浙江?。ê贾荻?、紹興一中、溫州中學、金華一中、衢州二中）五校聯考2024屆高考 數學模擬卷（含解析）

2024年浙江省高考數學模擬卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復數滿足，則的共軛復數在復平面上對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．設集合，，則（

）A． B．C． D．3．已知不共線的平面向量，滿足，則正數（

）A．1 B． C． D．24．傳輸信號會受到各種隨機干擾，為了在強干擾背景下提取微弱信號，可用同步累積法.設s是需提取的確定信號的值，每隔一段時間重復發(fā)送一次信號，共發(fā)送m次，每次接收端收到的信號，其中干擾信號為服從正態(tài)分布的隨機變量，令累積信號，則Y服從正態(tài)分布，定義信噪比為信號的均值與標準差之比的平方，例如的信噪比為，則累積信號Y的信噪比是接收一次信號的（

）倍A． B．m C． D．5．已知函數，則“”是“為奇函數且為偶函數”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．在平面直角坐標系xOy中，直線與圓C：相交于點A，B，若，則（

）A．或 B．－1或－6 C．或 D．－2或－77．已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高從低到高，互不相同，將他們排成相對身高為“高低高低高”或“低高低高低”的隊形，則甲、丁不相鄰的不同排法種數為（

）A．12 B．14 C．16 D．188．已知雙曲線上存在關于原點中心對稱的兩點A，B，以及雙曲線上的另一點C，使得為正三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數，則下列結論正確的是（

）A．在區(qū)間上單調遞增 B．的最小值為C．方程的解有2個 D．導函數的極值點為10．南丁格爾是一位英國護士、統計學家及社會改革者，被譽為現代護理學的奠基人．1854年，在克里米亞戰(zhàn)爭期間，她在接到英國政府的請求后，帶領由38名志愿女護士組成的團隊前往克里米亞救治傷員，并收集士兵死亡原因數據繪制了如下“玫瑰圖”．圖中圓圈被劃分為12個扇形，按順時針方向代表一年中的各個月份．每個扇形的面積與該月的死亡人數成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因導致的死亡，灰色部分代表因戰(zhàn)爭受傷導致的死亡．右側圖像為1854年4月至1855年3月的數據，左側圖像為1855年4月至1856年3月的數據．下列選項正確的為（

）A．由于疾病或其他原因而死的士兵遠少于戰(zhàn)場上因傷死亡的士兵B．1854年4月至1855年3月，冬季（12月至來年2月）死亡人數相較其他季節(jié)顯著增加C．1855年12月之后，因疾病或其他原因導致的死亡人數總體上相較之前顯著下降D．此玫瑰圖可以佐證，通過改善軍隊和醫(yī)院的衛(wèi)生狀況，可以大幅度降低不必要的死亡11．如圖，平面直角坐標系上的一條動直線l和x，y軸的非負半軸交于A，B兩點，若恒成立，則l始終和曲線C：相切，關于曲線C的說法正確的有（

）A．曲線C關于直線和都對稱B．曲線C上的點到和到直線的距離相等C．曲線C上任意一點到原點距離的取值范圍是D．曲線C和坐標軸圍成的曲邊三角形面積小于三、填空題：本小題共3小題，每小題5分，共15分．12．若展開式中的常數項為，則實數.13．已知公差為正數的等差數列的前n項和為，是等比數列，且，，則的最小項是第項．14．已知正三角形ABC的邊長為2，中心為O，將繞點O逆時針旋轉角，然后沿垂直于平面ABC的方向向上平移至，使得兩三角形所在平面的距離為，連接，，，，，，得到八面體，則該八面體體積的取值范圍為．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．在中，角A，B，C的對邊為a，b，c，已知，，是等差數列．(1)若a，b，c是等比數列，求；(2)若，求．16．已知橢圓的左焦點為F，橢圓上的點到點F距離的最大值和最小值分別為和．(1)求該橢圓的方程；(2)對橢圓上不在上下頂點的任意一點P，其關于y軸的對稱點記為，求；(3)過點作直線交橢圓于不同的兩點A，B，求面積的最大值．17．如圖，已知三棱臺，，，點O為線段的中點，點D為線段的中點.

