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文檔簡介
第十一章計(jì)數(shù)原理
第1講分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理
最新考綱1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理;2.會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原
理分析和解決一些簡單的實(shí)際問題.
基礎(chǔ)診斷梳理自測(cè),理解記憶_____________________________________________________________
知識(shí)梳理
1.分類加法計(jì)數(shù)原理
完成一件事有"類不同的方案,在第一類方案中有町種不同的方法,在第二類方案中有,吸種不同的
方法,...,在第〃類方案中有種不同的方法,則完成這件事情,共有』=如+,"2~1----種不
同的方法.
2.分步乘法計(jì)數(shù)原理
完成一件事情需要分成〃個(gè)不同的步驟,完成第一步有町種不同的方法,完成第二步有“2種不同的
方法,...,完成第〃步有,如種不同的方法,那么完成這件事情共有N=m\義〃?2義…義",種不同的
方法.
3.分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理,都涉及完成一件事情的不同方法的種數(shù).它們的區(qū)別在于:
分類加法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān),各種方法相互獨(dú)立,用其中的任一種方法都可以完成這件事;分步乘
法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān),各個(gè)步驟相互依存,只有各個(gè)步驟都完成了,這件事才算完成.
診斷自測(cè)
1.判斷正誤(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或"X”)晦精彩PPT展示
(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法可以相同.(X)
(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中,每類方案中的方法都能直接完成這件事.(J)
(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,事情是分步完成的,其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都不能完成這件事,只有各
個(gè)步驟都完成后,這件事情才算完成.(J)
(4)如果完成一件事情有“個(gè)不同步驟,在每一步中都有若干種不同的方法加(i=l,2,3,…,n),那
么完成這件事共有〃?1〃?2〃[3。"〃?"種方法.(^)
2.從集合{1,2,3,…,10}中任意選出三個(gè)不同的數(shù),使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,這樣的等比數(shù)列的
個(gè)數(shù)為()
A.3B.4C.6D.8
解析以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列為1,2,4;1,3,9;
以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列為2,4,8;
以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列為4,6,9;
把這四個(gè)數(shù)列順序顛倒,又得到4個(gè)數(shù)列,
二所求的數(shù)列共有2(2+1+1)=8(個(gè)).
答案D
3.所有兩位數(shù)中,個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)共有()
A.45個(gè)B.36個(gè)
C.30個(gè)D.50個(gè)
解析個(gè)位數(shù)字為2的有1個(gè),個(gè)位數(shù)字為3的有2個(gè),……,個(gè)位數(shù)字為9的有8個(gè),由分類加法
8(1+8)
計(jì)數(shù)原理知,共1+2+3+4H---F8=——---'=36(個(gè)).
答案B
4.現(xiàn)有4種不同顏色要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色,要求有公共/---------]邊界的兩塊
/C\
不能用同一種顏色,則不同的著色方法共有()尸7\川
A.24種B.30種
C.36種D.48種
解析按A-B-C-。順序分四步涂色,共有4X3X2X2=48(種).
答案D
5.(人教A選修2-3P13B2改編)5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組,每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)小組,
則不同的報(bào)名方法有種.
解析每位同學(xué)都有2種報(bào)名方法,因此,可分五步安排5名同學(xué)報(bào)名,由分步乘法原理,總的報(bào)名
方法共2X2X2X2X2=32(種).
答案32
考點(diǎn)突破分類講練,以例求法暗精彩PPT名師講解
考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
【例1】(1)某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本,同樣的集郵冊(cè)3本,從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友,每位朋友
1本,則不同的贈(zèng)送方法共有()
A.4種B.10種C.18種D.20種
⑵滿足〃,方e{-1,0,1,2},且關(guān)于x的方程o?+2x+b=0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(〃,份的個(gè)數(shù)為()
A.14B.13C.12D.9
解析(1)贈(zèng)送1本畫冊(cè),3本集郵冊(cè),需從4人中選取一人贈(zèng)送畫冊(cè),其余送郵冊(cè),有C1種方法.
贈(zèng)送2本畫冊(cè),2本集郵冊(cè),只需從4人中選出2人送畫冊(cè),其余2人送郵冊(cè),有C?種方法.
由分類加法計(jì)數(shù)原理,不同的贈(zèng)送方法有C[+a=10(種).
(2)由于a,Z?e{-1,o,1,2).
①當(dāng)a=0時(shí),有尸一專為實(shí)根,則6=—1,0,1,2有4種可能;
②當(dāng)時(shí),則方程有實(shí)根,4=4一4B》0,所以岫Wl.(*)
(i)當(dāng)“=—1時(shí),滿足(*)式的6=—1,0,1,2有4種.
(ii)當(dāng)”=1時(shí),b=-l,0,1,有3種可能.
(iii)當(dāng)。=2時(shí),b=~\,0,有2種可能.
...由分類加法計(jì)數(shù)原理,有序數(shù)對(duì)3,與共有4+4+3+2=13(個(gè)).
