重難點(diǎn)08 空間平行與垂直的十大題型-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末復(fù)習(xí)【重點(diǎn)·難點(diǎn)】（解析版）

重難點(diǎn)08空間平行與垂直的十大題型匯總

期末題型解讀

題型1線面平行的判定題型6線面垂直的判定

題型2線面平行的性質(zhì)題型7線面垂直證明線線平行

空間平行與垂直的

題型3面面平行的判定十大題型匯總題型8線面垂直證明線線垂直

題型4面面平行證明線線平行題型9面面垂直的判定

題型5面面平行證明線面平行題型10面面垂直的性質(zhì)

滿分技巧

技巧一.證明線面平行的方法：

(1)線面平行的判定定理

(2)面面平行的性質(zhì)定理-若兩平面平行，則一平面內(nèi)的任一直線與另一面平行

(3)定義法-線面無(wú)公共點(diǎn)

技巧二.證明面面平行的方法：

(1)面面平行的判定定理L若一平面內(nèi)的兩相交直線都平行于另一平面，則兩平面平行

(2)面面平行的判定定理2-垂直于同一直線的兩平面平行

(3)面面平行的判定定理3-同時(shí)與第三個(gè)平面平行的兩平面平行

技巧三.證明線線平行的方法

(1)線面平行的性質(zhì)定理

(2)面面平行的性質(zhì)定理-若一平面與兩平行平面同時(shí)相交，則兩交線平行

(3)線面垂直的性質(zhì)定理-同時(shí)與一平面垂直的兩直線平行

(4)公理4-平行于同一直線的兩直線平行

(5)定義-兩線共面且無(wú)公共點(diǎn)

技巧四證明線面垂直的方法

(1)線面垂直的判定定理-直線與平面內(nèi)的兩相交直線垂直

(2)面面垂直的性質(zhì)-若兩平面垂直，則在一面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一平面

(3)線面垂直的性質(zhì)-兩平行線中有一條與平面垂直，則另一條也與平面垂直

(4)面面平行的性質(zhì)-一條直線垂直于二平行平面之一，則必垂直于另一平面

(5)定義法一直線與平面內(nèi)任一直線垂直

題型1線面平行的判定

【例題1](2021春?陜西漢中?高一校考期末)如圖，正四棱錐。一口口口0m口口=2，口□=3，□口c

口口=口,皿側(cè)棱勺中點(diǎn).

(1)求證：tJUU鈣口□□;

(2)求三棱錐口-S2勺體積.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

【分析】（I）由中位線的性質(zhì)可得出OO//OO,再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；

（2）計(jì)算出點(diǎn)比！I底面的距離以及△勺面積，再利用錐體的體積公式可求得三棱錐

3世畫只.

【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅巍?000為正方形，口口門口□=口'則%05勺中點(diǎn)，

因?yàn)镽006勺中點(diǎn)，她□□〃口口，

又因?yàn)镺DC平面口口匚.,所以，D。/平面口￡70.

（2）解：在正四棱錐￡7-口口口小,力底面勺中心，則OO_L底面口￡70。，

因?yàn)榘嘀悬c(diǎn)，則點(diǎn)■!）平面OOOOM距離為/=三口口=1,

19

0032

111--X=-

=2□□口=2X2x44

193

此I

力

因X

==-XX-=-

3-34-4

【變式1-1]（2022春四JI修帛陽(yáng)?高一?？计谀┤鐖D，正方體口□□□一口口】□[。，邊長(zhǎng)為2,口、儂

別為O&,Z7&中點(diǎn).

⑴求證：□□”?□□□□；

（2）求異面直線￡7。與&&所成角的大小.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

(2)45°

【分析】（I）連接OO,盛結(jié)合判定定理即可證明；

（2）根據(jù)題意，是兩異面直線?？谂c&&所成角或其補(bǔ)角，再求解即可.

【詳解】（1）證明：連接

?:口、0分別為。&、口口、中點(diǎn)、，

又r/J/JC平面￡7￡7￡7Z7,UEJu平面□□□□,

LJU//平面□口口口.

（2、解：?：□□“口□,□回〃口口,

是兩異面直線。。與&&所成角或其補(bǔ)角,

???△是等腰直角三角形，

:.乙口□□=45°,

???兩異面直線口。與&&所成角的大小為45°.

【變式1-2】（2022秋?陜西漢中?高一校聯(lián)考期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體OOOO-U.44口,中，

點(diǎn)、口6秒為棱口口1,O4的中點(diǎn)

(1)求證:0ali平面￡700;

（2）求三棱錐OOO的體積.

【答案】Q）證明見(jiàn)解析

（2）|

【分析】（1）首先根據(jù)題意得到四邊形。為平行四邊形，從而得到sII,再根據(jù)線面平行

的判定即可證明.

（2）根據(jù)口〃_￡7￡7￡7=。￡7=￡7￡7￡7求解即可.

