天津市東麗鑒開(kāi)共同體2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2023－2024（二）天津市東麗區(qū)鑒開(kāi)共同體階段質(zhì)量調(diào)查八年級(jí)數(shù)學(xué)考試時(shí)間：100分鐘注意：本試卷包含I、Ⅱ兩卷．第I卷為選擇題，所有答案必須寫(xiě)在答題卡中相應(yīng)的位置．第Ⅱ卷為非選擇題，所有答案必須填在答題卷的相應(yīng)位置．答案寫(xiě)在試卷上均無(wú)效，不予記分．第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共12小題，共36分）1.若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可得出答案．【詳解】解：由題意得：，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．2.下列各式中，正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】A．，故A錯(cuò)誤；B．，故B正確；C．，故C錯(cuò)誤；D．，故D錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，靈活應(yīng)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，是解題的關(guān)鍵．3.估算的值在（）A.1和2之間 B.2和3之間 C.3和4之間 D.4和5之間【答案】B【解析】【分析】先估算出的大小，進(jìn)而即可估算出的大?。驹斀狻拷猓骸?，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)大小的估算，能估算出的大小是解題關(guān)鍵．4.矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）A.四條邊都相等 B.對(duì)角線相等C.對(duì)角線互相垂直且平分 D.對(duì)角線平分一組對(duì)角【答案】B【解析】【分析】根據(jù)矩形和菱形的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷，即可求解．【詳解】解：A、菱形的四條邊都相等，故本選項(xiàng)不符合題意；B、矩形的對(duì)角線相等，菱形的對(duì)角線不一定相等，故本選項(xiàng)符合題意；C、菱形的對(duì)角線互相垂直且平分，故本選項(xiàng)不符合題意；D、菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形和菱形的性質(zhì)，熟練掌握矩形和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5.如果，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】解：可知：，所以，解得，故選：B．6.在中，，，，下列不能判定為直角三角形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和分別判斷即可．【詳解】A、由，可得，∴．此選項(xiàng)能判定是直角三角形，但不符合題意．B、由整理得：，則為直角三角形，故選項(xiàng)B不符合題意．C、由，結(jié)合三角形內(nèi)角和為可推得，，，此選項(xiàng)不能判定是直角三角形，但符合題意．D、當(dāng)時(shí)，可設(shè)，則，則為直角三角形，此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的判定，涉及了勾股定理的逆定理，會(huì)用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀是解答本題的關(guān)鍵．7.如圖，菱形ABCD中，∠D＝140°，則∠1的大小是（）A.10° B.20° C.30° D.40°【答案】B【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)得到DA＝DC，∠DAC＝∠1，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAC＝∠DCA＝∠1，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠DAC，即可得到∠1．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∠DAC＝∠1，∴∠DAC＝∠DCA＝∠1，在△ABD中，∵∠D＝140°，∠D+∠DAC+∠DCA＝180°，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝×（180°﹣140°）＝20°，∴∠1＝20°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠DAC是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．8.如圖，矩形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)可得OA=OD，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題．【詳解】解：矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交與點(diǎn)O，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查矩形性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．9.如圖，矩形中，，，在數(shù)軸上，若以點(diǎn)為圓心，對(duì)角線的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于，則點(diǎn)所表示的數(shù)為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是先應(yīng)用勾股定理求的長(zhǎng)．首先根據(jù)勾股定理計(jì)算出的長(zhǎng)，進(jìn)而得到的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)表示，可得點(diǎn)表示的數(shù)．【詳解】解：，則，點(diǎn)表示，點(diǎn)表示，故選：．10.如圖，中，，將折疊，使點(diǎn)C與的中點(diǎn)D重合，折痕交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，則線段的長(zhǎng)為（）A. B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】先求出，由折疊的性質(zhì)可得，則，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：∵D是中點(diǎn)，，∴，∵將折疊，使點(diǎn)C與的中點(diǎn)D重合，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理與折疊問(wèn)題，正確理解題意利用方程的思想求解是解題的關(guān)鍵．11.如圖，對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，若厘米，的周長(zhǎng)是18厘米，則的長(zhǎng)度是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出厘米，進(jìn)而求出厘米，再證明是的中位線，則．