機(jī)械制圖教案第二章

第七講§2—1投影法的根本學(xué)問(wèn)

§2-2三視圖的形成及投影規(guī)律

課題：1、投影法的根本學(xué)問(wèn)

2、三視圖的形成及投影規(guī)律

課堂類型：講授

教學(xué)目的：1、介紹投影法的概念、種類、應(yīng)用

2、講解正投影法的根本性質(zhì)

3、介紹三投影面體系和三視圖的形成、投影規(guī)律

教學(xué)要求：1、駕馭正投影法的根本性質(zhì)

2、理解并駕馭三視圖的形成和投影規(guī)律

教學(xué)重點(diǎn)：1、正投影法的根本性質(zhì)

2、三視圖的投影規(guī)律

教學(xué)難點(diǎn)：三視圖及物體方位的對(duì)應(yīng)關(guān)系

教具：自制的三投影面體系模型、簡(jiǎn)潔幾何體模型

教學(xué)方法：講授及課堂演示、舉例相結(jié)合。

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)舊課

簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)平面圖形的作圖方法和步驟。

二、引入新課題

在工程技術(shù)中，人們常用到各種圖樣，如機(jī)械圖樣、建筑圖樣等。這些圖樣都是根據(jù)不

同的投影方法繪制出來(lái)的，而機(jī)械圖樣是用正投影法繪制的。

三、教學(xué)內(nèi)容

投影法的根本學(xué)問(wèn)

1、投影法的概念

舉例：在日常生活中，人們看到太陽(yáng)光或燈光照耀物體時(shí)，在地面或墻壁上出現(xiàn)物體的

影子，這就是一種投影現(xiàn)象。我們把光線稱為投射線（或叫投影線），地面或墻壁稱為投影面，

影子稱為物體在投影面上的投影。

下面進(jìn)一步從幾何觀點(diǎn)來(lái)分析投影的形成。設(shè)空間有肯定點(diǎn)S和任一點(diǎn)A,以及不通過(guò)

點(diǎn)S和點(diǎn)A的平面P,如圖2—1所示，從點(diǎn)S經(jīng)過(guò)點(diǎn)A作直線SA,直線SA必定及平面P

相交于一點(diǎn)a,則稱點(diǎn)a為空間任一點(diǎn)A在平面P上的投影，稱定點(diǎn)S為投影中心，稱平面

P為投影面，稱直線SA為投影線。據(jù)此，要作出空間物體在投影面上的投影，其本質(zhì)就是

通過(guò)物體上的點(diǎn)、線、面作出一系列的投影線及投影面的交點(diǎn)，并根據(jù)物體上的線、面關(guān)系,

對(duì)交點(diǎn)進(jìn)展恰當(dāng)?shù)倪B線。

圖2-1投影法的概念

圖2—2中心投影法

如圖2—2所示，作4ABC在投影面P上的投

影。先自點(diǎn)S過(guò)點(diǎn)A、B、C分別作直線SA、SB、

SC及投影面P的交點(diǎn)a、b、C,再過(guò)點(diǎn)a、b、c

作直線，連成aabc,△abc即為空間的AABC在

投影面P上的投影。

上述這種用投射線(投影線)通過(guò)物體，向

選定的面投影，并在該面上得到圖形的方法稱為投影法。

2、投影法的種類及應(yīng)用

(1)中心投影法

投影中心間隔投影面在有限遠(yuǎn)的地方，投影時(shí)投影線匯交于投影中心的投影法稱為中

心投影法，如圖2—2所示。

缺點(diǎn)：中心投影不能真實(shí)地反映物體的形態(tài)和大小，不適用于繪制機(jī)械圖樣。

優(yōu)點(diǎn)：有立體感，工程上常用這種方法繪制建筑物的透視圖。

(2)平行投影法

投影中心間隔投影面在無(wú)限遠(yuǎn)的地方，投影時(shí)投影線都互相平行的投影法稱為平行投

影法，如圖2—3所小。

根據(jù)投影線及投影面是否垂直，平行投影法又可以分為兩種：

1)斜投影法一一投影線及投影面相傾斜的平行投影法，如圖2—3(a)所示。

2)正投影法一一投影線及投影面相垂直的平行投影法，如圖2—3(b)所示。

(a)斜投影法(b)正投影法

圖2-3平行投影法

正投影法優(yōu)點(diǎn)：可以表達(dá)物體的真實(shí)形態(tài)和大小，作圖方法也較簡(jiǎn)潔，所以廣泛用于繪

制機(jī)械圖樣。

(二)三視圖的形成及投影規(guī)律

在機(jī)械制圖中，通常假設(shè)人的視線為一組平行的，且垂至于投影面的投影線，這樣在投

影面上所得到的正投影稱為視圖。

一般狀況下，一個(gè)視圖不能確定物體的形態(tài)。如圖2—6所示，兩個(gè)形態(tài)不同的物體，

它們?cè)谕队懊嫔系耐队岸家粯印Ｒ虼?，要反映物體的完好形態(tài)，必需增加由不同投影方向所

得到的幾個(gè)視圖，互相補(bǔ)充，才能將物體表達(dá)清晰。工程上常用的是三視圖。

圖2—6一個(gè)視圖不能確定物體的形態(tài)

1、三投影面體系及三視圖的形成

（1）三投影面體系的建立

三投影面體系由三個(gè)互相垂直的投影面所組成，如圖2—7所示。

在三投影面體系中，三個(gè)投影面分別為:

Z

正立投影面：簡(jiǎn)稱為正面，用V表示；V正立投影面

程度投影面：簡(jiǎn)稱為程度面，用H表示;

側(cè)立投影面：簡(jiǎn)稱為側(cè)面，用W表示。

側(cè)

0

三個(gè)投影面的互相交線，稱為投影軸。它們分別是:立

\投

0X軸：是V面和H面的交線，它代表長(zhǎng)度方向；<影

影

水

0Y軸：是H面和W面的交線，它代表寬度方向;面

0Z軸：是V面和W面的交線，它代表高度方向；

三個(gè)投影軸垂直相交的交點(diǎn)0,稱為原點(diǎn)。圖2一7三投影面體系

（2）三視圖的形成

將物體放在三投影面體系中，物體的位置處在人及投影面之間，然后將物體對(duì)各個(gè)投影

面進(jìn)展投影，得到三個(gè)視圖，這樣才能把物體的長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方向，上下、左右、前后六

