2024-2025學(xué)年四川省西昌市川興中學(xué)高三2月七校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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2024-2025學(xué)年四川省西昌市川興中學(xué)高三2月七校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在關(guān)于的不等式中,“”是“恒成立”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.若,,,點(diǎn)C在AB上,且,設(shè),則的值為()A. B. C. D.3.已知向量,則()A.∥ B.⊥ C.∥() D.⊥()4.若,則的虛部是()A. B. C. D.5.已知拋物線:,點(diǎn)為上一點(diǎn),過點(diǎn)作軸于點(diǎn),又知點(diǎn),則的最小值為()A. B. C.3 D.56.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,則()A. B.C. D.7.設(shè),,分別是中,,所對(duì)邊的邊長,則直線與的位置關(guān)系是()A.平行 B.重合C.垂直 D.相交但不垂直8.設(shè),分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),過的直線交橢圓于,兩點(diǎn),且,,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.9.下列函數(shù)中,在定義域上單調(diào)遞增,且值域?yàn)榈氖牵ǎ〢. B. C. D.10.年某省將實(shí)行“”的新高考模式,即語文、數(shù)學(xué)、英語三科必選,物理、歷史二選一,化學(xué)、生物、政治、地理四選二,若甲同學(xué)選科沒有偏好,且不受其他因素影響,則甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率為A. B. C. D.11.如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E為AD的中點(diǎn),若,則λ+μ的值為()A. B. C. D.12.已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60°,則雙曲線C的方程不可能為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某學(xué)習(xí)小組有名男生和名女生.若從中隨機(jī)選出名同學(xué)代表該小組參加知識(shí)競(jìng)賽,則選出的名同學(xué)中恰好名男生名女生的概率為___________.14.已知為橢圓內(nèi)一定點(diǎn),經(jīng)過引一條弦,使此弦被點(diǎn)平分,則此弦所在的直線方程為________________.15.已知直線與圓心為的圓相交于兩點(diǎn),且,則實(shí)數(shù)的值為_________.16.在棱長為的正方體中,是面對(duì)角線上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn).以下四個(gè)命題:①存在兩點(diǎn),使;②存在兩點(diǎn),使與直線都成的角;③若,則四面體的體積一定是定值;④若,則四面體在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值.其中為真命題的是____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,且,,,,是棱的中點(diǎn).(1)證明:;(2)求二面角的余弦值.18.(12分)中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《數(shù)書九章》中,將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的陽馬中,底面ABCD是矩形.平面,,,以的中點(diǎn)O為球心,AC為直徑的球面交PD于M(異于點(diǎn)D),交PC于N(異于點(diǎn)C).(1)證明:平面,并判斷四面體MCDA是否是鱉臑,若是,寫出它每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,請(qǐng)說明理由;(2)求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊.已知a=3,,且B=60°.(1)求△ABC的面積;(2)若D,E是BC邊上的三等分點(diǎn),求.20.(12分)如圖,在正三棱柱中,,,分別為,的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求平面與平面所成二面角銳角的余弦值.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2是圓心為(2,),半徑為1的圓.(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)M為曲線C1上的點(diǎn),N為曲線C2上的點(diǎn),求|MN|的取值范圍.22.(10分)設(shè)函數(shù),.(1)解不等式;(2)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】

討論當(dāng)時(shí),是否恒成立;討論當(dāng)恒成立時(shí),是否成立,即可選出正確答案.【詳解】解:當(dāng)時(shí),,由開口向上,則恒成立;當(dāng)恒成立時(shí),若,則不恒成立,不符合題意,若時(shí),要使得恒成立,則,即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.本題考查了命題的關(guān)系,考查了不等式恒成立問題.對(duì)于探究?jī)蓚€(gè)命題的關(guān)系時(shí),一般分成兩步,若,則推出是的充分條件;若,則推出是的必要條件.2.B【解析】

利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可算出.【詳解】解:,,又在上,故選:本題主要考查了向量的基本運(yùn)算的應(yīng)用,向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用.3.D【解析】

由題意利用兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則,兩個(gè)向量平行、垂直的性質(zhì),得出結(jié)論.【詳解】∵向量(1,﹣2),(3,﹣1),∴和的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)不成比例,故、不平行,故排除A;顯然,?3+2≠0,故、不垂直,故排除B;∴(﹣2,﹣1),顯然,和的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)不成比例,故和不平行,故排除C;∴?()=﹣2+2=0,故⊥(),故D正確,故選:D.本題主要考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算,兩個(gè)向量平行、垂直的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.4.D【解析】

