考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷3（共284題）

考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷3（共9套）（共284題）考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、已知隨機變量(X1，X2)的概率密度為f1(x1，x2)，設(shè)Y1=2X1，則隨機變量(Y1，Y2)的概率密度f2(y1，y2)=()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：設(shè)(X1，X2)的分布函數(shù)為F1(x1，x2)，(Y1，Y2)的分布函數(shù)為F2(y1，y2)，則2、設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且都在[0，1]上服從均勻分布，則()A、(X，Y)是服從均勻分布的二維隨機變量B、Z=X+Y是服從均勻分布的隨機變量C、Z=X—Y是服從均勻分布的隨機變量D、Z=X2是服從均勻分布的隨機變量標準答案：A知識點解析：當X與Y相互獨立，且都在[0，1]上服從均勻分布時，(X,Y)的概率密度為所以，(X，Y)是服從均勻分布的二維隨機變量．因此本題選(A)．3、現(xiàn)有10張獎券，其中8張為2元的，2張為5元的．今從中任取3張，則獎金的數(shù)學(xué)期望為()A、6B、7．8C、9D、11．2標準答案：B知識點解析：記獎金為X，則X全部可能取值為6，9，12，且4、設(shè)X1，X2，X3相互獨立，且均服從參數(shù)為λ的泊松分布，令(X1+X2+X3)，則Y2的數(shù)學(xué)期望為()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：因為X1,X2，X3相互獨立且均服從P(λ)，所以X1+X2+X2～P(3λ)，E(X1+X2+X3)=D(X1+X2+X3)=3λ，5、設(shè)X1，X2，…，Xn(n＞1)是來自總體N(0，1)的簡單隨機樣本，記則()A、～N(0，1)，Q2～χ2(n)B、～N(0，n)，Q2～χ2(n一1)C、，Q2～χ2(n)D、，Q2～χ2(n一1)標準答案：C知識點解析：由于．Q2～χ2(n)．因此本題選(C)．6、設(shè)X1，X2，…，X8是來自總體N(2，1)的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量服從()A、χ2(2)B、χ2(3)C、t(2)D、t(3)標準答案：C知識點解析：因為又，且它們相互獨立，所以所以由T與X相互獨立得，因此本題選(C)．7、已知隨機變量Xn(n=1，2，…)相互獨立且都在(一1，1)上服從均勻分布，根據(jù)獨立同分布中心極限定理有=()(結(jié)果用標準正態(tài)分布函數(shù)φ(x)表示)A、φ(0)B、φ(1)C、D、φ(2)標準答案：C知識點解析：由題設(shè)知EXn=0，DXn=由中心極限定理，對任意x有8、設(shè)X1，X2，…，Xn是來自總體X～N(0，1)的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量服從()A、Y～χ2(N一1)B、Y～t(n—1)C、Y～F(n，1)D、Y～F(1，n一1)標準答案：B知識點解析：由總體X～N(0，1)知X1～N(0，1)，(n一1)，且它們相互獨立，所以因此本題選(B)．9、設(shè)隨機變量X～F(n，n)，記p1=P{X≥1)，p2=P{X≤1}，則()A、p1＜p2B、p1＞p2C、p1=p2D、p1，p2大小無法比較標準答案：C知識點解析：由X～F(n，n)知～F(n，n)，所以p1=P{X≥1}==P{Y≤1}=P{X≤1}=p2．因此本題選(C)．10、設(shè)總體X～N(a，σ2)，Y～N(b，σ2)，且相互獨立．分別從X和Y中各抽取容量為9和10的簡單隨機樣本，記它們的方差為SX2和SY2，并記S122=(SX2+SY2)和SXY2=(8SX2+10SY2)，則這四個統(tǒng)計量SX2，SY2，S122，SXY2中，方差最小的是()A、SX2B、SY2C、S122D、SXY2標準答案：D知識點解析：所以，方差最小的為SXY2．因此本題選(D)．11、設(shè)X1，X2，…，Xn是來自總體X～N(μ，σ2)(μ，σ2都未知)的簡單隨機樣本的觀察值，則σ2的最大似然估計值為()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：在μ未知時，σ2的最大似然估計值為因此本題選(B)．二、填空題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)12、設(shè)二維隨機變量(X，Y)在區(qū)域D={(x，y)|1≤x≤e2,0≤y≤}上服從均勻分布，則(X，Y)的關(guān)于X的邊緣概率密度fX(x)在點x=e處的值為________．標準答案：知識點解析：區(qū)域D如圖3—2陰影部分所示，它的面積所以(X，Y)的概率密度為13、設(shè)二維隨機變量(X，Y)的概率密度為f(x，y)=則當x＞0時，fY|X(y|x)=_______．標準答案：知識點解析：由f(x，y)的表達式知X與Y相互獨立，且關(guān)于X，Y的邊緣概率密度分別為由此可知，當x＞0時，由fX(x)＞0知fY|X(y|x)=fY(y)=14、設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)=標準答案：知識點解析：15、設(shè)隨機變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，記則E(X1+X2)=________．標準答案：知識點解析：EX1=P{Y＞1}=∫1+∞e-ydy=e-1，EX2=P{Y＞2}=∫2-∞e-ydy=e-2，所以E(X1+X2)=EX1+EX2=e-1+e-2=16、已知離散型隨機變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，即P{X=k}=，k=0，1，2，…，則隨機變量Z=3X一2的數(shù)學(xué)期望EZ=_______．標準答案：4知識點解析：EZ=3EXX一2=4．17、設(shè)隨機變量X1，X2，…，X100獨立同分布，且EXi=0，DXi=10，i=1，2，…，100，令標準答案：990知識點解析：18、設(shè)隨機變量X和Y均服從且D(X+Y)=1，則X與Y的相關(guān)系數(shù)ρ=_____．標準答案：1知識點解析：由題設(shè)DX=DY=D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X，Y)=+2Coy(X，Y)=1，于是有19、已知隨機變量X～N(一3，1)，Y～N(2，1)，且X，Y相互獨立，設(shè)隨機變量Z=X一2Y+7，則Z～________．標準答案：N(0，5)知識點解析：由題意，知Z服從正態(tài)分布，且X，Y相互獨立，則EZ=E(X一2Y+7)=EX一2ey+7=一3—4+7=0，DZ=D(X一2y+7)=DX+22Dy=1+4=5．故Z～N(0，5)．20、設(shè)相互獨立的兩個隨機變量X，Y具有同一分布律，且X的分布律為則隨機變量Z=max{X，Y}的分布律為_______．標準答案：知識點解析：P{Z=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=P{Z=1}=1一P{Z=0}=所以Z的分布律為21、設(shè)二維隨機變量(X，Y)的概率密度為則隨機變量U=X+2Y，V=一X的協(xié)方差Cov(U，V)=______．標準答案：知識點解析：Cov(U，V)=Cov(X+2Y，一X)=一DX一2Cov(X，Y)=一DX一2E(XY)+2EXEY，①其中關(guān)于X與Y的邊緣概率密度為22、設(shè)X1，X2，…，Xn是相互獨立的隨機變量序列，且都服從參數(shù)為λ的泊松分布．則標準答案：ψ(x)知識點解析：由列維一林德伯格中心極限定理即得．23、設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望EX=75，方差DX=5，由切比雪夫不等式估計得P{|X一75|≥k}≤0．05，則k=_____．標準答案：10知識點解析：P{|X一75|≥k}=P{|X—EX|≥k)≤于是由題設(shè)得=0．05．即k=10．24、設(shè)總體X～P(λ)，X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，它的均值和方差分別為和S2，則和E(S2)分別為________．標準答案：知識點解析：E(S2)=DX=λ．