壓力容器應(yīng)力分析

壓力容器應(yīng)力分析

南京工業(yè)大學(xué)備課筆記1

第二章壓力容器應(yīng)力分析

StressAnalysisofPressureVessels

容器設(shè)計(jì)的核心問題是研究容器在各種機(jī)械載荷與熱載荷作用下，有效地限制變形和抵

抗破壞的能力。因此，容器設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)就是對容器進(jìn)行充分的應(yīng)力和變形分析。

2.1載荷分析LoadingAnalysis

2.1.1載荷Loading

(1)壓力是壓力容器承受的基本載荷

(2)非壓力載荷

分整體載荷與局部載荷:

整體載荷是作用于整臺(tái)容器上的載荷，重力，風(fēng)，地震,

局部載荷是作用與容器局部區(qū)域上的載荷，管系載荷，支座反力，吊裝力等.[1]

重力載荷Gravity

[2]風(fēng)載荷Winding

[3]地震載荷Earthquake

[4]運(yùn)輸載荷Transport

[5]波動(dòng)載荷Undulate

[6]管系載荷piping

(3)交變載荷

2.1.2載荷工況LoadState

(1)正常操作工況

(2)特殊載荷工況

壓力試驗(yàn)，開停車及檢修

（3）意外載荷工況突然停車，化學(xué)爆炸,南京工業(yè)大學(xué)備課筆記2

2.2回轉(zhuǎn)薄殼應(yīng)力分析StressAnalysisofRevolutionShells

殼體：一種以兩個(gè)曲面為界，且曲面之間距離遠(yuǎn)比其它方向尺寸小得多的構(gòu)件。殼體

的中面：與殼體兩曲面等距離的點(diǎn)所組成的曲面。

回轉(zhuǎn)殼：其中面由一條平面曲線或直線繞同平面內(nèi)的軸線回轉(zhuǎn)而成的殼體。殼體的厚

度：二曲面之間的距離。

薄殼：厚度t/中面曲半徑R的比值為薄殼，反之為厚殼。

在薄殼應(yīng)力分析中，采用彈性力學(xué)薄殼理論。

幾個(gè)假設(shè)：材料連續(xù)、均勻、各向同性，小變形，各層間不擠壓。

受載后的變形是小變形：

殼壁各層纖維在變形后互不擠壓：

2.2.1薄壁圓筒的應(yīng)力StressinThin—walledCylinders

薄壁圓筒在內(nèi)壓P作用下，產(chǎn)生三個(gè)方向的應(yīng)力

軸向應(yīng)力，周向應(yīng)力，徑向應(yīng)力r

故任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為二向的..

求解，：采用材料力學(xué)中，“截面法”保留右邊，如下圖（a）

根據(jù)力的平衡：

內(nèi)P作用在封頭上產(chǎn)生向右的軸向外力P

在筒壁上向左的軸向內(nèi)力為Dt

對薄殼：DiD故P

得：PD4t4Di24D2Dt

取1單位長圓環(huán)，過y軸，作上軸的平面，將圓環(huán)截成兩半，取右半如上圖（b）。

同樣考慮方向上力的平衡，

內(nèi)力為：2t1南京工業(yè)大學(xué)備課筆記3

外力為：一微小圓弧弧長：Rida

徑向外力為PRid1

軸向PRid1Sin

整個(gè)外力：22PRiSindo

力的平衡：22PRiSind2to

PD2—14t

PD2——22t

2.2.2回轉(zhuǎn)薄殼的無力矩理論MembraneTheory

（1）回轉(zhuǎn)薄殼的幾何要素geometryterms

回轉(zhuǎn)薄殼：中面由一條平面曲線或直線繞同平面內(nèi)的軸線回轉(zhuǎn)360。而成的薄殼。母

線：繞軸線回轉(zhuǎn)形成中面的平面曲線或直線。

如右圖：

00軸線

0A母線

經(jīng)線平面，通過回轉(zhuǎn)軸的平面

經(jīng)線：經(jīng)線平面與中面的交線0A（對回轉(zhuǎn)殼，母線與經(jīng)線）。

平行圓：垂直于回轉(zhuǎn)軸的平面與中面的交線形成的圓。

平行圓半徑：平行圓的半徑。

第一主曲平半徑（R1）：經(jīng)線0A在任一點(diǎn)（B）處的曲平半徑RIK1B

第二主曲半半徑（R2）：中面上所考察點(diǎn)（B）到該點(diǎn)法線與回轉(zhuǎn)軸交點(diǎn)K2之間的距離

R2K2B

坐標(biāo)系:

：r與任意定義的直線之間的夾角

：回轉(zhuǎn)軸與中面上所考察點(diǎn)B處法線間的夾角

yz：浮動(dòng)坐標(biāo)，隨考察點(diǎn)而變：經(jīng)線的切向

南京工業(yè)大學(xué)備課筆記4

y：經(jīng)線的周向

：法向z

同一點(diǎn)的第一主曲率半徑，第二主曲率半徑都在該點(diǎn)的法線上。

從右圖可看到rR2Sin

（2）無力矩理論與有力矩理論Membraneshelltheoryandbendingshelltheory

在殼體理論中，分析問題有這樣兩種理論：

①無力矩理論（薄膜理論）

假定壁厚與直徑相比小得多，殼壁象薄膜一樣，只能承受拉（壓）應(yīng)力，而不能承受彎

矩和彎曲應(yīng)力，或者說，忽略彎曲內(nèi)力的影響。

這樣計(jì)算得到的應(yīng)力，稱薄膜應(yīng)力。

②有力矩理論

認(rèn)為殼體雖然很薄，但仍有一定的厚度和剛度，因而殼體除拉（壓）應(yīng)力，外還存在彎

矩和彎曲應(yīng)力，實(shí)際上，理想的厚壁殼體是不存在，即使壁很薄殼體中或多或少存在彎曲

應(yīng)力。

一般情況下，殼體中面上存在10個(gè)內(nèi)力分量（內(nèi)力：由于外力，或其他外界因素）作

用引起物體內(nèi)部作用力的改變量，稱為內(nèi)力。

在載荷作用下，內(nèi)部各點(diǎn)發(fā)生相對位移，因而產(chǎn)生的相應(yīng)作用力。

N、N：法向力（垂直該截面）Q、Q

：橫向剪力N、N：剪力，M、M：彎矩M、M：扭矩

當(dāng)中面曲率扭率改變非常小時(shí)，彎曲內(nèi)力很小，就可忽略從而得無力矩狀態(tài)。

2.2.3無力矩理論的基本方程BasicEquations

(1)殼體微元及其內(nèi)力分量shellelementandinternalforces

在殼體取一微元體abdc由三個(gè)對截面組成：殼體內(nèi)外表面、二個(gè)相鄰經(jīng)線截面ab、

cd,二個(gè)兩鄰的與經(jīng)線垂直的圓殼體正交的圓錐面。

經(jīng)線方向弧長ab為

dllRid

與殼體正交的圓錐面截線bd為dl2rd

南京工業(yè)大學(xué)備課筆記5

微元體的面積

dAdlldl2Ridrd

載荷：作為軸對稱問題，垂直于殼體表面的壓力

PP

分析各截面上的內(nèi)力：

作為無力矩理論為基礎(chǔ).，軸對稱問題的概念：幾何形狀，約束條件和所受的我荷都對

稱于回轉(zhuǎn)軸，則引起的應(yīng)力和變形必定是軸對稱的。

微元截面上的內(nèi)力：

周向：N

經(jīng)向：N

因?yàn)檩S對稱所以在ab.cd載面上N值相等

因?yàn)镹隨變化，所以bd截面上N,ad截面上增加了微量NdN。

(2)微元平衡方程EquilibriumEquations

作用在微元上的內(nèi)力分量和外載荷組成平衡力系，設(shè)殼體壁厚為3由右圖得：

經(jīng)向內(nèi)力N、N

NSind2線上的分量為d在法NdNSind2

Ntdl2trd

NdN4dtrdrd

令bd截面的平行圓半徑為r

令ac截面的平行圓半徑為r+dr

得：

tR2Sind

tdrdd2tR2Sindd2d2dtR2Sindd2d2

dtdrd

tR2Sindd

再以ac截面（或bd）為例

見右圖，周向內(nèi)力N在平行圓半徑方向的分量為：

南京工業(yè)大學(xué)備課筆記6

2NSind

2

tRldd

再將該分量投影到法線方向

得tRlddSin

得內(nèi)力分量在法線方向上的和為：

tR2SinddtRISindd

外載荷在法線上的力

PdAPdlldl2

PRidR2Sind

力的平衡式

tR2SinddtRISinddPRlR2ddSin

二邊除tRlR2Sindd得

RIR2Pt(2-3)

稱LaplaceEquation

薄膜應(yīng)力，與P的平衡方程

(3)區(qū)域平衡方程EquilibriumEquationinPartofshell

方程(2-3)中有二個(gè)未知量，。

下面從部分容器的靜力平衡出發(fā)，作一與殼體正交的圓錐面mDm,取截面的下部分容

器進(jìn)行研究，在這部分殼體中。

作二個(gè)相鄰且與殼體正交的圓錐面，二圓錐面之間寬度dl,則在a這環(huán)帶上所受壓力沿

回轉(zhuǎn)軸的分量為：dvP2rdiCos

而Cosdr

dl

這部分殼體壓力所產(chǎn)生的沿回轉(zhuǎn)軸的總的力為：

V

2rmormdVprdro南京工業(yè)大學(xué)備課筆記7

行圓半徑rm,mm處平

而作用在截面mm上的內(nèi)力的軸向分量為：

VNCos2rmtCos

面mm處經(jīng)線切向與回轉(zhuǎn)軸。。的夾角，這部分殼體區(qū)域靜力平衡：截

或VV2rmtCos

rmoPrdrrmtCos(2—4)