個(gè)方位的形態(tài)表達(dá)出來(lái)，如圖2—8（a）所示。三個(gè)視圖分別為:

主視圖：從前往后進(jìn)展投影，在正立投影面（V面）上所得到的視圖。

俯視圖：從上往下進(jìn)展投影，在程度投影面（H面）上所得到的視圖。

Z主____________Z

VNw]視圖：[vW

0

0

Yw

YH

投影，在側(cè)立投影面(W面)上所得到的視圖。

(a)(b)

(c)(d)

圖2—8三視圖的形成遇綻開(kāi)

(3)三投影面體系的綻開(kāi)

在實(shí)際作圖中，為了畫(huà)圖便利，需要將三個(gè)投影面在一個(gè)平面(紙面)上表示出來(lái)，規(guī)

定：使V面不動(dòng)，H面繞0X軸向下旋轉(zhuǎn)90°及V面重合，W面繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90°

及V面重合，這樣就得到了在同一平面上的三視圖，如圖2—8(b)所示?？梢钥闯觯┮?/p>

圖在主視圖的下方，左視圖在主視圖的右方。在這里應(yīng)特殊留意的是：同一條OY軸旋轉(zhuǎn)后

出現(xiàn)了兩個(gè)位置，因?yàn)镺Y是H面和W面的交線，也就是兩投影面的共有線，所以O(shè)Y軸

隨著H面旋轉(zhuǎn)到OYH的位置，同時(shí)又隨著W面旋轉(zhuǎn)到OYw的位置。為了作圖簡(jiǎn)便，投影

圖中不必畫(huà)出投影面的邊框，如圖2—8(c)所示。由于畫(huà)三視圖時(shí)主要根據(jù)投影規(guī)律，所

以投影軸也可以進(jìn)一步省略，如圖2—8(d)所示。

2、三視圖的投影規(guī)律

從圖2—9可以看出，一個(gè)視圖只能反映兩個(gè)方向的尺寸，主視圖反映了物體的長(zhǎng)度和

高度，俯視圖反映了物體的長(zhǎng)度和寬度，左視圖反映了物體的寬度和高度。由此可以歸納出

三視圖的投影規(guī)律：

主、俯視圖''長(zhǎng)對(duì)正”(即等長(zhǎng))；

主、左視圖“高平齊”(即等高)；

俯、左視圖“寬相等”(即等寬)；

三視圖的投影規(guī)律反映了三視圖的重要特性，也是畫(huà)圖和讀圖的根據(jù)。無(wú)論是整個(gè)物體

還是物體的部分，其三面投影都必需符合這一規(guī)律。

圖2—9視圖間的“三等”關(guān)系

3、三視圖及物體方位的對(duì)應(yīng)關(guān)系

物體有長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方向的尺寸，有上下、左右、前后六個(gè)方位關(guān)系，如圖2—10(a)

所示。六個(gè)方位在三視圖中的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖2—10(b)所示。

主視圖反映了物體的上下、左右四個(gè)方位關(guān)系；

俯視圖反映了物體的前后、左右四個(gè)方位關(guān)系；

左視圖反映了物體的上下、前后四個(gè)方位關(guān)系。(要求學(xué)生必需熟記。)

(a)立體圖(b)投影圖

圖2—10三視圖的方位關(guān)系

留意：以主視圖為中心，俯視圖、左視圖靠近主視圖的一側(cè)為物體的后面，遠(yuǎn)離主視圖

的一側(cè)為物體的前面。

四、小結(jié)

1、概念：投影法、中心投影法、平行投影法、斜投影、正投影。

2、正投影法的根本性質(zhì)

3、三視圖的投影規(guī)律

4、三視圖及物體方位的對(duì)應(yīng)關(guān)系

第八講§2—3點(diǎn)的投影

課題：1、點(diǎn)的投影及其標(biāo)記

2、點(diǎn)的三面投影規(guī)律

3、點(diǎn)的三面投影及直角坐標(biāo)

4、特殊位置點(diǎn)的投影

5、兩點(diǎn)的相對(duì)位置

課堂類型：講授

教學(xué)目的：1、介紹空間點(diǎn)及其投影的標(biāo)記標(biāo)記符號(hào)

2、講解點(diǎn)的三面投影規(guī)律

3、講解特殊位置點(diǎn)的投影

4、講解兩點(diǎn)的相對(duì)位置和重影點(diǎn)

教學(xué)要求：1、理解并駕馭在兩面和三面投影圖中點(diǎn)的投影規(guī)律

2、嫻熟駕馭點(diǎn)的投影及及其直角坐標(biāo)的關(guān)系以及由點(diǎn)的兩個(gè)投影求作第三投影

的方法

3、駕馭由點(diǎn)的軸測(cè)圖作投影圖和由點(diǎn)的投影圖作軸測(cè)圖的方法

4、根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)的投影，可以理解并判別該兩點(diǎn)在空間的相對(duì)位置

5、駕馭重影點(diǎn)的概念及其可見(jiàn)性的判別方法

教學(xué)重點(diǎn)：1、在兩面和三面投影圖中點(diǎn)的投影規(guī)律

2、重影點(diǎn)的概念和兩點(diǎn)的相對(duì)位置

教學(xué)難點(diǎn)：1、點(diǎn)的三面投影及直角坐標(biāo)的關(guān)系

2、特殊位置點(diǎn)的投影

教具：自制的三投影面體系模型

教學(xué)方法:課堂教學(xué)中要加強(qiáng)三等關(guān)系和六方位關(guān)系的根本訓(xùn)練,著重突出空間概念的培育，

這是樹(shù)立空間概念，搭起空間架子的起步。這部分教學(xué)要突出空間位置的推斷。

運(yùn)用直觀教具，采納講授和演示教學(xué)法，講情三投影面體系的有關(guān)內(nèi)容和綻開(kāi)方

法。留意以下幾個(gè)要點(diǎn)：

投影面綻開(kāi)前：（1）空間點(diǎn)對(duì)投影面的間隔及對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的關(guān)系。

（2）空間點(diǎn)的投影及其對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的關(guān)系。