(1)證明：直線平面；(2)若平面平面，求直線與平面所成線面角的大小.18．第二次世界大戰(zhàn)期間，了解德軍坦克的生產能力對盟軍具有非常重要的戰(zhàn)略意義.已知德軍的每輛坦克上都有一個按生產順序從1開始的連續(xù)編號.假設德軍某月生產的坦克總數為N，隨機繳獲該月生產的n輛（）坦克的編號為，，…，，記，即繳獲坦克中的最大編號.現考慮用概率統計的方法利用繳獲的坦克編號信息估計總數N.甲同學根據樣本均值估計總體均值的思想，用估計總體的均值，因此，得，故可用作為N的估計.乙同學對此提出異議，認為這種方法可能出現的無意義結果.例如，當，時，若，，，則，此時.(1)當，時，求條件概率；(2)為了避免甲同學方法的缺點，乙同學提出直接用M作為N的估計值.當，時，求隨機變量M的分布列和均值；(3)丙同學認為估計值的均值應穩(wěn)定于實際值，但直觀上可以發(fā)現與N存在明確的大小關系，因此乙同學的方法也存在缺陷.請判斷與N的大小關系，并給出證明.19．卷積運算在圖象處理、人工智能、通信系統等領域有廣泛的應用．一般地，對無窮數列，，定義無窮數列，記作，稱為與的卷積．卷積運算有如圖所示的直觀含義，即中的項依次為所列數陣從左上角開始各條對角線上元素的和，易知有交換律．(1)若，，，求，，，；(2)對，定義如下：①當時，；②當時，為滿足通項的數列，即將的每一項向后平移項，前項都取為0．試找到數列，使得；(3)若，，證明：當時，．1．D【分析】利用復數的運算性質求出，再利用共軛復數的性質求出，最后利用復數和對應點的關系求解即可.【詳解】由題意得，故，故，顯然在復平面上對應的點是，在第四象限，故D正確.故選：D2．D【分析】利用最小公倍數排除A，B，利用奇數和偶數排除C，求解即可.【詳解】易知集合，，則中前面的系數應為的最小公倍數，故排除A，B，對于C，當時，集合為，而令，可得不為整數，故不含有7，可得中不含有7，故C錯誤，故選：D3．B【分析】思路一：根據向量共線的判定條件即可解出.思路二：由共線向量基本定理即可得解.【詳解】方法一：由已知有，，解得.方法二：設，由題意，解得.故選：B.4．B【分析】利用正態(tài)分布性質，根據信噪比的定義列式計算即可求解.【詳解】由Y服從正態(tài)分布，則的信噪比為，又接收一次信號的信噪比為，所以，所以累積信號Y的信噪比是接收一次信號的m倍.故選：B5．A【分析】由三角函數奇偶性、誘導公式以及充分不必要條件的定義即可判斷.【詳解】一方面，當，時，是奇函數，是偶函數，故充分性成立，另一方面，當時，有是奇函數，是偶函數，但此時關于的方程沒有解，故必要性不成立，綜上所述，在已知的情況下，“”是“為奇函數且為偶函數”的充分而不必要條件.故選：A.6．C【分析】先將圓的一般方程化為標準方程，根據，得到圓心C到直線l的距離，再利用點到直線的距離公式求得t的值即可.【詳解】由題意可知，圓C：，標準化后可得圓C：因為，，過點C作AB的垂線CD，.如圖所示，，在中，.所以，圓心C到直線l的距離:因此，，解得，故選：C.7．B【分析】將排法分為兩種情況討論，再利用分類加法計數原理相加即可.【詳解】依據題意，分兩種情況討論，情況一：高低高低高依次對應1-5號位置，規(guī)定甲在號位，則乙在1號位或4號位，而甲，丁不相鄰，當乙在1號位時，此時為乙甲戊丙丁，共1種，當乙在4號位時，此時有丙甲戊乙丁，戊甲丙乙丁，共2種，易得倒序排列和正序排列種數相同，故本情況共6種，情況二：低高低高低依次對應1-5號位置，假設戊在2號位，若丁在1號位，此時有丁戊甲丙乙，丁戊乙丙甲，共2種，若丁在4號位，此時有甲戊丙丁乙，甲戊乙丁丙，共2種，易得倒序排列和正序排列種數相同，故本情況共8種，故符合題意的情況有種，故B正確.故選：B.8．A【分析】設點，則可取，代入雙曲線方程整理可得，結合漸近線列式求解即可.【詳解】由題意可知：雙曲線的漸近線方程為，設點，則可取，則，整理得，解得，即，可得，則，所以該雙曲線離心率的取值范圍是．故選：A.【點睛】關鍵點點睛：1.巧妙設點：設點，根據垂直和長度關系可?。?.根據漸近線的幾何意義可得：.9．ABD【分析】利用導數判斷單調性，求解最值判斷A，B，將方程解的問題轉化為函數零點問題判斷C，對構造函數再次求導，判斷極值點即可.【詳解】易知，可得，令，，令，，故在上單調遞減，在上單調遞增，故的最小值為，故A，B正確，若討論方程的解，即討論的零點，易知，，故，故由零點存在性定理得到存在作為的一個零點，而當時，，顯然在內無零點，故只有一個零點，即只有一個解，故C錯誤，令，故，令，解得，而，，故是的變號零點，即是的極值點，故得導函數的極值點為，故D正確.故選：ABD10．