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵厘米，∴厘米，∵的周長(zhǎng)是18厘米，∴厘米，∵點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，熟知平行四邊形對(duì)角線互相平分是解題的關(guān)鍵．12.如圖，在等腰直角三角形ABC中，，，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)E為AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接BE，，則CE的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等腰直角三角形和三角形內(nèi)角和性質(zhì)，得，即，再根據(jù)勾股定理的性質(zhì)計(jì)算，得AC；根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，得；結(jié)合，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)，得，最后根據(jù)勾股定理計(jì)算，即可得到答案．【詳解】∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∵是等腰直角三角形，D是的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形、三角形內(nèi)角和、勾股定理、直角三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形、三角形內(nèi)角和、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)，從而完成求解．第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，共18分）13.計(jì)算的結(jié)果為_(kāi)_______．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)平方差公式，二次根式的性質(zhì)及運(yùn)算法則處理．【詳解】解：故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式、二次根式性質(zhì)及運(yùn)算，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．14.已知x，y滿足關(guān)系式，則的值為_(kāi)_______．【答案】2【解析】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)題意得，進(jìn)而可求得，進(jìn)而可求得，再代入即可求解，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：依題意得：，解得：，，，，故答案為：2．15.在中，斜邊，則______．【答案】8【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，由可得，代入即可求值．【詳解】解：在中，斜邊，∴，∴，故答案為：8．16.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)為O，AC⊥AB，CD邊的中點(diǎn)為E．若OA＝2，AB＝3，則OE＝__．【答案】2.5【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出AC的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【詳解】解：∵平行四邊形ABCD，OA＝2，∴AC＝2OA＝4，∵AC⊥AB，AB＝3，∴BC，∴AD＝5，∵CD邊的中點(diǎn)為E，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)為O，∴OEAD＝25，故答案為：2.5【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，以及三角形的中位線定理，熟練掌握?qǐng)D形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．17.如圖，點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD對(duì)角線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是AB、BC邊上的中點(diǎn)，則MP+NP的最小值是___．【答案】1【解析】【分析】首先作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，連接P，則當(dāng)點(diǎn)、P、N三點(diǎn)共線時(shí)，MP+NP有最小值．然后證明四邊形ABN為平行四邊形，即可求出答案．【詳解】解：作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，連接P，∵菱形ABCD關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)是AD的中點(diǎn)，MP＝P，∴MP+NP＝P+NP，∴當(dāng)點(diǎn)、P、N三點(diǎn)共線時(shí)，MP+NP有最小值為線段N的長(zhǎng)．當(dāng)點(diǎn)、P、N三點(diǎn)共線時(shí)，∵點(diǎn)是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BC邊上的中點(diǎn)，∴，，∵在菱形ABCD中，∴ADBC，AD＝BC，∴ABN，A＝BN，∴四邊形ANB是平行四邊形，∴N＝AB＝1，∴MP+NP的最小值是1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和軸對(duì)稱，判斷當(dāng)點(diǎn)、P、N三點(diǎn)共線時(shí)，MP+NP有最小值為線段N的長(zhǎng)是解決本題的關(guān)鍵．18.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BD為AC邊上的中線，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作BD的平行線，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，在AF的延長(zhǎng)線上截取FG=BD，連接BG、DF．若AG=13，BG=5，則CF的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】6【解析】【分析】首先可判斷四邊形BGFD是平行四邊形，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，可得BD=FD，則可判斷四邊形BGFD是菱形，則GF=5，則AF=8，AC=10，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出CF的值．【詳解】解：∵，∴四邊形BGFD是平行四邊形．∵CF⊥BD，∴CF⊥AG．又∵點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，∴，∴四邊形BGFD是菱形，∴GF=BG=5，∴AF=AG-GF=13-5=8，AC=2DF=2×5=10．∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴，即，解得：CF=6或CF=-6（舍）．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形判定與性質(zhì)、勾股定理及直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是判斷出四邊形BGFD是菱形．