從(2—4)可求得

代入(2-3)即可求得。9

(2—4)稱殼體的區(qū)域平衡方程式

微元平衡方程與區(qū)域平衡方程是無力距理論的兩個(gè)基本方程。

2.2.4無力矩理論的應(yīng)用ApplicationofMembraneShellTheory

用無力矩理論來求解幾種典型回轉(zhuǎn)薄殼的應(yīng)力，注意該理論的應(yīng)用條件。

(1)承受氣體內(nèi)壓的回轉(zhuǎn)簿殼Revolutionthinshellunderinternalpressure

僅受氣體內(nèi)壓，P為常量，則內(nèi)壓產(chǎn)生的軸向力分量

V2

2rmoPrdr

V

2rmtCos

rm

R2rmP2tCosrmP由(2—4)得Cos

所以PR22t(2-5)

R2(22-6)RI代入(2—3)得

對各種形狀的殼體

a球形殼體(半徑R)SphericalShell

則R=R1=R2

所以PR2t(2-7)南京工業(yè)大學(xué)備課筆記8

b.薄壁圓筒(半徑R)CylindricalShell

則任一點(diǎn)處RIR2

得PR

tPR2t(2-8)

與(2-1)(2-2)用截面法得到的結(jié)果是一致的

2

c.錐形殼體ConicalShell

用于：改變流體的速度，便于固體(粘性物料)卸出。

對殼體上任一點(diǎn)A處

RIR2tg

得Ptg2tPr

2tCos

Pr

tCosP2(2-9)

分析①，與成線性關(guān)系，大端處最大2②半錐角，對確定應(yīng)

力是一個(gè)重要參量

0接近圓筒90°接近平板

d.橢球形殼體EllipsoidalShell由4橢圓繞固定軸旋轉(zhuǎn)而成，其長、短半軸分別

為：a,b,則橢圓曲線方程：

a22yb221

a22得yab

根據(jù)數(shù)學(xué)中曲率計(jì)算式：RI1y1232yll

3

代入后得RIb2142ayb

a4242by3ayb423a4ybay6324232a4ybab4424232南京工業(yè)大學(xué)

備課筆記

由前圖幾何關(guān)系得

R2

212tg1y(切線的斜率)

2

R

222

所以tg

4

a2a2b21

2

b

將RLR2代入(2-5)(2-6)得:

2

Pa42a2b21

2

PR2t2tb

42

2R2Paa2b21

2

RIa4

2tb2

a42a2b2

稱(Haggenberger)胡金伯格方程

分析(2—10)式:

①應(yīng)力與坐標(biāo)有關(guān)

頂點(diǎn)：0RIRa2Pa22b2bt赤道處：aRb2

2aRIa

PaPa2

2ttla

2b2

②應(yīng)力與長短軸之比的關(guān)系及應(yīng)力性質(zhì)

ab<2>0

ab=2=0

ab>2<0

隨著增大，當(dāng)過大，就有可能發(fā)出局部屈曲.(LocalBuckling)

措施：整體或局部增加厚度，局部加強(qiáng)(環(huán)狀構(gòu)件)③標(biāo)準(zhǔn)橢圓形封頭standard

ellipticalhead92-10)(南京工業(yè)大學(xué)備課筆記10

常用：ab2

Pa

t頂點(diǎn)：

赤道：

所以頂PatPa2t赤

(2)儲(chǔ)存液體的回轉(zhuǎn)薄殼：revolutionthinshellforliquidstorage

液壓的特點(diǎn)：

垂直于壁面、軸對稱載荷、載荷大小承液面深度而變化

Pg

液面的距離，：液體密度：離

a..圓筒形殼體cylindricalshell

頂部密閉，底部支承

已知：P,t,,H,Po

則對任一點(diǎn)A(處)

RIR2R

PPog

由(2—3)式

RIR2Pt

tR

t所以PR2Pog

求

在任意處將殼體截開，取上部。軸向力的平衡，載荷的垂直方向合力R2Po內(nèi)力的合

力：

2Rt

所以2RtRPo2PoR2t

南京工業(yè)大學(xué)備課筆記11

取下部殼體為分離體，總支反力QR2Hg,

載荷的垂直方向合力

RPoRHgQ

RPo222

內(nèi)力的合力

2Rt

所以PoR2t

項(xiàng)部懸掛的殼體的應(yīng)力計(jì)算

已知R,,t,Po,II

RI,R2R

液體總重R2Hg

任一點(diǎn)處A承受的壓力PPog

由(2—3)式

PR2

tR

tPog

作一任意橫截面，由上部殼體的軸向力平衡，

總支反力QR2Hg,載荷的垂直方向合力為：

QRPoRHgRPo222

內(nèi)力的合力

2Rt

所以RHgRPo2Rt22R

2tHgPo

盡管支承方式不同，但由于支承反力總是軸向力。

b.球形殼體

由A-A平行圓裙座支承，不考慮氣壓Po=0,

液體密度，任一點(diǎn)M處的靜壓力PgRgRCos。當(dāng)<o即在裙座以上部分

南京工業(yè)大學(xué)備課筆記12

作用在M點(diǎn)以上部分，球殼的總軸向力為:

由區(qū)域平衡方程（P30）

V2rm

oPrdr

VRSin

drRCosd

得V2

ogR1CosRSinRCosd

123122gRCos1Cos362

代入(2-4)