【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)口,儂別為棱口&,。4的中點(diǎn)，且口&II,

所以口口1iiuu,且口□、=,即四邊形。。&%平行四邊形.

所以口□“

因?yàn)閆Z7ZZ71，平面￡7/Z7ZZ7,□□u平■向□□口,ZZ7/Z71|□,

所以oaii平面。oa

（2）因?yàn)镺O是三棱錐。一的底面ooat的高，

又三角形。。F勺面積為gX2X1=1,

12

=□□-□□□=§x1x2=§.

【變式1-3]（2022春福建福州?高一?？计谀┤鐖D正三棱柱dJ4中，□口=2‘□□[=V2,

N為AB的中點(diǎn).

Q）求證：口口1II平面〃&〃；

⑵求A到平面Z70勺距離.

【答案】Q）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）作輔助線，利用線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；

（2）求得三棱錐口-OOO0勺體積，根據(jù)=□□「□□□，求得答案.

【詳解】（1）連接交&萬(wàn)點(diǎn)。超妾□口,

在正三棱柱。。。-4&&中四邊形&為平行四邊形，

故0為O&的中點(diǎn)，又N為AB的中點(diǎn)，聃

又□□U平面0平面,

所以O(shè)&II平面0a。；

（2）設(shè)點(diǎn)A到平面O4￡題距離為d,

在正三棱柱。。。一口、口、口內(nèi)口口\，平面Z7〃a

則口&為三棱推&一□□口高,試口口一口口口=1?口人□□□?,

因?yàn)閛ou平面所以1口□,則=、□仃+口民=V3,

又□□、□□口，口□U鈣□口口故□□11口□,

又ZZ7/Z7J.□□□n□=□,□u平面ZZZZZZZZZi□[,

所以。平面〃□□、u平面口口口口],所以〃口口%

正三棱柱。。。一口1口1口1中，口口=2,奧\口口=足,

故4s4=gxV3xV3=|,=^XV3x1=y,

xx

故由ZZ7o_￡7&￡7=一□□□i可得:?□,|=^yV2z解得ZZ7=y,

故A到平面Z74。的距離為當(dāng)

【變式1-4]（2010春?湖北孝感?高一統(tǒng)考期末）如圖所示,在正方體￡700。-5口1&&中，點(diǎn)N

在BD上，點(diǎn)M在□□上,且□□=口□,求證：□□“鈣口□□、口.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】方法一:作Z7O/。。，易證四邊形。。。。為平行四邊形，從而得到。。/?！?,即可得證.

方法二：連接CN并延長(zhǎng)交BA所在直線于點(diǎn)P,連接&C,從而可證OO//&C,結(jié)論即可得證.

【詳解】證明證法一：如圖所示，作口臥□口,交O4于點(diǎn)"忤□□[]□□，交AB于點(diǎn)F,連接EF,

:玄N京梅nnnri-&a&中，&。=□口,口口=□口,

□=□□.

.DU_aa_aa

''~ca~~aa~'

又口口11口口11口口11口口,

???四邊形OODO為平行四邊形，，口。/。。.

□a平?面□□□[□、,□□□□□、□、,

平面□□□[□].

證法二：如圖所示，連接CN并延長(zhǎng)交BA所在直線于點(diǎn)P,連接&D,

則&0<=平面。。&￡71.易知△□□□一△□□□,

.UP_DD

"''aa~~aa'

又口口=口□,□]□=□□,：.口、□=口口,

□□_an_an

:?口口11口1口.

=~5D=~DD

?：□□,a/7u平面oz7a4,

:.□□II平面。ZZ7ZZZ|□、.

【變式1-5]（2022春?吉林長(zhǎng)春?高一長(zhǎng)春市第五中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知四棱錐。-OZ7Z7G）底面

是直角梯形，□□1□□,□□1,□□1□□,□□=口口=2口口=2口口=4.

D

p

（1）若％側(cè)棱口中］中點(diǎn)，求證：□□”強(qiáng)□□□;

⑵求三棱錐。-0s勺體積.

【答案】Q）證明見(jiàn)解析

⑵竽

【分析】（I）取口。的中點(diǎn)〃，通過(guò)叩/。。，即可證明口3/平面ODD；

（2）利用等積法，即□□_□□□=so求解即可

【詳解】（1）取。中］中點(diǎn)口,連接口□,口□,

在仆auD^,□□“□□,□□=；□□

在梯形orzoB,□□“□□*□□=；□□

???四邊形。。是平行四邊形，

而U［Ju平面□□□,淬苴□□□,

：./平面□□□;

D

p

（2）：□□工,口口工,而口口門口口=a

：.□口i平面□口□□,

即oo為三棱錐。一口。中）高，

因?yàn)椤?/Z7_L口口,口口=2口口=4,

所以00=273,

又□*□□口~|口口，□□=；x4x2V3=4V3,

所以j□□=gx4V3x2=苧

題型2線面平行的性質(zhì)

【例題2]（2022秋?陜西寶雞?高一統(tǒng)考期末）如圖所示，在四棱錐。-□□口口,□□”命□□□,

200=CD,腹。中中點(diǎn).