答案(1)B(2)B
規(guī)律方法分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)所在,重點(diǎn)在于抓住題目中的關(guān)鍵詞或關(guān)鍵元素、
關(guān)鍵位置.首先根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn);其次分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方
法必須屬于某一類,且只能屬于某一類(即標(biāo)準(zhǔn)明確,不重不漏).
【訓(xùn)練1】在某種信息傳輸過程中,用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個(gè)信息,不同排列
表示不同信息,若所用數(shù)字只有0和1,則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)
為()
A.10B.11C.12D.15
解析與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息包括三類:
第一類:與信息0110有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有c^=6(個(gè));
第二類:與信息0110有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有Cl=4(個(gè));
第三類:與信息ono沒有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有c9=i(個(gè));
故與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息有6+4+1=11(個(gè)).
答案B
考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
【例2】有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力競賽項(xiàng)目,在下列情況下各有多少種不同的報(bào)名方法?(不一定
六名同學(xué)都能參加)
(1)每人恰好參加一項(xiàng),每項(xiàng)人數(shù)不限;
(2)每項(xiàng)限報(bào)一人,且每人至多參加一項(xiàng);
⑶每項(xiàng)限報(bào)一人,但每人參加的項(xiàng)目不限.
解(1)每人都可以從這三個(gè)比賽項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng),各有3種不同選法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,
知共有選法36=729(種).
(2)每項(xiàng)限報(bào)一人,且每人至多參加一項(xiàng),因此可由項(xiàng)目選人,第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法,第二個(gè)項(xiàng)目有
5種選法,第三個(gè)項(xiàng)目只有4種選法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,得共有報(bào)名方法6X5X4=120(種).
(3)由于每人參加的項(xiàng)目不限,因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這六人中選出一人參賽,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,
得共有不同的報(bào)名方法63=216(種).
規(guī)律方法利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題:(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步,即分步是有先后順序
的.(2)分步要做到“步驟完整”,只有完成了所有步驟,才完成任務(wù),根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,把完
成每一步的方法數(shù)相乘,得到總數(shù).
【訓(xùn)練2】(1)(2014.商洛一模)某體育彩票規(guī)定:從01至36共36個(gè)號(hào)中抽出7個(gè)號(hào)為一注,每注2
元.某人想從01至10中選3個(gè)連續(xù)的號(hào),從11至20中選2個(gè)連續(xù)的號(hào),從21至30中選1個(gè)號(hào),
從31至36中選1個(gè)號(hào)組成一注,則這人把這種特殊要求的號(hào)買全,至少要花()
A.3360元B.6720元
C.4320元D.8640元
(2)用0,1,2,3,4,5可組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè).
解析(1)從01至10中選3個(gè)連續(xù)的號(hào)共有8種選法;從11至20中選2個(gè)連續(xù)的號(hào)共有9種選法;
從21至30中選1個(gè)號(hào)有10種選法;從31至36中選一個(gè)號(hào)有6種選法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有
8X9X10X6=4320(種)選法,至少需花4320X2=8640(元).
(2)可分三步給百、十、個(gè)位放數(shù)字,第一步:百位數(shù)字共5種放法;第二步:十位數(shù)字有5種放法;
第三步:個(gè)位數(shù)字有4種放法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,三位數(shù)個(gè)數(shù)為5X5X4=100(個(gè)).
答案(1)D(2)100
考點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用
【例3】將一個(gè)四棱錐S-ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)異色,如果只
有5種顏色可供使用,那么不同的染色方法的總數(shù)是多少?
解法一設(shè)想染色按S-A—B—C—。的順序進(jìn)行,對(duì)S,A,8染色,有5X4X3=60(種)染色方法.
由于C點(diǎn)的顏色可能與A同色或不同色,這影響到D點(diǎn)顏色的選取方法數(shù),故分類討論:
C與A同色時(shí)(此時(shí)C對(duì)顏色的選取方法唯一),。應(yīng)與A(O,S不同色,有3種選擇;C與A不同色
時(shí),C有2種可選擇的顏色,。也有2種顏色可供選擇.從而對(duì)C、。染色有IX3+2*2=7(種)染色
方法.
由乘法原理,總的染色方法有60X7=420(種).
法二根據(jù)所用顏色種數(shù)分類可分三類
第一類:用三種顏色,此時(shí)A與C,8與。分別同色,問題相當(dāng)于從5種顏色中選3種涂三個(gè)點(diǎn).共
Ag=60(種)涂法;
第二類:用4種顏色,此時(shí)A與C,8與。中有且只有一組同色,涂法種數(shù)為2Ag=240(種);
第三類:用5種顏色,涂法種數(shù)共Ag=120(種).
綜上可知,滿足題意的染色方法總數(shù)為60+240+120=420(種).
規(guī)律方法(1)注意在綜合應(yīng)用兩個(gè)原理解決問題時(shí),一般是先分類再分步.在分步時(shí)可能又用到分類
加法計(jì)數(shù)原理.(2)注意對(duì)于較復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合應(yīng)用的問題,可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格,使
問題形象化、直觀化.