V2rmtCos

所以

1231222gRCos1Cos2RtSin362

gRt22Cos11Cos2(2-12a)

代入(2—3)

RIR2Pt

得2gR

6t22Cos56Cos(2—12b)1Cos

對于〉o,即裙座A—A處以下的部分殼體

軸向力：除靜壓(液體)外，若忽略殼體自重，要考慮支反力(為液體重量)。G4

3Rg3

這時(shí)的區(qū)域平衡方程式

122221222RgRCos1CosRg2RtSin2

R3362

gR6t22Cos51Cos2(2-13a)

22Cos16Cos(2-13b)1Cos代入(2-3)

2gR

6t

對，進(jìn)行分析：

比較（2-12）與（2-13）,在支座處不相等，即不連續(xù),

有突變。

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2gR6t2222Coso51CosogR6t222Coso11

CosogR

23tSino

22Coso16Coso1CosogR

6t2gR6t222Coso56Coso1Coso

上述應(yīng)力的突變量，是由支座反力G引起的。

承處的突變表明，在平行圓A—A在支

處存在周向膨脹的突變，為保持殼體（應(yīng)力與）

位移的連續(xù)性，在支座附近的球殼有局部彎曲發(fā)生。

所以支座處應(yīng)力不能用無矩理論，而必須用有力矩理論來分析。

（3）無力矩理論應(yīng)用條件

按無力矩理論假設(shè)，軸對稱條件下的薄殼只有薄膜應(yīng)力和，沒有彎曲應(yīng)力和剪

應(yīng)力。

對實(shí)際容器，殼體總有一定的抗彎剛度，必定要引起伸長（或壓縮）和彎曲變形，但在

一定條件下，殼體內(nèi)產(chǎn)生的薄膜應(yīng)力比彎曲應(yīng)力和剪應(yīng)力大得多，以致后者可忽略不計(jì)，

此時(shí)也近似為無矩應(yīng)力狀態(tài)。實(shí)際這種無矩應(yīng)力狀態(tài)（薄膜狀態(tài)）殼體的幾何形狀，加載

方式以及邊界條件（支承）應(yīng)滿足以下三個(gè)條件：

①殼體的t,R,P連續(xù)，無突變，且材料性能相同

②殼體的邊界處無橫向剪力（Q）彎矩（M）和扭矩M

③邊界處的轉(zhuǎn)角和撓度不受約束

同時(shí)滿足三個(gè)條件非常困難，按道理只要一條不滿足就不能采用無力矩理論。

但對于遠(yuǎn)離局部連接區(qū)域的殼體則可以采用無力矩理論解。

2.2.5回轉(zhuǎn)薄殼的不連續(xù)分析DiscontinuityAnalysis

（1）不連續(xù)效應(yīng)與不連續(xù)分析的基本方法

a.不連續(xù)效應(yīng)discontinuityeffect

“不連續(xù)”包含兩個(gè)方面：兒何形狀不連續(xù)，厚度、載荷、溫度、材料的不連續(xù)（即有

突變）。這些因素引起了薄膜應(yīng)力的不連續(xù)。

如圖殼體由橢圓殼、圓柱殼、錐殼等連接組成。

在形狀不相同的殼體連接處，如以一個(gè)獨(dú)立的元南京工業(yè)大學(xué)備課筆記14

件在內(nèi)壓作用下自由變形，則連接殼體經(jīng)線的轉(zhuǎn)