（1）求證：口□;

（2）求證：口口//南口口口.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）本題可通過(guò)線面平行的性質(zhì)證得。?！?。；

（2沐題可取OO的中點(diǎn)O,連接口口、口口然后根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得出口□=□□,

再然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，最后根據(jù)線面平行的判定即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)殁}口口口,口Ou平面睜口口□□□林□□口=口口,

而以

（2）如圖，取的中點(diǎn)Z7,連接￡70、口□,

因?yàn)閍是。。的中點(diǎn)，所以

皿,□□=；□□，即以□□//□□,□□=,

則四邊形ooaa是平行四邊形，

因?yàn)樵u(píng)面OZ7O,□□《平面□□□,

所以平畫□□□.

【變式2-1]（2021春?江蘇南京?高一南京市中華中學(xué)校考期末）如圖，在棱長(zhǎng)都為2的正三棱柱。OO-

□Rid中，點(diǎn)。為口中）中點(diǎn)，點(diǎn)a為a&的中點(diǎn)，平面aaan平面□□□1=u.

（1）求直線與平面口。aa所成角的正弦值；

（2）求證：a

【答案】（1）白；（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）首先證明平面Z7Z7&4,說(shuō)明N/7&O是直線Z74與平面&所成角,即可

求解；（2）利用線面平行的性質(zhì),以及平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即可證明.

【詳解】（1）???點(diǎn)中點(diǎn)，且△。。謁等邊三角形，

:.Z7Z71□□,

□□[1平面Z7Z7Z7,二口口11ULJ,且UUc=U,

平面。,

二庭直線與平面。w所成角，

目口口=y□口=V3,=V22+22=2V2

所以爪。4。=器=金=堯

（2、量□□,

,??點(diǎn)a別是。a的中點(diǎn)I*,?,□□=□□],目I□□*□□]=,

:,□□、〃□□,目□□]=□□]

二四邊形OZ7Z74是平行四邊形，

???平面。。幼/平面aaa,。。（=平面。。。

**?□□]/平■面□[□]□、,□□U平■宙\□□□[

???平面匚71二71。1n平面Z7Z74=U,

:.□□1I口,

二□[ZZ7///Z7

【變式2-2](2018秋?安徽阜陽(yáng)?高一阜陽(yáng)市紅旗中學(xué)?？计谀?如圖，在三棱錐O-OZ7。中,□、儂

別是。Z7、。為勺中點(diǎn)，平面Z7OOn平面7700=Z7,求證：

(1)007平面。?？冢?/p>

口□□”口.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

⑵證明見(jiàn)解析.

【分析】Q)根據(jù)中位線性質(zhì)定理得線線平行，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)果；

(2)根據(jù)線面平行性質(zhì)定理得結(jié)論.

【詳解】(1)■■-D.匚分別是□口、DO0勺中點(diǎn)，

又Z7Z7C面?！?□□□(=^口口口,

:面□□□.

(2)面□□□,￡7￡7u面Z7/7Z7,平面￡7Z7￡7n平面￡7￡7。=￡7,

.■.UUHU.

【變式2-3]（2018春?云南昆明?高一?？计谀┤鐖D，在多面體Z7Z7Z7Z7OO中，,

UUW□口,平面OOOOn平面,乙□□□=60°,UU=2,□口=UU=1.

（1）求證：口口\\口□;

（2）求三棱錐。一￡70勺體積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）日.

【詳解】試題分析：（1）由白￡711￡7￡7,可證OZ7II平面。進(jìn)而可證。。II□□工2）在平面。。。。

內(nèi)作Z7O1口方點(diǎn)口,先證OO1平面ODOF,再算出百,利用錐體的體積公式即可得三棱推

口-型體積.

試題解析：（1）證明：?.,0Oil,Z7Z7u平面Z7Z7S,□□《鉀口口口口,

又□□u平面□□口口,平面□□□□□平面□□口口=□口,

(2)解：在平面￡700。內(nèi)作OO1口方點(diǎn)、口,

,.,￡7￡7_L平面OZZ7ZZ7Z7,￡7ZZ7u平面OZ7Z7O,

:.□□工

,:□口u平面□□□□,UUUULJU,UUc□口=口,

：.□□1平面□□□□.

.?.8是三麒。-S型高.

在RtA￡7￡7中,/.□□□=60°,□口=2,故￡70=V3.

'：LJU1平面UULJU,UUu平面uuun,

:.□口[

由(1)知，UU\\□□,且。OilUU,

：.ULJV

11

XXdXX=V3-

3-2-—6

三棱錐。一￡7000勺體積。=5xDnaaax口口=

考點(diǎn)：L線線平行、線面平行；2、錐體的體積；3、線面垂直.

【變式2-4]（2023春?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖，在正方體〃OS-a4&中，^￡70中點(diǎn),

□ia與平面。交于點(diǎn)o.