25、設(shè)總體X的概率密度為X1，X2，…，Xn是來自總體X的樣本，x1，x2，…，xn是其觀察值，則未知參數(shù)θ的最大似然估計值為________．標準答案：知識點解析：似然函數(shù)為解得θ的最大似然估計值為26、設(shè)X1，X2，X3，X4是來自正態(tài)總體X～N(μ，σ2)的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量服從的分布是______。標準答案：t(2)知識點解析：因為X～N(μ，σ2)，所以X3一X4～N(0，2σ2)～N(0，1)，又三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)27、設(shè)X，Y是相互獨立的隨機變量，它們都服從參數(shù)為n，p的二項分布，證明：Z=X+Y服從參數(shù)為2n，p的二項分布．標準答案：故Z=X+Y服從參數(shù)為2n，p的二項分布．知識點解析：暫無解析28、設(shè)ξ，η是相互獨立且服從同一分布的兩個隨機變量，已知ξ的分布律為P{ξ=i}=，i=1，2，3，又設(shè)X=max{ξ，η}，Y=min{ξ，η}，試寫出二維隨機變量(X，Y)的分布律及邊緣分布律，并求P{ξ=η}.標準答案：X的可能取值為1，2，3，Y的可能取值為1，2，3．P{X=1，Y=1}=P{max{ξ，η}=1，min{ξ，η}=1}=P{ξ=1，η=1}=以此類推可求出(X，Y)的分布律及邊緣分布律如下：則知識點解析：暫無解析29、設(shè)(X，Y)的概率密度為判斷X，Y是否獨立，并說明理由．標準答案：由題得X的邊緣概率密度為同理易知因為f(x，y)=fX(x).fY(y)，所以X，Y獨立．知識點解析：暫無解析30、設(shè)X關(guān)于Y的條件概率密度為且Y的概率密度為標準答案：由題得(X，Y)的概率密度為f(x，y)=fX|Y(x|y).fY(y)=其非零區(qū)域如圖3—4所示，則知識點解析：暫無解析31、設(shè)(X，Y)服從G={(x，y)|x2+y2≤1}上的均勻分布，試求給定Y=y的條件下X的條件概率密度fX|Y(x|y)．標準答案：因為(X，Y)服從G={(x，y)|x2+y2≤1}上的均勻分布，所以所以，當一1＜y＜1時，有知識點解析：暫無解析32、乘有20位旅客的民航送客車自機場開出，旅客有10個車站可以下車，如到達一個車站沒有旅客下車就不停車，以X表示停車的次數(shù)，求EX(設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車是相互獨立的)．標準答案：引入隨機變量Xi=則X=X1+X2+…+X10，由知識點解析：暫無解析33、設(shè)隨機變量X的概率密度為已知EX=2，P{1＜X＜3}=求(1)a，b，c的值；(2)隨機變量Y=eX的數(shù)學(xué)期望和方差．標準答案：解方程組知識點解析：暫無解析34、袋中有n張卡片，分別記有號碼1，2，…，n，從中有放回地抽取k張，以X表示所得號碼之和，求EX，DX．標準答案：設(shè)Xi表示“第i張的號碼”，i=1，2，…，k，則Xi的分布律為知識點解析：暫無解析35、設(shè)隨機變量U在[一2，2]上服從均勻分布，記隨機變量求：(1)Cov(X，Y)，并判定X與Y的獨立性；(2)D[X(1+Y)]．標準答案：(1)X，Y的全部可能取值都為一1，1，且P{X=一1，Y=一1}=P{U≤一1，U≤1}=P{U≤一1}=P{X=一1，Y=1}=P{U≤一1，U＞1}=0，P{X=1，Y=一1}=P{U＞一1，U≤1}=P{-1＜U≤1}=P{X=1，Y=1}=P{U＞一1，U＞1}=P{U＞1}=所以(X，Y)的分布律及邊緣分布律為(2)D[X(1+Y)]=D(X+XY)=DX+D(XY)+2Cov(X，XY)=DX+D(XY)+2E(X2Y)一2EXE(XY)．①其中此外，由于XY及X2Y的分布律分別為所以E(XY)=0，E(X2Y2)=D(XY)=E(X2Y2)一[E(XY)]2=1—0=1，將以上式子代入①得知識點解析：暫無解析36、設(shè)隨機變量X在(0，3)內(nèi)隨機取值，而隨機變量Y在(X，3)內(nèi)隨機取值，求協(xié)方差Cov(X，Y)．標準答案：X的概率密度fX(x)=在X=x∈(0，3)的條件下，fY|X(y|x)=于是(X，Y)的聯(lián)合概率密度為f(x，y)=由此可得其中D如圖3—5陰影部分所示．知識點解析：暫無解析37、若DX=0．004，利用切比雪夫不等式估計概率P{|X—EX|＜0．2}．標準答案：由切比雪夫不等式，得P{|X—EX|＜0．2}≥知識點解析：暫無解析38、用切比雪夫不等式確定，擲一均質(zhì)硬幣時，至少需擲多少次，才能保證‘正面’出現(xiàn)的頻率在0．4至0．6之間的概率不小于0．9．標準答案：設(shè)擲n次，“正面”出現(xiàn)的次數(shù)為Yn，則Yn～B(n，0．5)，依題意應(yīng)有所以n≥250，即至少需擲250次．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第2套一、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、設(shè)P(A)＝P(B)＝P(C)＝，P(AB)＝0，P(AC)＝P(BC)＝，則A，B，C都不發(fā)生的概率為_______．標準答案：知識點解析：暫無解析2、乒乓球盒中有15個球，其中有9只新球和6只舊球．第一次比賽時任取3只使用，用后放回(新球使用一次就成舊球)．第二次比賽時也任取3只球，求此3只球均為新球的概率_______．(寫出計算式即可)．標準答案：(C63C93＋C62C91C83＋C61C92C73＋C93C63)知識點解析：暫無解析3、3架飛機(其中有1架長機和2架僚機)去執(zhí)行轟炸任務(wù)，途中要過一個敵方的高炮陣地．各機通過高炮陣地的概率均為0．8，通過后轟炸成功的概率均為0．3，各機間相互獨立，但只有長機通過高炮陣地才有可能轟炸成功．求最終轟炸成功的概率為_______．標準答案：0．476544知識點解析：暫無解析4、隨機變量X的密度為f(χ)＝，－∞＜χ＜∞，則A＝_______．標準答案：知識點解析：暫無解析5、在一長為l的線段上的隨機擲兩點，使這個線段分成三段，則這三段能構(gòu)成三角形的概率為_______．標準答案：知識點解析：如圖1建立坐標系，題目中的線段即線段Ol(圖中)，隨機擲的兩點坐標分別為X和Y，由題意知X與Y獨立同分布，均服從區(qū)間(0，l)上的均勻分布，(X，Y)的概率密度為所得到的3段線段長分別為min(X，Y)，｜X－Y｜，l－max(X，Y)，而{這3段能構(gòu)成三角形}充要條件{這3段中任2段長度之和＞}充要條件{這3段中任一段長度都＜}故P{這3段能構(gòu)成三角形}其中G1與G2見圖2中陰影部分．6、設(shè)X的密度為f(χ)＝，－∞＜χ＜＋∞，則X的分布函數(shù)F(χ)_______．標準答案：知識點解析：暫無解析7、設(shè)在時間t(分鐘)內(nèi)，通過某路口的汽車數(shù)服從參數(shù)為λt的泊松分布．已知1分鐘內(nèi)沒有汽車通過的概率為0．2，求在2分鐘內(nèi)有至少1輛汽車通過的概率為_______．標準答案：知識點解析：暫無解析8、設(shè)X與Y獨立，下表列出(X，Y)的聯(lián)合分布列和關(guān)于X、Y的邊緣分布列中的部分數(shù)值，請?zhí)钌峡瞻滋?，并填空求P(X＋Y≤1)＝_______．P{X＋Y≤1｜X≤0}＝_______．標準答案：知識點解析：暫無解析9、設(shè)隨機變量X服從(－a，a)上的均勻分布(a＞0)，且已知P(X＞1)＝，則a＝_______，D(X)＝_______．標準答案：3；3．知識點解析：暫無解析10、隨機變量X的密度為：f(χ)＝且知EX＝6，則常數(shù)A＝_______，B＝_______．標準答案：知識點解析：暫無解析11、袋中裝有黑白兩種顏色的球，黑球與白球個數(shù)之比為3：2．現(xiàn)從此袋中有放回地摸球，每次摸1個．記X為直至摸到黑、白兩種顏色都出現(xiàn)為止所需要摸的次數(shù)．求E(X)＝_______．標準答案：知識點解析：暫無解析二、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)12、隨機變量X可能取的值為－1，0，1．且知EX＝0．1，EX2＝0．9，求X的分布列．標準答案：由題意，X的分布列可設(shè)為：X～且知：a＋b＋c＝1，0．1＝EX＝－a＋c，0．9＝E(X2)＝(－1)2a＋12c＝a＋c．可解得a＝0．4，b＝0．1，c＝0．5，代回分布列表達式即可．知識點解析：暫無解析13、在△ABC中任取一點P，而△ABC與△ABP的面積分別記為S與S1．若已知S＝12，求ES1．標準答案：如圖建立坐標系，設(shè)AB長為r，△ABC高為h，C點坐標為(u，h)．