【訓(xùn)練3】如果一個(gè)三位正整數(shù)如切口2a3”滿足0<“2,且痣>。3,則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,
343,275等),那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為()
A.240B.204C.729D.920
解析若汲=2,則“凸數(shù)”為120與121,共1X2=2個(gè).若“2=3,則''凸數(shù)”有2X3=6個(gè).若
“2=4,滿足條件的“凸數(shù)”有3X4=12個(gè),…,若z=9,滿足條件的“凸數(shù)”有8X9=72個(gè)....
所有凸數(shù)有2+6+12+20+30+42+56+72=240(個(gè)).
答案A
課堂總結(jié)反思?xì)w納,感悟提升____________________________________________________________
[思想方法]
1.應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理要注意以下三點(diǎn):
(1)明確題目中所指的“完成一件事”指的是什么事,完成這件事可以有哪些方法,怎樣才算是完成這
件事.
(2)完成這件事的〃類辦法是相互獨(dú)立的,無論哪種辦法都可以單獨(dú)完成這件事,而不需要再用到其他
辦法.
(3)確立恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn),準(zhǔn)確地對(duì)“這件事”進(jìn)行分類,要求每一種方法必屬于某一類辦法,不同類
的任意兩種方法是不同的方法,這是分類問題中所要求的“不重復(fù)”、“不遺漏”.
2.使用分步乘法計(jì)數(shù)原理的關(guān)注點(diǎn)
(1)明確題目中的“完成這件事”是什么,確定完成這件事需要幾個(gè)步驟,且每步都是獨(dú)立的.
(2)將完成這件事劃分成幾個(gè)步驟來完成,各步驟之間有一定的連續(xù)性,只有當(dāng)所有步驟都完成了,整
個(gè)事件才算完成,這是分步的基礎(chǔ),也是關(guān)鍵.從計(jì)數(shù)上來看,各步的方法數(shù)的積就是完成事件的方
法總數(shù).
(3)解決分步問題時(shí)一定要合理設(shè)計(jì)步驟、順序,使各步互不干擾、互不影響,還要注意元素是否可以
重復(fù)選取.
[易錯(cuò)防范]
1.切實(shí)理解“完成一件事”的含義,以確定需要分類還是需要分步進(jìn)行.
2.分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”,分步的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計(jì)分步的程序,即合理分類,準(zhǔn)確
分步.
3.確定題目中是否有特殊條件限制.
課時(shí)作業(yè)分層訓(xùn)練,提升能力_____________________________________________________________
基礎(chǔ)鞏固題組
(建議用時(shí):40分鐘)
一、選擇題
1.從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選1人主持本班某次主題班會(huì),不同選法種數(shù)為
()
A.6種B.5種C.3種D.2種
解析由分類加法計(jì)算原理知總方法數(shù)為3+2=5(種).
答案B
2.4位同學(xué)從甲、乙、丙3門課程中各選修1門,則恰有2人選修課程甲的不同選法有
A.12種B.24種C.30種D.36種
解析分三步,第一步先從4位同學(xué)中選2人選修課程甲.共有C?種不同選法,第二步給第3位同學(xué)
選課程,有2種選法.第三步給第4位同學(xué)選課程,也有2種不同選法.故共有&X2X2=24(種).
答案B
3.從0,2中選一個(gè)數(shù)字,從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字,組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為
()
A.24B.18C.12D.6
解析三位數(shù)可分成兩種情況:(1)奇偶奇;(2)偶奇奇.對(duì)于(1),個(gè)位(3種選擇),十位(2種選擇),百
位(2種選擇),共12種;對(duì)于(2),個(gè)位(3種選擇),十位(2種選擇),百位(1種選擇),共6種,即12
+6=18.故選B.
答案B
4.已知集合〃={1,-2,3),N={-4,5,6,—7},從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),則這
樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是
()
A.18B.10C.16D.14
解析分兩類:第一類:M中元素作橫坐標(biāo),共3X2=6個(gè)點(diǎn),第二類:N中元素作橫坐標(biāo),共4X2
=8個(gè)點(diǎn),由分類加法原理知點(diǎn)的個(gè)數(shù)共6+8=14個(gè).
答案D
5.(2013?四川卷)從1,3,5,7,9這五個(gè)數(shù)中,每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為a,b,共可得到IgaTg
b的不同值的個(gè)數(shù)是()
A.9B.10C.18D.20
解析由于Iga—lgb=lg條“>0,b>0),
.?.1g月有多少個(gè)不同的值,只需看彳不同值的個(gè)數(shù).
從1,3,5,7,9中任取兩個(gè)作為群有Ag種,又由與施同,衿|相同,."4—^6的不同值的個(gè)數(shù)有
A?-2=18.
答案C
二、填空題
6.用數(shù)字2,3組成四位數(shù),且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次,這樣的四位數(shù)共有個(gè)(用數(shù)字作答).
解析數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次,包括以下情況:
“2”出現(xiàn)1次,“3”出現(xiàn)3次,共可組成Q=4(個(gè))四位數(shù).
“2”出現(xiàn)2次,“3”出現(xiàn)2次,共可組成C?=6(個(gè))四位數(shù).
“2”出現(xiàn)3次,“3”出現(xiàn)1次,共可組成?=4(個(gè))四位數(shù).
綜上所述,共可組成14個(gè)這樣的四位數(shù).