(1)求證：/面口口1口:

⑵求證：的中點(diǎn).

【答案】Q)證明見(jiàn)解析.

(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)證明□&〃04,然后由線面平行的判定定理得證；

(2)由線面平行的性質(zhì)定理得線線平行，從而可證得結(jié)論成立.

【詳解】(1)因?yàn)椤酢跖c口&平行且相等，所以a是平行四邊形，即以□□[〃□口、,

又O/Z7iu平面/Z7ZZ71￡7,□C平■面□□、口,

所以口口山平面口口1口；

(2)由(1)睛□□、口,u平面□□□【□],平面。4￡7n平面□□□3、=.

所以口□川口口,又。是〃4中點(diǎn)，

所以。是&&中點(diǎn).

【變式2-5X2023春?山東濱州?高一統(tǒng)考期中如圖在四棱錐P-ABCD中底面ABCD為梯形，□口\\口□,

AB=2CD,設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為I,PA,PB的中點(diǎn)分別為E,F,證明：。/平面DEF.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】延長(zhǎng)AD,BC交于點(diǎn)M,根據(jù)線面平行判定定理證明￡70〃平面DEF,然后根據(jù)線面平行性質(zhì)證

明口/平面DEF.

【詳解】證明：延長(zhǎng)AD,BC交于點(diǎn)M,因?yàn)椤?口□,AB=2CD,

A

所以D為AM的中點(diǎn)，因?yàn)镻A的中點(diǎn)為E,所以￡7。||口口,

因?yàn)镺Ou平面DEF,OOC平面DEF,所以Z7。//平面DEF,

又P,De平面PAD,P,De平面PBC,

所以平直O(jiān)OOn平面PBC=PM,即直線I為直線PM.

所以。//平面DEF.

題型3面面平行的判定

【例題3】(2022春?廣西百色?高一?？计谀?如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M是線段B1D1

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),E,F分別是BC,CM的中點(diǎn).

(1)求證：EFII平面BDD1B1;

⑵設(shè)G為棱CD上的中點(diǎn)，求證：平面GEFII平面BDD1B1.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理求證即可；

(2)根據(jù)面面平行的判定定理證明即可.

【詳解】(1)證明：在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，連接BM,如圖，

因E,F分別是BC,CM的中點(diǎn)，

則有EFUBM,

又EFC平面BDD1B1,BMu平面BDD1B1,

所以EFII平面BDD1B1.

(2)證明：取CD的中點(diǎn)G,連接EG,FG,如圖，

而E是BC的中點(diǎn),

于是得EGIIBD,

而EGC平面BDD1B1,BDu平面BDD1B1,

從而得￡6|1平面8口口陰1,

由（1）知EFll平面BDD1B1,

EFnEG=E，且EF、EGu平面GEF,

因止匕,平面GEFll平面BDD1B1,

所以當(dāng)G是DC的中點(diǎn)時(shí)，

平面GEFII平面BDD1B1.

【變式3-1]（2018秋?陜西咸陽(yáng)?高一統(tǒng)考期末）如圖，已知四棱錐。一口口口田,底面ABCD為平行

四邊形，點(diǎn)M、N、Q分別是PA、BD、PD的中點(diǎn).求證：

P

⑴OOI平面PCD;

⑵平面OZ7Z7II平面PBC.

【答案】Q）證明見(jiàn)解析；

（2）證明見(jiàn)解析?

【分析】（1）利用三角形中位線證明MNIIPC即可；

（2）利用中位線證明NQIIPB,結(jié)合（1）中結(jié)論即可證明.

【詳解】（1）由題意，四棱推勺底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)M、N、Q分別是PA、BD、

PD的中點(diǎn)，，N是AC的中點(diǎn)，，Z7Z7ll￡7Z7,

,RZJu平面PCD,27。仁平面PCD,

.,.Z7Z7II平面PCD;

(2)由⑴知OOI□□,L7〃u平面PBC,平面PBC,

.,.MNU平面PBC,

.ABCD為平行四邊形，；.N是BD中點(diǎn)，又「Q是PD中點(diǎn)，

.■.在WBD中,NQllPB,

.PBu平面PBC,NQC平面PBC,.〔NQll平面PBC,

?.?MNONQ=N,MN.NQu平面MNQ,

.,.平面。。Oil平面PBC.

【變式3-2](2022秋?遼寧沈陽(yáng)?高一新民市第一高級(jí)中學(xué)?？计谀?如圖，已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD

所在平面夕一點(diǎn)，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)

(1)求證：MN〃平面PAD;

(2)在PB上確定一個(gè)點(diǎn)Q,使平面MNQ〃平面PAD.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)當(dāng)。在的中點(diǎn)時(shí)，平面平面OZ7a

【分析】(1)取Z7O中點(diǎn)Z7,趣妾口口,口口,利用面面平行的判定定理證明平面DDZ7//平面OOZ7,

即可證明。平面；

(2)假設(shè)第一問(wèn)的OBU為所求,再利用面面平行進(jìn)行證明.