設(shè)△ABc所圍區(qū)域為G，則G的面積S＝rh＝12．又設(shè)P點坐標為(X，Y)，則隨機變量(X，Y)在G上服從均勻分布，其概率密度為而S1＝．易得線段AC的方程為χ＝y(tǒng)，BC的方程為∴ES1＝，而rh＝24，故ES1＝4．知識點解析：暫無解析14、已知線段AB＝4，CD＝1，現(xiàn)分別獨立地在AB上任取點A1，在CD上任取點C1，作一個以AA1為底、CC1為高的三角形，設(shè)此三角形的面積為S，求P(S＜1)和D(S)．標準答案：記AA1長度為X，OC1長度為Y，則知X與Y為二相互獨立的隨機變量，分別服從區(qū)間[0，4]和[0，1]上的均勻分布，(X，Y)的概率密度為其中D＝{(χ，y)｜0≤χ≤4，0≤y≤1}．而S＝XY．故其中G為圖中陰影部分，而知識點解析：暫無解析15、設(shè)隨機變量X在區(qū)間(－1，1)上服從均勻分布，Y＝X2，求(X，Y)的協(xié)方差矩陣和相關(guān)系數(shù)．標準答案：X的概率密度為：f(χ)＝DY＝E(Y2)－(EY)2－E(X4)－(EX2)2＝，cov(X，X)＝cov(X，X2)－E(X3)＝EX.EX2＝0，故知(X，Y)的相關(guān)系數(shù)ρ(X，Y)＝0，協(xié)方差陣為知識點解析：暫無解析16、現(xiàn)有K個人在某大樓的一層進人電梯，該樓共n＋1層．電梯在任一層時若無人下電梯則電梯不停(以后均無人再入電梯)．現(xiàn)已知每個人在任何一層(當然不包括第一層)下電梯是等可能的且相互獨立，求電梯停止次數(shù)的平均值．標準答案：而X＝為電梯停的次數(shù)，故知平均停的次數(shù)為EX＝．知識點解析：暫無解析17、設(shè)某種元件的壽命為隨機變量且服從指數(shù)分布．這種元件可用兩種方法制得，所得元件的平均壽命分別為100和150(小時)，而成本分別為C和2C元．如果制造的元件壽命不超過200小時，則須進行加工，費用為100元．為使平均費用較低，問C取何值時，用第2種方法較好?標準答案：記用第一、第二種方法制得的元件的壽命分別為X、Y，費用分別為ξ、η，則知X、Y的概率密度分別為：且∴Eξ(C＋100)P(X≤200)＋CP(X＞200)＝C＋100P(X≤200)，Eη＝(2C＋100)P(Y≤200)＋2CP(Y＞200)＝2C＋100P(Y≤200)，于是Eη－Eξ＝C＋100[P(Y≤200)－P(X≤200)]＝C＋100(e-2－)，可見C＜100(－e-2)時，Eη＜Eξ，用第2種方法較好(平均費用較低)．知識點解析：暫無解析18、現(xiàn)有獎券100萬張，其中一等獎1張，獎金5萬元；二等獎4張，每張獎金2500元；三等獎40張，每張獎金250元；四等獎400張，每張獎金25元，而每張獎券2元，試計算買一張獎券的平均收益．標準答案：記X和ξ分別為買1張獎券的所得的獎金和凈收益(單位為元)，則ξ＝X－2，而X的概率分布為：∴Eξ－EX－2＝－2＝－1．92(元)．知識點解析：暫無解析19、設(shè)隨機變量X1，…，Xn，Xn+1獨立同分布，且P(X1＝1)＝p，P(X1＝0)＝1－p，記標準答案：EYi＝P(Xi＋Xi+1＝1)＝P(Xi＝0，Xi+1＝1)＋P(Xi＝1，Xi+1＝0)＝2p(1－p)，i＝1，…，n，∴＝2np(1－p)，而E(Y12)＝P(Xi＋Xi+1＝1)＝2p(1－p)，∴DYi＝E(Y12)－(EYi)2＝2p(1－p)[1－2p(1－p)]，i＝1．2，…，n．若l－k≥2，則Yk與Yl獨立，這時cov(Yk，Yl)＝0，而E(YkYk+1)＝P(Yk＝1，Yk+1＝1)＝P(Xk＋Xk+1＝1，Xk+1＋Xk+2＝1)＝P(Xk＝0，Xk+1＝1，Xk+2＝0)＋P(Xk＝1，Xk+1＝0，Xk+2＝1)＝(1－p)2p＋p2(1－p)＝p(1－p)，∴coy(Yk，Yk+1)＝E(YkYk+1)－EYkEYk+1＝(1－p)－4p2(1－p)2，故2np(1－p)[1－2p(1－p)]＋＝2np(1－p)[1－2p(1－p)]＋2(n－1)[p(1－p)－4p2(1－p)2]2p(1－p)[2n－6np(1－p)＋41)(1－p)－1]．知識點解析：暫無解析20、對隨機變量X和Y，已知EX＝3，EY＝－2，DX＝9，DY＝2，E(XY)＝－5．設(shè)U＝2X－y－4，求EU，DU．標準答案：EU＝2EX－EY－4＝2×3＋2－4＝4，DU＝D(2X－Y－4)＝4DX＋Dy－4cov(X，Y)＝4×9＋2－4[E(XY)－EX.EY]＝36＋2－4(－5＋3×2)＝34．知識點解析：暫無解析21、對隨機變量X，Y，已知EX2和EY2存在，證明：[E(XY)]2≤E(X2).E(Y2)．標準答案：t∈R*，有0≤E(X＋tY)2＝E(X2)＋2tE(XY)＋t2E(Y2)，故此二次型(變量為t)無實根或有重根，所以其判別式△≤0，而△＝4[E(XY)]2－4EX2.EY2，即得[E(XY)]2≤E(X2).E(Y2)．知識點解析：暫無解析22、設(shè)X1，X2，…，Xn是同分布的隨機變量，且EX1＝0，DX1＝1_不失一般性地設(shè)X1為連續(xù)型隨機變量．證明：對任意的常數(shù)λ＞0，有．標準答案：由已知可知：E(Xi2)＝DXi＋(EXi)2＝1，i＝1，…，n．設(shè)(X1，…，Xn)的概率密度為f(χ1，χ2，…，χn)，則知識點解析：暫無解析23、兩家影院競爭1000名觀眾，每位觀眾隨機地選擇影院且互不影響．試用中心極限定理近似計算：每家影院最少應(yīng)設(shè)多少個座位才能保證“因缺少座位而使觀眾離去”的概率不超過1％?(Ф(2．328)＝0．9900)標準答案：設(shè)甲影院(乙影院完全同理)應(yīng)設(shè)N個座位才符合要求，而這1000名觀眾中有X名選擇甲影院，則X～B(1000，)，由題意有：P(X≤N)≥0．99．而由中心極限定理知：故得≥2．328，∴N≥53．知識點解析：暫無解析24、(1)設(shè)系統(tǒng)由100個相互獨立的部件組成．運行期間每個部件損壞的概率為0．1．至少有85個部件是完好時系統(tǒng)才能正常工作，求系統(tǒng)正常工作的概率．(Ф()＝0．9522)(2)如果上述系統(tǒng)由竹個部件組成，至少有80％的部件完好時系統(tǒng)才能正常工作．問n至少多大才能使系統(tǒng)正常工作的概率不小于0．957(Ф(1．645)＝0．95)標準答案：(1)設(shè)有X個部件完好，則X～B(100，0．9)，∴EX＝90，DX＝9，∴P{系統(tǒng)正常工作)＝P{X≥85}＝＝0．9522．(2)設(shè)有Y個部件完好，則Y～B(n，0．9)，∴EX＝0．9n，DX＝0．09n，∴P{X≥0．8n}＝，由題意，P(X≥0．8n)≥0．95，∴Ф()≥0．95，故≥1．645，得n≥24．35即n≥25．知識點解析：暫無解析25、對隨機變量X，已知EekX存在(k＞0為常數(shù))，證明：P{X≥ε}≤.E(ekX)．(其中ε＞0)．標準答案：不失一般性，設(shè)X為連續(xù)型隨機變量，概率密度為f(χ)，則EekX＝∫－∞＋∞ekχ.f(χ)dχ，而P{X≥ε}＝知識點解析：暫無解析26、當擲一枚均勻硬幣時，問至少應(yīng)擲多少次才能保證正面出現(xiàn)的頻率在0．4至0．6之間的概率不小于0．97試用切比雪夫不等式和中心極限定理來分別求解．(Ф(1．645)＝0．95)標準答案：設(shè)拋擲n次硬幣，正面出現(xiàn)X次，則X～B(n，0．5)．現(xiàn)要求P(0．4＜＜0．6)≥0．9，即P(0．4n＜X＜0．6n)≥0．9．(1)用切比雪夫不等式：P(0．4n＜X＜0．6n)＝P(｜X－0．5n｜＜0．1n)≥1－，令1－≥0．9，得n≥250；(2)用中心極限定理：P(0．4n＜X＜0．6n)＝≈Ф(0．2)－Ф(－0．2)＝2Ф(0．2)－1，令2Ф(0．2)－1≥0．9，得Ф(0．2)≥0．95，∴0．2≥1．645，∴n≥67．65即n≥68．知識點解析：暫無解析27、利用中心極限定理證明：標準答案：引隨機變量Xk～π(1)(參數(shù)為1的泊松分布)，k＝1，2，…，且{Xk}相互獨立．由泊松分布的再生性知令n→∞，由中心極限定理即知：知識點解析：暫無解析28、設(shè)總體X具有概率密度：f(χ)＝從此總體中抽得簡單樣本X1，X2，X3，X4，求T＝Xi的密度fT(t)．標準答案：T的分布函數(shù)為FT(t)＝P(T≤t)＝P(≤t)＝P(X1≤t，…，X4≤t)＝[P(X1≤t)]4＝知識點解析：暫無解析29、設(shè)總體X～N(μ，σ2)，X1，…，Xn為取自X的簡單樣本，記d＝｜Xi－μ｜求E(d)，D(d)．標準答案：知識點解析：暫無解析30、設(shè)總體X～N(72，100)，為使樣本均值大于70的概率不小于0．95，樣本容量n至少應(yīng)取多大?(Ф(1．645)＝0．95)標準答案：由題意知～N(72，)，∴得≥1．645，∴n≥67．65，即n≥68．