2025屆河南省登封市外國(guó)語(yǔ)中學(xué)高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題含解析

2025屆河南省登封市外國(guó)語(yǔ)中學(xué)高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則集合的非空子集個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．7 D．82．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)，且，則直線的斜率的最大值為（）A．1 B． C． D．3．自2019年12月以來(lái)，在湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，研究表明，該新型冠狀病毒具有很強(qiáng)的傳染性各級(jí)政府反應(yīng)迅速，采取了有效的防控阻擊措施，把疫情控制在最低范圍之內(nèi).某社區(qū)按上級(jí)要求做好在鄂返鄉(xiāng)人員體格檢查登記，有3個(gè)不同的住戶屬在鄂返鄉(xiāng)住戶，負(fù)責(zé)該小區(qū)體格檢查的社區(qū)診所共有4名醫(yī)生，現(xiàn)要求這4名醫(yī)生都要分配出去，且每個(gè)住戶家里都要有醫(yī)生去檢查登記，則不同的分配方案共有（）A．12種 B．24種 C．36種 D．72種4．設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解，其中，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，，若，對(duì)任意恒有，在區(qū)間上有且只有一個(gè)使，則的最大值為（）A． B． C． D．6．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，，則（）A． B． C． D．7．一物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，其曲線如圖所示，則該物體在間的運(yùn)動(dòng)路程為（）m．A．1 B． C． D．28．已知點(diǎn)，若點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，則面積的最小值為（）A．6 B．3 C． D．9．關(guān)于函數(shù)，有下列三個(gè)結(jié)論:①是的一個(gè)周期；②在上單調(diào)遞增；③的值域?yàn)?則上述結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．10．“是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件11．年初，湖北出現(xiàn)由新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎.為防止病毒蔓延，各級(jí)政府相繼啟動(dòng)重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級(jí)響應(yīng)，全國(guó)人心抗擊疫情.下圖表示月日至月日我國(guó)新型冠狀病毒肺炎單日新增治愈和新增確診病例數(shù)，則下列中表述錯(cuò)誤的是（）A．月下旬新增確診人數(shù)呈波動(dòng)下降趨勢(shì)B．隨著全國(guó)醫(yī)療救治力度逐漸加大，月下旬單日治愈人數(shù)超過(guò)確診人數(shù)C．月日至月日新增確診人數(shù)波動(dòng)最大D．我國(guó)新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)在月日左右達(dá)到峰值12．《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有金箠，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤，問(wèn)次一尺各重幾何?”意思是：“現(xiàn)在有一根金箠，長(zhǎng)五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在細(xì)的一端截下一尺，重斤，問(wèn)各尺依次重多少?”按這一問(wèn)題的顆設(shè)，假設(shè)金箠由粗到細(xì)各尺重量依次成等差數(shù)列，則從粗端開(kāi)始的第二尺的重量是（）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校為了解家長(zhǎng)對(duì)學(xué)校食堂的滿意情況，分別從高一、高二年級(jí)隨機(jī)抽取了20位家長(zhǎng)的滿意度評(píng)分，其頻數(shù)分布表如下：滿意度評(píng)分分組合計(jì)高一1366420高二2655220根據(jù)評(píng)分，將家長(zhǎng)的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)：滿意度評(píng)分評(píng)分70分70評(píng)分90評(píng)分90分滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意假設(shè)兩個(gè)年級(jí)家長(zhǎng)的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.現(xiàn)從高一、高二年級(jí)各隨機(jī)抽取1名家長(zhǎng)，記事件：“高一家長(zhǎng)的滿意度等級(jí)高于高二家長(zhǎng)的滿意度等級(jí)”，則事件發(fā)生的概率為_(kāi)_________.14．已知函數(shù)，對(duì)于任意都有，則的值為_(kāi)_____________.15．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_______________，漸近線方程是_______________.16．若，且，則的最小值是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)P，Q分別為，的中點(diǎn).求證：（1）PQ平面；（2）平面.18．（12分）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，為左頂點(diǎn)，為下頂點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo).19．（12分）已知函數(shù)，函數(shù)（）.（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.（3）證明：當(dāng)時(shí)，.20．（12分）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，滿足，，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）令，數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.21．（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，面.（1）在線段上是否存在點(diǎn)，使面，說(shuō)明理由；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，拋物線：上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)滿足，試判斷是否為定值，若是，求這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

先確定集合中元素，可得非空子集個(gè)數(shù)．【詳解】由題意，共3個(gè)元素，其子集個(gè)數(shù)為，非空子集有7個(gè)．故選：C．本題考查集合的概念，考查子集的概念，含有個(gè)元素的集合其子集個(gè)數(shù)為，非空子集有個(gè)．2．A【解析】