投影面綻開(kāi)后：要演示兩投影連線及投影軸的關(guān)系，從而引出投影規(guī)律。

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)舊課

簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)有關(guān)投影法的幾個(gè)根本概念。重點(diǎn)復(fù)習(xí)三視圖的形成、投影規(guī)律和方位關(guān)系。

二、引入新課題

任何物體都是由點(diǎn)、線、面等幾何元素構(gòu)成的，只有學(xué)習(xí)和駕馭了幾何元素的投影規(guī)律

和特征，才能透徹理解機(jī)械圖樣所表示物體的詳細(xì)構(gòu)造形態(tài)。本次課先來(lái)學(xué)習(xí)點(diǎn)的投影。

三、教學(xué)內(nèi)容

（一）點(diǎn)的投影及其標(biāo)記

當(dāng)投影面和投影方向確定時(shí)，空間一點(diǎn)只有唯一的一個(gè)投影。如圖2—11（a）所示，

假設(shè)空間有一點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A分別向H面、V面和W面作垂線，得到三個(gè)垂足a、a\a",便

是點(diǎn)A在三個(gè)投影面上的投影。

規(guī)定用大寫(xiě)字母（如A）表示空間點(diǎn)，它的程度投影、正面投影和側(cè)面投影，分別用相

應(yīng)的小寫(xiě)字母（如a、a'和a"）表示。

根據(jù)三面投影圖的形成規(guī)律將其綻開(kāi)，可以得到如圖2—11（b）所示的帶邊框的三面

投影圖，即得到點(diǎn)A兩面投影：省略投影面的邊框線，就得到如圖2—11（c）所示的A點(diǎn)

的三面投影圖，（留意：要及平面直角坐標(biāo)系相區(qū)分。）

zz

(c)

圖2—11點(diǎn)的兩面投影

(二)點(diǎn)的三面投影規(guī)律

1、點(diǎn)的投影及點(diǎn)的空間位置的關(guān)系

從圖2—11(a)、(b)可以看出，Aa、Aa\Aa"分別為點(diǎn)A到H、V、W面的間隔，

叩：

Aa=a，ax=a"ay^|la"aYw)，反映空間點(diǎn)A到H面的間隔；

Aa，=aax=a"az，反映空間點(diǎn)A到V面的間隔；

Aa"=a0z=aay^aYH)，反映空間點(diǎn)A到W面的間隔；

上述即是點(diǎn)的投影及點(diǎn)的空間位置的關(guān)系，根據(jù)這個(gè)關(guān)系，若已知點(diǎn)的空間位置，就可

以畫(huà)出點(diǎn)的投影。反之，若已知點(diǎn)的投影，就可以完全確定點(diǎn)在空間的位置。

2、點(diǎn)的三面投影規(guī)律

由圖2—11中還可以看出：

aayH=a'az即a'aJ_OX

a'ax=a"ayw即a'a"_LOZ

aax=a"az

這說(shuō)明點(diǎn)的三個(gè)投影不是孤立的，而是彼此之間有肯定的位置關(guān)系。而且這個(gè)關(guān)系不因

空間點(diǎn)的位置變更而變更，因此可以把它概括為普遍性的投影規(guī)律：

(1)點(diǎn)的正面投影和程度投影的連線垂直O(jiān)X軸，即a，a，OX；

(2)點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直O(jiān)Z軸，即a，a"，OZ；

(3)點(diǎn)的程度投影a和到OX軸的間隔等于側(cè)面投影a"到OZ軸的間隔，即aa*=a"a

Z。(可以用45°協(xié)助線或以原點(diǎn)為圓心作弧線來(lái)反映這一投影關(guān)系)

根據(jù)上述投影規(guī)律，若已知點(diǎn)的任何兩個(gè)投影，就可求出它的第三個(gè)投影。

3、講解例題(例2—1)已知點(diǎn)A的正面投影a，和側(cè)面投影a"(圖2—12),求作其程

度投影a。

(a)題目(b)解答

圖2—12已知點(diǎn)的兩個(gè)投影求第三個(gè)投影

強(qiáng)調(diào)：一般在作圖過(guò)程中，應(yīng)自點(diǎn)O作協(xié)助線(及程度方向夾角為45°),以說(shuō)明aax

=a"az的關(guān)系。

(三)點(diǎn)的三面投影及直角坐標(biāo)

1、點(diǎn)的三面投影及直角坐標(biāo)的關(guān)系

三投影面體系可以看成是一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，因此可用直角坐標(biāo)確定點(diǎn)的空間位置。

投影面H、V、W作為坐標(biāo)面，三條投影軸OX、OY、OZ作為坐標(biāo)軸，三軸的交點(diǎn)O作為

坐標(biāo)原點(diǎn)。

由圖2—13可以看出A點(diǎn)的直角坐標(biāo)及其三個(gè)投影的關(guān)系：

點(diǎn)A到W面的間隔=Oax=a0z=aaYH=x坐標(biāo)；

點(diǎn)A到V面的間隔=OaYH=aax=a"az=y坐標(biāo)；

點(diǎn)A到H面的間隔=Oaz=a，ax=a"aYw=z坐標(biāo)。

圖2—13點(diǎn)的三面投影及直角坐標(biāo)

用坐標(biāo)來(lái)表示空間點(diǎn)位置比擬簡(jiǎn)潔，可以寫(xiě)成A(x,y,z)的形式。

由圖2—13(b)可知，坐標(biāo)x和z確定點(diǎn)的正面投影球，坐標(biāo)x和y確定點(diǎn)的程度投

影a,坐標(biāo)y和z確定點(diǎn)的側(cè)面投影若用坐標(biāo)表示，則為a(x,y,0),a，(x,0,z),

a"(0,y,z)o

因此，已知一點(diǎn)的三面投影，就可以量出該點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)；相反地，已知一點(diǎn)的三個(gè)坐

標(biāo)，就可以量出該點(diǎn)的三面投影。

2、講解例題(例2—2)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)(20,10,18),作出點(diǎn)的三面投影，并畫(huà)出其

立體圖。

其作圖方法及步驟如圖

(b)(c)

圖2—14由點(diǎn)的坐標(biāo)作點(diǎn)的三面投影

立體圖的作圖步驟如圖2—15所示：

1、在投影面上的點(diǎn)（有一個(gè)坐標(biāo)為0）

有兩個(gè)投影在投影軸上，另一個(gè)投影和其空間點(diǎn)本身重合。例如在V面上的點(diǎn)A,如

圖2-16（a）所示;