角及經(jīng)向位移，一般不相等。

實(shí)際殼體在連接處必須是連續(xù)的不可能分離，其

經(jīng)線的轉(zhuǎn)角和徑向位移必須相等，故在連接部位

附近就造成種約束，迫使殼體發(fā)生局部彎曲變形，

在連接邊緣處產(chǎn)生了附加的邊緣力Qo和邊緣力矩Mo,從而使這一區(qū)域應(yīng)力增大。

容器由于這種總體結(jié)構(gòu)的不連續(xù)而在連接邊緣的局部地區(qū)出現(xiàn)衰減很快的應(yīng)力升高觀

象，稱為“不連續(xù)效應(yīng)”或“邊緣效應(yīng)”。

由此而引起的局部應(yīng)力稱為“不連續(xù)應(yīng)力”或“邊緣應(yīng)力”。

分析容器不連續(xù)應(yīng)力的方法在工程上稱為“不連續(xù)分析”。

b.不連續(xù)分析的基本方法

使用一般的殼體理論求解，相當(dāng)繁雜，對形狀簡單的實(shí)際容器，工程上常采用“力

法”，即把殼體的解分為兩部分。

無力矩理論的解——薄膜應(yīng)力（一次應(yīng)力）

有力矩理論的解——彎曲應(yīng)力（二次應(yīng)力）

后者，是由于相鄰部分材料的約束或結(jié)構(gòu)知身約束所產(chǎn)生的應(yīng)力，有自限性，當(dāng)它超過

材料屈服點(diǎn)時(shí)就產(chǎn)生局部屈服或較小變形，從而使連接處的不同變形得到協(xié)調(diào)。

以右示圖為例

一半球形殼與圓柱殼組合殼受內(nèi)壓Po

分別半球殼和圓柱殼計(jì)算其周向應(yīng)力為：

o0球=PR/2t00柱=PR/t

顯然圓柱殼的周向應(yīng)力為球殼的一倍，其變形也可算得，其薄膜變形如虛線所示，即兩

殼體在平行圓的徑向位移是不相等WP球WP柱若壁厚相等，則W球P12W柱P.而實(shí)際上

二殼體是

連成一體不可能分開，因此二殼體的連接處將產(chǎn)生邊緣力Q。和邊緣力矩Mo,從而引起

彎曲變形。

根據(jù)變形連續(xù)條件

W球W柱

球柱

其變形協(xié)調(diào)方程具體可寫為南京工業(yè)大學(xué)備課筆記15

W球

球PW球QoW球球MoW柱柱PW柱柱QoW柱MoP球

QoMoPQo柱Mo

解此方程就可求得Qo,Mo

從而求得彎曲應(yīng)力，再與薄膜應(yīng)力疊加，即為問題的全解。

（2）圓柱殼受邊緣力和邊緣力矩作用的彎曲解Bendingsolution

邊緣邊受到均布（沿圓周）的Q。，Mo

作用在邊緣平行圓的平面內(nèi)

根據(jù)彈性理論中，圓柱殼在軸對稱載荷作用下的有力矩理論基本微分方程式為：dW

d444W4PDM

RDNx

這是一個(gè)四階常系數(shù)，線性非齊次微分方程

W----徑向位移

系數(shù)

P——內(nèi)壓

殼體抗彎剛度DD——Et3

331Rt222［長度］T121

Nx——單位圓周長度上的軸向薄膜力，可直接由圓柱殼軸向力平衡關(guān)系求得。

所考慮點(diǎn)離圓柱殼邊緣的距離——

在“高等數(shù)學(xué)”，先求其齊次方程的解

dW

dX444W04

通解為：WexCICosxC2SinxexC3CosxC4Sinx

式中Cl,C2,C3,C4積分常數(shù)，由邊界條件確定。

邊界條件

當(dāng)圓筒較長，隨著的增大，彎曲變形衰減很快，而ex是增函數(shù)，不會(huì)衰減，所以

必有Cl=0,C2=0,這樣原式變?yōu)?/p>

WexC3CosxC4Sinx南京工業(yè)大學(xué)備課筆記16

在邊界處的彎矩、剪力應(yīng)滿足：

Mx0

Qx0d2WDdx2dWDdx33Mo0

Qo0

代回可解得：

C3

C412DMo2D23QoMo

從而解得W的表達(dá)式，就可相應(yīng)求得內(nèi)力：

NEt

MxDWR2NxdW

dx2

2

MD

QxdMx

dxdWdx3DdW

dx33

式中N——單位圓周長度上周向薄膜內(nèi)力

Mx——單位圓周長度上的橫向彎矩

——單位圓周長度上的周向彎矩

——單位周周長度上的橫向剪力MQx

內(nèi)力求出后，就可按材料力學(xué)方法計(jì)算各應(yīng)力分量，彎曲應(yīng)力計(jì)算：xNxt

N

t12Mxt3z12M

t3z

z——離殼體中面的距離

當(dāng)2=土?xí)r，即在連接邊緣處的內(nèi)外表面彎曲應(yīng)力最大2t南京工業(yè)大學(xué)備課筆記17

max

maxNxtNt6Mxtt26M2(2-18)

而圓柱殼彎曲問題中的總應(yīng)力由兩部分組成，一部分是由薄膜內(nèi)力引起薄膜應(yīng)力，一部

分是彎曲應(yīng)力，所以總應(yīng)力應(yīng)為：

xPR2tPR

tNxtN

t6Mxt26M

t2

而橫向切應(yīng)力與正應(yīng)力相比數(shù)值很小，可不予計(jì)算.

一般回轉(zhuǎn)殼(球橢球錐)受Q。，Mo作用，產(chǎn)生的不連續(xù)應(yīng)力，求解相對較復(fù)雜，這兒

不予介紹有興趣可參閱參教書。

(3)組合殼不連續(xù)應(yīng)力的計(jì)算實(shí)例Example

以圓平蓋與圓柱殼連接處的邊緣應(yīng)力計(jì)算為例

受內(nèi)壓的容器

將平蓋與圓柱殼作為單獨(dú)分離體考慮，在連接

處受到Qo,Mo作用，厚板與薄板的變形有較

大差異，這里看作厚板處理，可假設(shè)連接處沒有位移和轉(zhuǎn)角：

W1W1

PPQoQoWIMoMo00111

薄壁圓柱殼中應(yīng)按(2-8)式計(jì)算

PR

tPR2t

根據(jù)廣義虎克定律

1E1E

所以1PRPREt2t

P若內(nèi)壓作用下，圓筒徑向位移為W2南京工業(yè)大學(xué)備課筆記18

2RW2P2R

22R

PW2RP所以W2PR2Et2

圓柱殼在內(nèi)壓作用下經(jīng)線轉(zhuǎn)角為零，所以2P0.