答案14
7.從班委會(huì)5名成員中選出3名,分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員,其中甲、乙二人不能
擔(dān)任文娛委員,則不同的選法共有種(用數(shù)字作答).
解析第一步,先選出文娛委員,因?yàn)榧?、乙不能?dān)任,所以從剩下的3人中選1人當(dāng)文娛委員,有
3種選法.
第二步,從剩下的4人中選學(xué)習(xí)委員和體育委員,又可分兩步進(jìn)行:先選學(xué)習(xí)委員有4種選法,再選
體育委員有3種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得,不同的選法共有3X4X3=36(種).
答案36
8.將數(shù)字1,2,3,4填入標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)方格中,每格填一個(gè)數(shù),則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填
數(shù)字均不相同的填法有種.
解析編號(hào)為1的方格內(nèi)填數(shù)字2,共有3種不同填法;編號(hào)為1的方格內(nèi)填數(shù)字3,共有3種不同填
法;編號(hào)為1的方格內(nèi)填數(shù)字4,共有3種不同填法.于是由分類加法計(jì)數(shù)原理,得共有3+3+3=9(種)
不同的填法.
答案9
三、解答題
9.有一項(xiàng)活動(dòng)需在3名老師,6名男同學(xué)和8名女同學(xué)中選人參加,
(1)若只需一人參加,有多少種不同選法?
(2)若需一名老師,一名學(xué)生參加,有多少種不同選法?
(3)若需老師,男同學(xué)、女同學(xué)各一人參加,有多少種不同選法?
解(1)只需一人參加,可按老師、男同學(xué)、女同學(xué)分三類各自有3、6、8種方法,總方法數(shù)為3+6+
8=17(種7
(2)分兩步,先選教師共3種選法,再選學(xué)生共6+8=14種選法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,
總方法數(shù)為3X14=42(種).
(3)教師、男、女同學(xué)各一人可分三步,每步方法依次為3,6,8種.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知方法數(shù)為
3X6X8=144(種).
10.電視臺(tái)在“歡樂在今宵”節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱,其中放著競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信,甲箱中有30
封,乙箱中有20封,現(xiàn)由主持人抽獎(jiǎng)確定幸運(yùn)觀眾,若先確定一名幸運(yùn)之星,再從兩箱中各確定一名
幸運(yùn)觀眾,有多少種不同結(jié)果?
解分兩類:(1)幸運(yùn)之星在甲箱中抽,選定幸運(yùn)之星,再在兩箱內(nèi)各抽一名幸運(yùn)觀眾有30X29X20=
17400(種).
(2)幸運(yùn)之星在乙箱中抽取,有20X19X30=11400(種).
共有不同結(jié)果17400+11400=28800(種).
能力提升題組
(建議用時(shí):25分鐘)
11.將2名教師,4名學(xué)生分成2個(gè)小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),每個(gè)小組由1
名教師和2名學(xué)生組成,不同的安排方案共有()
A.12種B.10種C.9種D.8種
解析分兩步:第一步,選派一名教師到甲地,另一名到乙地,共有C:=2(種)選派方法;
第二步,選派兩名學(xué)生到甲地,另外兩名到乙地,共有C玄=6(種)選派方法.
由分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同選派方案共有2X6=12(種).
答案A
12.(2013?山東卷)用0,1,…,9十個(gè)數(shù)字,可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()
A.243B.252
C.261D.279
解析0,1,2,9共能組成9X10X10=900(個(gè))三位數(shù),其中無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9X9X8=
648(個(gè)),.?.有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900-648=252(個(gè)).
答案B
13.回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù),如22,121,3443,94249等.顯然2位回
文數(shù)有9個(gè):11,22,33,…,99.3位回文數(shù)有90個(gè):101,111,121,191,202,999.則(1)4
位回文數(shù)有個(gè);
(2)2〃+1(〃eN*)位回文數(shù)有個(gè).
解析(1)4位回文數(shù)相當(dāng)于填4個(gè)方格,首尾相同,且不為0,共9種填法,中間兩位一樣,有10種
填法,
共計(jì)9X10=90(種)填法,即4位回文數(shù)有90個(gè).
(2)根據(jù)回文數(shù)的定義,此問題也可以轉(zhuǎn)化成填方格.
結(jié)合計(jì)數(shù)原理,知有9X10"種填法.
答案(1)90(2)9X10"
14.將紅、黃、綠、黑4種不同的顏色分別涂入圖中的五個(gè)區(qū)域內(nèi),要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域的顏色都不
相同,則有多少種不同涂色方法?
解法一本題利用了分步原理求涂色問題.給出區(qū)域標(biāo)記號(hào)A,B,C,(如圖),
則A區(qū)域有4種不同的涂色方法,B區(qū)域有3種,C區(qū)域有2種,。區(qū))域有2種,
但E區(qū)域的涂色依賴于3與。涂的顏色,如果8與。顏色相同有2種涂色方法,
不相同,則只有一種.因此應(yīng)先分類后分步.
①當(dāng)B與。同色時(shí),有4X3X2X1X2=48(種).