【詳解】(1)證明：取口。中點(diǎn)。，連接oa□口,

???口,/別是口口,的中點(diǎn)，

又ZZ7OC面Z7￡7O,□□□口□,

:I面□□□.

同理可證:面□□□.

又UUu面□□□.￡7￡7u面Z7Z7Z7,￡7ZZ7n□□=□,

平面￡7007/平面□□口,

□□u平面□□□,

￡70〃平面￡70。

(2)解：假設(shè)第一問(wèn)的OBP為所求

"。在口OQ勺中點(diǎn),

???口、。分別是的中點(diǎn)，O為口5勺中點(diǎn)

]□□盡I□口

則0/7〃平面□□□,Z7O//平面□□口

且Z7Z7n□□=￡7

所以平面?？诳凇ㄆ矫妗酢酢?

所以第一問(wèn)的a點(diǎn)即為所求,當(dāng)。在0世中點(diǎn)時(shí)，雁□□□“平面□□□.

【點(diǎn)睛】（1）立體幾何中位置關(guān)系的證明一般用判定定理；

（2）存在性問(wèn)題的證明：先假設(shè)存在，在進(jìn)行證明.如果存在,可以證明；如果推出矛盾，則不存在.

【變式3-31（2021春?山東臨沂?高一統(tǒng)考期末）如圖，四邊形0002是矩形，￡701平面080,00,

平面ZZ7ZZ7OZZ7,口□-3,口□—口口-2口□—2.

（1）證明：平面平面。。A

（2）求三棱錐O—OOO的體積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）1.

【分析】（1）要證面面平行，只要證一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另外一個(gè)平面即可得解；

（2）通過(guò)轉(zhuǎn)體積法由ZJOADO、0am涸］可得解.

【詳解】（1）因?yàn)榭诳赹^□□口口,,所以0011口□,

又因?yàn)镺Du平面。匚江7,睜□□□,所以DDII平面。zzza

在矩形OOO3，口□,￡7Du平面OOO,雁□□□,

所以￡70II平面￡700..

又OZ7C□□=□,所以平面OZ7Z7II平面OZ7Z7

（2）因?yàn)镺D1平面OOS,所以□□工,

在矩形OOZZ7G□口1口□,

又口口門口口=口,所以□□母面□□□.

易證?！?II平面。OO,所以點(diǎn)。到平面口口勺距離為。。,

所以□□-□□□—口□-□□□=gxx3x1x2—1.

【變式3-4]（2021春?浙江?高一期末）如圖所示,在正方體￡70。0一&&&&中，E,F,G,H分

別是OZ7,□□[,口口1,aS）中點(diǎn).求證：

---------------------71G

（1）;

（2）￡70〃平面

（3）平面。。切/平面口口D.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）取。&中點(diǎn)連接oaoo,先證明四邊形OOO與平行四邊形，再證明四邊形

為平行四邊形可得；

（2）連接OD,交口方口,連接口。,通過(guò)證明四邊形aOO磔平行四邊形得出none,ZTRT

證；

（3）通過(guò)。切/￡7&得￡70/平面口□、口,通過(guò)j得□0//平面口&。可證明.

【詳解】（1）取口口中點(diǎn)。，連接oa口口,

???□是口口、中彘，:.□uiiun^□口=□口,

???DDIIDD,□□=口口,DDUDD,□口=□□,

則四邊形OOZ7O為平行四邊形?D/JIIDn,

???口是口口、中點(diǎn)、，工口口秋□、口，□口=口]□,

則四邊形磔平行四邊形，二口口舊口1，二口□"□□l;

(2)母妾Z7Z7,交UKU,連接?？?，□□[,

V口,￡%□□,口/彘,1?,口口口口口,口□=；口口,

1-1￡%&&中點(diǎn)，二口1unuu,a□=g□□,

□、口11口□,&￡7=,??.四邊形??！?力平行四邊形，□□HID,

□、口u平■牛。ZZZ|□、口,□□C平'囿ZZ7ZZ7i□、口,OZZW平[6]□□、□、口;

(3)由(1)□□“□口、,■：口口1u平面01口1口,/7￡79平面；.平面

又正方體中，□□、〃□□、,□□、=□□一則四邊形4%平行四邊形，

UUHUyUy,u平面L7i￡7iO,ZZ7OC平面aa￡7,二￡70/平面&&￡7,

LJUc\UU=￡7,.,.平面/7￡7切/平面￡71￡71￡7

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是正確理解線面平行、面面平行的判定定理.

【變式3-5](2020春?安徽六安?高一六安一中?？计谀?已知正方體O。。。-J口、口4的棱長(zhǎng)為1,

如圖所示.

（i）求證：平面4〃平面&□□；

（2）試找出體對(duì)角線40與平面a和平面&的交點(diǎn)口，口,求口□.