BCD【分析】根據每個扇形的面積與該月的死亡人數成比例，分析相應的面積大小或面積變化，就能判斷出選項A、B、C的正確與否，隨著38名志愿女護士的加入，分析未來一年“玫瑰圖”每個扇形白色部分面積在逐步的變少，可以判斷出因疾病或其他原因導致的死亡的士兵越來越少，是由于志愿女護士的加入，改善了軍隊和醫(yī)院的衛(wèi)生狀況，從而降低了不必要的死亡，所以D選項是正確的.【詳解】對于A選項，1854年4月至1855年3月,因為每個扇形白色部分面積遠大于灰色部分的面積，根據每個扇形的面積與該月的死亡人數成比例，可以得出由于疾病或其他原因而死的士兵遠大于戰(zhàn)場上因傷死亡的士兵；錯誤；對于B選項，從右側圖像可以看出，冬季（12月至來年2月）相應的扇形面積，大于其他季節(jié)時扇形的面積，表明在冬季死亡人數相較其他季節(jié)顯著增加，正確；對于C選項，從左側圖像可以看出，1855年12月之后，每個扇形白色部分的面積較大幅度的在減少，表明因疾病或其他原因導致的死亡人數總體上相較之前顯著下降，正確；對于D選項，隨著38名志愿女護士的加入，分析未來一年“玫瑰圖”每個扇形白色部分面積、在逐步的變少，可以判斷出因疾病或其他原因導致的死亡的士兵越來越少，因此，可以推斷出隨著志愿女護士的加入，改善了軍隊和醫(yī)院的衛(wèi)生狀況，從而使得因疾病或其他原因導致的死亡的士兵越來越少，大幅度降低了不必要的死亡，正確,故選：BCD.11．BCD【分析】根據方程與圖形，進行距離和面積的相關計算，逐項判斷即可.【詳解】對于A，曲線C：中，，所以不關于直線對稱，故錯誤；對于B，設C上一點，則，而，故正確；對于C，，，所以，所以曲線C上任意一點到原點距離的取值范圍是，故正確；對于D，到點的距離，故曲線C位于圓的左下部分四分之一圓弧的下方，故圍成面積小于．故選：BCD.12．【分析】求得二項展開式的通項，結合通項求得的值，代入列出方程，即可求解.【詳解】由二項式展開式的通項為，令，可得，代入可得，解得.故答案為：.13．2【分析】設出公比，公差，首項，依據給定條件得到，進而得到，最后寫出，利用二次函數的性質求解即可.【詳解】設的公比為，故，，可得，設的首項為，公差為，故得，化簡得，解得，故，故當最小時，，故得是的最小項，即的最小項是第2項．故答案為：214．【分析】將八面體轉換成四個三棱錐的體積之和，結合三角函數的值域即可得解.【詳解】先證明一個引理：如圖所示，在三棱柱中，，三棱柱的高為，則三棱錐的體積為.引理的證明如下：，引理得證.事實上上述引理等價于，若三棱錐滿足，，異面直線所成夾角為，且異面直線之間的距離為，則三棱錐的體積為.從而由上述引理有．若，則，從而的取值范圍是，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：關鍵在于對八面體的適當劃分，結合體積公式以及引理即可順利得解.15．(1)(2)【分析】（1）運用等差數列和等比數列的中項性質，結合同角三角函數的基本關系、兩角和的正弦公式，化簡求得；（2）由（1）得，再借助角的值，以及兩角和與差的余弦公式即可求解.【詳解】（1）因為a，b，c是等比數列，所以，有，因為，，是等差數列，所以.故.所以．（2）由（1）的過程可知，若，則.又由，得，故．16．(1)；(2)；(3).【分析】（1）設出橢圓上的點，求出的最值，進而求出即可.（2）利用橢圓的對稱性及橢圓定義求解即得.（3）設出直線的方程，與橢圓方程聯立求出三角形面積的表達式，再求出最大值即得.【詳解】（1）令，設是橢圓上的點，則，則，顯然當時，，當時，，則，解得，所以橢圓的方程為.（2）記橢圓的右焦點為，由橢圓對稱性知，，所以.（3）顯然直線不垂直于y軸，設直線AB的方程為，，由消去x得，，則，，因此，令，于是，當且僅當，即時取到等號，所以面積的最大值.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取AB中點M，利用平行四邊形的性質證明，從而利用線面平行的判定定理證明即可；（2）法1（建系）：利用梯形性質證明，建立空間直角坐標系，設，利用平面平面求得，再利用線面角的向量公式求解即可；法2（綜合法）：連接，，取中點N，延長，，交于點V，根據面面垂直的性質定理，結合線面角的定義得即為所求，在直角三角形中求解即可；法3（三余弦定理）：延長，，交于點V，根據三余弦定理求解即可.【詳解】（1）取AB中點M，連接，則，故O，M，C，共面，由AM與OD平行且相等得，ODAM為平行四邊形，故，因為平面，平面，所以平面.（2）法1（建系）：連接，因為，且，所以為平行四邊形，故，又點D為線段的中點，所以，由得，故以O為原點，，為x，y軸正方向，垂直于平面向上為z軸正方向，建立空間直角坐標系Oxyz.