②當(dāng)8與Z)不同色時(shí),有4X3X2X1X1=24(種).
故共有48+24=72(種)不同的涂色的方法.
注:本例若按A,B,E,D,C順序涂色,在最后給區(qū)域C涂色時(shí),就應(yīng)考慮4與E,8與。是否同
色這兩種情況.
法二按用3種或用4種顏色分兩類,第一類用3種,此時(shí)A與E,B與。分別同色,于是涂法種數(shù)
為A[=24(種);第二類用4種,此時(shí),A與E,B與。有且只有一組同色,涂法種數(shù)為2A才=48(種).
由分類加法計(jì)數(shù)原理知涂法總數(shù)為24+48=72(種).
第2講排列與組合
最新考綱1.理解排列、組合的概念;2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式;3.能解決簡單
的實(shí)際問題.
基礎(chǔ)診斷梳理自測(cè),理解記憶____________________________________________________________
知識(shí)梳理
1.排列與組合的概念
名稱定義
排列從n個(gè)不同元素中取出按照一定的順序排成一列
組合機(jī)(AWWM)個(gè)不同元素合成一組
2.排列數(shù)與組合數(shù)
(1)從n個(gè)不同元素中取出加〃?W”)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元
素的排列數(shù).
⑵從n個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元
素的組合數(shù).
3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)
,n!
(1)A?—1)(九一2)???但—1)—(〃_(
公式
⑵C7=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!(〃,機(jī)GN*,且〃特別地C錯(cuò)誤!=1
(1)0!=1;A;;=〃!.
性質(zhì)
(2)C;;,=C;:-/W;C;*=紙土魚口
診斷自測(cè)
1.判斷正誤(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或"X”)晦精彩PPT展示
(1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列.(X)
(2)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.(J)
(3)若組合式?=C夕,則x=nz成立.(X)
(4)(?+1)!~n!=nn\.(V)
2.用數(shù)字1,2,3,4,5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()
A.8B.24C.48D.120
解析當(dāng)個(gè)位數(shù)字為2時(shí),從1,3,4,5中取3個(gè)數(shù)字排千位、百位與十位,所以排成的四位偶數(shù)有
CiA3=24種;當(dāng)個(gè)位數(shù)字為4時(shí),從1,2,3,5中取3個(gè)數(shù)字排千位、百位與十位,所以排成的四
位偶數(shù)有C1AW=24種,故根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,共有24+24=48種.
答案C
3.(2014.大綱全國卷)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生,從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小
組.則不同的選法共有()
A.60種B.70種C.75種D.150種
解析從6名男醫(yī)生中選出2名有C2種選法,從5名女醫(yī)生中選出1名有C1種選法,由分步乘法計(jì)數(shù)
原理得不同的選法共有CQC!=75種.故選C.
答案c
4.將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官,每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少1名,則不同的分配方案共有種.
解析先將4名大學(xué)生分成3組,共C5種分法,再將3組分到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn),共Ag種安排方法,
所以總分配方案共Cl?A$=36(種).
答案36
5.(人教A選修2—3P28Al7改編)從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動(dòng),其中男女生
都有的選法種數(shù)為種.
解析分兩類:男1女2或男2女1,各有CIR和種方法,所以選法種數(shù)為C1R+Crj=12+18
=30(種).也可用間接法C3—G=30.
答案30
考點(diǎn)突破分類講練,以例求法曙精彩PPT名師講解
考點(diǎn)一典型的排列問題
【例1】3名女生和5名男生排成一排
(1)如果女生全排在一起,有多少種不同排法?
(2)如果女生都不相鄰,有多少種排法?
(3)如果女生不站兩端,有多少種排法?
(4)其中甲必須排在乙前面(可不鄰),有多少種排法?
(5)其中甲不站左端,乙不站右端,有多少種排法?
解(1)(捆綁法)由于女生排在一起,可把她們看成一個(gè)整體,這樣同五個(gè)男生合在一起有6個(gè)元素,
排成一排有A&種排法,而其中每一種排法中,三個(gè)女生間又有A3種排法,因此共有A”A3=4320(種)
不同排法.
(2)(插空法)先排5個(gè)男生,有Ag種排法,這5個(gè)男生之間和兩端有6個(gè)位置,從中選取3個(gè)位置排女
生,有A薪中排法,因此共有A>A?=14400(種)不同排法.
(3)法一(位置分析法)因?yàn)閮啥瞬慌排?,只能?個(gè)男生中選2人排列,有Ag種排法,剩余的位置
沒有特殊要求,有AR種排法,因此共有A8=14400(種)不同排法.
法二(元素分析法)從中間6個(gè)位置選3個(gè)安排女生,有A薪中排法,其余位置無限制,有Ag種排法,
因此共有$?A:=14400(種)不同排法.
(4)8名學(xué)生的所有排列共種,其中甲在乙前面與乙在甲前面的各占其中/,符合要求的排法種數(shù)
為%上20160(種).
(5)甲、乙為特殊元素,左、右兩邊為特殊位置.