知識點解析：暫無解析31、從一正態(tài)總體中抽取容量為10的樣本，設(shè)樣本均值與總體均值之差的絕對值在4以上的概率為0．02，求總體的標準差(Ф(2．33)＝0．99)標準答案：設(shè)總體X～N(μ，σ2)，則，由題意得：∴＝0．99．得＝2．33，∴σ＝知識點解析：暫無解析32、設(shè)總體X～N(μ，σ2)，從X中抽得樣本X1，…，Xn，Xn+1，記試求的分布．標準答案：且Sn2與Xn+1－相互獨立，故知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設(shè)隨機變量(X，Y)的概率密度f(x，y)滿足f(x，y)=f(一x，y)，且ρXY存在，則ρXY=()A、1B、0C、一1D、一1或1標準答案：B知識點解析：E(XY)=∫-∞+∞ydy∫-∞+∞xf(x，y)dx∫-∞+∞ydy∫-∞+∞(一t)f(-t,y)dt=∫-∞+∞ydy∫-∞+∞(一t)f(t，y)dt=一∫-∞+∞ydy∫-∞+∞xf(x，y)dx=一E(XY)，所以E(XY)=0．同理，EX=∫-∞+∞x[∫-∞+∞(x，y)dy]dx=0，所以ρXY=0．2、設(shè)隨機變量(X，Y)服從二維正態(tài)分布，其邊緣分布為X～N(1，1)，Y～N(2，4)，X與Y的相關(guān)系數(shù)為且概率P{aX+bY≤1}=則()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：因為(X，Y)服從二維正態(tài)分布，則aX+bY服從一維正態(tài)分布，又EX=1，EY=2，則E(aX+bY)=a+2b，于是顯然，只有當1一(a+2b)=0時，P{aX+bY≤1}=才成立，只有選項(D)滿足此條件．3、設(shè)X是隨機變量，EX＞0且E(X2)=0．7，DX=0．2，則以下各式成立的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：于是由切比雪夫不等式知因此本題選(C)．4、設(shè)X1，X2，…，Xn是取自總體N(μ，σ2)的樣本，是樣本均值，記則服從自由度為n一1的t分布的隨機變量是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：5、設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是取自總體的簡單隨機樣本，樣本均值為，樣本方差為S2，則服從χ2(n)分布的隨機變量為()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由于總體X～N(μ，σ2)，所以～χ2(2(n-1)，又與S2獨立，由χ2分布的可加性，現(xiàn)只需確定服從χ2(1)的隨機變量．因為～χ2(1)，選擇D.6、設(shè)總體X與Y都服從正態(tài)分布N(0，σ2)，已知X1，X2，…，Xm與Y1，Y2，…，Yn是分別來自總體X與Y的兩個相互獨立的簡單隨機樣本，統(tǒng)計量服從t(n)分布，則=()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：應(yīng)用t分布的典型模式．由于～N(0，1)，而～N(0，1)，且相互獨立，所以～χ2(n)，U與V相互獨立，由t分布的典型模式知由題意知．7、設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn(n＞1)是取自總體的簡單隨機樣本，樣本均值為如果P{|X一μ|＜a}=A、與σ及n都有關(guān)B、與及n都無關(guān)C、與σ無關(guān)，與n有關(guān)D、與σ有關(guān)，與n無關(guān)標準答案：C知識點解析：由題設(shè)有，X～N(μ，σ2)，因此所以與σ無關(guān)，與n有關(guān)．8、設(shè)X1，X2，…，X8和Y1，Y2，…，Y10是分別來自正態(tài)總體N(-1，4)和N(2，5)的簡單隨機樣本，且相互獨立，S12，S22分別為這兩個樣本的方差，則服從F(7，9)分布的統(tǒng)計量是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由因此本題選D.9、設(shè)總體X～P(λ)(λ為未知參數(shù))，X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，其均值與方差分別為與S2，則為使+(2—3a)S2的期望為λ，常數(shù)a應(yīng)為()A、一1B、0C、D、1標準答案：C知識點解析：由于=EX=λ，E(S2)=DX=λ，將它們代入①得aλ+(2—3a)λ=λ，即因此本題選(C)．二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)10、一臺設(shè)備由三個部件構(gòu)成，在設(shè)備運轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率分別為0．10，0．20，0．30，設(shè)備部件狀態(tài)相互獨立，以X表示同時需要調(diào)整的部件數(shù)，則X的方差DX為______．標準答案：0．46知識點解析：X的全部可能取值為0，1，2，3，且P{X=0}=(1—0．10)×(1—0．20)×(1—0．30)=0．504，P{X=1}=(1—0．10)×(1—0．20)×0．30+(1—0．10)×(1—0．30)×0．20+(1—0．20)×(1—0．30)×0．10=0．398，P{X=2}=(1—0．10)×0．20×0．30+(1—0．20)×0．10×0．30+(1—0．30)×0．10×0．20=0．092．P{X=3}=0．10×0．20×0．30=0．006．所以EX=0×0．504+1×0．398+2×0．092+3×0．006=0．6，E(X2)=02×0．504+12×0．398+22×0．092+32×0．006=0．82．DX=E(X2)一(EX)2=0．82一(0．6)2=0．46．11、設(shè)(X，Y)的概率密度為f(x，y)=則Cov(X，Y)=_______．標準答案：0知識點解析：由于D：0≤|y|≤x≤1是由y=一x，y=x，x=1三條線圍成的，且關(guān)于z軸對稱，所以故Cov(X，Y)=E(XY)一EXEY=0．12、若X1，X2，X3兩兩不相關(guān)，且DXi=1(i=1，2，3)，則D(X1+X2+X3)=______．標準答案：3知識點解析：因為X1，X2，X3兩兩不相關(guān)，所以Cov(Xi，Xj)=0(i≠j)，于是D(X1+X2+X3)=D[(X1+X2)+X3]=D(X1+X2)+DX3+2Cov(X1+X2，X3)=DX1+DX2+DX3+2Cov(X1，X2)+2Cov(X1，X3)+2CovCX2，X3)=DX1+DX2+DX3=3．13、設(shè)隨機變量X1，X2，X3相互獨立，且則E[X1(X1+X2一X3)]為_______．標準答案：知識點解析：E[X1(X1+X2-X3)]=E(X12+X1X2一X1X3)=E(X12)+EX1EX2一EX1EX3=DX1+(EX1)2+EX1EX2一EX1EX314、設(shè)隨機變量X與Y的分布律為且相關(guān)系數(shù)則(X，Y)的分布律為______．標準答案：知識點解析：設(shè)(X，Y)的分布律為((X，Y)的邊緣分布律也表示于表中)．則E(XY)=p11,從而有由此得所以(X，Y)的分布律為15、設(shè)二維隨機變量(X，Y)服從二維正態(tài)分布，且X～N(0，3)，Y～N(0，4)，相關(guān)系數(shù)則(X，Y)的概率密度f(x，y)=______．標準答案：知識點解析：16、設(shè)二維隨機變量(X，Y)的分布律為則X與Y的協(xié)方差Cov(X，Y)=______．標準答案：知識點解析：X與Y的邊緣分布律分別為17、設(shè)二維隨機變量(X，Y)的概率密度為則隨機變量Z=X—Y的方差DZ=_____．標準答案：知識點解析：DZ=DX+DY一2Cov(X，Y)=DX+DY一2E(XY)+2EXEY，①其中D={(x，y)|0＜x＜1，0＜y＜x}如圖3—8陰影部分所示．關(guān)于X的邊緣概率密度為關(guān)于Y的邊緣概率密度為將②，③，④式代入①式得18、設(shè)總體X和Y相互獨立，且分別服從正態(tài)分布N(0，4)和N(0，7)，X1，X2，…，X8和Y1，Y2，…，Y14是分別來自總體X和Y的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量的數(shù)學(xué)期望和方差分別為______．標準答案：知識點解析：Z2～χ2(1)．于是19、設(shè)X1，X2是來自總體N(0，σ2)的簡單隨機樣本，則查表得概率約等于_____．標準答案：0．