則，因為，AB的中點M，所以，又，,平面，所以平面，又平面，所以平面平面，設，，則，設平面的法向量為，，則，取，則，則平面的法向量為；設平面的法向量為，，則，取，則，則平面的法向量為，因為平面平面，所以，即，即，解得或（舍去），故，，記直線與平面所成線面角為，，則，故，即直線與平面所成線面角.法2（綜合法）：連接，，取中點N，

則，故，由平面平面，平面平面，平面，故平面，平面，故，又由，得，延長，，交于點V，則所求線面角即，而，所以，故直線與平面所成線面角的大小為.法3（三余弦定理）：先證三余弦定理：設A為平面上一點，過點A的直線AO在平面上的射影為AB，AC為平面內的一條直線，令，，，則這三個角存在一個余弦關系：(其中和只能是銳角)，稱為三余弦定理，又稱最小張角定理.

證明：如上圖，自點O作于點B，過B作于C，連接OC，因為平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，則，所以，即.延長，，交于點V，則，，由平面平面，用三余弦定理得，所以，所以，故直線與平面所成線面角為.

18．(1)(2)分布列見解析，(3)，證明見解析【分析】（1）根據題意分別求出和，代入條件概率公式計算即得；（2）根據題意，列出的可能取值，利用古典概型概率公式計算概率，寫出分布列，求出其均值即可；（3）直觀判斷，根據隨機變量均值的定義列式，并將其適當放大，利用分布列的性質即可證得.【詳解】（1）由，知，當時，最大編號為5，另2輛坦克編號有種可能，故，由，有，解得，故總編號和小于9，則除最大編號5外，另2個編號只能是1，2，故，因此；（2）依題意，用M作為N的估計值，因，則的可能取值有，于是，，，，，于是M的分布列如下：M45678P故；（3）直觀上可判斷