【答案]（1）證明見(jiàn)解析；（2）口￡7='

【分析】（1）先證。4〃平面口口口,再證aa〃平面&□□,再由0an&&=4,u平

面口1u平面4,可得平面。|〃平面口口。；

（2）先連接口口、,交口a于點(diǎn)a,連接Z7&,與&U交于點(diǎn)E,可得點(diǎn)E就是口若平面。4口

的交點(diǎn)；再連接AC,交BD于點(diǎn)0,連接&D,與a。交于點(diǎn)F,可得點(diǎn)F就是&。與平面&的

交點(diǎn)，而后證□□=□□=%口、□,最后進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算即可得解.

【詳解】（1）在正方缽口□□□-d□、口1口1中,

所以四邊形□、a是平行四邊形所以。&〃&u,

又u平面口\□□,[JUy2平面Uy□□,

所以□□川平面口1口口,

同理。）&//平面人□口

又□□、c□]□、=□、，□□、u平面oaq,u平面zzzaa,

所以平面O4。1〃平面&□□；

（2）如圖，連接&d,交口[□于點(diǎn)4,連接。4,與&匕交于點(diǎn)E,

因?yàn)閡平面。&&,

所以點(diǎn)E也在平面a內(nèi)，

所以點(diǎn)E就是&若平面&的交點(diǎn)，

同理，連接AC,交BD于點(diǎn)0,連接4口,與0微于點(diǎn)F,

則點(diǎn)F就是aa與平面0o口勺交點(diǎn)，

下面證明□[□=口口=□口,

因?yàn)槠矫鎍□、On平面ZZ7a□、=,平面a□、Ori平面a□□=,

平面。aa//平面4DU,所以□□出口1口,

在乙aa。中因?yàn)閍是aa的中點(diǎn)，

所以E是4，的中點(diǎn)，郎口、口=口口

同理可證￡70/00，所以F是CE的中點(diǎn)，或□□=□□,

所以&□=□口=口口=2口,0Q=JI2T（V^=焉,

所以。￡7=日.

【點(diǎn)睛】本題考查面面平行的證明，考查面面平行的性質(zhì)，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，屬于?？?/p>

題.

題型4面面平行證明線線平行

【例題4］（2018春?廣東廣州?高一校聯(lián)考期末）如圖，四棱錐□□□儻,底面口。是直角梯

形，□□L□口,□□=2口口=2口口=4，側(cè)面00al等腰直角三角形,□□=口□,

平面口口□1平面口口口口，彘口，為中、愚羞口□,口口血點(diǎn)、,平面□□□//平面□□□

（I）確定點(diǎn)a勺位置，并說(shuō)明理由；

（n）求三棱錐。一8中）體積.

【答案】（I）見(jiàn)解析（n）□□-□□口=I

【詳解】試題分析：（1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到nn//no,根據(jù)平行關(guān)系和長(zhǎng)度關(guān)系得

到點(diǎn)腹。中］中點(diǎn)，點(diǎn)腹OUK中點(diǎn)；（2）□□一□□口=\□□一□□□,□□=口□,

所以￡7￡7,,進(jìn)而求得體積.

詳解：

（1）因?yàn)槠矫妗?叩//平面￡70。，畸□□□□平面口□□口=口□,

平面□□□「平面□□口口=口口,耐以□□//□□,又因?yàn)?。??！ǎ?/p>

所以四邊形oooa是平行四邊形，所以口口=

即點(diǎn)。是口。的中點(diǎn).

因?yàn)槠矫?。O。//平面OZ7。，平面OOOn平面。?！?=,平面□□□□平面口□□=,

訴以又因?yàn)辄c(diǎn)2是￡70的中點(diǎn)，所以點(diǎn)。是。中］中點(diǎn)，

綜上：口,2分別是oaoB）中點(diǎn)；

（n）因?yàn)榭诳?所以O(shè)OJL,又因?yàn)槠矫鍿Z71平面OZ7。。，

耐以口□＞平面□□□□;又因?yàn)椤?/〃口。01口口,

11112

所以□□-口口口=-□□-□□□=g□□口□□x□□=-x-x2x2x2=-.

點(diǎn)睛:這個(gè)題目考查了面面平行的性質(zhì)應(yīng)用，空間幾何體的體積的求法，求椎體的體積，一般直接應(yīng)用公式

底乘以高乘以三分之一，會(huì)涉及到點(diǎn)面距離的求法，點(diǎn)面距可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)求得點(diǎn)面距離，

或者尋找面面垂直，再直接過(guò)點(diǎn)做交線的垂線即可;當(dāng)點(diǎn)面距離不好求時(shí)，還可以等體積轉(zhuǎn)化.

【變式4-1]（2021秋?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?高一鄂爾多斯市第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在三棱柱Z7Z70-

□Pi□、中，點(diǎn)。，口1分別為口□,&&上的動(dòng)點(diǎn)，若平面□□】□//平面,請(qǐng)問(wèn)器是否為定

【答案】是定值1,理由見(jiàn)解析.