根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件：

W1W1

PPQoQoWlMoW2PW2PQoW2QoMoOMo11IMo0222

將位數(shù)和轉(zhuǎn)角分別代入可得：

PR

122Et21

212D2Mo12D3Qo0DMo2DQo0

MoD2PR

Et22

2從而解得：

3Qo2DPR

Et2

Qo的負(fù)號表示實(shí)際方向和原假設(shè)方向相反。

求得圓柱殼中最大應(yīng)力為經(jīng)向應(yīng)力位于邊緣處0

max2.05PRt

遠(yuǎn)大于薄膜應(yīng)力PR)(4.1倍2t

(4)不連續(xù)應(yīng)力的特征Characteristics

不同結(jié)構(gòu)組合殼在連接處有不同邊緣應(yīng)力，有的值較大，有的小一些，但有二個(gè)共同特

點(diǎn)。a.局部性Localization

邊緣應(yīng)力的影響范圍很小，只在連接邊緣附近的局部范圍。

以圓柱殼而言，Qo,Mo引起的彎曲應(yīng)力，隨著離邊緣距離的增加，而呈指數(shù)函數(shù)迅速

衰減。

當(dāng)離邊緣的距離大于可忽略Q。，Mo的影響

南京工業(yè)大學(xué)備課筆記19

Rt2312.5Rt(0.3)

2.5Rt與R相比，是一個(gè)很小的數(shù)字。

b.自限性Self-limiting

用塑性材料制造的容器當(dāng)不連續(xù)邊緣區(qū)應(yīng)力過大，一旦出現(xiàn)部分屈服變形時(shí)，這種彈性

約束即自行緩解，變形不會(huì)繼續(xù)發(fā)展，不連續(xù)應(yīng)力也不再無限制地增加，這種性質(zhì)稱為不

連續(xù)應(yīng)力的“自限性”。

限制不連續(xù)應(yīng)力的措施

由于具有以上兩種特性，除了分析設(shè)計(jì)法必須作祥細(xì)的應(yīng)力分析外，設(shè)計(jì)中一般不作具

體計(jì)算。

結(jié)構(gòu)上作局部調(diào)整的方法。

①連接處采用撓性結(jié)構(gòu)：圓弧過渡，不等厚的削薄連接

②局部加強(qiáng)

③減少外界引起的附加應(yīng)力，焊接殘余應(yīng)力，支座處的集中應(yīng)力，開孔接管處的應(yīng)力集

中。

2.3厚壁圓筒分析AnalysisofThick-walledCylinder

承受高壓設(shè)備的壁厚較大：

合成氨、合成甲醇、合成尿素

圓筒的外直徑與內(nèi)直徑之比常＞L2

厚壁圓筒在壓力載荷作用下的應(yīng)力特點(diǎn)

①薄壁圓筒只考慮，忽略r

厚壁圓筒壓力高，不能忽略r,應(yīng)作為三向應(yīng)力狀態(tài)分析

②薄壁圓筒中，，視為沿壁厚均勻分布的薄膜應(yīng)力

厚壁圓筒，應(yīng)力沿壁厚出現(xiàn)應(yīng)力梯度

③內(nèi)外壁間的溫差隨壁厚增大而增大，產(chǎn)生的溫差應(yīng)力增大，也不能忽略

應(yīng)力分析方法上：

薄壁：采用微元平衡方程和區(qū)域平衡方程

厚壁：三向應(yīng)力，其中，沿厚度非均勻分布，必須從平衡、幾何物理等三個(gè)方

面進(jìn)行分析才能確定應(yīng)力南京工業(yè)大學(xué)備課筆記20

本節(jié)分析單層厚壁圓筒的彈性、彈塑性應(yīng)力，屈服壓力，爆破壓力。組合式參閱有關(guān)文

獻(xiàn)。

2.3.1彈性應(yīng)力ElasticStresses

取一兩端封閉的厚壁圓筒。

已知:Pi,Po,Di,Do

(1)壓力載荷引起的彈性應(yīng)力

a.軸向(經(jīng)向)應(yīng)力Axialstress

用截面法,取左部

橫截面變形后仍保持平面.設(shè)z沿厚度方向

均布，由力的平衡得：

zRiPiRoPoRoRi2222PiRi2

2PoRoRi22Ro(2-25)

b.周向應(yīng)力與徑向應(yīng)力Tangentialstressandradialstress

應(yīng)力分布沿厚度不均勻，要從平衡方程，幾何方程和物理方程三個(gè)方面進(jìn)行考慮。①

取微元體

m,,ml,nl,n

半徑，r,r+dr,夾角d

軸線方向取1單位長度

取上右圖

軸向橫截面上有z對平衡無影響，沒標(biāo)

②平衡方程

微元體在半徑r方向上力的平衡

drdrdrddrrd

所以rrdrdr(2—26)