2、在投影軸上的點(diǎn)（有兩個(gè)坐標(biāo)為0）

有一個(gè)投影在原點(diǎn)上，另兩個(gè)投影和其空間點(diǎn)本身重合。例如在OZ軸上的點(diǎn)B,如圖

2—16（b）所示；

3、在原點(diǎn)上的空間點(diǎn)（有三個(gè)坐標(biāo)都為0）

它的三個(gè)投影必定都在原點(diǎn)上。如圖2—16（c）所示。

圖2—16特殊位置點(diǎn)的投影

（五）兩點(diǎn)的相對(duì)位置

1、兩點(diǎn)的相對(duì)位置

設(shè)已知空間點(diǎn)A,由原來(lái)的位置向上（或向下）挪動(dòng)，則z坐標(biāo)隨著變更，也就是A

點(diǎn)對(duì)H面的間隔變更；

假如點(diǎn)A,由原來(lái)的位置向前（或向后）挪動(dòng)，則y坐標(biāo)隨著變更，也就是A點(diǎn)對(duì)V

面的間隔變更;

假如點(diǎn)A,由原來(lái)的位置向左（或向右）挪動(dòng)，則x坐標(biāo)隨著變更，也就是A點(diǎn)對(duì)W

面的間隔變更.

綜上所述，對(duì)于空間兩點(diǎn)A、B的相對(duì)位置

（1）距W面遠(yuǎn)者在左（x坐標(biāo)大）；近者在左（x坐標(biāo)?。?；

（2）距V面遠(yuǎn)者在前（y坐標(biāo)大）；近者在后（y坐標(biāo)小）；

（3）距H面遠(yuǎn)者在左（z坐標(biāo)大）；近者在左（z坐標(biāo)?。?/p>

2、舉例

如圖2—17所示，若已知空間兩點(diǎn)的投影，即點(diǎn)A的三個(gè)投影a、a，、a"和點(diǎn)B的三

個(gè)投影b、b'>b",用A、B兩點(diǎn)同面投影坐標(biāo)差就可判別A、B兩點(diǎn)的相對(duì)位置。由于

XA>XB，表示B點(diǎn)在A點(diǎn)的右方；ZB>ZA，表示B點(diǎn)在A點(diǎn)的上方；yA>YB>表示B點(diǎn)在

點(diǎn)的A前方?？偲饋?lái)說(shuō)，就是B點(diǎn)在A點(diǎn)的右、后、上方。

圖2-17兩點(diǎn)的相對(duì)位置

3、重影點(diǎn)

若空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合，則這兩點(diǎn)是該投影面的重影點(diǎn)。這時(shí)，空間兩

點(diǎn)的某兩坐標(biāo)一樣，并在同一投射線上。

當(dāng)兩點(diǎn)的投影重合時(shí).，就需要判別其可見(jiàn)性，應(yīng)留意：對(duì)H面的重影點(diǎn)，從上向下視

察，z坐標(biāo)值大者可見(jiàn)；對(duì)W面的重影點(diǎn)，從左向右視察，x坐標(biāo)值大者可見(jiàn)；對(duì)V面的

重影點(diǎn)，從前向后視察，y坐標(biāo)值大者可見(jiàn)。在投影圖上不行見(jiàn)的投影加括號(hào)表示，如（a，）。

4、舉例

如圖2—18中，C、D位于垂直H面的投射線上，c、d重影為一點(diǎn)，則C、D為對(duì)H

面的重影點(diǎn)，z坐標(biāo)值大者為可見(jiàn)，圖中ZC>ZD，故c為可見(jiàn)，d為不行見(jiàn)，用c（d）表示。

四、小結(jié)

1、空間點(diǎn)及其投影的標(biāo)記標(biāo)記符號(hào)

2、點(diǎn)的投影及及其直角坐標(biāo)的關(guān)系

3、點(diǎn)的三面投影規(guī)律

4、特殊位置點(diǎn)的投影

5、兩點(diǎn)的相對(duì)位置和重影點(diǎn)

五、布置作業(yè)

習(xí)題集2—1(1)?(8)

第九講§2-4直線的投影

課題：1、直線的投影圖

2、直線對(duì)于一個(gè)投影面的投影特性

3、各種位置直線的投影特性

4、一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面的傾角

課堂類型：講授

教學(xué)目的：1、講解三種投影面平行線和三種投影面垂直線的投影特性

2、講解用直角三角形法求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和傾角

教學(xué)要求：I、理解并駕馭各種位置直線的投影特性，并能根據(jù)投影特性判別直線對(duì)投影面

的相對(duì)位置

2、嫻熟駕馭求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)各投影面傾角的直角三角形法

教學(xué)重點(diǎn)：1、各種位置直線的投影特性

2、直角三角形法

教學(xué)難點(diǎn)：直角三角形法

教具：自制的三投影面體系模型；

掛圖：“投影面平行線的投影特性”、“投影面垂直線的投影特性”

教學(xué)方法：直線投影的本質(zhì)，就是線段兩個(gè)端點(diǎn)的同面投影的連線；尤其是投影面垂直線，

本質(zhì)就是重影點(diǎn)。

為了進(jìn)一步加強(qiáng)空間思維的訓(xùn)練，要用肯定量的例題作演示性講解，并布置適當(dāng)

的練習(xí)加以穩(wěn)固。

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)舊課

1、講評(píng)上次作業(yè)。

2、復(fù)習(xí)點(diǎn)的投影及及其直角坐標(biāo)的關(guān)系

3、復(fù)習(xí)點(diǎn)的三面投影規(guī)律

4、復(fù)習(xí)特殊位置點(diǎn)的投影

5、復(fù)習(xí)兩點(diǎn)的相對(duì)位置和重影點(diǎn)

二、引入新課題

空間兩點(diǎn)確定一條空間直線段，空間直線的投影一般也是直線。直線段投影的本質(zhì)，就

是線段兩個(gè)端點(diǎn)的同面投影的連線；所以學(xué)習(xí)直線的投影，必需于點(diǎn)的投影聯(lián)絡(luò)起來(lái)。

三、教學(xué)內(nèi)容

(-)直線的投影圖

空間始終線的投影可由直線上的兩點(diǎn)(通常取線段兩個(gè)端點(diǎn))的同面投影來(lái)確定。如圖

2-19所示的直線AB,求作它的三面投影圖時(shí)，可分別作出A、B兩端點(diǎn)的投影(a、a\a")、

(b、b\b"),然后將其同面投影連接起來(lái)即得直線AB的三面投影圖(ab、a，b，、a"b")。

(a)(b)(c)