9知識點解析：(X1，X2)服從二維正態(tài)分布，所以(X1+X2，X1一X2)也服從二維正態(tài)分布，并且由X1+X2～N(0，2σ2)，X1一X2～N(0，2σ2)知，Cov(X1+X2，X1一X2)=DX1一DX2=0，即X1+X2與X1一X2相互獨立．此外，，所以，20、設(shè)總體X～N(a，2)，Y～N(b，2)，且獨立，由分別來自總體X和Y容量分別為m和n的簡單隨機樣本得樣本方差SX2和SY2,則統(tǒng)計量[(m一1)Sx2+(n一1)SY2]服從的分布是______．標準答案：χ2(m+n一2)知識點解析：因為由題設(shè)條件知，T1和T2分別服從自由度為m-1和χ2一1的χ2分布且相互獨立，所以T服從自由度為(m—1)+(n一1)=m+n—2的χ2分布．21、設(shè)總體X的概率密度為f(x；θ)=其中θ＞0為未知參數(shù)，又設(shè)x1，x2，…，xn是X的一組樣本值，則參數(shù)θ的最大似然估計值為______．標準答案：知識點解析：似然函數(shù)為L(x1，x2，…，xn；θ)=(0＜xi＜1，θ＞0，i=1，2，…，n)，取對數(shù)得三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)22、向半徑為r的圓內(nèi)隨機拋一點，求此點到圓心的距離X的分布函數(shù)F(x)，并求標準答案：如圖3—9所示，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=，0≤x≤r，所以知識點解析：暫無解析23、設(shè)隨機變量X的概率密度為求X的分布函數(shù)．標準答案：f(x)的圖形如圖3—10所示，則X的分布函數(shù)為F(x)=∫-∞xf(u)du知識點解析：暫無解析24、設(shè)隨機變量X的概率密度為求Y=eX的概率密度fY(y)．標準答案：用分布函數(shù)法．設(shè)Y的分布函數(shù)為FY(y)，則知識點解析：暫無解析25、假設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，求隨機變量Y=1一e-λX的概率密度fY(y)．標準答案：由題設(shè)條件知，X的概率密度與分布函數(shù)分別為所以當y≤0時，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤y}=P{1一e-λX≤y}=0，fY(y)=0；當0＜y＜1時，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤y}=P{1一e-λX≤y}fY(y)=1；當y≥1時，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤y}=P{1一e-λX≤y}=1，fY(y)=0．從而可得即隨機變量Y=1一e-λX服從區(qū)間(0，1)上的均勻分布．知識點解析：暫無解析26、設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)=F(x)是X的分布函數(shù)，求隨機變量Y=F(X)的分布函數(shù)．標準答案：對X的概率密度積分得X的分布函數(shù)設(shè)G(y)是Y=F(X)的分布函數(shù)．當y＜0時，G(y)=P{Y≤y}=P{F(X)≤y}=0；當y≥1時，G(y)=P{Y≤y}=P{F(X)≤y}=1；當0≤y＜1時，G(y)=P{Y≤y}=P{F(X)≤y}==P{X≤(y+1)3}=F[(y+1)3]=y，或G(y)=P{X≤(y+1)3}=于是，Y=F(X)的分布函數(shù)為即Y=F(X)服從區(qū)間[0，1]上的均勻分布．知識點解析：暫無解析27、設(shè)某地區(qū)一年內(nèi)發(fā)生有感地震的次數(shù)X和無感地震次數(shù)Y分別服從泊松分布P(λ1)和P(λ2)，λ1，λ2＞0，且X與Y相互獨立．(1)求一年內(nèi)共發(fā)生n(n≥0)次地震的概率；(2)求在一年內(nèi)發(fā)生了n次地震的條件下，有感次數(shù)X的條件概率分布．標準答案：實際上，X～P(λ1)，Y～P(λ2)，X，Y相互獨立，則X+Y～P(λ1+λ2)．(2)當0≤k≤n時，k=0，1，2，…，n．實際上，如果令則P{x=k|X+Y=n}=Cnkρk(1一ρ)n-k，即服從B(n，ρ)分布．知識點解析：暫無解析28、設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，概率密度分別為求隨機變量Z=2X+Y的概率密度fZ(z)．標準答案：本題可以按以下公式先算出Z的分布函數(shù)FZ(z)：FZ(z)=fX(x)fY(y)dxdy(其中Dz={(x，y)|2x+y≤z})，然后對FZ(z)求導(dǎo)算出fZ(z)，但較麻煩．記U=2X，則由隨機變量函數(shù)的概率密度計算公式得于是，Z=2X+Y=U+Y(其中U與Y相互獨立)的概率密度fZZ(z)=∫-∞+∞fU(u)fY(z一u)du．由于fU(u)fY(z一u)=即fU(u)fY(z一u)僅在Dz={(u，z)|0＜u＜2，z—u＞0}(如圖3一11的陰影部分)上取值在uOz平面的其他部分都取值為0，所以當z＜0時，fZ(z)=∫-∞+∞fU(u)fY(z—u)du=∫-∞+∞0du=0;當0≤z＜2時，fZ(z)=∫-∞+∞fU(u)fY(z—u)du=當z≥2時，fZ(z)=∫-∞+∞fU(u)fY(z-u)du=由此得到知識點解析：暫無解析29、設(shè)隨機變量(X，Y)的概率密度為求隨機變量Z=X—Y的概率密度fZ(z)．標準答案：記V=一Y，由于X，Y不是相互獨立的，所以(X，V)的概率密度不易計算．應(yīng)先計算Z的分布函數(shù)，再計算概率密度fZ(z)．記Z的分布函數(shù)為FZ(z)，則FZ(z)=P{Z≤z}=P{X—Y≤z}=其中Dz=((x，y)|x—y≤z}(直線x一y=z的上方部分)，由Dz與D={(x，y)|0＜x＜1，0＜y＜x}(如圖3—12的陰影部分)的相對位置可得：當z＜0時，Dz與D不相交，所以當0≤z＜1時，Dz∩D=四邊形OABC，由此得到知識點解析：暫無解析30、設(shè)二次方程x2—Xx+Y=0的兩個根相互獨立，且都在(0，2)上服從均勻分布，分別求X與Y的概率密度．標準答案：設(shè)二次方程的兩個根為X1，X2，則它們的概率密度都為f(x)=記X的概率密度為fX(x)，則由X=X1+X2得fX(x)=∫-∞+∞f(t)f(x-t)dt，其中f(t)f(x一t)=即f(t)f(x一t)僅在如圖3—13所示的帶陰影的平行四邊形中取值為在tOx平面的其余部分取值為0．因此，當x＜0或x＞4時，fX(x)=0；當0≤x＜2時，fX(x)=當2≤x≤4時，fX(x)=記Y的概率密度為fY(y)，則由Y=X1X2得在如圖3—14所示陰影部分中取值為在tOy平面的其余部分取值都為0．因此，當y≤0或y≥4時，fY(y)=0；當0＜y＜4時，知識點解析：暫無解析31、設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，都服從均勻分布U(0，1)．求Z=|X—Y|的概率密度及標準答案：U=X—Y的概率密度為fU(u)=∫-∞+∞fX(u+y)fY(y)dy=∫01fX(u+y)dy．當u≤一1或u≥1時，fU(u)=0；當一1＜u≤0時，fU(u)=∫01fX(u+y)dy=∫-u11dy=1+u；當0＜u＜1時，fU(u)=∫01fX(u+y)dy=∫01-u1dy=1一u．即所以，Z=|X—Y|=|U|的概率密度為fZ(z)=fU(z)+fU(一z)=從而知識點解析：暫無解析32、設(shè)隨機變量X1，X2，…，Xn相互獨立，且Xi服從參數(shù)為λi的指數(shù)分布，其概率密度為求P{X1=min{X1，X2，…，Xn}}．標準答案：P{X1=min{X1，X2，…，Xn})=P{X1≤min{X2，X3，…，Xn}}，記Y=min{X2，X3，…，Xn}，則有(X1，Y)的概率密度為f(x，y)=f1(x)fY(y)．知識點解析：暫無解析33、設(shè)隨機變量(X，Y)的概率密度為求Z=X2+Y2的概率密度fZ(z)．標準答案：設(shè)Z的分布函數(shù)為FZ(z)，則知識點解析：暫無解析34、設(shè)隨機變量(X，Y)的概率密度為求Z=X+2Y的分布函數(shù)FZ(z)．標準答案：概率密度非零區(qū)域與x+2y≤z的關(guān)系如圖3—15所示，知識點解析：暫無解析35、設(shè)隨機變量X服從幾何分布，其分布律為P{X=k}=(1一p)k-1，0＜p＜1，k=1，2，…，求EX與DX．標準答案：．其中q=1一p．所以DX=E(X2)一(EX)2=知識點解析：暫無解析36、在獨立的伯努利試驗中，若p為一次試驗中成功的概率．以X記為第r次成功出現(xiàn)時的試驗次數(shù)，則X是隨機變量，取值為r，r+1，…，稱為負二項分布，記為Nb(r，p)，其概率分布為：P{X=k}=Ck-1r-1pr(1-p)k-r，k=r，r+1，…．