③幾何方程

微元體的應(yīng)變與位移之間的關(guān)系變形前m,ml,nl,n

變形后m，m,nl1,nmm面徑向位移：W

南京工業(yè)大學(xué)備課筆記21

ml,nl面徑向位移W+dW

根據(jù)應(yīng)變定義：

徑向：r

周向：WdWdrWdWdrW

r(2—27)rWdrdrd

徑向位移的函數(shù)，對第二式求導(dǎo)：r,均是

dWrrrrd

drrW

r2r2rr

④物理方程，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系

按廣義虎克定律

1

rErz

1

Erz

即物理方程

綜合平衡，幾何，物理方程：

由(2-29)二式相減得

1

rErr

1

Er

對(2—29)的第二式求導(dǎo)：dz

dr0

d1

drdr

Ed

drdr

將(2-30)代入(2-28)

所以d1

drrEr

以上二式應(yīng)相等

所以d1

drdr

drrr(2-28)2-29)2-30)(2-31)((南京工業(yè)大學(xué)備課

筆記從(2-26)中求得

rr

drdr

代入(2—31)式2

得：r

dr3drdr

2

dr

0

22

該微分方程的解：A

PiRi

PoRoRi2

Ro

2

Ro

2

Ri

2

B

PiPoRo

2

Ri

2

從而得到應(yīng)力的表達(dá)式

2

PiRi2PoRo2

PiPoRiRo

2

1Ro2

Ro2

Ro2

Ri

2

r2

PoRo

2

Ri2

Ro

2

1

r

PiRi

2Pi

Ro

2Ri

2

PoRo

2

Ri

2

r

2

2PoRo2

加上z

PiRi

Ro

2

Ri

2

1833年Lame提出.當(dāng)僅有內(nèi)壓時(shí)：Po0令kRo/Ri

2

PiK

2

11Ror2

則Pi2

r

K

2

11Ro2

r

z

PiK

2

1

應(yīng)力沿壁厚的分布變化如右圖

rRi

K21Pi

zPi

lrPi

K

2

1

k

2

1

rRo

2r0Pi

K

2

1

zPi

IK

2

1

小結(jié)：①壁中>0，z>0,r<0

②數(shù)值上：值最大，內(nèi)外壁相差Pi

22

2-33)

(2—34)(

南京工業(yè)大學(xué)備課筆記23

r從Pi0,z12r均布

③r沿壁厚不均勻程度與K值有關(guān),

內(nèi)外壁之比為2

K21,K越大,相差愈大,如K=l.1比值2.21相差10%,K=K3比

值為2.69相差近35%,K趨於1,內(nèi)外壁相差很小，可看成薄壁，應(yīng)力沿壁厚近似均

布。

(2)溫度變化引起的彈性熱應(yīng)力ElasticThermalStressesinducedby

Temperature

a.熱應(yīng)力

當(dāng)溫度變化引起的自由膨脹或收縮受到約束，在彈性體引起的應(yīng)力，稱為熱應(yīng)力。

取一邊長為單位長度的微元體，若從初始tl,加熱到溫度t2。

如：①不存在熱變形約束，各向熱應(yīng)變相同

xyzt2tlt,不產(chǎn)生熱應(yīng)力ttt

如②在y方向有約束，方向自由。此時(shí)應(yīng)變由二部分組成，熱應(yīng)變和y方向熱應(yīng)力

引起的彈性應(yīng)變，二者之和為零。

t

yty所

Et0所以t

yEt

如③二個(gè)方向(x,y)受到約束

則y方向應(yīng)變?yōu)椋?

E

1

E

ytyxytt0t0Et

1則方向應(yīng)變?yōu)椋簍xt解這二方程可得：xyt(2-36)

如④三個(gè)方向均受到剛性的約束則

1

E

1

E

1

Etxtytzt0

t0tOtytxtztztxty

南京工業(yè)大學(xué)備課筆記24

從而求得熱應(yīng)力為：xtytztb.厚壁圓筒的熱應(yīng)力thermalstress從這

三個(gè)方向可得到用表示的方程如

r2Gr

t

Etl2

(2-37)

12

rr

zz

t

12112

1

2G

t

12

代入平衡微分方程(2-26)

rr

drdr

tiln

RorlntolnRoRi

rRi

某r處的溫度為t

最終得到r處的溫差應(yīng)力：P52(2—38式)

t

2

Et1InKrKr1

221InKK12

EtInKrKr1

221InKK1

t

tz

E121nKr2

2

21InKK1r

KrRo

，ttito

下面討論熱差應(yīng)力的變化和分布規(guī)律：

rRi,

tr

0

t

2

Et12K

,221nKK1

tz

t

rRo,

tr0

t

Et12

2

21nKK1

tz

以通常內(nèi)部加熱為例，應(yīng)力分布如圖右

①熱應(yīng)力大小主要敢決于溫差t而t取習(xí)于厚度②熱應(yīng)力沿厚度是變化的，在壁面

上盡管

r0,但z在外壁面拉伸應(yīng)力，有最大值，

t

tt

南京工業(yè)大學(xué)備課筆記25

在內(nèi)壁面處為壓應(yīng)力。

d.熱應(yīng)力的特點(diǎn)：

①熱應(yīng)力與約束有關(guān)