圖2—19直線的投影

(二)直線對(duì)于一個(gè)投影面的投影特性

空間直線相對(duì)于一個(gè)投影面的位置有平行、垂直、傾斜三種，三種位置有不同的投影特

性。

1、真實(shí)性當(dāng)直線及投影面平行時(shí)，則直線的投影為實(shí)長(zhǎng)。如圖2—20(a)所示。

2、積聚性當(dāng)直線及投影面垂直時(shí)，則直線的投影積聚為一點(diǎn)。如圖2—20(b)所示。

3、收縮性當(dāng)直線及投影面傾斜時(shí)，則直線的投影小于直線的實(shí)長(zhǎng)。如圖2—20(c)所

zjso

(a)(b)(c)

圖2—20直線的投影

(三)各種位置直線的投影特性

根據(jù)直線在三投影面體系中的位置可分為投影面傾斜線、投影面平行線、投影面垂直

線三類。前一類直線稱為-一般位置直線，后兩類直線稱為特殊位置直線。

1、投影面平行線

平行于一個(gè)投影面且同時(shí)傾斜于另外兩個(gè)投影面的直線稱為投影面平行線。平行于V

面的稱為正平線；平行于H面的稱為程度線；平行于W面的稱為側(cè)平線。

直線及投影面所夾的角稱為直線對(duì)投影面的傾角。a、B、丫分別表示直線對(duì)H面、V

面、W面的傾角。

舉例說(shuō)明：正平線的投影特性

強(qiáng)調(diào)：(1)斜線反映實(shí)長(zhǎng)；

(2)直線的傾角a、丫。

總結(jié)投影面平行線的投影特性：兩平一斜。

要求學(xué)生必需駕馭表2—1中的圖例。

對(duì)于投影面平行線的分辨：當(dāng)直線的投影有兩

個(gè)平行于投影軸，第三投影及投影軸傾斜時(shí)，則該直線肯定是投影面平行線，且肯定平行于

其投影為傾斜線的那個(gè)投影面。

講解例題(例2—3)如圖2—21所示，已知空間點(diǎn)A,試作線段AB,長(zhǎng)度為15,

并使其平行V面，及H面傾角a=30°(只需一解)。

(a)題口(b)解答

圖2-21作正平線AB

2、投影面垂直線

垂直于一個(gè)投影面且同時(shí)平行于另外兩個(gè)投影面

的直線稱為投影面垂直線。垂直于V面的稱為正垂線;

垂直于H面的稱為鉛垂線；垂直于W面的稱為側(cè)垂

線。

舉例說(shuō)明：側(cè)垂線的投影特性

強(qiáng)調(diào)：(1)兩個(gè)投影反映實(shí)長(zhǎng)；

(2)一個(gè)投影積聚為一點(diǎn)。

總結(jié)投影面平行線的投影特性：兩線一點(diǎn)。

要求學(xué)生必需駕馭表2—2中的圖例。

對(duì)于投影面垂直線的分辨：直線的投影中只要有一個(gè)投影積聚為一點(diǎn)，則該直線肯定是

投影面垂直線，且肯定垂直于其投影積聚為一點(diǎn)的那個(gè)投影面。

講解例題(例2—4)如圖2—22所示，已知正垂線AB的點(diǎn)A的投影，直線AB長(zhǎng)

度為10毫米，試作直線AB的三面投影(只需一解)。

(a)題目(b)解答

圖2—22作正垂線AB

3、一般位置直線

及三個(gè)投影面都處于傾斜位置的直線稱為一般位置直線。

舉例：如圖2—23（a）所示，直線AB及H、V、W面都處于傾斜位置，傾角分別為a、

B、Y。

其投影

一般位置直線的投影特征可歸納為:

（1）直線的三個(gè)投影和投影軸都傾斜,各投影和投影軸所夾的角度不等于空間線段對(duì)

相應(yīng)投影面的傾角;

（2）任何投影都小于空間線段的實(shí)長(zhǎng)，也不能積聚為一點(diǎn)。

對(duì)于一般位置直線的分辨：直線的投影假如及三個(gè)投影軸都傾斜?，則可斷定該直線為一

般位置直線。

（四）一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面的傾角

1、直角三角形法的作圖原理

如圖2-24所示，AB為一般位置直線，過(guò)

端點(diǎn)A作直線平行其程度投影ab并交Bb于C,

得直角三角形ABC。在直角三角形ABC中，斜

邊AB就是線段本身，底邊AC等于線段AB的

程度投影ab,對(duì)邊BC等于線段AB的兩端點(diǎn)到

H面的間隔差（Z坐標(biāo)差），也即等于a，b，兩

端點(diǎn)到投影軸0X的間隔差，而AB及底邊AC

的夾角即為線段AB對(duì)H面的傾角a。圖2—24直角三角形法的原理

2、直角三角形法的作圖方法和步驟

根據(jù)上述分析，只要用一般位置直線在某

一投影面上的投影作為直角三角形的底邊，用

直線的兩端點(diǎn)到該投影面的間隔差為另始終

角邊，作出始終角三角形。此直角三角形的斜

邊就是空間線段的真實(shí)長(zhǎng)度，而斜邊及底邊的

夾角就是空間線段對(duì)該投影面的傾角。這就是

直角三角形法。

作圖方法及步驟如圖2—25所示，用線段

的任一投影為底邊均可用直角三角形法求出

空間線段的實(shí)長(zhǎng)，其長(zhǎng)度是一樣的，但所得傾

角不同。

在直角三角形法中，直角三角形包含四個(gè)圖2—25直角三角形法

因素：投影長(zhǎng)、坐標(biāo)差、實(shí)長(zhǎng)、傾角。只要知道兩個(gè)因素，就可以將其余兩個(gè)求出來(lái)。

3、講解例題(例2—5)如圖2—26(a)所示，已知直線AB的實(shí)長(zhǎng)L=15mm,及直線

AB的程度投影ab和點(diǎn)A的正面投影a，,試用直角三角形法求出直線AB的正面投影a，b\

(a)題目(b)解答

圖2—26直角三角形法應(yīng)用示例

四、小結(jié)