法一(特殊元素法)甲在最右邊時(shí),其他的可全排,有A彳種;甲不在最右邊時(shí),可從余下6個(gè)位置中
任選一個(gè),有A&種.而乙可排在除去最右邊位置后剩余的6個(gè)中的任一個(gè)上,有Ag種,其余人全排列,
共有AbAbAg種.
由分類加法計(jì)數(shù)原理,共有A彳+AhA&?Ag=30960(種).
法二(特殊位置法)先排最左邊,除去甲外,有A}種,余下7個(gè)位置全排,有A彳種,但應(yīng)剔除乙在最
右邊時(shí)的排法AbAg種,因此共有A;?AikAt=30960(種).
法三(間接法)8個(gè)人全排,共AS種,其中,不合條件的有甲在最左邊時(shí),有AZ種,乙在最右邊時(shí),
有A4種,其中都包含了甲在最左邊,同時(shí)乙在最右邊的情形,有Ag種.因此共有Ag-2A彳+AR=30
960(種).
規(guī)律方法(1)對(duì)于有限制條件的排列問題,分析問題時(shí)有位置分析法、元素分析法,在實(shí)際進(jìn)行排列
時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則,即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置,對(duì)于分類過多的問
題可以采用間接法.
(2)對(duì)相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問
題的常用方法.
【訓(xùn)練1】用0,1,2,3,4,5這6個(gè)數(shù)字.
(1)能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)的四位偶數(shù)?
(2)能組成多少個(gè)奇數(shù)數(shù)字互不相鄰的六位數(shù)(無重復(fù)數(shù)字)?
解(1)符合要求的四位偶數(shù)可分為三類:
第一類:0在個(gè)位時(shí),有Ag個(gè);
第二類:2在個(gè)位時(shí),首位從1,3,4,5中選定1個(gè)(A1種),十位和百位從余下的數(shù)字中選,有A%種,
于是有A1?Ai個(gè);
第三類:4在個(gè)位時(shí),與第二類同理,也有AkA]個(gè).
由分類加法計(jì)數(shù)原理得,共有Ag+2Al-A%=156(個(gè)).
⑵先排0,2,4,再讓1,3,5插空,
總的排法共A血=144(種),
其中0在排頭,將1,3,5插在后3個(gè)空的排法共A?Ag=12(種),此時(shí)構(gòu)不成六位數(shù),
故總的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為AtA?-A5AS=144—12=132(種).
考點(diǎn)二組合應(yīng)用題
【例2】男運(yùn)動(dòng)員6名,女運(yùn)動(dòng)員4名,其中男女隊(duì)長各1人.選派5人外出比賽.在下列情形中各
有多少種選派方法?
⑴男運(yùn)動(dòng)員3名,女運(yùn)動(dòng)員2名;
(2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員;
(3)隊(duì)長中至少有1人參加;
(4)既要有隊(duì)長,又要有女運(yùn)動(dòng)員.
解(1)第一步:選3名男運(yùn)動(dòng)員,有C濟(jì)中選法.
第二步:選2名女運(yùn)動(dòng)員,有C5種選法.共有C?=120(種)選法.
(2)法一至少有1名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況:
1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.
由分類加法計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為C1C才+&&+?戢+(2支2=246(種).
法二“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”,可用間接法求解.
從10人中任選5人有CM種選法,其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有&種.
所以“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法為C%—0=246(種).
(3)法一(直接法)可分類求解:
“只有男隊(duì)長”的選法為eg;
“只有女隊(duì)長”的選法為軟;
“男、女隊(duì)長都入選”的選法為C3;
所以共有2Cg+a=196(種)選法.
法二(間接法)從10人中任選5人有C:o種選法.
其中不選隊(duì)長的方法有C講中.所以“至少有1名隊(duì)長”的選法為C%—&=196(種).
⑷當(dāng)有女隊(duì)長時(shí),其他人任意選,共有C8種選法.不選女隊(duì)長時(shí),必選男隊(duì)長,共有Cg種選法,其中
不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有Cg種,所以不選女隊(duì)長時(shí)的選法共有Cg一0種選法.所以既有隊(duì)長又有女運(yùn)動(dòng)
員的選法共有C3+a—Cg=191(種).
規(guī)律方法組合問題常有以下兩類題型:(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含”,則
先將這些元素取出,再由另外元素補(bǔ)足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選??;
(2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型:若直接法分類復(fù)雜時(shí),逆向思維,間接求解.
【訓(xùn)練2】甲、乙兩人從4門課程中各選修2門,
求:(1)甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有多少種?
(2)甲、乙所選的課程中至少有一門不相同的選法有多少種?
解(1)甲、乙兩人從4門課程中各選修2門,且甲、乙所選課程中恰有1門相同的選法種數(shù)共有&G
?=24(種).
(2)甲、乙兩人從4門課程中各選兩門不同的選法種數(shù)為era,又甲、乙兩人所選的兩門課程都相同的
選法種數(shù)為G種,因此滿足條件的不同選法種數(shù)為&C?一儀=30(種).
考點(diǎn)三排列、組合的綜合應(yīng)用
【例3】4個(gè)不同的球,4個(gè)不同的盒子,把球全部放入盒內(nèi).
(D恰有1個(gè)盒不放球,共有幾種放法?