通過復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解復(fù)數(shù)為:的形式,即可得到復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由題可知,所以的虛部是1.故選:D.本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算,復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.5.C【解析】

由,再運(yùn)用三點(diǎn)共線時(shí)和最小,即可求解.【詳解】.故選:C本題考查拋物線的定義,合理轉(zhuǎn)化是本題的關(guān)鍵,注意拋物線的性質(zhì)的靈活運(yùn)用,屬于中檔題.6.C【解析】

根據(jù)題意,由函數(shù)的奇偶性可得,,又由,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),則,,有,又由在上單調(diào)遞增,則有,故選C.本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,注意函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】試題分析:由已知直線的斜率為,直線的斜率為,又由正弦定理得,故,兩直線垂直考點(diǎn):直線與直線的位置關(guān)系8.C【解析】

根據(jù)表示出線段長度,由勾股定理,解出每條線段的長度,再由勾股定理構(gòu)造出關(guān)系,求出離心率.【詳解】設(shè),則由橢圓的定義,可以得到,在中,有,解得在中,有整理得,故選C項(xiàng).本題考查幾何法求橢圓離心率,是求橢圓離心率的一個(gè)常用方法,通過幾何關(guān)系,構(gòu)造出關(guān)系,得到離心率.屬于中檔題.9.B【解析】

分別作出各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象觀察可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于,圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯(cuò)誤;對(duì)于,的圖象如下圖所示:則在定義域上單調(diào)遞增,且值域?yàn)?,正確;對(duì)于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)單調(diào)遞增,但值域?yàn)?,錯(cuò)誤;對(duì)于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯(cuò)誤.故選:.本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問題,屬于基礎(chǔ)題.10.B【解析】

甲同學(xué)所有的選擇方案共有種,甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)后,只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可,共有種選擇方案,根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式,可得甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率,故選B.11.B【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示,利用,列出方程組求解即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則D(0,0).不妨設(shè)AB=1,則CD=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),解得則.故選:B本題主要考查了由平面向量線性運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù),屬于中檔題.12.C【解析】

判斷出已知條件中雙曲線的漸近線方程,求得四個(gè)選項(xiàng)中雙曲線的漸近線方程,由此確定選項(xiàng).【詳解】?jī)蓷l漸近線的夾角轉(zhuǎn)化為雙曲漸近線與軸的夾角時(shí)要分為兩種情況.依題意,雙曲漸近線與軸的夾角為30°或60°,雙曲線的漸近線方程為或.A選項(xiàng)漸近線為,B選項(xiàng)漸近線為,C選項(xiàng)漸近線為,D選項(xiàng)漸近線為.所以雙曲線的方程不可能為.故選:C本小題主要考查雙曲線的漸近線方程,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

從7人中選出2人則總數(shù)有,符合條件數(shù)有,后者除以前者即得結(jié)果【詳解】從7人中隨機(jī)選出2人的總數(shù)有,則記選出的名同學(xué)中恰好名男生名女生的概率為事件,∴故答案為:組合數(shù)與概率的基本運(yùn)用,熟悉組合數(shù)公式14.【解析】

設(shè)弦所在的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率,進(jìn)而可求得直線的點(diǎn)斜式方程,化為一般式即可.【詳解】設(shè)弦所在的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),由于點(diǎn)為弦的中點(diǎn),則,得,由題意得,兩式相減得,所以,直線的斜率為,所以,弦所在的直線方程為,即.故答案為:.本題考查利用弦的中點(diǎn)求弦所在直線的方程,一般利用點(diǎn)差法,也可以利用韋達(dá)定理設(shè)而不求法來解答,考查計(jì)算能力,屬于中等題.15.0或6【解析】

計(jì)算得到圓心,半徑,根據(jù)得到,利用圓心到直線的距離公式解得答案.【詳解】,即,圓心,半徑.,故圓心到直線的距離為,即,故或.故答案為:或.本題考查了根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求參數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力。16.①③④【解析】