【分析】連接。1改ju、于點(diǎn)、口,連接，由平面O&on平面。&&,得到n,□口H

□□i，則四邊形a是平行四邊形，根據(jù)&□、=仙口彳導(dǎo)到口1口、=；口1口「三口口,

從而可得需=1

【詳解】解：如圖，連接口。交。&于點(diǎn)口，連接￡74,由棱柱的性質(zhì)，可知四邊形&S&為平行

四邊形，

所以孕勺中點(diǎn)，

因?yàn)槠矫婵诳凇w平面口,且平面□、□□、。平面□、=□]□,平面□、□□、c平面□=

□口、,

所以口口11I,

所以功為線段&&的中點(diǎn)，所以&口「三口、口、,

因?yàn)槠矫婵?〃11平面。。1口1,平面□□[□、□（＞平面□□□]=□□、,平面DaqZ7n平面

□□、□、=□□,,

所以￡74II□□],

因?yàn)樗运倪呅问瞧叫兴倪呅危?/p>

所以□口=aa=；&&=；oo,

【變式4-2]（2023春?全國(guó)?高一專題練習(xí)）在三棱柱OZ7O-口功口中,

⑴若口，□口，分別是也口口,口1口,07的中點(diǎn)，求證：平面口口口,1平■面□□□□.

⑵若點(diǎn)□□期是口口,上的點(diǎn)，且平面平面OO/O7,試求第勺值.

【答案】Q）證明見(jiàn)解析

⑵1

【分析】（1）分別證明00/平面DDZ7D、口1□怦面口口口四可;

（2）連接￡7,U交Z7O,于O,連接￡70/,由面面平行的性質(zhì)定理可得。?！?。，口口口川口口,然后可

得答案.

【詳解】（1）,:口,儂別是。/格中點(diǎn)口口,

□口C平面□□□□,□口U平面□□口口,

：.￡70/平面□□□□,

??,□QU口□,O/OOO,.??四邊形。7。。。是平行四邊形，

:.口1口11口口,又：口］□＜（^^口口口口,口口0^^口口口口,

口［口11平面口口口□,

又￡7彳/17n□□=□,□1□>□□u平面/ZZ/ZZ/Z7',平面□□口□□□□.

連接O/U交口。7于Z7,連接OO7,

由平面平面,且平面。/00/。平面口口1,平面口1口口10^^口口1口1=

口1口,

/1口1□,同理可得。口〃/!?。/,

所以然=甯=7,即d為線段OQ,的中點(diǎn)，

口1口1LJLJ

所以中線段口勺中點(diǎn)，即焉=1.

【變式4-3]（2020春湖北?高一校聯(lián)考）如圖，四棱錐D-?！?口中）底面是邊長(zhǎng)為8的正方形，四條

側(cè)棱長(zhǎng)均為2枚，點(diǎn)分別是棱戶8/8.OCPC上共面的四點(diǎn)，。。//平面GEFH.

（2）若口口=2,平面￡7。?！ㄆ矫鍳EFH,求四邊形G￡7H的面積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）竿.

【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)可得〃口口□"□□,即可得證；

（2）由面面平行的性質(zhì)可得￡707/00,即可求出00=?，同理?？??，再求出￡7。，□□‘即可

求出面積;

【詳解】平面GEFH,

又,.,L7ZZ7U平面26c且平面OOOn平面O￡7OO=口口,

又?.Z7。/平面GEFH,

又：□□u平面ABCD^^面□□□□(\^^口口口口=ULJ,

(2)?.?平面Z7Z7。/平面GEFH,

又,.?平面□□□n平面UUU=□口,且平面□□□n平面□□口□=□□,

■:□□〃□□「：□□=：口口,:.口口=淚口=耳,

同理?！?==￡70=?，

又由(1)知,：.口口=彳口口=6.

在四娜GEFH中:口口=口口=吟□口=6,□□=8S.DDI/DD,

四邊形G￡■廠”為等腰梯形，

如圖所示：過(guò)G作GV垂直于EF于M,

過(guò)以作G/V垂直于EF千N,

在直角△UDU^,□□=y/DlJ2-DLf=苧,

:?□梯形口□□口=知□+□口.□口=享

【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，考查梯形面積的計(jì)算，正確運(yùn)用線面平行的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵，

屬于中檔題.

題型5面面平行證明線面平行

【例題5](2021秋?江西景德鎮(zhèn)?高一景德鎮(zhèn)一中?？计谀?如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，皿口口

(1)若此三棱柱為正三棱柱，且功□=圾□[口],求異面直線。&與所成角的大?。?/p>

(2)求證：〃平面00a.

【答案】(1)60°；(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)取&&中點(diǎn)0,連接au,口□,口口,可得&ainn,得出工。&。即為異面直線

與。。所成角，求出即可；

(2)先通過(guò)平面OOa和￡70/平面￡7￡70得出平面。0。/平面，即可證明.