(1)記Y1表示首次成功的試驗次數(shù)，Y2表示第1次成功后到第2次成功為止共進行的試驗次數(shù)，證明X=Y1+Y2～Nb(2，p)；(2)設(shè)試驗成功的概率為，失敗的概率為，獨立重復(fù)試驗直到成功兩次為止，求試驗次數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差．標準答案：(1)Y1表示“首次成功的試驗次數(shù)”，則Y1服從參數(shù)為p的幾何分布，取值1，2，…，Y2表示“第1次成功后到第2次成功為止共進行的試驗次數(shù)”，則Y2也服從參數(shù)為p的幾何分布，取值為1，2，…，即Y1，Y2獨立同分布于P{Y1=k}=(1一p)p-1.p，k=1，2，…，則X=Y1+Y2為第2次成功出現(xiàn)時的試驗次數(shù)，取值為2，3，…，故=(k一1)p2(1一p)k-2=Ck-11p2(1一p)k-2，則X=Y1+Y2～Nb(2，p)．(2)令，Yi(i=1，2)服從參數(shù)為的幾何分布且相互獨立，重復(fù)試驗直到成功兩次為止的試驗次數(shù)X=Y1+Y2，所以EX=E(Y1+Y2)=EY1+EY2=DX=D(Y1+Y2)=DY1+DY2=知識點解析：暫無解析37、設(shè)(X，Y)的概率密度為求的數(shù)學(xué)期望．標準答案：知識點解析：暫無解析38、對三臺儀器進行檢驗，每臺儀器產(chǎn)生故障的概率分別為p1，p2，p3，各臺儀器是否產(chǎn)生故障相互獨立，求產(chǎn)生故障的儀器臺數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差．標準答案：設(shè)Xi=i=1，2，3．Xi的分布律如下：，i=1，2，3．于是EXi=pi，DXi=pi(1一pi)，i=1，2，3．故EX==p1+p2+p3，DX==p1(1一p1)+p2(1一p2)+p3(1一p3)．知識點解析：暫無解析39、設(shè)連續(xù)型隨機變量X的所有可能取值在區(qū)間[a，b]之內(nèi)，證明：(1)a≤EX≤b；(2)標準答案：(1)因為a≤X≤b，所以Ea≤EX≤Eb，即a≤EX≤b．(2)因為對于任意的常數(shù)C，有DX≤E[(X—C)2]，知識點解析：暫無解析40、一商店經(jīng)銷某種商品，每周進貨量X與顧客對該種商品的需求量Y是相互獨立的隨機變量，且都服從區(qū)間[10，20]上的均勻分布．商店每售出一單位商品可得利潤1000元；若需求量超過了進貨量，商店可從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，這時每單位商品獲利潤500元，試計算此商店經(jīng)銷該種商品每周所得利潤的期望值．標準答案：設(shè)T為一周內(nèi)所得利潤，則ET=E[g(X，Y)]=∫-∞+∞∫-∞+∞g(x，y)f(x，y)dxdy，其中知識點解析：暫無解析41、設(shè)X，Y，Z是三個兩兩不相關(guān)的隨機變量，數(shù)學(xué)期望全為零，方差都是1，求X—y和y—Z的相關(guān)系數(shù)．標準答案：Cov(X—Y，Y—Z)=Cov(X，Y)一Cov(X，Z)一Cov(Y，Y)+Cov(Y，Z)=一DY=一1，D(X—Y)=D(Y—Z)=2．所以X—Y與Y—Z的相關(guān)系數(shù)為知識點解析：暫無解析42、設(shè)二維隨機變量(X，y)的概率密度為求：(1)方差D(XY)；(2)協(xié)方差Cov(3X+Y，X一2Y)．標準答案：(1)D(XY)=E(X2Y2)一[E(XY)]2，(2)Cov(3X+Y，X一2Y)=3DX一5Cov(X，Y)一2DY=3DX一5E(XY)+5EXEY一2DY．(X，Y)關(guān)于X的邊緣概率密度同理可得，EY=EX，DY=DX．于是Cov(3X+Y，X一2Y)=知識點解析：暫無解析43、若隨機變量序列X1，X2，…，Xn滿足條件證明：{Xn}服從大數(shù)定律．標準答案：由切比雪夫不等式，對任意的ε＞0有所以對任意的ε＞0，故{Xn}服從大數(shù)定律．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、下列事件中與A互不相容的事件是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由于與任何一個事件A都相互不相容，即綜上分析，選項D正確。2、設(shè)當事件A與B同時發(fā)生時，事件C必發(fā)生，則()A、P(C)≤P(A)+P(B)一1B、P(C)≥P(A)+P(B)一1C、P(C)=P(AB)D、P(C)=P(A∪B)標準答案：B知識點解析：由題設(shè)條件可知CAB，于是根據(jù)概率的性質(zhì)、加法公式，有P(C)≥P(AB)=P(A)+P(B)一P(A∪B)≥P(A)+P(B)一1。故B正確。3、設(shè)A、B、C三個事件兩兩獨立，則A、B、C相互獨立的充分必要條件是()A、A與BC獨立B、AB與A∪C獨立C、AB與AC獨立D、A∪B與A∪C獨立標準答案：A知識點解析：經(jīng)觀察，即可知由選項A能夠推得所需條件。事實上，若A與BC獨立，則有P(ABC)=P(A)P(BC)。而由題設(shè)知P(BC)=P(B)P(C)。從而P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。故選A。4、假設(shè)F(x)是隨機變量X的分布函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是()A、如果F(a)=0，則對任意x≤0有F(x)=0B、如果F(a)=1，則對任意x≥n有F(x)=1C、如果F(a)=，則P{x≤a}=D、如果F(a)=，則P{X≥a}=標準答案：D知識點解析：由于F(x)是單調(diào)不減且0≤F(x)≤1，F(xiàn)(x)=P{X≤x}，因此選項A、B、C都成立，而選項D未必成立，因此選D。5、設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其分布函數(shù)為F(x)，則有()A、F(μ+x)+F(μ一x)=1B、F(x+μ)+r(x一μ)=1C、F(μ+x)+F(μ一x)=0D、F(x+μ)+F(x一μ)=0標準答案：A知識點解析：6、設(shè)隨機變量X和Y獨立同分布，已知P{X=k}=p(1一p)k—1，k=1，2，…，0＜p＜1，則P{X＞Y}的值為()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：根據(jù)對稱性得知故選項B正確。7、設(shè)隨機變量X1，X2，…，Xn(n＞1)獨立同分布，且其方差σ2＞0，令Y=則()A、Cov(X1，Y)=B、Cov(X1，Y)=σ2C、D(X1+Y)=σ2D、D(X1—Y)=σ2標準答案：A知識點解析：因為Cov(X1，Y)=Cov(X1，Cov(X1，X1)+Cov(X1，Xi)。而由X1，X2，…，Xn相互獨立，可得Cov(X1，Xi)=0，i=2，3，…，n。所以Coy(X1，Y)=Cov(X1，X1)=D(X1)=σ2，故選A。8、將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則X和Y的相關(guān)系數(shù)等于()A、一1B、0C、D、1標準答案：A知識點解析：根據(jù)題意，Y=n—X，故ρXY=一1。應(yīng)選A。一般來說，兩個隨機變量X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY滿足|ρXY|≤1。若Y=aX+b(a，b為常數(shù))，則當a＞0時，ρXY=1，當a＜0時，ρXY=一1。9、設(shè)隨機變量X1，X2，…，Xn相互獨立同分布，其密度函數(shù)為偶函數(shù)，且D(Xi)=1，i=1，2，…，n，則對任意ε＞0，根據(jù)切比雪夫不等式直接可得()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：由題意知E(Xi)=0，i=1，2，…，n。記根據(jù)切比雪夫不等式，有故選C。10、設(shè)總體X—N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn為取自總體X的簡單隨機樣本，一為樣本均值，S2為樣本方差，則()A、E(一S2)=μ2一σ2B、E(+S2)=μ2+σ2C、E(—S2)=μ一σ2D、E(—S2)=μ+σ2標準答案：C知識點解析：由X～N(μ，σ2)，得=μ，E(S2)=σ2，且和S2相互獨立。故E(—S2)=E()一E(S2)=μ一σ2。