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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為A.1 B.2 C.3 D.72.已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn),在橢圓上,其中,,若,,則橢圓的離心率的取值范圍為()A. B.C. D.3.設(shè)集合,,則()A. B.C. D.4.若,,則的值為()A. B. C. D.5.如圖,在三棱柱中,底面為正三角形,側(cè)棱垂直底面,.若分別是棱上的點(diǎn),且,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.6.設(shè)是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.7.已知、分別為雙曲線:(,)的左、右焦點(diǎn),過(guò)的直線交于、兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若,,則的離心率為()A.2 B. C. D.8.已知集合,則的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.9.已知等差數(shù)列的公差為-2,前項(xiàng)和為,若,,為某三角形的三邊長(zhǎng),且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為,則的最大值為()A.5 B.11 C.20 D.2510.已知函數(shù),,其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若存在實(shí)數(shù),使成立,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.11.《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖,則它的外接球的表面積為()A.4π B.8π C. D.12.某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的體積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)函數(shù),若存在實(shí)數(shù)m,使得關(guān)于x的方程有4個(gè)不相等的實(shí)根,且這4個(gè)根的平方和存在最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.14.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,為其前項(xiàng)和,若,且,則公比的值為_(kāi)____.15.已知函數(shù),若函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.16.若變量,滿足約束條件,則的最大值為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.(1)求B;(2)若的面積為,周長(zhǎng)為8,求b.18.(12分)已知直線:與拋物線切于點(diǎn),直線:過(guò)定點(diǎn)Q,且拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離與其到準(zhǔn)線距離之和的最小值為.(1)求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo);(2)設(shè)直線與拋物線交于(異于點(diǎn)P)兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B,直線PA,PB的斜率分別為,那么是否存在實(shí)數(shù),使得?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.19.(12分)已知等差數(shù)列滿足,公差,等比數(shù)列滿足,,.求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;若數(shù)列滿足,求的前項(xiàng)和.20.(12分)傳染病的流行必須具備的三個(gè)基本環(huán)節(jié)是:傳染源、傳播途徑和人群易感性.三個(gè)環(huán)節(jié)必須同時(shí)存在,方能構(gòu)成傳染病流行.呼吸道飛沫和密切接觸傳播是新冠狀病毒的主要傳播途徑,為了有效防控新冠狀病毒的流行,人們出行都應(yīng)該佩戴口罩.某地區(qū)已經(jīng)出現(xiàn)了新冠狀病毒的感染病人,為了掌握該地區(qū)居民的防控意識(shí)和防控情況,用分層抽樣的方法從全體居民中抽出一個(gè)容量為100的樣本,統(tǒng)計(jì)樣本中每個(gè)人出行是否會(huì)佩戴口罩的情況,得到下面列聯(lián)表:戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020(1)能否有的把握認(rèn)為是否會(huì)佩戴口罩出行的行為與年齡有關(guān)?(2)用樣本估計(jì)總體,若從該地區(qū)出行不戴口罩的居民中隨機(jī)抽取5人,求恰好有2人是青年人的概率.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821.(12分)某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試,從中隨機(jī)抽取了20人的分?jǐn)?shù).以下莖葉圖記錄了他們的考試分?jǐn)?shù)(以十位數(shù)字為莖,個(gè)位數(shù)字為葉):若分?jǐn)?shù)不低于95分,則稱該員工的成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”.(1)從這20人中任取3人,求恰有1人成績(jī)“優(yōu)秀”的概率;(2)根據(jù)這20人的分?jǐn)?shù)補(bǔ)全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖,并根據(jù)頻率分布直方圖解決下面的問(wèn)題.組別分組頻數(shù)頻率1234①估計(jì)所有員工的平均分?jǐn)?shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);②若從所有員工中任選3人,記表示抽到的員工成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,,,且滿足(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)過(guò),作直線交軌跡于,兩點(diǎn),若的面積是面積的2倍,求直線的方程.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
求出展開(kāi)項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)及含的項(xiàng),問(wèn)題得解?!驹斀狻空归_(kāi)項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)及含的項(xiàng)分別為:,,所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為:.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理中展開(kāi)式的通項(xiàng)公式及轉(zhuǎn)化思想,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題。2.C【解析】
