=X1+X2的期望為9、將長度為L的棒隨機折成兩段，則較短段的數(shù)學(xué)期望為_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：設(shè)X為折點到左端點的距離，Y為較短段的長，則X～U(0，L)，且10、設(shè)隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0．9，若Z=2X—1，則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0.9知識點解析：Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X～1)=2Cov(X，Y)，DZ=D(2X一1)=4DX．Y與Z的相關(guān)系數(shù)pYZ為11、設(shè)隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0．5，EX=EY=0，EX2=EY2=2，則E(X+Y)2=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：6知識點解析：暫無解析12、設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且X～B(5，0．8)，Y～N(1，1)，則P{0＜X+Y＜10}≥_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0.928知識點解析：由于EX=4，DX=0．8，EY=1，DY=1，所以E(X+Y)=EX+EY=5，D(X+Y