11、設(shè)X1，X2，…，Xn是取自正態(tài)總體N(μ，σ2)的簡單隨機樣本，其均值和方差分別為，S2，則可以作出服從自由度為n的χ2分布的隨機變量是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由于總體x—N(μ，σ2)，故各選項的第二項～χ2(n一1)，又與S2獨立，根據(jù)χ2分布可加性，僅需確定服從χ2(1)分布的隨機變量。因為～N(0，1)，～χ2(1)。故選D。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)12、設(shè)兩個相互獨立的事件A和B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，則P(A)=________。標準答案：知識點解析：由題設(shè)，有由于A和B相互獨立，所以A與與B也相互獨立，于是由，有即P(A)[1一P(B)]=[1一P(A)]P(B)，可得P(A)=P(B)。從而解得P(A)=。13、已知事件A、B僅發(fā)生一個的概率為0．3，且P(A)+P(B)=0．5，則A，B至少有一個不發(fā)生的概率為________。標準答案：0.9知識點解析：由題設(shè)互斥，所以=P(A)+P(B)一2P(AB)=0．3。P(A)+P(B)=0．5，于是解得P(AB)=0．1，所以所求的概率為=1一P(AB)=1—0．1=0．9。14、已知隨機變量Y服從[0，5]上的均勻分布，則關(guān)于x的一元二次方程4x2+4Yx+Y+2=0有實根的概率P=________。標準答案：知識點解析：已知所以所求的概率為p=P{方程有實根}=P{△≥0}=P{16Y2—16(Y+2)≥0}=P{16(Y一2)(Y+1)≥0}=P{(Y≥2)∪(Y≤一1)}=P{Y≥2}+P{Y≤一1}15、已知X的概率密度f(x)=，aX+b～N(0，1)(a＞0)，則常數(shù)A=________，a=________，b=________。標準答案：知識點解析：f(x)=，故X～N(一1，2)，所以16、已知(X，Y)的概率分布為且P{X+Y2=1}=0．5，則P{X2Y2=1}=________。標準答案：0.3知識點解析：由于0．1+0．2+α+β+0．1+0．2=0．6+α+β=1，即α+β=0．4，又0．5=P{X2+Y2=1}=P{X2=0，Y2=1}+P{X2=1，Y2=0}=P{X=0，Y=1}+P{X=0，Y=一1}+P{X=1，Y=0}=α+0．1+0．1。故α=0．3，β=0．1。那么P{X2Y2=1}=P{X2=1，Y2=1}=P{X=1，Y=1}+P{X=1，Y=一1}=0．2+β=0．3。17、設(shè)(X，Y)～N(μ，μ;σ2，σ2；0)，則P{X＜Y}=________。標準答案：知識點解析：因為(X，Y)～N(μ，μ；σ2，σ2；0)，所以X—l，～N(0，2σ2)，從而P{X＜Y}=P{X—Y＜0}=。18、某車間生產(chǎn)的圓盤其直徑服從區(qū)間(a，b)上的均勻分布，則圓盤面積的數(shù)學(xué)期望為________。標準答案：知識點解析：設(shè)圓盤直徑為X，其概率密度為設(shè)圓盤面積為Y，所以19、設(shè)隨機變量X1，X2，X3相互獨立，其中X1服從區(qū)間[0，6]上的均勻分布，X2服從正態(tài)分布N(0，22)，X3服從參數(shù)為3的泊松分布，則D(X1一2X2+3X3)=________。標準答案：46知識點解析：根據(jù)題設(shè)可知，D(X1)==3，D(X2)=22=4，D(X3)=3，于是D(X1—2X2+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+4×4+9×3=46。三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)20、甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭停泊，它們在一晝夜內(nèi)到達的時刻是等可能的。如果甲船的停泊時間是一小時，乙船的停泊時間是兩小時，求它們中的任何一艘都不需要等候碼頭空出的概率。標準答案：設(shè)甲、乙兩艘船到達的時間分別為x，y，并把(x，y)視為直角坐標系里的一個點的坐標，則x，y滿足條件0≤x≤24，0≤y≤24。所以總的基本事件數(shù)為坐標系中邊長為24的正方形的面積，如圖3—1—4所示。用事件A表示“兩艘船中任何一艘都不需要等候碼頭空出”，則x，y滿足不等式y(tǒng)一x≥1，x一y≥2。則上述不等式組表示的區(qū)域為圖中陰影部分的面積，即事件A的基本事件數(shù)。容易求得正方形面積為S=242，陰影部分面積為s=×222+×232，根據(jù)幾何概型，可得知識點解析：暫無解析21、設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)F(x)=求：(Ⅰ)A和B；(Ⅱ)X的概率密度f(x)。標準答案：(Ⅰ)因X是連續(xù)型隨機變量，所以分布函數(shù)F(x)連續(xù)，故F(一a一0)=F(一a)，且F(a+0)=F(a)，即A一=0，且A+=1，解得A=(Ⅱ)f(x)=F’(x)=知識點解析：暫無解析22、設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)=令隨機變量(Ⅰ)求Y的分布函數(shù)；(Ⅱ)求概率P{X≤Y}。標準答案：(Ⅰ)根據(jù)題意可知隨機變量Y的取值區(qū)間為[1，2]，Y的分布函數(shù)為F(y)=P{Y≤y}。當Y＜1時，F(xiàn)(y)=0；當y≥2時，F(xiàn)(y)=1；當1＜y＜2時，F(xiàn)(y)=P{Y≤y}=P{y≤1}+P{1＜Y≤y}=P{X≥2}+P{1＜X≤y}所以Y的分布函數(shù)為(Ⅱ)根據(jù)概率的性質(zhì)，可得P{X≤Y}=1一P{X＞Y}=1一P{X≥2}=1一知識點解析：暫無解析23、設(shè)某班車起點站上客人數(shù)X服從參數(shù)為λ(λ＞0)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p(0＜p＜1)，且中途下車與否相互獨立。Y為中途下車的人數(shù)，求：(Ⅰ)在發(fā)車時有n個乘客的條件下，中途有m人下車的概率；(Ⅱ)二維隨機變量(X，Y)的概率分布。標準答案：(Ⅰ)P{Y=m|X=n}=Cnmpm(1一p)n—m，0≤m≤n，n=0，1，2，…。(Ⅱ)P|X=n，Y=m}=P{X=n}P{Y=m|X=n}=e—λ．Cnmpm(1一P)n—m，0≤m≤n，n=0，1，2，…。知識點解析：暫無解析24、設(shè)二維隨機變量(X，Y)的概率密度為f(x，y)=(Ⅰ)計算兩個邊緣概率密度；(Ⅱ)求條件概率密度fY|X(y|x=2)；(Ⅲ)求條件概率P{Y≤1}X≤1}。標準答案：(Ⅰ)當x≤0時，fX(x)=0;當x＞0時，fX(x)=∫x+∞e—ydy=e—x，即當y≤0時，fY(y)=0；當y＞0時，fY(y)=∫0ye—ydx=ye—y，即(Ⅱ)fY|X(y|x=2)=(Ⅲ)X≤1，Y≤1所對應(yīng)的區(qū)域如圖3—3—3所示：知識點解析：暫無解析25、設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且都服從[0，1]上的均勻分布，試求：(Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u)；(Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(υ)。標準答案：根據(jù)X與Y相互獨立且密度函數(shù)已知，因此可以用兩種方法：分布函數(shù)法和公式法求出U、V的概率密度。(Ⅰ)分布函數(shù)法。根據(jù)題設(shè)知(X，Y)聯(lián)合概率密度f(x，y)=fX(x)fY(y)=所以U=XY的分布函數(shù)為(如圖3—3—9所示)FU(u)=P{XY≤u}=(1)當u≤0時，F(xiàn)U(u)=0；當u≥1時，F(xiàn)U(u)=1；(2)當0＜u＜1時，F(xiàn)U(u)=∫0udx∫01dy+∫u1dxdy=u+∫u1dx=u—ulnu。綜上得(Ⅱ)公式法。設(shè)Z=X—Y=X+(一Y)。其中X與(一Y)獨立，概率密度分別為根據(jù)卷積公式得Z的概率密度fZ(z)=∫—∞+∞fX(z—y)f—Y(y)dy=∫—10fX(z—y)dyV=|X—Y|=|Z|的分布函數(shù)為FV(υ)=P{|Z|≤υ}，可得當υ≤0時，F(xiàn)V(υ)=0；當υ＞0時，F(xiàn)V(υ)=P{一υ≤Z≤υ}=∫—υufZ(z)dz。由此知，當0＜υ＜1時，F(xiàn)V(υ)=∫—υ0(z+1)dz+∫0ufZ(1一z)dz=2υ一υ2；當υ≥1時，F(xiàn)V(υ)=∫—υ—1fZ0dz+∫—10fZ(z+1)dz+∫01(1一z)dz+∫100dz=lFV(υ)=∫—υ—10dz+∫—10(z+1)dz+∫01(一z)dz+∫1υ0dz=1。