1、三種位置直線(包括七種類型)的投影特性。尤其留意：實(shí)長(zhǎng)和傾角的推斷。

2、用直角三角形法求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)各投影面傾角的方法和步驟。

五、布置作業(yè)

習(xí)題集2—2⑴、(2)、(7)

第十講§2-4直線的投影

課題：1、直線上點(diǎn)的投影

2、兩直線的相對(duì)位置

3、直角投影定理

課堂類型：講授

教學(xué)目的：1、講解直線上點(diǎn)的投影特性

2、講解兩直線各種相對(duì)位置（平行、相交、穿插）的投影特點(diǎn)

3、講解用直角投影定理

教學(xué)要求：1、理解并駕馭直線投影的定比性的解題方法

2、會(huì)根據(jù)兩直線的投影推斷它們的相對(duì)位置，并嫻熟駕馭兩直線平行、相交的

作圖問(wèn)題

3、理解并駕馭直角投影定理的特點(diǎn)和解題思路

教學(xué)重點(diǎn)：1、兩直線各種相對(duì)位置（平行、相交、穿插）的投影特點(diǎn)

2、直角投影定理

教學(xué)難點(diǎn)：利用直角投影定理圖解空間幾何問(wèn)題

教具：自制的三投影面體系模型

教學(xué)方法：例題協(xié)助講解

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)舊課

1、三種位置直線（包括七種類型）的投影特性。尤其留意：實(shí)長(zhǎng)和傾角的推斷。

2、用直角三角形法求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)各投影面傾角的方法和步驟。

二、引入新課題

上次課我們學(xué)習(xí)了三種位置直線的投影特性，本次課我們接著學(xué)習(xí)空間直線的其他投影

特性。

三、教學(xué)內(nèi)容

（一）直線上點(diǎn)的投影

1、直線上點(diǎn)的投影

點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必定在該直線的同面投影上，反之，若一個(gè)點(diǎn)的各個(gè)投影

都在直線的同面投影上，則該點(diǎn)必定在直線上。

舉例：如圖2—27所示直線AB上有一點(diǎn)C,則C點(diǎn)的三面投影c、c\c"必定分別在

直線

的同

投影

a'b'、

a"b"

Z

圖2—27直線上點(diǎn)的投影

2、直線投影的定比性

直線上的點(diǎn)分割線段之比等于其投影之比，這稱為直線投影的定比性。

在圖2—27中，點(diǎn)C在線段AB上，它把線段AB分成AC和CB兩段。根據(jù)直線投影

的定比性，AC：CB=ac：cb=a，c，：c，b，=a"c"：c"b"。

3、講解例題(例2—6)如圖2—28(a),已知側(cè)平線AB的兩投影和直線上K點(diǎn)的正面

投影k\求K點(diǎn)的程度投影ko

(a)題目(b)解法1(c)解法2

圖2—28求直線上點(diǎn)的投影

(二)兩直線的相對(duì)位置

兩直線的相對(duì)位置有平行、相交、穿插三種狀況。

1、兩直線平行

（1）特性

若空間兩直線平行，則它們的各同面投影必定互相平行。如圖2—29所示，由于AB〃

CD,則必定ab〃cd、a，b，〃c，d'a"b"〃c"d"。反之，若兩直線的各同面投影互相平行，

則此兩直線在空間也必定互相平行。

(a)(b)

圖2—29兩直線平行

（2）斷定兩直線是否平行

1）假如兩直線處于一般位置時(shí)，則只需視察兩直

線中的任何兩組同面投影是否互相平行即可斷定。

2）當(dāng)兩平行直線平行于某一投影面時(shí)，則需視察

兩直線在所平行的那個(gè)投影面上的投影是否互相平行

才能確定。如圖2—30所示，兩直線AB、CD均為側(cè)平

線，雖然ab〃cd、aE〃cd,但不能斷言兩直線平行，

還必需求作兩直線的側(cè)面投影進(jìn)展斷定，由于圖中所

示兩直線的側(cè)面投影a"b"及c"d"相交，所以可斷定直

線AB、CD不平行。

2、兩直線相交圖2—30推斷兩直線是否平行

（1）特性

若空間兩直線相交，則它們的各同面投影必定相交,且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律。如圖2

一31所示，兩直線AB、CD相交于K點(diǎn)，因?yàn)镵點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)，則此兩直線的各組

同面投影的交點(diǎn)k、k\k"必定是空間交點(diǎn)K的投影。反之，若兩直線的各同面投影相交,

且各組同面投影的交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則此兩直線在空間也必定相交。

(b)

圖2—31兩直線相交

（2）斷定兩直線是否相交

1）假如兩直線均為一般位置線時(shí)，則只需視察兩直線中的任何兩組同面投影是否相交

且交點(diǎn)是否符合點(diǎn)的投影規(guī)律即可斷定。

2）當(dāng)兩直線中有一條直線為投影面平行線時(shí)，則需視察兩直線在該投影面上的投影是

否相交且交點(diǎn)是否符合點(diǎn)的投影規(guī)律才能確定；或者根據(jù)直線投影的定比性進(jìn)展推斷。如圖

2—32所示，兩直線AB、CD兩組同面投影ab及cd、a，9及c，d，雖然

相交，但經(jīng)過(guò)分析推斷，可斷定兩直線在空間不相交。

(a)(b)

圖2—32兩直線在空間不相交

3、兩直線穿插

兩直線既不平行又不相交，稱為穿插兩直線。

(1)特性

若空間兩直線穿插，則它們的各組同面投影必不同時(shí)平行，或者它們的各同面投影雖然

相交，但其交點(diǎn)不符合點(diǎn)的投影規(guī)律。反之亦然。如圖2—33(a)所示。

(2)斷定空間穿插兩直線的相對(duì)位置

空間穿插兩直線的投影的交點(diǎn)，事實(shí)上是空間兩點(diǎn)的投影重合點(diǎn)。利用重影點(diǎn)和可見(jiàn)性,

可以很便利地判別兩直線在空間的位置。在圖2—33(b)中，推斷AB和CD的正面重影點(diǎn)

k)(D的可見(jiàn)性時(shí)，由于K、L兩點(diǎn)的程度投影k比1的y坐標(biāo)值大，所以當(dāng)從前往后看時(shí),

點(diǎn)K可見(jiàn)，點(diǎn)L不行見(jiàn)，由此可斷定AB在CD的前方。同理，從上往下看時(shí)，點(diǎn)M可見(jiàn),