設(shè)，因?yàn)?，得到，利用直線的斜率公式，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，因?yàn)?，即線段的中點(diǎn)，所以，所以直線的斜率，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以直線的斜率的最大值為1.故選：A.本題主要考查了拋物線的方程及其應(yīng)用，直線的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.3．C【解析】

先將4名醫(yī)生分成3組，其中1組有2人，共有種選法，然后將這3組醫(yī)生分配到3個(gè)不同的住戶中去，有種方法，由分步原理可知共有種.【詳解】不同分配方法總數(shù)為種.故選：C此題考查的是排列組合知識(shí)，解此類題時(shí)一般先組合再排列，屬于基礎(chǔ)題.4．B【解析】

畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知：，，，計(jì)算得到答案.【詳解】，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：，，故，且.故.故選：.本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.5．C【解析】

根據(jù)的零點(diǎn)和最值點(diǎn)列方程組，求得的表達(dá)式（用表示），根據(jù)在上有且只有一個(gè)最大值，求得的取值范圍，求得對(duì)應(yīng)的取值范圍，由為整數(shù)對(duì)的取值進(jìn)行驗(yàn)證，由此求得的最大值.【詳解】由題意知，則其中，．又在上有且只有一個(gè)最大值，所以，得，即，所以，又，因此．①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，都成立，舍去；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，都成立，舍去；③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，成立；綜上所得的最大值為．故選:C本小題主要考查三角函數(shù)的零點(diǎn)和最值，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.6．B【解析】

利用兩角差的正弦公式和邊角互化思想可求得，可得出，然后利用余弦定理求出的值，最后利用正弦定理可求出的值.【詳解】，即，即，，，得，，.由余弦定理得，由正弦定理，因此，.故選：B.本題考查三角形中角的正弦值的計(jì)算，考查兩角差的正弦公式、邊角互化思想、余弦定理與正弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.7．C【解析】

由圖像用分段函數(shù)表示，該物體在間的運(yùn)動(dòng)路程可用定積分表示，計(jì)算即得解【詳解】由題中圖像可得，由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式，可得．所以物體在間的運(yùn)動(dòng)路程是．故選：C本題考查了定積分的實(shí)際應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.8．B【解析】

求得直線的方程，畫出曲線表示的下半圓，結(jié)合圖象可得位于，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)的距離公式，以及三角形的面積公式，可得所求最小值.【詳解】解：曲線表示以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的下半圓(包括兩個(gè)端點(diǎn))，如圖，直線的方程為，可得，由圓與直線的位置關(guān)系知在時(shí)，到直線距離最短，即為，則的面積的最小值為.故選：B.本題考查三角形面積最值，解題關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系，確定半圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值，這由數(shù)形結(jié)合思想易得．9．B【解析】

利用三角函數(shù)的性質(zhì)，逐個(gè)判斷即可求出．【詳解】①因?yàn)?，所以是的一個(gè)周期，①正確；②因?yàn)?，，所以在上不單調(diào)遞增，②錯(cuò)誤；③因?yàn)?，所以是偶函?shù)，又是的一個(gè)周期，所以可以只考慮時(shí)，的值域．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，的值域?yàn)?，③錯(cuò)誤；綜上，正確的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，故選B．本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用．10．C【解析】，令解得當(dāng)，的圖像如下圖當(dāng)，的圖像如下圖由上兩圖可知，是充要條件【考點(diǎn)定位】考查充分條件和必要條件的概念，以及函數(shù)圖像的畫法.11．D【解析】

根據(jù)新增確診曲線的走勢(shì)可判斷A選項(xiàng)的正誤；根據(jù)新增確診曲線與新增治愈曲線的位置關(guān)系可判斷B選項(xiàng)的正誤；根據(jù)月日至月日新增確診曲線的走勢(shì)可判斷C選項(xiàng)的正誤；根據(jù)新增確診人數(shù)的變化可判斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由圖象可知，月下旬新增確診人數(shù)呈波動(dòng)下降趨勢(shì)，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由圖象可知，隨著全國(guó)醫(yī)療救治力度逐漸加大，月下旬單日治愈人數(shù)超過(guò)確診人數(shù)，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由圖象可知，月日至月日新增確診人數(shù)波動(dòng)最大，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，在月日及以前，我國(guó)新型冠狀病毒肺炎新增確診人數(shù)大于新增治愈人數(shù)，我國(guó)新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)不在月日左右達(dá)到峰值，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.本題考查統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.12．B【解析】

依題意，金箠由粗到細(xì)各尺重量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則，由此利用等差數(shù)列性質(zhì)求出結(jié)果．【詳解】設(shè)金箠由粗到細(xì)各尺重量依次所成得等差數(shù)列為，設(shè)首項(xiàng)，則，公差，.故選B本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．0.42【解析】