綜上可得知識點解析：暫無解析26、某箱裝有100件產(chǎn)品，其中一、二和三等品分別為80、10和10件，現(xiàn)在從中隨機抽取一件，記試求：(Ⅰ)隨機變量X1與X2的聯(lián)合分布；(Ⅱ)隨機變量X1和X2的相關(guān)系數(shù)ρ。標準答案：(Ⅰ)(X1，X2)是二維離散型隨機變量，其可能的取值為(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)。當(X1，X2)=(0，0)時，說明隨機抽取的一件不是一等品，也不是二等品，則必為三等品，故F{X1=0，X2=0}=P{X3=1}=0．1。類似地P{X1=0，X2=1}=P{X2=1}=0．1，P{X1=1，X2=0}=P{X1=1}=0．8，P{X1=1，X2=1}==0，故X1與X2的聯(lián)合分布：(Ⅱ)由(Ⅰ)知，X1和X2的邊緣分布均為0—1分布。由0—1分布的期望和方差公式得E(X1)=P{X1=1}=0．8，D(X1)=P{X1=1}P{X1=0}=0．8×0．2=0．16，E(X2)=P{X2=1}=0．1，D(X2)=P{X2=1}P{X2=0}=0．1×0．9=0．09，E(X1X2)=0×0×0．1+0×1×0．1+1×0×0．8+1×1×0=0，Cov(X1，X2)=E(X1X2)一E(X1)E(X2)=一0．08，則相關(guān)系數(shù)知識點解析：暫無解析27、設(shè)總體X～N(0，σ2)，參數(shù)σ＞0未知，X1，X2，…，Xn是取自總體X的簡單隨機樣本(n＞1)，令估計量標準答案：(Ⅰ)因為X1，X2，…，Xn相互獨立且與總體X同分布，所以E(Xi)=0，D(Xi)=σ2，E(Xi2)=σ2，(Ⅱ)根據(jù)抽樣分布有關(guān)結(jié)論知再由χ2分布隨機變量的方差公式有：Y～χ2(n)，則D(Y)=2n。所以知識點解析：暫無解析28、設(shè)隨機變量X與Y相互獨立且分別服從正態(tài)分布N(μ，σ2)與N(μ，2σ2))，其中σ是未知參數(shù)且σ＞0，設(shè)Z=X一Y。(Ⅰ)求Z的概率密度f(z；σ2)；(Ⅱ)設(shè)Z1，Z2，…，Zn為來自總體Z的簡單隨機樣本，求σ2的最大似然估計量標準答案：(Ⅰ)因為X～N(μ，σ2)，Y～N(μ，2σ2)，且X與Y相互獨立，故Z=X—Y～N(0，3σ2)。所以，Z的概率密度為解得最大似然估計值為，最大似然估計量為知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，令p＝P(X≤μ－4)，q＝P(Y≥μ＋5)，則()．A、P＞qB、P＜qC、p＝qD、p，q的大小由μ的取值確定標準答案：C知識點解析：由p＝P(X≤μ－4)＝P(X－μ≤－4)＝P，q＝P(Y≥μ＋5)＝P(Y－μ≥5)＝P，得p＝q，選(C)．2、設(shè)X為隨機變量，E(X)＝μ，D(X)＝σ2，則對任意常數(shù)C有()．A、E[(X－C)]2＝E[(X－μ)]2B、E[(X－C)]2≥E[(X－μ)]2C、E[(X—C)]2＝E(X2)－C2D、E[(X—C)2]＜E[(X－μ)2]標準答案：B知識點解析：E[(X～C)2]一E[(X－μ)2]＝[E(X2)一2CE(X)＋C2]－[E(X2)－2μE(X)＋μ2]＝C2＋2E(X)[E(X)－C]－[E(X)]2＝[C－E(X)]2≥0，選(B)．3、設(shè)X，Y都服從標準正態(tài)分布，則()．A、X＋Y服從正態(tài)分布B、X2×Y2服從χ2分布C、X2，Y2都服從χ2分布D、X2／Y2服從F分布標準答案：C知識點解析：因為X，Y不一定相互獨立，所以X＋Y不一定服從正態(tài)分布，同理(B)，(D)也不對，選(C)．4、設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)，且f(x)為偶函數(shù)，X的分布函數(shù)為F(x)，則對任意實數(shù)a，有()．A、F(－a)＝1－∫0af(x)dxB、F(－a)＝－∫0af(x)dxC、F(－a)＝F(a)D、F(－a)＝2F(a)－1標準答案：B知識點解析：F(－a)＝∫－∞－af(x)dx∫a＋∞f(－t)dt＝∫a＋∞f(t)dt＝1－∫－∞af(t)dt＝1－(∫－∞－af(t)dt＋∫－aaf(t)dt)＝1－F(－a)－2∫0af(t)dt則F(－a)＝－∫0af(x)dx，選(B)．5、設(shè)X和Y分別表示扔n次硬幣出現(xiàn)正面和反面的次數(shù)，則X，Y的相關(guān)系數(shù)為()．A、－1B、0C、D、1標準答案：A知識點解析：設(shè)正面出現(xiàn)的概率為P，則X～B(n，p)，Y＝n—X～B(n，1－p)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，E(Y)＝n(1－p)，D(Y)＝np(1－p)，Coy(X，Y)＝Cov(X，n－X)＝Cov(X，n)＝Cov(X，X)，因為Cov(X，n)＝E(nX)－E(n)E(X)＝nE(X)－nE(X)＝0，Cov(X，X)＝D(X)＝np(1－p)，所以ρXY＝＝－1，選(A)．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)6、設(shè)事件A，B相互獨立，P(A)＝0．3，且P(A＋)＝0．7，則P(B)＝______．標準答案：知識點解析：7、設(shè)隨機變量X～N(μ，σ2)，且方程x2＋4x＋X＝0無實根的概率為，則μ＝______．標準答案：4知識點解析：因為方程x2＋4x＋X＝0無實根，所以16－4X＜0，即X＞4．由X～N(μ，σ2)且P(X＞4)＝，得μ＝4．8、設(shè)X～P(1)，Y～P(2)，且X，Y相互獨立，則P(X＋Y＝2)＝______．標準答案：知識點解析：P(X＋Y＝2)＝P(X＝0，Y＝2)＋P(X＝1，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)，由X，Y相互獨立得P(X＋Y＝2)＝P(X＝0)P(Y＝2)＋P(X＝1)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)9、設(shè)隨機變量X1，X2，X3相互獨立，且X1～U[0，6]，X2～N(0，23)，X3～P(3)，記Y＝X1－2X2＋3X3，則D(Y)＝______．標準答案：46知識點解析：由D(X1)＝＝3，D(X2)＝4，D(X3)＝3得D(Y)＝D(X1－2X2＋3X3)＝D(X1)＋4D(X2)＋9D(X3)＝3＋16＋27＝46．10、設(shè)隨機變量X方差為2，則根據(jù)切比雪夫不等式有估計P{｜X－E(X)｜≥2}≤______．標準答案：知識點解析：P{｜X－E(X)｜≥2}≤．11、設(shè)X為總體，(X1，X2，…，Xn)為來自總體X的樣本，且總體的方差DX＝σ2，令S02＝，則E(S02)＝______．標準答案：σ2知識點解析：E(S02)＝σ2．12、三次獨立試驗中A發(fā)生的概率不變，若A至少發(fā)生一次的概率為，則一次試驗中A發(fā)生的概率為______．標準答案：知識點解析：設(shè)一次試驗中A發(fā)生的概率為p，B＝{三次試驗中A至少發(fā)生一次}，則P(B)＝，又P(B)＝1－＝1－(1－p)3，所以有1－(1－P)3＝解得p＝，即第一次試驗中A發(fā)生的概率為．13、設(shè)隨機變量X與Y的相關(guān)系數(shù)為，且E(X)＝0，E(Y)＝1，E(X2)＝4，E(Y2)＝10，則E(X＋Y)2＝______．標準答案：18知識點解析：D(X)＝E(X2)＝[E(X)]2＝4，D(Y)＝E(Y2)－[E(Y)]2＝9，Cov(X，Y)＝ρXY＝2，D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)＋2Cov(X，Y)＝4＋9＋4＝17，則E(X＋Y)2＝D(X＋Y)＋[E(X＋Y)]2＝17＋1＝18．14、設(shè)X～N(1，σ2)，Y～N(2，σ2)為兩個相互獨立的總體，X1，X2，…，Xm與Y1，Y2，…，Yn分別為來自兩個總體的簡單樣本，服從______分布．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)15、一批產(chǎn)品有10個正品2個次品，任意抽取兩次，每次取一個，抽取后不放回，求第二次抽取次品的概率．標準答案：令A(yù)1＝{第一次抽取正品}，A2＝{第一次抽取次品}，B＝{第二次抽取次品}，由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B｜A1)＋P(A2)P(B｜A2)＝知識點解析：暫無解析16、設(shè)X～N(0，1)，Y＝X2，求Y的概率密度函數(shù)．標準答案：FY(y)＝P(Y≤y)＝P(X2