初中經(jīng)典幾何模型鑒賞

初中經(jīng)典幾何模型鑒賞

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中點(diǎn)模型

【模型1】倍長(zhǎng)

1、倍長(zhǎng)中線；2、倍長(zhǎng)類中線；3、中點(diǎn)遇平行

延長(zhǎng)相交

【模型2】遇多個(gè)中點(diǎn)，構(gòu)造中位線

1、直接連接中點(diǎn)；2、連對(duì)角線取中點(diǎn)再相連

2

【例1】在菱形力笈CD和正三角形BE廠中，Z

力BC=60。，G是。尸的中點(diǎn)，連接GC、GE.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在6C邊上時(shí)，若45=10,

BF=4,求GE的長(zhǎng)；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在46的延長(zhǎng)線上時(shí)，線

段GC、GE有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系，寫出你

的猜想；并給予證明；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸在C5的延長(zhǎng)線上時(shí)，(2)

問中關(guān)系還成立嗎？寫出你的猜想，并給予證

明.

【例2】如圖，在菱形45CD中，點(diǎn)￡、尸分別

是BC、CD上一點(diǎn)，連接OE、EF,KAE=AF,

^DAE=NBAF,

(1)求證：CE=CF；

3

4

⑵若ZABC^nQPf點(diǎn)G是線段Ab的中點(diǎn)，連接

DG,EG,求證：DG±GE.

【例3】如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD,

E、F分別為BC、AD中點(diǎn)，BA交EF延長(zhǎng)線

于G,CD交EF于H.求證：ZBGE=ZCHE.

角平分線模型

5

【模型1】構(gòu)造軸對(duì)稱

【模型2】角平分線遇平行構(gòu)造等腰三角形

【例4】如圖，平行四邊形A3CD中，AE平分

ZBAD交BC邊于E,EF±AE交CD邊于F,

交40邊于延長(zhǎng)R4到點(diǎn)G,使AG=CF,

連接GF.若BC=7,DF=3,EH=3AE,則GF

的長(zhǎng)為.

6

手拉手模型

【條件】OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD

結(jié)論]

OAC^08D4助=/。48=/。。。（即都是旋轉(zhuǎn)角）；OE平分ZAED；

巨石毋.3向

【例5】如圖，正方形A4CD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)。

是對(duì)角線4C、笈。的交點(diǎn)，點(diǎn)E在。。上，且

7

DEVICE,過點(diǎn)。作CF_LBE,垂足為人連接

OF,則。方的長(zhǎng)為.

［例6］如圖，ABC中，ZBAC=90°9AB=ACfAD

LBC于點(diǎn)。，點(diǎn)E在AC邊上，連結(jié)KE,AG

L8E于尸，交BC于點(diǎn)G,求“FG

【例7】如圖，在邊長(zhǎng)為6g的正方形ABCD中，

￡是A5邊上一點(diǎn)，G是4D延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE

8

=DGf連接EG,_LEG于點(diǎn)交AD于點(diǎn)

F,連接CE、BHO若BH=8,貝!IFG=.

SL鄰邊相等對(duì)角互補(bǔ)模型

【模型1】

【條件】如圖，四邊形ABCD中，AB=ADf

NBAD+NBCD=ZABC+ZADC=180。

【結(jié)論】AC平分/BCD

9

【模型2】

【條件】如圖，四邊形ABCD中，AB=ADf

/BAD=/BCD=90°

【結(jié)論】?ZACB=ZACD=45°②BC+CD=血AC

【例8】如圖，矩形AKCD中，AB=6,40=5,

G為CD中點(diǎn),DE=DG,FGA

為.

10

【例9】如圖，正方形A3c。的邊長(zhǎng)為3,延長(zhǎng)

Q5至點(diǎn)M,使笈環(huán)=1,連接AM,過點(diǎn)笈作BN_LAM,

垂足為N,0是對(duì)角線AC.BD的交點(diǎn)，連接

ON,則ON的長(zhǎng)為.

11

【例10］如圖，正方形A3a）的面積為64,BCE

是等邊三角形，尸是CE的中點(diǎn)，AE、BF交于

點(diǎn)G,則0G的長(zhǎng)為.

【模型1】

【條件】如圖，四邊形ABCD中，AB=ADf

ZBAD+ZBCD=ZABC+ZADC=180°,

/￡4/=工/84。，點(diǎn)￡：在直線5。上，

2

【結(jié)論】BE、DF、稗滿足截長(zhǎng)補(bǔ)短關(guān)系

【模型2】

【條件】在正方形A3CD中，已知E、尸分別是

邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足NEA尸=45。，AE.

4方分別與對(duì)角線笈。交于點(diǎn)M、N.

【結(jié)論】

(1)BE+DF=EF；Q)SXABE+SXADF=SXAEF;(3)

AH=AB；(4)C^ECF=2AB；

⑸BW+DN^MN2；

(6)AANMsADNFs/\BEMs/\AEFS/\

BNA^ADAM；

(由AO：AH=AO：AB=1：也可得至(JAANM和

△AEb的相似比為1：0)；

(7)S4AMN=S四邊形MNbE；(8)^AOM^AADF,

AAON^AABE；

⑼AAEN為等腰直角三角形，NAEN=45。；

△AbM為等腰直角三角形，ZAFM=45°.

