浙江省名校新高考研究聯(lián)盟（Z20名校聯(lián)盟）2024屆高三第三次聯(lián)考（三模）數(shù)學(xué)試題（含解析）

Z20名校聯(lián)盟（浙江省名校新高考研究聯(lián)盟）2024屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，務(wù)必將自己的姓名，考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.請(qǐng)保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.第I卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．集合，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B．1 C． D．3．已知單位向量滿足，則（

）A．0 B． C． D．14．設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則公比（

）A．2 B．-2 C． D．5．已知，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A． B． C． D．326．若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的取值可以為（

）A．1 B． C． D．7．已知表示不超過(guò)的最大整數(shù)，若為函數(shù)的極值點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．8．設(shè)為原點(diǎn)，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上且滿足，，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)7，5，3，10，2的第40百分位數(shù)是3B．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布越小，表示隨機(jī)變量分布越集中C．已知一組數(shù)據(jù)的方差為3，則的方差為3D．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖判斷出兩個(gè)變量線性相關(guān)，由最小二乘法求得其回歸直線方程為，若其中一個(gè)散點(diǎn)為，則10．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則有兩解C．當(dāng)時(shí)，為直角三角形D．若為銳角三角形，則的取值范圍是11．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，已知分別為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（

）A．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)，四棱錐的外接球的表面積是C．周長(zhǎng)的最小值為D．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為第II卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為5，側(cè)面積為，則圓臺(tái)的高為.13．甲、乙、丙3人站到共有6級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站2人且甲、乙不站同一個(gè)臺(tái)階，同一臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是種.(用數(shù)字作答)14．已知關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟.15．已知等差數(shù)列的公差不為零，成等比數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求.16．已知四面體.(1)證明：;(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.17．為了增強(qiáng)身體素質(zhì)，寒假期間小王每天堅(jiān)持在“跑步20分鐘”和“跳繩20分鐘”中選擇一項(xiàng)進(jìn)行鍛煉.在不下雪的時(shí)候，他跑步的概率為，跳繩的概率為，在下雪天他跑步的概率為，跳繩的概率為.若前一天不下雪，則第二天下雪的概率為，若前一天下雪，則第二天仍下雪的概率為.已知寒假第一天不下雪，跑步分鐘大約消耗能量卡路里，跳繩20分鐘大約消耗能量200卡路里.

記寒假第天不下雪的概率為.(1)求的值，并求;(2)設(shè)小王寒假第天通過(guò)運(yùn)動(dòng)消耗的能量為，求的數(shù)學(xué)期望.18．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為，離心率為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)在軸下方）.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)如圖，將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負(fù)半軸和軸所確定的半平面(平面)垂直.

①若折疊后，求的值;②是否存在，使折疊后兩點(diǎn)間的距離與折疊前兩點(diǎn)間的距離之比為?19．在平面直角坐標(biāo)系中，如果將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則稱(chēng)為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，并說(shuō)明理由；(2)已知函數(shù)是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的最大值；(3)若函數(shù)是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的取值范圍.1．C【分析】先解集合中的不等式，解出的范圍，再求得即可.【詳解】由，解得，即，，.故選：C.2．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再判斷其虛部.【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部是.故選：D3．B【分析】計(jì)算出，，，利用向量夾角余弦公式求出答案.【詳解】，，故，，故，所以.故選：B4．A【分析】根據(jù)數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，兩式相減，即可求解.【詳解】由已知，，兩式相減得，，即，即.故選：A5．C【分析】設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值.故選：C.6．D【分析】首先分別分析函數(shù)和的最大值，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1，的最大值為1，由題意可知，取得最大值1時(shí)，也取得最大值1，即當(dāng)時(shí)，，，得，，，當(dāng)時(shí)，，其他值不滿足等式.故選：D7．B【分析】求導(dǎo)后，構(gòu)造，分別求出，由零點(diǎn)存在定理得到零點(diǎn)范圍，再結(jié)合題意求出結(jié)果即可.【詳解】由題意可得，令，則，，所以存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以為函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，所以，故選：B.8．B【分析】設(shè)，由題意列出含的方程組，解出的關(guān)系式，進(jìn)而求出雙曲線的漸近線即可.【詳解】設(shè)，由雙曲線的定義知，在中，由余弦定理得：，所以，再由，為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使，所以四邊形為平行四邊形，且，在中，由余弦定理知：，在中，由余弦定理知：，因?yàn)?，則，可知，所以③，由得，