點(diǎn)N不行見(jiàn)，可斷定CD在AB的上方。

(三)直角投影定理

1、概念

空間垂直相交的兩直線，若其中的始終線平行于某投影面時(shí).，則在該投影面的投影仍為

直角。反之，若相交兩直線在某投影面上的投影為直角，且其中有始終線平行于該投影面時(shí),

則該兩直線在空間必互相垂直。這就是直角投影定理。

如圖2—34所示。已知AB_LBC,且AB為正平線，所以ab必垂直于be。

(a)(b)

圖2—34垂直相交的兩直線的投影

2、講解例題

(目的是扶植學(xué)生理解駕馭利用直角投影定理圖解空間幾何問(wèn)題的解題思路和解題方

法)

(I)例2—7求點(diǎn)A到直線BC的間隔，如圖2—35(a)

(a)題目(b)解法

圖2—35求點(diǎn)到直線的間隔

(2)例2—8如圖2-36(a)所示，已知菱形ABCD的一條對(duì)角線AC為一正平線,

菱形的一邊AB位于直線AM上，求該菱形的投影圖。

(a)題目(b)解法

圖2—36求菱形的投影圖

四、小結(jié)

1、平行兩直線的投影特性和判別方法。

2、相交兩直線的投影特性和判別方法。

3、穿插兩直線的投影特性。

4、直角投影定理的應(yīng)用

五、布置作業(yè)

習(xí)題集2—2(3)、(4)、(5)、(6)、(8)、(9)、(10)、(11)

第十一講§2-5平面的投影

課題：1、平面的表示法

2、平面對(duì)于一個(gè)投影面的投影特性

3、各種位置平面的投影特性

課堂類型：講授

教學(xué)目的：1、介紹平面的兩種表示法

2、講解三種投影面平行面和三種投影面垂直面的投影特性

教學(xué)要求：1、熟識(shí)平面在投影圖上的表示法

2、理解并駕馭各種位置平面的投影特性，并能根據(jù)投影特性判別平面對(duì)投影面

的相對(duì)位置

教學(xué)重點(diǎn)：各種位置平面的投影特性，

教具：自制的三投影面體系模型；

掛圖：“投影面平行面的投影特性”、“投影面垂直面的投影特性”

教學(xué)方法：平面投影的本質(zhì)，就是平面形各頂點(diǎn)的同面投影依次連線。

各種位置平面的投影，講解重點(diǎn)放在投影特性和有無(wú)實(shí)形的推斷上；對(duì)于每一種

位置平面形的投影，重點(diǎn)講解其中的一種類型，其他類型可由學(xué)生自己分析解決。

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)舊課

1、復(fù)習(xí)兩直線各種相對(duì)位置(平行、相交、穿插)的投影特性和判別方法。

2、結(jié)合作業(yè)講解直角投影定理的應(yīng)用。

二、引入新課題

平面圖形具有肯定的形態(tài)、大小和位置，常見(jiàn)的有三角形、矩形、正多邊形等直線輪廓

的平面形。另外，還有一些由直線或曲線圍成的平面形。平面投影的本質(zhì)，就是求平面形輪

廓上的一系列的點(diǎn)的投影(對(duì)于多邊形而言則是其頂點(diǎn))，然后將各點(diǎn)的同面投影依次連線。

三、教學(xué)內(nèi)容

(-)平面的表示法

在投影圖上表示平面有兩種方法。

1、一組幾何元素的投影表示平面

(1)不在同始終線上的三點(diǎn)，如圖2—37(a)

(2)始終線和直線外一點(diǎn),如圖2—37(b)

(3)相交兩直線，如圖2—37(c)

(4)平行兩直線，如圖2—37(d)

(5)隨意平面圖形，如三角形、四邊形、圓形等，如圖2—37(e)

(a)(b)(c)(d)(e)

圖2—37用幾何元素表示平面

留意：為理解題的便利，常常用一個(gè)平面圖形(如三角形)表示平面。

2、跡線表示法

跡線一一空間平面及投影面的交線，如圖2—38(a)所示。

平面P及H面的交線稱為程度跡線，用PH表示；

平面P及V面的交線稱為正面跡線，用Pv表示；

平面P及W面的交線稱為側(cè)面跡線，用Pw表示。

PH、Pv、Pw兩兩相交的交點(diǎn)Px、PY、Pz稱為跡線集合點(diǎn)，它們分別位于OX、0Y、

0Z軸上。

由于跡線既是平面內(nèi)的直線，又是投影面內(nèi)的直線，所以跡線的一個(gè)投影及其本身重合,

另兩個(gè)投影及相應(yīng)的投影軸重合。在用跡線表示平面時(shí)，為了簡(jiǎn)明起見(jiàn)，只畫(huà)出并標(biāo)注及跡

線本身重合的投影，而省略及投影軸重合的跡線投影，如圖2—38(b)所示。

(a)(b)

(二)平面對(duì)于一個(gè)投影面的投影特性

空間平面相對(duì)于一個(gè)投影面的位置有平行、垂直、傾斜三種，三種位置有不同的投影特

性。

1、真實(shí)性當(dāng)平面及投影面平行時(shí)，則平面的投影為實(shí)形，如圖2—39(a)所示。

2、積聚性當(dāng)平面及投影面垂直時(shí)，則平面的投影積聚成一條直線，如圖2—39(b)所

zjso

3、類似性當(dāng)直線或平面及投影面傾斜時(shí)，則平面的投影是小于平面實(shí)形的類似形，如圖

2-39(c)所示。

(a)(b)(c)