(2)恰有2個(gè)盒不放球,共有幾種放法?
解(1)把4個(gè)不同小球分三組,共C彳種分法.對(duì)每種分法分成的三組再放入4個(gè)盒中的3個(gè)盒子,共
Ai種放法,
所以總的放法種數(shù)為C%A1=6X24=144(種).
⑵確定2個(gè)空盒有C%種方法.
4個(gè)球放進(jìn)2個(gè)盒子可分成(3,1)、(2,2)兩類,第一類有序不均勻分組有C?C|A9種方法;第二類有序
均勻分組有錯(cuò)誤!?A錯(cuò)誤!種方法.故共有C錯(cuò)誤!(C錯(cuò)誤!C錯(cuò)誤!A錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!?A錯(cuò)誤!)=84(種).
規(guī)律方法排列組合的綜合題目,一般是先取出符合要求的元素組合(分組),再對(duì)取出的元素排列,分
組時(shí)要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標(biāo)準(zhǔn).
【訓(xùn)練3】(1)某校高二年級(jí)共有6個(gè)班級(jí),現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生,要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每
班安排2名,則不同的安排方案種數(shù)為()
A.AgC?B.|A5C4
C.A2A之D.2Ag
(2)(2014?浙江卷)在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張,其余5張無獎(jiǎng).將這8張獎(jiǎng)券分配給4個(gè)人,
每人2張,不同的獲獎(jiǎng)情況有種(用數(shù)字作答).
解析⑴法一將4人平均分成兩組有|c濟(jì)方法,將此兩組分配到6個(gè)班級(jí)中的2個(gè)班有A?種).
所以不同的安排方法有太粗女種).
法二先從6個(gè)班級(jí)中選2個(gè)班級(jí)有CV種不同方法,然后安排學(xué)生有?◎種,故有種).
(2)分兩類:第一類:3張中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券分給3個(gè)人,共用種分法;
第二類:3張中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券分給2個(gè)人相當(dāng)于把3張中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券分兩組再分給4人中的2人,
共有GA新中分法.總獲獎(jiǎng)情況共有Aj+c3Ai=6O(種).
答案(1)B(2)60
課堂總結(jié)反思?xì)w納,感悟提升____________________________________________________________
[思想方法]
1.求解排列、組合應(yīng)用題的一般步驟
⑴弄清事件的特性,把具體問題化歸為排列問題或組合問題,其中“有序”是排列問題,“無序”是組
合問題.
(2)通過分析,對(duì)事件進(jìn)行合理的分類、分步,或考慮問題的反面情況.
(3)分析上述解法中有沒有重復(fù)和遺漏現(xiàn)象,若有,則計(jì)算出重復(fù)數(shù)和遺漏數(shù).
(4)列出算式并計(jì)算作答.
2.對(duì)于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題,通常從三個(gè)途徑考慮
(1)以元素為主考慮,即先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素.
(2)以位置為主考慮,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置.
(3)先不考慮附加條件,計(jì)算出排列數(shù)或組合數(shù),再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù).
3.排列、組合問題的求解方法與技巧
(1)特殊元素優(yōu)先安排;(2)合理分類與準(zhǔn)確分步;(3)排列、組合混合問題先選后排;(4)相鄰問題捆綁處
理;(5)不相鄰問題插空處理;(6)定序問題排除法處理;(7)分排問題直排處理;(8)“小集團(tuán)”排列問題
先整體后局部;(9)構(gòu)造模型;(10)正難則反,等價(jià)條件.
[易錯(cuò)防范]
1.區(qū)分一個(gè)問題屬于排列問題還是組合問題,關(guān)鍵在于是否與順序有關(guān).
2.解受條件限制的排列、組合題,通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法).分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一,
避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏.
3.解組合應(yīng)用題時(shí),應(yīng)注意“至少”、“至多”、“恰好”等詞的含義.
4.對(duì)于分配問題,一般是堅(jiān)持先分組,再分配的原則,注意平均分組與不平均分組的區(qū)別,避免重復(fù)
或遺漏.
課時(shí)作業(yè)分層訓(xùn)練,提升能力____________________________________________________________
基礎(chǔ)鞏固題組
(建議用時(shí):40分鐘)
一、選擇題
1.(2014?遼寧卷)6把椅子擺成一排,3人隨機(jī)就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為
()
A.144B.120C.72D.24
解析先把三把椅子隔開擺好,它們之間和兩端有4個(gè)位置,再把三人帶椅子插放在四個(gè)位置,共有
Al=24(種)放法,故選D.
答案D
2.(2014.四川卷)六個(gè)人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有
()
A.192種B.216種
C.240種D.288種
解析若最左端排甲,其他位置共有Ag=120(種)排法;若最左端排乙,最右端共有4種排法,其余4
個(gè)位置有A才=24(種)排法,所以共有120+4X24=216(種)排法.
答案B
3.若從1,2,3,…,9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù),其和為偶數(shù),則不同的取法共有
A.60種B.63種
C.65種D.66種
解析共有4個(gè)不同的偶數(shù)和5個(gè)不同的奇數(shù),要使和為偶數(shù),則4個(gè)數(shù)全為奇數(shù),或全為偶數(shù),或
2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù),故不同的取法有C&+C才+Cg&=66(種).