(1.ZEAF=45°；2.AE：AN=1：五)；

(10)A>M、F.Z)四點(diǎn)共圓，A、B、E、N四點(diǎn)

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共圓，M、N、F,C、E五點(diǎn)共圓.

【模型2變型】

【條件】在正方形A3co中，已知E、廠分別是

邊。3、。。延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且滿

【結(jié)論】BE+EF=DF

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【模型2變型】

【條件】在正方形"CD中，已知昆尸分別是

邊Q?、DC延長(zhǎng)線上的點(diǎn),

【結(jié)論】DF+EF=BE

【例11］如圖，MBC和SEE是兩個(gè)全等的等腰直

角三角形，/BAC=ZEDF=90°,NDEF的頂點(diǎn)E與AABC的

斜邊3C的中點(diǎn)重合.將AD"繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)

過程中，線段OE與線段A3相交于點(diǎn)P,射線

EF與線段AB相交于點(diǎn)G,與射線CA相交于

點(diǎn)。.若AQ=12,BP=3,貝！|PG=______.

D

BC

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【例12］如圖，在菱形A3CD中，AB=BDf點(diǎn)

￡、F分另U在AB.AD上，且連接BF

與OE交于點(diǎn)G,連接CG與小遂王點(diǎn)號(hào)‘若

則S四邊形BCOG=

一線三等角模型

【條件】NEDF=NB=NC,且DE=DF

【結(jié)論】BDE=CFD

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【例13］如圖，正方形4BCD中，點(diǎn)、E、F、G

分別為A5、BC、CD邊上的點(diǎn)，EB=3,GC=4,

連接用F、FG、GE恰好構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，

則正方形的邊長(zhǎng)為.

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弦圖模型

【條件】正方形內(nèi)或外互相垂直的四條線段

【結(jié)論】新構(gòu)成了同心的正方形

【例14］如圖，點(diǎn)后為正方形邊A3上

一點(diǎn)，點(diǎn)方在OE的延長(zhǎng)線上，AF=ABfAC與

FD交于點(diǎn)G,NE4b的平分線交哲7

過點(diǎn)D作HA的垂線交HA的好納可.若

E

47=34,FH=2y/2f貝!|Z>G=

B

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【例15］如圖，ABC中，ABAC=9019AB=ACfAD

J_笈。于點(diǎn)Z),點(diǎn)E是AC重點(diǎn)，連結(jié)KE,作

AG_L3￡于后交BC于點(diǎn)G,連接EG,求證:

AG+EG=BE.

最短路徑模型

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【兩點(diǎn)之間線段最短】

1、將軍飲馬

2、費(fèi)馬點(diǎn)

【垂線段最短】

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【兩邊之差小于第三邊】

【例16]

如圖，矩形他8是一個(gè)長(zhǎng)為1000米，寬為600

米的貨場(chǎng)，入、。是入口.現(xiàn)擬在貨場(chǎng)內(nèi)建一個(gè)

收費(fèi)站P,在鐵路線火段上建一個(gè)發(fā)貨站臺(tái)“，

設(shè)鋪設(shè)公路轉(zhuǎn)、加以及叨之長(zhǎng)度和為/.求/的最

小值.

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【例17】

如圖，E、方是正方形A4CZ）的邊AZ）上兩個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，滿足AE=O后連接Cb交加9

于G,連接8E交AG于點(diǎn)若正

方形的邊長(zhǎng)為2,則線段DH長(zhǎng)度的

最小值是.

【例18】

E是

如圖所示，在矩形ABCD中，AB=4,AO=4及f

沿

線段A3的中點(diǎn)，尸是線段8C上的動(dòng)點(diǎn),的

直線EF翻折到她石尸，連接陽，加最短為

22

23

【例19］如圖1,oA3CZ)中，AELBC^E,

AE=ADfEGLABG,延長(zhǎng)G￡、Z>C交于點(diǎn)

F,連接4足

(1)^BE=2ECfAB”,求AD的長(zhǎng)；

(2)求證：EG=BG+FC；

(3)如圖2,若AF=5^9EF=2,點(diǎn)M是線段AG

上的一'個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接ME,將AGME沿ME翻折得AG'ME,

連接DG，試求當(dāng)DG取得最小值時(shí)GM的長(zhǎng).

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課后練習(xí)題

【練習(xí)11如圖，以正方形的邊43為斜邊在正方

形內(nèi)作直角二角形ABE,ZAEB=90°,弋BD交衣。

、

已知AEBE的長(zhǎng)分別為3cm>5cmf的

面積.

DA

【練習(xí)2】

問題1：如圖1,在等腰梯形ABCD中，AD//

BC,AB=BC=CD,點(diǎn)、M,N分另U在AO,CD±,

ZMBN=^ZABC,試探究線段MN,AM,CN

有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直