根據(jù)可得四邊形為矩形,設(shè),,根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理可得,再分析的取值范圍,進(jìn)而求得再求離心率的范圍即可.【詳解】設(shè),,由,,知,因?yàn)?在橢圓上,,所以四邊形為矩形,;由,可得,由橢圓的定義可得,①,平方相減可得②,由①②得;令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義運(yùn)用以及構(gòu)造齊次式求橢圓的離心率的問(wèn)題,屬于中檔題.3.A【解析】
解出集合,利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)?,又,所?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查交集的計(jì)算,同時(shí)也考查了一元二次不等式的求解,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4.A【解析】
取,得到,取,則,計(jì)算得到答案.【詳解】取,得到;取,則.故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,取和是解題的關(guān)鍵.5.B【解析】
建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法計(jì)算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側(cè)棱垂直于底面.設(shè)的中點(diǎn)為,建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示.所以,所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法,屬于中檔題.6.A【解析】
結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模長(zhǎng)公式求解即可【詳解】∵復(fù)數(shù),∴,,則,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、模長(zhǎng)、平方運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題7.D【解析】
作出圖象,取AB中點(diǎn)E,連接EF2,設(shè)F1A=x,根據(jù)雙曲線定義可得x=2a,再由勾股定理可得到c2=7a2,進(jìn)而得到e的值【詳解】解:取AB中點(diǎn)E,連接EF2,則由已知可得BF1⊥EF2,F(xiàn)1A=AE=EB,設(shè)F1A=x,則由雙曲線定義可得AF2=2a+x,BF1﹣BF2=3x﹣2a﹣x=2a,所以x=2a,則EF2=2a,由勾股定理可得(4a)2+(2a)2=(2c)2,所以c2=7a2,則e故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用,考查離心率的求法,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.對(duì)于圓錐曲線中求離心率的問(wèn)題,關(guān)鍵是列出含有中兩個(gè)量的方程,有時(shí)還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對(duì)方程進(jìn)行整理,從而求出離心率.8.A【解析】
先求出集合,化簡(jiǎn)=,令,得由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得值域.【詳解】由,得,,令,,,所以得,在上遞增,在上遞減,,所以,即的值域?yàn)楣蔬xA【點(diǎn)睛】本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法,換元法要注意新變量的范圍,屬于中檔題9.D【解析】
由公差d=-2可知數(shù)列單調(diào)遞減,再由余弦定理結(jié)合通項(xiàng)可求得首項(xiàng),即可求出前n項(xiàng)和,從而得到最值.【詳解】等差數(shù)列的公差為-2,可知數(shù)列單調(diào)遞減,則,,中最大,最小,又,,為三角形的三邊長(zhǎng),且最大內(nèi)角為,由余弦定理得,設(shè)首項(xiàng)為,即得,所以或,又即,舍去,,d=-2前項(xiàng)和.故的最大值為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,考查求前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題,同時(shí)還考查了余弦定理的應(yīng)用.10.A【解析】令f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣1n(x+1)+4ea﹣x,令y=x﹣ln(x+1),y′=1﹣=,故y=x﹣ln(x+1)在(﹣1,﹣1)上是減函數(shù),(﹣1,+∞)上是增函數(shù),故當(dāng)x=﹣1時(shí),y有最小值﹣1﹣0=﹣1,而ex﹣a+4ea﹣x≥4,(當(dāng)且僅當(dāng)ex﹣a=4ea﹣x,即x=a+ln1時(shí),等號(hào)成立);故f(x)﹣g(x)≥3(當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)同時(shí)成立時(shí),等號(hào)成立);故x=a+ln1=﹣1,即a=﹣1﹣ln1.故選:A.11.B【解析】
由三視圖判斷出原圖,將幾何體補(bǔ)形為長(zhǎng)方體,由此計(jì)算出幾何體外接球的直徑,進(jìn)而求得球的表面積.【詳解】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個(gè)底面為直角三角形的直三棱柱,底面直角三角形的斜邊為2,側(cè)棱長(zhǎng)為2且與底面垂直,因?yàn)橹比庵梢詮?fù)原成一個(gè)長(zhǎng)方體,該長(zhǎng)方體外接球就是該三棱柱的外接球,長(zhǎng)方體對(duì)角線就是外接球直徑,則,那么.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三視圖還原原圖,考查幾何體外接球的有關(guān)計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】
由三視圖知該四棱錐是底面為正方形,且一側(cè)棱垂直于底面,由此求出四棱錐的體積.【詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形,且一側(cè)棱垂直于底面,畫出四棱錐的直觀圖,如圖所示:則該四棱錐的體積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
先確定關(guān)于x的方程當(dāng)a為何值時(shí)有4個(gè)不相等的實(shí)根,再將這四個(gè)根的平方和表示出來(lái),利用函數(shù)思想來(lái)判斷當(dāng)a為何值時(shí)這4個(gè)根的平方和存在最小值即可.【詳解】由題意,當(dāng)時(shí),,此時(shí),此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,方程最多2個(gè)不相等的實(shí)根,舍;當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象如下所示:從左到右方程,有4個(gè)不相等的實(shí)根,依次為,,,,即,由圖可知,故,且,,從而,令,顯然,,要使該式在時(shí)有最小值,則對(duì)稱軸,解得.綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)和方程的知識(shí),但需要一定的邏輯思維能力,屬于較難題.14.【解析】