約束程度增大熱應(yīng)力也增大，熱應(yīng)力與溫度變化量有關(guān)，并受初始溫度影響。②熱應(yīng)力

是由于熱變形受約束而引起的自平衡應(yīng)力，溫度高處發(fā)生壓縮，溫度低處發(fā)生拉伸。③

具有自限性

一旦發(fā)生屈服或高溫下蠕變(材料)就使熱應(yīng)力降低。

注意：開停車或工況變動(dòng)時(shí)，溫度分布處于非穩(wěn)態(tài)溫度場，熱應(yīng)力要比穩(wěn)態(tài)大得多，所

以要控制加熱冷卻的速度。

為減少熱應(yīng)力盡量避免外部對熱變形的約束，如設(shè)置，膨脹節(jié)，柔性元件等。

2.3.2彈塑性應(yīng)力Elastic—PlasticStress

(1)彈塑性應(yīng)力

受內(nèi)壓的厚壁圓筒隨著內(nèi)壓的增大，內(nèi)壁材料開始屈服，內(nèi)壓繼續(xù)增加時(shí),屈服層向外擴(kuò)

展,而外層仍為彈性區(qū).

彈塑性應(yīng)力，就是彈性區(qū)、塑性區(qū)同時(shí)存在時(shí)這二個(gè)區(qū)中的應(yīng)力。

分析；遠(yuǎn)離邊緣區(qū)取一筒節(jié)，由彈性區(qū)和塑性區(qū)組成兩

區(qū)分界面半徑：Rc,界面上的壓力：Pc,(相互間徑向壓力)

設(shè)材料為理想彈塑性材料(即無應(yīng)變硬化)南京工業(yè)大學(xué)備課筆記26

應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如右圖。

a.塑性區(qū)應(yīng)力

材料處于塑性狀態(tài)，仍適用于(2-26),微元平衡方程

即-or=rdor/dr(2-26)Misses屈服條件：認(rèn)為材料承載時(shí)的最大剪應(yīng)

力等于。s/3時(shí),材料開始進(jìn)入塑性狀態(tài)。可用下式來表示：Tmax=。s/3,而

Tmax=1/2(o0-or)BPo0-or=2

3(2-40)s

2

3drr由(2-26)(2-40)得dor2

3s積分后得：or=(2-41)slnrA

A:積分常數(shù)，由邊界條件確定

得A=-Pi-

2

323slnRirRi代回(2-41)得。r=RslnPi(2-42)

將(2-42)代入(2-40)得o0=

s23s1InrPi(2-43)Ri而塑性區(qū)軸向應(yīng)力oz=

r121nPi(2-44)R3i

在彈塑性交界面上，邊界條件為南京工業(yè)大學(xué)備課筆記27

r=Rc。r二一Pc

代入(2-42)得Pc二-

b.彈性區(qū)應(yīng)力

相當(dāng)于內(nèi)壓Pc的厚壁圓筒，代入Lame公式

(or)r=Rc=-Pc(。。)r=Rc=Pc(K2

c+1)/(K2

c-1)

同時(shí)，彈性區(qū)內(nèi)壁又是塑性區(qū)外壁，也處于屈服狀態(tài)也附合(2—40)

代入后得Pc=2

323slnRoRi(2-45)PcKc1

s22Kc2sRoRiRo2223(2-46)

比較(2-45)(2-46)Pc應(yīng)相等

可得到內(nèi)壓Pi與交界面半徑Rc的關(guān)系式

Pi=sR1221nc(2-47)RoRi3Rc2

彈性區(qū)也可使用Lame公式來計(jì)算各應(yīng)力，

內(nèi)外半徑為Rc,Ro內(nèi)壓為Pc=sRoRc

R2

o223,從而得(2-48)

另一屈服條件Tresca條件：當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到材料的剪切屈服強(qiáng)度TS時(shí)，便進(jìn)入屈

服狀態(tài)Tmax=1/2(o9-。r)=Ts=1/2。s

也可得到類似表達(dá)式。

彈塑性區(qū)應(yīng)力計(jì)算表達(dá)式見P55,表白2-4。

(2)殘余應(yīng)力Residualstress

產(chǎn)生:進(jìn)入彈塑性狀態(tài)的厚壁圓筒，內(nèi)壓全部卸除后，塑性區(qū)將存在殘余變形而不能恢復(fù)

原來尺寸,而彈性區(qū)要恢復(fù)到原來形狀又受到塑性區(qū)殘余變形的阻止,從而在塑性區(qū)出現(xiàn)壓

縮應(yīng)力,彈性區(qū)產(chǎn)生拉伸應(yīng)力.

殘余應(yīng)力計(jì)算;

根據(jù)卸載定理一將載荷的改變量為假想載荷,按彈性理論計(jì)算因載荷改變量所引起的應(yīng)

力和應(yīng)變改變量,從卸載前的應(yīng)力和應(yīng)變減去這些改變量就得到卸載后的應(yīng)力和應(yīng)變。

如右圖

南京工業(yè)大學(xué)備課筆記28

應(yīng)力：O-o-o1

。一殘余應(yīng)力

Ao=o-01：應(yīng)力改變量

Ae=e-e1：應(yīng)變改變量，

而△。=E△￡,滿足彈性關(guān)系，