高一家長(zhǎng)的滿意度等級(jí)高于高二家長(zhǎng)的滿意度等級(jí)有三種情況，分別求出三種情況的概率，再利用加法公式即可.【詳解】由已知，高一家長(zhǎng)滿意等級(jí)為不滿意的概率為，滿意的概率為，非常滿意的概率為，高二家長(zhǎng)滿意等級(jí)為不滿意的概率為，滿意的概率為，非常滿意的概率為，高一家長(zhǎng)的滿意度等級(jí)高于高二家長(zhǎng)的滿意度等級(jí)有三種情況：1.高一家長(zhǎng)滿意，高二家長(zhǎng)不滿意，其概率為；2.高一家長(zhǎng)非常滿意，高二家長(zhǎng)不滿意，其概率為；3.高一家長(zhǎng)非常滿意，高二家長(zhǎng)滿意，其概率為.由加法公式，知事件發(fā)生的概率為.故答案為：本題考查獨(dú)立事件的概率，涉及到概率的加法公式，是一道中檔題.14．【解析】

由條件得到函數(shù)的對(duì)稱性，從而得到結(jié)果【詳解】∵f＝f，∴x＝是函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一條對(duì)稱軸．∴f＝±2.本題考查了正弦型三角函數(shù)的對(duì)稱性，注意對(duì)稱軸必過(guò)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

通過(guò)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求解，，即可得到所求的結(jié)果．【詳解】由雙曲線，可得，，則，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，漸近線方程為：．故答案為：；．本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力，屬于容易題．16．8【解析】

利用的代換，將寫成，然后根據(jù)基本不等式求解最小值.【詳解】因?yàn)椋慈〉忍?hào)），所以最小值為.已知，求解（）的最小值的處理方法：利用，得到，展開(kāi)后利用基本不等式求解，注意取等號(hào)的條件.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）取的中點(diǎn)D，連結(jié)，.根據(jù)線面平行的判定定理即得；（2）先證，，和都是平面內(nèi)的直線且交于點(diǎn)，由（1）得，再結(jié)合線面垂直的判定定理即得.【詳解】（1）取的中點(diǎn)D，連結(jié)，.在中，P，D分別為，中點(diǎn)，，且.在直三棱柱中，，.Q為棱的中點(diǎn)，，且.，.四邊形為平行四邊形，從而.又平面，平面，平面.（2）在直三棱柱中，平面.又平面，.，D為中點(diǎn)，.由（1）知，，.又，平面，平面，平面.本題考查線面平行的判定定理，以及線面垂直的判定定理，難度不大.18．（1）；（2）【解析】

（1）由題意得，求出，進(jìn)而可得到橢圓的方程；（2）由（1）知點(diǎn)，坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為，易知，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)立方程，得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，可用表示的坐標(biāo)，進(jìn)而由三點(diǎn)共線，即，可用表示的坐標(biāo)，再結(jié)合，可建立方程，從而求出的值，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）由題意得，解得，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知點(diǎn)，，由題意可設(shè)直線的斜率為，則，所以直線的方程為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)立方程，消去得：.設(shè)，則，所以，所以，所以.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)共線，所以，即，所以，所以.因?yàn)?，所以，即，所以，解得，又，所以符合題意，計(jì)算可得，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查平行線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于難題.19．（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）求出的定義域，導(dǎo)函數(shù)，對(duì)參數(shù)、分類討論得到答案.（2）設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得證.（3）由（1）可知，可得，即又即可得證.【詳解】（1）解：的定義域?yàn)?，，?dāng)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：設(shè)函數(shù)，則.因?yàn)?，所以，，則，從而在上單調(diào)遞減，所以，即.（3）證明：當(dāng)時(shí)，.由（1）知，，所以，即.當(dāng)時(shí)，，，則，即，又，所以，即.本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題.20．（1），；（2）．【解析】

（1）設(shè)的公差為，的公比為，由基本量法列式求出后可得通項(xiàng)公式；（2）奇數(shù)項(xiàng)分一組用裂項(xiàng)相消法求和，偶數(shù)項(xiàng)分一組用等比數(shù)列求和公式求和．【詳解】（1）設(shè)的公差為，的公比為，由，.得：，解得，∴，；（2）由，得，為奇數(shù)時(shí)，，為偶數(shù)時(shí)，，∴．本題考查求等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查分組求和法及裂項(xiàng)相消法、等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，求通項(xiàng)公式采取的是基本量法，即求出公差、公比，由通項(xiàng)公式前項(xiàng)和公式得出相應(yīng)結(jié)論．?dāng)?shù)列求和問(wèn)題，對(duì)不是等差數(shù)列或等比數(shù)列的數(shù)列求和，需掌握一些特殊方法：錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消法，分組（并項(xiàng)）求和法，倒序相加法等等．21．（1）存在；詳見(jiàn)