三、解答題（本大題共7小題，共66分）19.計(jì)算：（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先計(jì)算二次根式的除法和乘法，再合并同類二次根式即可；（2）先利用平方差和完全平方公式展開(kāi)，再計(jì)算減法即可；【小問(wèn)1詳解】．解：原式【小問(wèn)2詳解】解：原式【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．20.如果最簡(jiǎn)二次根式與同類二次根式，且，求x，y的值．【答案】x=4，y=3．【解析】【分析】根據(jù)同類二次根式的概念列式求出a，根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性計(jì)算即可．【詳解】∵最簡(jiǎn)二次根式與同類二次根式，∴3a+4=19-2a，解得，a=3，∴，即∵≥0，≥0，∴12-3x=0，y-3=0，解得，x=4，y=3．【點(diǎn)睛】本題考查的是最簡(jiǎn)二次根式、同類二次根式的概念以及二次根式的性質(zhì)，掌握二次根式是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．21.如圖，在中，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段上，且．已知，，．（1）求線段的長(zhǎng)；（2）求證：．【答案】（1）（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)，，根據(jù)垂直定義可得，然后在中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算可求出x的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)；（2）先在和中，利用勾股定理分別求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，然后利用勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，∵，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴即的長(zhǎng)為；【小問(wèn)2詳解】證明：在中，，，∴，在中，，，∴，∴，∵，，∴，∴是直角三角形，∴【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及其逆定理，熟練掌握勾股定理及其逆定理并靈活運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．22.如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)是4，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使CF＝BC連接CD和EF．（1）求證：DC＝EF；（2）求EF的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先說(shuō)明DE是△ABC的中位線，再利用三角形中位線定理得出DEBC、DE＝BC，再結(jié)合CF＝BC可得DE=CF，再結(jié)合DECF可證四邊形DCFE為平行四邊形，最后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）利用等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形30°角多對(duì)的直角邊是斜邊的一半可求得BD，然后用勾股定理得出CD的長(zhǎng),最后根據(jù)EF=CD即可證明結(jié)論【小問(wèn)1詳解】證明：∵D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DEBC、DE＝BC∵CF＝BC，∴DE＝CF，∵DECF，∴四邊形DCFE為平行四邊形，∴DC＝EF．【小問(wèn)2詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，D為AB的中點(diǎn)，∴∠BCD＝∠BCA＝30°，CD⊥AB，∴BD＝BC＝2，∴CD＝＝＝2，∴EF＝CD＝2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理、等邊三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半是解答本題的關(guān)鍵．23.如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)∠ADO=36°【解析】【分析】(1)先判斷四邊形ABCD是平行四邊形，繼而根據(jù)已知條件推導(dǎo)出AC=BD，然后根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形即可；(2)設(shè)∠AOB=4x，∠ODC=3x，則∠OCD=∠ODC=3x．，在△ODC中，利用三角形內(nèi)角和定理求出x的值，繼而求得∠ODC的度數(shù)，由此即可求得答案．【詳解】(1)∵AO＝OC，BO＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB是△AOD的外角，∴∠AOB＝∠OAD＋∠ADO．∴∠OAD＝∠ADO．∴AO＝OD．又∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD，∴AC＝BD．∴四邊形ABCD是矩形．(2)設(shè)∠AOB=4x，∠ODC=3x，則∠ODC=∠OCD=3x，在△ODC中，∠DOC+∠OCD+∠CDO=180°∴4x+3x+3x=180°，解得x=18°，∴∠ODC=3×18°=54°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠ADO=∠ADC－∠ODC=90°－54°=36°．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)．24.將一個(gè)矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)P在邊OC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)O，C重合），折疊該紙片，使折痕所在的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，并與x軸的正半軸相交于點(diǎn)Q，且，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限；設(shè)．（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，求的大小和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖②，若折疊后重合部分為四邊形，，分別與邊AB相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，試用含有t式子表示的長(zhǎng)，并直接寫(xiě)出t的取值范圍；【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）可由折疊性質(zhì)求得，，再利用平角定義可，過(guò)作軸于H，則，進(jìn)而求得，利用含角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求得，即可求解；（2）先由折疊性質(zhì)得到，，再根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)和含角的直角三角形的性質(zhì)求得，進(jìn)而可表示出，根據(jù)圖形可得