對(duì)于①中,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合,與點(diǎn)重合時(shí),可判斷①正確;當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)重合,與直線所成的角最小為,可判定②不正確;根據(jù)平面將四面體可分成兩個(gè)底面均為平面,高之和為的棱錐,可判定③正確;四面體在上下兩個(gè)底面和在四個(gè)側(cè)面上的投影,均為定值,可判定④正確.【詳解】對(duì)于①中,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合,與點(diǎn)重合時(shí),,所以①正確;對(duì)于②中,當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)重合,與直線所成的角最小,此時(shí)兩異面直線的夾角為,所以②不正確;對(duì)于③中,設(shè)平面兩條對(duì)角線交點(diǎn)為,可得平面,平面將四面體可分成兩個(gè)底面均為平面,高之和為的棱錐,所以四面體的體積一定是定值,所以③正確;對(duì)于④中,四面體在上下兩個(gè)底面上的投影是對(duì)角線互相垂直且對(duì)角線長度均為1的四邊形,其面積為定義,四面體在四個(gè)側(cè)面上的投影,均為上底為,下底和高均為1的梯形,其面積為定值,故四面體在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值,所以④正確.故答案為:①③④.本題主要考查了以空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征為載體的謎題的真假判定及應(yīng)用,其中解答中涉及到棱柱的集合特征,異面直線的關(guān)系和椎體的體積,以及投影的綜合應(yīng)用,著重考查了推理與論證能力,屬于中檔試題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)詳見解析;(2).【解析】

(1)根據(jù)平面,四邊形是矩形,由為中點(diǎn),且,利用平面幾何知識(shí),可得,又平面,所以,根據(jù)線面垂直的判定定理可有平面,從而得證.(2)分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,得到,,,,分別求得平和平面的法向量,代入二面角向量公式求解.【詳解】(1)證明:∵平面,∴四邊形是矩形,∵為中點(diǎn),且,∴,∵,,,∴.∴,∵,∴與相似,∴,∴,∴,∵,∴平面,∴平面,∵平面,∴,∴平面,∴.(2)如圖,分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè)平面的法向量為,則,,解得:,同理,平面的法向量,設(shè)二面角的大小為,則.即二面角的余弦值為.本題主要考查線線垂直、線面垂直的轉(zhuǎn)化以及二面角的求法,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和推理論證、運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.18.(1)證明見解析,是,,,,;(2)【解析】

(1)根據(jù)是球的直徑,則,又平面,得到,再由線面垂直的判定定理得到平面,,進(jìn)而得到,再利用線面垂直的判定定理得到平面.(2)以A為原點(diǎn),,,所在直線為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè),由,解得,得到,從而得到,然后求得平面的一個(gè)法向量,代入公式求解.【詳解】(1)因?yàn)槭乔虻闹睆?,則,又平面,∴,.∴平面,∴,∴平面.根據(jù)證明可知,四面體是鱉臑.它的每個(gè)面的直角分別是,,,.(2)如圖,以A為原點(diǎn),,,所在直線為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系,則,,,,.M為中點(diǎn),從而.所以,設(shè),則.由,得.由得,即.所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為.由.取,,,得到.記與平面所成角為θ,則.所以直線與平面所成的角的正弦值為.本題主要考查線面垂直的判定定理和線面角的向量求法,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.19.(1);(2)【解析】

(1)根據(jù)正弦定理,可得△ABC為直角三角形,然后可計(jì)算b,可得結(jié)果.(2)計(jì)算,然后根據(jù)余弦定理,可得,利用平方關(guān)系,可得結(jié)果.【詳解】(1)△ABC中,由csinC=asinA+bsinB,利用正弦定理得c2=a2+b2,所以△ABC是直角三角形.又a=3,B=60°,所以;所以△ABC的面積為.(2)設(shè)D靠近點(diǎn)B,則BD=DE=EC=1.,所以所以.本題考查正弦定理的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.20.(1)證明見詳解;(2).【解析】

(1)取中點(diǎn)為,通過證明//,進(jìn)而證明線面平行;(2)取中點(diǎn)為,以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,求得兩個(gè)平面的法向量,用向量法解得二面角的大小.【詳解】(1)證明:取的中點(diǎn),連結(jié),,如下圖所示:在中,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),,且,又為的中點(diǎn),,,且,,且,四邊形為平行四邊形,又平面,平面,平面,即證.(2)取中點(diǎn),連結(jié),,則,平面,以為

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