【青松雪】【高中數(shù)學(xué)】【易錯點歸納總結(jié)】【專題08】圓錐曲線（教師版）

第1頁【專題08】圓錐曲線1、圓錐曲線的兩個定義：（1）第一定義中要重視“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點、的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于，當(dāng)常數(shù)等于時，軌跡是線段，當(dāng)常數(shù)小于時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點、的距離的差的絕對值等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要小于，定義中的“絕對值”與不可忽視．若，則軌跡是以、為端點的兩條射線，若，則軌跡不存在．若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支．（2）第二定義中要注意定點和定直線是相應(yīng)的焦點和準(zhǔn)線，且“點點距為分子、點線距為分母”，其商即是離心率．圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到相應(yīng)準(zhǔn)線距離間的關(guān)系，要善于運用第二定義對它們進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化．例1、已知定點、，在滿足下列條件的平面上動點的軌跡中是橢圓的是（）A．B．C．D．【答案】C例2、方程表示的曲線是________．【答案】雙曲線的左支例3、已知點及拋物線上一動點，則的最小值是________．【答案】22、圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點）在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸時的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程：（1）橢圓：焦點在軸上時（）（參數(shù)方程，其中為參數(shù)），焦點在軸上時（）．方程表示橢圓的充要條件是什么？（，且、、同號，）．（2）雙曲線：焦點在軸上：，焦點在軸上：（，）．方程表示雙曲線的充要條件是什么？（，且、異號）．（3）拋物線：開口向右時（），開口向左時（），開口向上時（），開口向下時（）．例4、已知方程表示橢圓，則的取值范圍為________．【答案】例5、若、，且，則的最大值是________，的最小值是________．【答案】；2例6、雙曲線的離心率等于，且與橢圓有公共焦點，則該雙曲線的方程________．【答案】例7、設(shè)中心在坐標(biāo)原點，焦點、在坐標(biāo)軸上，離心率的雙曲線過點，則的方程為________．【答案】3、圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）：（1）橢圓：由、分母的大小決定，焦點在分母大的坐標(biāo)軸上．（2）雙曲線：由、項系數(shù)的正負(fù)決定，焦點在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；（3）拋物線：焦點在一次項的坐標(biāo)軸上，一次項的符號決定開口方向．特別提醒：①在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點、的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，而方程中的兩個參數(shù)、，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要判斷開口方向；②在橢圓中，最大，；在雙曲線中，最大，．例8、已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是________．【答案】4、圓錐曲線的幾何性質(zhì)：（1）橢圓（以，為例）：①范圍：，；②焦點：兩個焦點；③對稱性：兩條對稱軸，，一個對稱中心，四個頂點，，其中長軸長為，短軸長為；④準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線；⑤離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁．（2）雙曲線（以，，為例）：①范圍：或，；②焦點：兩個焦點；③對稱性：兩條對稱軸，，一個對稱中心，兩個頂點，其中實軸長為，虛軸長為，特別地，當(dāng)實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為，；④準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線；⑤離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；⑥兩條漸近線：．（3）拋物線（以，為例）：①范圍：，；②焦點：一個焦點，其中的幾何意義是：焦點到準(zhǔn)線的距離；③對稱性：一條對稱軸，沒有對稱中心，只有一個頂點；④準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線；⑤離心率：，拋物線．例9、若橢圓的離心率，則的值是________．【答案】3或例10、以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為________．【答案】例11、雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率等于________．【答案】或例12、雙曲線的離心率為，則________．【答案】4或例13、設(shè)雙曲線（，）中，離心率，則兩條漸近線夾角的取值范圍是________．【答案】例14、設(shè)，，則拋物線的焦點坐標(biāo)為________．【答案】5、點和橢圓（）的關(guān)系：（1）點在橢圓外；（2）點在橢圓上；（3）點在橢圓內(nèi)．6、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（1）相交：直線與橢圓相交；直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件．（2）相切：直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切．（3）相離：直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離．例15、若直線與雙曲線的右支有兩個不同的交點，則的取值范圍是________．【答案】例16、直線與橢圓恒有公共點，則的取值范圍是________．【答案】例17、過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于、兩點，若，則滿足條件的直線有________條．【答案】3例18、過點作直線與拋物線只有一個公共點，這樣的直線有________．【答案】2例19、過點與雙曲線有且僅有一個公共點的直線的斜率的取值范圍為________．【答案】例20、對于拋物線，我們稱滿足的點在拋物線的內(nèi)部，若點在拋物線的內(nèi)部，則直線與拋物線的位置關(guān)系是________．【答案】相離例21、過拋物線的焦點作一直線交拋物線于、兩點，若線段與的長分別是、，則________．【答案】1例22、設(shè)雙曲線的右焦點為，右準(zhǔn)線為，設(shè)某直線交其左支、右支和右準(zhǔn)線分別于、、，則和的大小關(guān)系為________．（填大于、小于或等于）【答案】等于例23、求橢圓上的點到直線的最短距離．【答案】例24、直線與雙曲線交于、兩點．①當(dāng)為何值時，、分別在雙曲線的兩支上？②當(dāng)為何值時，以為直徑的圓過坐標(biāo)原點？【答案】①；②特別提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交．如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交，但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時，直線與拋物線相交，也只有一個交點；（2）過雙曲線外一點的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：①點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；②點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；③在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；④為原點時不存在這樣的直線．