【詳解】(1)取&&中點(diǎn)口,連接口口,口□,口□,

???在三棱柱中，U,。是中點(diǎn)，則,

???四邊形是平行四邊形，二口、口1口□,

為異面直線。&與所成角或其補(bǔ)角，

???三棱柱為正三棱柱，設(shè)底面邊長(zhǎng)為2,a。=夜&a=2夜，

22

則0/7=J(2V2)+1=3,=J(275)2+*=273,n1Z7=^x2=V3,

:?cos4□□、口=乏等2=',?"口□、0=60°,

12x2\/3xV32'1'

所以異面直線aa與OO所成角的大小為60°；

(2)由(1)可知口1口"口口,&。仁平面,UUu平面□□口、,

/平面Z7Z74,

???D,。是中點(diǎn)，二口口、Q。￡7,??.四邊形。O&儂平行四邊形，;□□〃□、口,

??,ZI7Z70平面￡7Z7/Z7i,4￡7u平面Z7O7平面￡7Z7/Z7i,

,??口、口c=￡7,平面￡7/7。/平面OZ7Z7i,

u平■rfliZZ7Z17i□,〃平面ZZ7/Z7￡7i.

B

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面直

線的問(wèn)題化歸為共面直線問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：

(1)平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

(2)認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

(3)計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；

(4)取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是(0,同，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面

直線所成的角.

【變式5-1](2020春?北京?高一101中學(xué)校考期末)如圖，三棱柱OOZ7-4&&中，D,E,F分別

為棱OO,口□,口&中點(diǎn).

(1)求證：O切/平面口□;

(2)求證：平面&UU.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】(1)由已知利用三角形的中位線的性質(zhì)可證OB/OO,進(jìn)而利用線面平行的判定定理即可證明

(2)由已知可證。002是平行四邊形，進(jìn)而證明。利用線面平行的判定證明"/平面

口、口口,根據(jù)面面平行的判定證明平面。。O/平面根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可可證。。/平面

【詳解】(1)在4口口*,D,E分別為棱。。,￡70中點(diǎn)

所以

因?yàn)镺Ou平面&￡7￡7,Z7OC平面4￡7/7,

所以□□怦面

(2)在三棱柱?？贠-口］□［□稱.ULHd口1,

因?yàn)镋,F分別為O。，&&中點(diǎn)，

所以￡70II□口

所以aooa是平行四邊形，

所以□□“□［口,

因?yàn)閆Z7ZI7C平面ZZ72I7,□、口□,

所以平面口1口口,

又因?yàn)椤?。/平面口□□,口□n□口=口,

所以平面0OB/平面&口口,

所以平面口[□□.

【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查利用面面平行證明面面平行，屬于基礎(chǔ)題.

【變式5-2](2022秋?甘肅嘉峪關(guān)?高一統(tǒng)考期末)如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1,E,

F,P,Q分別是BC,C1D1,ADI,BD的中點(diǎn)，求證：

(1)PQII平面DCC1D1

(2)EFII平面BB1D1D.

【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析

【詳解】試題分析：(1)連結(jié)AC、D1C,Q是AC的中點(diǎn)，從而PQIID1C,由此能證明PQll平面DCC1D1.

(2)取CD中點(diǎn)G,連結(jié)EG、FG,由已知得平面FGEII平面BB1D1D,由此能證明EFII平面BB1D1D.

(1)證明：連結(jié)AC、D1C,

??1ABCD是正方形，，Q是AC的中點(diǎn)，

又P是AD1的中點(diǎn)，.PQllD1C,

?.PQC平面DCC1D1,DICu平面DCC1D1,

.?.PQH平面DCC1D1.

（2）證明：取CD中點(diǎn)G,連結(jié)EG、FG,

?.E,F分別是BC,C1D1的中點(diǎn)，

.,.FGIIDID,EGIIBD,

又FGnEG=G,平面FGEil平面BB1D1D,

?;EFu平面FGE,.〔EFII平面BB1D1D.

/：'Q

/\J

：分…二

/一一"Q、、、]/

AB

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定.

題型6線面垂直的判定

【例題6]（2022秋?陜西延安?高一?？计谀┤鐖D，。理圓柱體O方的-一條母線,底面圓廳勺

直徑，。是圓。上不與O,看合的任意一點(diǎn).

\'\、1i

\\:

\X

\1、、

\!\

D

⑴求證：□□母面□□□;

⑵若□口=□□=10,口口=8,求三棱錐。一。0小勺體積.

【答案】Q）證明見(jiàn)解析

（2）80

【分析】（1）利用線面垂直判定定理即可證明。口，平面。。口；

（2）先求得三棱錐勺高，進(jìn)而求得三棱推。-體積.

【詳解】（1）???點(diǎn)2E以〃％直徑的圓上，,

???Z7O1平面Z7Z7￡7,UUu平面□□□,：.□□L.

又OZZZci□口=口,￡7/Z7u平面ZZ7/Z7/Z7,□□u平面口口口

ZZ7Z271平面OOZ7.

（2）在RhSB,□□=VZ7/J2-DtJ-=V