圖2-39平面的投影特性

(三)各種位置平面的投影特性

根據(jù)平面在三投影面體系中的位置可分為投影面傾斜面、投影面平行面、投影面垂直

面三類。前一類平面稱為一般位置平面，后兩類平面稱為特殊位置平面。

1、投影面垂直面

垂直于一個(gè)投影面且同時(shí)傾斜于另外兩個(gè)投影面的平面稱為投影面垂直面。垂直于V

面的稱為正垂面；垂直于H面的稱為鉛垂面；垂直于W面的稱為側(cè)垂面。平面及投影面所

夾的角度稱為平面對(duì)投影面的傾角。a、B、Y分別表示平面對(duì)H面、V面、W面的傾角。

舉例說(shuō)明：鉛垂面的投影特性

強(qiáng)調(diào)：（1）兩個(gè)投影均為類似形；

（2）一個(gè)投影積聚為直線，并反映6、Y角。

總結(jié)投影面平行線的投影特性：兩面一線。

要求學(xué)生必需駕馭表2—3中的圖例。

對(duì)于投影面垂直面的分辨：假如空間平面在某一

投影面上的投影積聚為一條及投影軸傾斜的直線，則

此平面垂直于該投影面。

講解例題（例2—9）如圖2—39（a）所示，四邊形ABCD垂直于V面，已知H面

的投影abed及B點(diǎn)的V面投影b，且于H面的傾角a=45°,求作該平面的V面和W面

投影。

（a）題目（b）解答

圖2-40求作四邊形平面ABCD的投影

2、投影面平行面

平行于一個(gè)投影面且同時(shí)垂直于另外兩個(gè)投影面的平面稱為投影面平行面。平行于V

面的稱為正平面；平行于H面的稱為程度面；平行于W面的稱為側(cè)平面;

舉例說(shuō)明：正平面的投影特性

Z

強(qiáng)調(diào)：（1）兩個(gè)投影積聚為直線；

（2）一個(gè)投影反映實(shí)形。

總結(jié)投影面平行線的投影特性：兩線一面。

要求學(xué)生必需駕馭表2—4中的圖例。

對(duì)于投影面垂直面的分辨：假如空間平面在某

一投影面上的投影積聚為一條及投影軸傾斜的直

線，則此平面垂直于該投影面。

3、一般位置平面

及三個(gè)投影面都處于傾斜位置的平面稱為一般位置平面。

例如平面4ABC及H、V、W面都處于傾斜位置，傾角分別為a、B、丫。其投影如

圖2-41所示。

一般位置平面的投影特征可歸納為：一般位置平面的三面投影，既不反映實(shí)形，也無(wú)

積聚性，而都為類似形。圖2—41一般

位置平面

對(duì)于一般位置平面的分辨：假如平面的三面投影都是類似的幾何圖形的投影，則可斷定

該平面肯定是一般位置平面。

四、小結(jié)

1、平面的兩種表示法。

2、三種位置平面(包括七種類型)的投影特性，尤其留意：有無(wú)實(shí)形的推斷。

五、布置作業(yè)

五、布置作業(yè)

習(xí)題集2—3(1)、(4)、(5)

第十二講§2-5平面的投影

課題：1、平面上的直線和點(diǎn)

2、平面上的投影面平行線

課堂類型：講授

教學(xué)目的：1、講解在平面上取點(diǎn)、取直線的作圖方法

2、講解在平面上取投影面平行線的作圖方法

教學(xué)要求：1、可以嫻熟駕馭在平面上取點(diǎn)、取直線的作圖方法

2、可以根據(jù)在平面上的點(diǎn)、直線的投影規(guī)律，特殊是用平面上的投影面平行線,

完成一些簡(jiǎn)潔的圖解問(wèn)題

教學(xué)重點(diǎn)：在平面上取點(diǎn)、取直線、取投影面平行線的作圖方法

教學(xué)難點(diǎn)：利用在平面上的點(diǎn)、直線的投影規(guī)律，圖解空間幾何問(wèn)題

教具：自制的三投影面體系模型；

教學(xué)方法：例題協(xié)助講解

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)舊課

1、平面的兩種表示法：幾何元素法和跡線表示法。

2、三種位置平面(包括七種類型)的投影特性。

二、引入新課題

上次課我們學(xué)習(xí)了三種位置直線的投影特性，本次課我們接著學(xué)習(xí)在平面上取點(diǎn)、取直

線的作圖問(wèn)題。

三、教學(xué)內(nèi)容

(-)平面上的直線和點(diǎn)

1、平面上的點(diǎn)

點(diǎn)在平面上的幾何條件是：點(diǎn)在平面內(nèi)的始終線上，則該點(diǎn)必在平面上。因此在平面上

取點(diǎn)，必需先在平面上取始終線，然后再在該直線上取點(diǎn)。這是在平面的投影圖上確定點(diǎn)所

在位置的根據(jù)。

舉例：如圖2—42所示，相交兩直線AB、AC確定一平面P,點(diǎn)S取自直線AB,所以

點(diǎn)S必在平面P上。

(a)(b)

圖2—42平面上的點(diǎn)

2、平面上的直線

直線在平面上的幾何條件是：

(1)若始終線通過(guò)平面上的兩個(gè)點(diǎn)，則此直線必定在該平面上。

(2)若始終線通過(guò)平面上的一點(diǎn)并平行于平面上的另始終線，則此直線必定在該平面

上。

舉例之一：如圖2—43所示，相交兩直線AB、AC確定一平面P,分別在直線AB、AC

上取點(diǎn)E、F,連接EF,則直線EF為平面P上的直線。作圖方法見(jiàn)圖2—43(b)所示。

(a)(b)

舉例之二：如圖2—44所示，相交兩直線AB、AC確定一平面P,在直線AC上取點(diǎn)E,

過(guò)點(diǎn)E作直線MN〃AB,則直線MN為平面P上的直線。作圖方法見(jiàn)圖2—44(b)所示。

(a)(b)

圖2-43平面上的直線

3、講解例題(例2—10)如圖2—45(a)所示，試推斷點(diǎn)K和點(diǎn)M是否屬于4ABC

所確定的平面。

(a)題目(b)解答

圖2—45推斷點(diǎn)是否屬于平面

(-)平面上的投影面平行線

1、定義

屬于平面且又平行于一個(gè)投影面的直線稱為平面上的

投影面平行線。平面上的投影面平行線一方面要符合平行線

的投影特性，另一方面又要符合直線在平面上的條件。

2、舉例：如圖2—46所示，過(guò)A點(diǎn)在平面內(nèi)要作一程度線

AD,可過(guò)a，作a，d，〃0X軸，再求出它的程度投影ad,a，cf

和ad即為4ABC上一程度線A