（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線．7、焦半徑（圓錐曲線上的點到焦點的距離）的計算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑，其中表示到與所對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離．例25、已知橢圓上一點到橢圓左焦點的距離為3，則點到右準(zhǔn)線的距離為________．【答案】例26、已知拋物線方程為，若拋物線上一點到軸的距離等于5，則它到拋物線的焦點的距離等于________．【答案】7例27、若該拋物線上的點到焦點的距離是4，則點的坐標(biāo)為________．【答案】例28、點在橢圓上，它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍，則點的橫坐標(biāo)為________．【答案】例29、拋物線上的兩點、到焦點的距離和是5，則線段的中點到軸的距離為________．【答案】2例30、橢圓內(nèi)有一點，為右焦點，在橢圓上有一點，使之值最小，則點的坐標(biāo)為________．【答案】8、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形）問題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解．設(shè)橢圓或雙曲線上的一點到兩焦點、的距離分別為、，焦點的面積為，則在橢圓中，①，且當(dāng)，即為短軸端點時，最大為；②，當(dāng)，即為短軸端點時，的最大值為；對于雙曲線的焦點三角形有：①；②．例31、短軸長為，離心率的橢圓的兩焦點為、，過作直線交橢圓于、兩點，則的周長為________．【答案】6例32、設(shè)是等軸雙曲線（）右支上一點，、是左右焦點，若，，則該雙曲線的方程為________．【答案】例33、橢圓的焦點為、，點為橢圓上的動點，當(dāng)時，點的橫坐標(biāo)的取值范圍是________．【答案】例34、雙曲線的虛軸長為4，離心率，、是它的左右焦點，若過的直線與雙曲線的左支交于、兩點，且是與等差中項，則________．【答案】例35、已知雙曲線的離心率為2，、是左右焦點，為雙曲線上一點，且，．求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】9、拋物線中與焦點弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切；（2）設(shè)為焦點弦，為準(zhǔn)線與軸的交點，則；（3）設(shè)為焦點弦，、在準(zhǔn)線上的射影分別為、，若為的中點，則；（4）若的延長線交準(zhǔn)線于，則平行于軸，反之，若過點平行于軸的直線交準(zhǔn)線于點，則、、三點共線．10、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點、，且、分別為、的橫坐標(biāo)，則，若、分別為、的縱坐標(biāo)，則，若弦所在直線方程設(shè)為，則．特別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解．例36、過拋物線的焦點作直線交拋物線于，兩點，若，那么等于________．【答案】8例37、過拋物線焦點的直線交拋物線于、兩點，已知，為坐標(biāo)原點，則重心的橫坐標(biāo)為________．【答案】311、圓錐曲線的“中點弦”問題：遇到中點弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點差法”求解．在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率；在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率；在拋物線（）中，以為中點的弦所在直線的斜率．例38、如果橢圓弦被點平分，那么這條弦所在的直線方程是________．【答案】例39、已知直線與橢圓（）相交于、兩點，且線段的中點在直線上，則此橢圓的離心率為________．【答案】例40、試確定的取值范圍，使得橢圓上有不同的兩點關(guān)于直線對稱？【答案】特別提醒：因為是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對稱問題時，務(wù)必別忘了檢驗！12、你了解下列結(jié)論嗎？（1）雙曲線的漸近線方程為；（2）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為（為參數(shù)，）．（3）中心在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為；（4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）為，焦準(zhǔn)距（焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為，拋物線的通徑為，焦準(zhǔn)距為；（5）通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦；（6）若拋物線（）的焦點弦為，、，則：①；②，；（7）若、是過拋物線（）頂點的兩條互相垂直的弦，則直線恒經(jīng)過定點．例41、與雙曲線有共同的漸近線，且過點的雙曲線方程為________．【答案】13、動點軌跡方程：（1）求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點、列式、化簡、確定點的范圍；（2）求軌跡方程的常用方法：①直接法：直接利用條件建立、之間的關(guān)系．例42、已知動點到定點和直線的距離之和等于4，求的軌跡方程．【答案】（）或（）②待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程――先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)．例43、線段過軸正半軸上一點（），端點、到軸距離之積為，以軸為對稱軸，過、、三點作拋物線，則此拋物線方程為________．【答案】③定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程．例44、由動點向圓作兩條切線、，切點分別為、，，則動點的軌跡方程為________．【答案】例45、點與點的距離比它到直線的距離小于1，則點的軌跡方程是________．【答案】例46、一動圓與兩圓⊙和⊙都外切，則動圓圓心的軌跡為________．【答案】雙曲線的一支④代入轉(zhuǎn)移法：動點依賴于另一動點的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用、的代數(shù)式表示、，再將、代入已知曲線得要求的軌跡方程．例47、動點是拋物線上任一點，定點為，點分所成的比為2，則的軌跡方程為________．【答案】⑤參數(shù)法：當(dāng)動點坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可考慮將、均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）．例48、是圓的直徑，且，為圓上一動點，作，垂足為，在上取點，使，求點的軌跡．【答案】例49、若點在圓上運動，則點的軌跡方程是________．【答案】（）例50、過拋物線的焦點作直線交拋物線于、兩點，則弦的中點的軌跡方程是________．【答案】特別提醒：①如果問題中涉及到平面向量知識，那么應(yīng)從已知向量的特點出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化；②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時應(yīng)注意軌跡上特殊點對軌跡的“完備性與純粹性”的影響；③在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合（如角平分線的雙重身份――對稱性、利用到角公式）、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等；④如果在一條直線上出現(xiàn)“三個或三個以上的點”，那么可選擇應(yīng)用“斜率或向量”為橋梁轉(zhuǎn)化．例51、已知橢圓（）的左、右焦點分別是、，