答案D
4.將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班,每個(gè)班至少分到一名學(xué)生,且甲、乙兩名學(xué)生不能分
到同一個(gè)班,則不同分法的種數(shù)為()
A.18B.24C.30D.36
解析四名學(xué)生中有兩名學(xué)生恰好分在一個(gè)班,共有種分法,而甲、乙被分在同一個(gè)班的有Ag種,
所以不同的分法種數(shù)是C執(zhí)q-AW=30.
答案C
5.在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中,要先后實(shí)施6個(gè)程序,其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一步,程
序8和C在實(shí)施時(shí)必須相鄰,問實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有
()
A.34種B.48種C.96種D.144種
解析程序A有Al=2(種)結(jié)果,將程序8和C看作元素集團(tuán)與除A外的元素排列有A3A才=48(種),
由分步乘法計(jì)數(shù)原理,實(shí)驗(yàn)編排共有2X48=96(種)方法.
答案C
二、填空題
6.7位身高均不等的同學(xué)排成一排照相,要求中間最高,依次往兩端身高逐漸降低,共有種排法.
解析先排最中間位置有一種排法,再排左邊3個(gè)位置,由于順序一定,共有C2種排法,再排剩下右
邊三個(gè)位置,共一種排法,所以排法種數(shù)為C3=2O(種).
答案20
7.若把英語單詞“good”的字母順序?qū)戝e(cuò)了,則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤方法共有種.
解析把g、o,o,d4個(gè)字母排一列,可分兩步進(jìn)行,第一步:排g和d,共有A新中排法;第二步:
排兩個(gè)o.共一種排法,所以總的排法種數(shù)為A3=12(種).其中正確的有一種,所以錯(cuò)誤的共與一1=
12-1=11(#).
答案11
8.(2014.北京卷)把5件不同產(chǎn)品擺成一排.若產(chǎn)品A與產(chǎn)品8相鄰,且產(chǎn)品4與產(chǎn)品C不相鄰,則不同
的擺法有種.
解析記5件產(chǎn)品為4、B、C、D、E,4、8相鄰視為一個(gè)元素,先與。、E排列,有A*A尋中方法;
再將C插入,僅有3個(gè)空位可選,共有AWAWa=2X6X3=36(種)不同的擺法.
答案36
三、解答題
9.由1,2,3,4,5五個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)排成一遞增數(shù)列,則首項(xiàng)為12345,第2項(xiàng)是
12354,…直到末項(xiàng)(第120項(xiàng))是54321.問:43251是第幾項(xiàng)?
解比43251大的數(shù)有下列幾類:
①萬位數(shù)是5的有A1=24個(gè);
②萬位數(shù)是4、千位數(shù)是5的有A§=6個(gè);
③萬位數(shù)是4、千位數(shù)是3、百位數(shù)是5的有Ag=2個(gè);所以比43251大的數(shù)共有個(gè),
所以43251是第120-32=88項(xiàng).
10.從5名男生和3名女生中選5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表,分別求符合下列條件的方法數(shù):
(1)女生必須少于男生;
(2)女生甲擔(dān)任語文課代表;
(3)男生乙必須是課代表,但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表.
解(1)先從8名學(xué)生中任選5名,共有C煎種)選法,其中女生比男生多的情況有:選2名男生和3名
女生,共有Cg-C乳種)選法,所以女生少于男生的選法為?C奴種);再讓選出的5名學(xué)生分別
擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表,有Ag(種)方法.
由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,共有(&-Cg-Cy>A$=5520(種)不同的方法.
(2)從剩余7人中選出4人分別擔(dān)任另4門不同學(xué)科的課代表,共有d?Am=840(種)不同的方法.
(3)先安排男生乙,即從除數(shù)學(xué)外的另4門學(xué)科中選1門讓男生乙擔(dān)任其課代表,再從剩下的7人中選
4人擔(dān)任另外4門學(xué)科的課代表,共有C1-A,=3360(種)不同的方法.
能力提升題組
(建議用時(shí):25分鐘)
11.某外商計(jì)劃在4個(gè)候選城市中投資3個(gè)不同的項(xiàng)目,且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過2個(gè),則該外
商不同的投資方案有()
A.16種B.36種
C.42種D.60種
解析法一(直接法)若3個(gè)不同的項(xiàng)目投資到4個(gè)城市中的3個(gè),每個(gè)城市一項(xiàng),共A?種方法;若
3個(gè)不同的項(xiàng)目投資到4個(gè)城市中的2個(gè),一個(gè)城市一項(xiàng)、一個(gè)城市兩項(xiàng)共C*A?種方法.由分類加法
計(jì)數(shù)原理知共Al+CgAl=60(種)方法.
法二(間接法)先任意安排3個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目各有4種安排方法,共43=64種排法,其中3個(gè)項(xiàng)目
落入同一城市的排法不符合要求共4種,所以總投資方案共43—4=64—4=60種.
答案D
12.(2014.重慶卷)某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序,則
同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是
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