將已知由前n項(xiàng)和定義整理為,再由等比數(shù)列性質(zhì)求得公比,最后由數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),舍根得解.【詳解】因?yàn)榧从值缺葦?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),故故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查在等比數(shù)列中由前n項(xiàng)和關(guān)系求公比,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
由題意首先研究函數(shù)的性質(zhì),然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合得到關(guān)于a的不等式,求解不等式即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,很明顯,且存在唯一的實(shí)數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,且當(dāng)時(shí),,考查函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì),由二次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn),即方程有6個(gè)根,也就是有6個(gè)根,即與有6個(gè)不同交點(diǎn),注意到函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱,則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱,繪制函數(shù)的圖像如圖所示,觀察可得:,即.綜上可得,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16.【解析】
根據(jù)約束條件可以畫出可行域,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距最大的問(wèn)題的求解,通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式可確定過(guò)時(shí),取最大值,代入可求得結(jié)果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示:將化為,則最大時(shí),直線在軸截距最大;由直線平移可知,當(dāng)過(guò)時(shí),在軸截距最大,由得:,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中最值問(wèn)題的求解,關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距的最值的求解問(wèn)題,通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2)【解析】
(1)通過(guò)正弦定理和內(nèi)角和定理化簡(jiǎn),再通過(guò)二倍角公式即可求出;(2)通過(guò)三角形面積公式和三角形的周長(zhǎng)為8,求出b的表達(dá)式后即可求出b的值.【詳解】(1)由三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式,得,結(jié)合正弦定理,得,由及二倍角公式,得,即,故;(2)由題設(shè),得,從而,由余弦定理,得,即,又,所以,解得.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正余弦定理,倍角公式,三角形面積公式,屬于基礎(chǔ)題.18.(1),(1,2);(2)存在,【解析】
(1)由直線恒過(guò)點(diǎn)點(diǎn)及拋物線C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離與到準(zhǔn)線的距離之和的最小值為,求出拋物線的方程,再由直線與拋物線相切,即可求得切點(diǎn)的坐標(biāo);(2)直線與拋物線方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求得直線PA,PB的斜率,求出斜率之和為定值,即存在實(shí)數(shù)使得斜率之和為定值.【詳解】(1)由題意,直線變?yōu)?x+1-m(2y+1)=0,所以定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),由拋物線C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離與到其焦點(diǎn)F的距離之和的最小值為,可得,解得或(舍去),故拋物線C的方程為又由消去y得,因?yàn)橹本€與拋物線C相切,所以,解得,此時(shí),所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,2)(2)設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù),點(diǎn),聯(lián)立,消去x得,則,依題意,可得,解得m<-1或,由(1)知P(1,2),可得,同理可得,所以=,故存在實(shí)數(shù)=滿足條件.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解答此類題目,通常聯(lián)立直線方程與拋物線方程,應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解,此類問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足,導(dǎo)致錯(cuò)解,能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力等.19.,;.【解析】
由,公差,有,,成等比數(shù)列,所以,解得.進(jìn)而求出數(shù)列,的通項(xiàng)公式;當(dāng)時(shí),由,所以,當(dāng)時(shí),由,,可得,進(jìn)而求出前項(xiàng)和.【詳解】解:由題意知,,公差,有1,,成等比數(shù)列,所以,解得.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.?dāng)?shù)列的公比,其通項(xiàng)公式.當(dāng)時(shí),由,所以.當(dāng)時(shí),由,,兩式相減得,所以.故所以的前項(xiàng)和,.又時(shí),,也符合上式,故.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念,通項(xiàng)公式,前項(xiàng)和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,方程思想,分類討論思想,應(yīng)用意識(shí),屬于中檔題.20.(1)有的把握認(rèn)為是否戴口罩出行的行為與年齡有關(guān).(2)【解析】
(1)根據(jù)列聯(lián)表和獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式計(jì)算出觀測(cè)值,從而由參考數(shù)據(jù)作出判斷.(2)因?yàn)闃颖局谐鲂胁淮骺谡值木用裼?0人,其中年輕人有10人,用樣本估計(jì)總體,則出行不戴口罩的年輕人的概率為,是老年人的概率為.根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式即可求得結(jié)果.【詳解】(1)由題意可知,有的把握認(rèn)為是否戴口罩出行的行為與年齡有關(guān).(2)由樣本估計(jì)總體,出
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