把代入得，化簡(jiǎn)得，所以漸近線方程為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由四點(diǎn)共圓的四邊形四個(gè)邊的平方和等于兩條對(duì)角線的平方和是解決本題的關(guān)鍵.9．BC【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義即可判斷A；根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)即可判斷B；根據(jù)方差的性質(zhì)即可判斷C；根據(jù)觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值的區(qū)別即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為，因?yàn)椋詳?shù)據(jù)7，5，3，10，2的第40百分位數(shù)是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，越小，即方差越小，隨機(jī)變量分布越集中，故B正確；對(duì)于C，已知一組數(shù)據(jù)的方差為3，則的方差為，故C正確；對(duì)于D，散點(diǎn)不一定在回歸直線為上，所以由散點(diǎn)無(wú)法求出的值，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．ACD【分析】通過(guò)正弦定理、誘導(dǎo)公式、二倍角公式及輔助角公式即可判斷A；通過(guò)余弦定理即可判斷B；通過(guò)余弦定理及可得或，即可判斷C；通過(guò)求的取值范圍，并將即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以由及正弦定理得，，由誘導(dǎo)公式得，，因?yàn)?，故，所以，化解得，即，所以或，即（舍）或，故A正確；對(duì)于B，由余弦定理得，即，得，由，所以(負(fù)值舍)，即有一解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋瑑蛇吰椒降?，由余弦定理得，由兩式消得，，解得或，由解得，由解?故為直角三角形，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)闉殇J角三角形，且，所以，即，所以，所以，故D正確.故選：ACD.11．ABD【分析】A選項(xiàng)，先得到，故點(diǎn)在線段上，證明出，所以三棱錐為定值；B選項(xiàng)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，作出輔助線，找到外接球球心，從而得到外接球半徑和外接球面積；C選項(xiàng)，取線段的中點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性知，，數(shù)形結(jié)合得到，從而得到周長(zhǎng)的最小值；D選項(xiàng)，由得到點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為1的圓的一部分，求出圓的半徑，得到軌跡長(zhǎng)度.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故，即，故點(diǎn)在線段上，連接，與相交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，故三棱錐的體積為定值，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由A選項(xiàng)可知，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接相交于點(diǎn)，則⊥平面，設(shè)正四棱錐的外接球的球心為，則三點(diǎn)共線，其中，設(shè)，則，由勾股定理得，即，解得，則表面積是，B正確；C選項(xiàng)，點(diǎn)在矩形及其內(nèi)部，取線段的中點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性知，，，此時(shí)三點(diǎn)共線，又，，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)?，又點(diǎn)在矩形及其內(nèi)部，點(diǎn)的軌跡為點(diǎn)為球心，半徑長(zhǎng)為的球面被平面截且在矩形及其內(nèi)部的圖形，又⊥平面，且，故，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為1的圓的一部分，如圖，其中，，故，則，則，則軌跡長(zhǎng)為，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問(wèn)題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問(wèn)題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑12．3【分析】根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積求圓臺(tái)的母線，再根據(jù)圓臺(tái)軸截面求出高即可.【詳解】因?yàn)閳A臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為5，側(cè)面積為，設(shè)母線長(zhǎng)為，高為.則，解得.如圖所示圓臺(tái)的軸截面，在中，，由勾股定理得：圓臺(tái)的高.故答案為：3.13．180【分析】采用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】易知甲有6種站法，則乙有5種站法，丙有6種站法，總共有種.故答案為：18014．【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，畫(huà)出函數(shù)與的圖像，求出過(guò)原點(diǎn)且與函數(shù)，分別相切時(shí)直線的斜率，根據(jù)數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】不等式可化為，令，因?yàn)椋?，所以函?shù)在上為增函數(shù)，令，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，所以，所以設(shè)為過(guò)原點(diǎn)且與相切的直線的斜率，設(shè)切點(diǎn)，則，所以，又，所以，所以，設(shè)為過(guò)原點(diǎn)且與相切的直線的斜率，設(shè)切點(diǎn)，則，且，解得或（舍去），所以，畫(huà)出函數(shù)與的圖像，如圖：數(shù)形結(jié)合可得，，所以，故答案為：..【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)是將原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)原點(diǎn)且與函數(shù)，分別相切時(shí)直線的斜率，從而得結(jié)果.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解，（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】（1）由題意(1)由(1)(2)可得所以（2），，，故為等差數(shù)列，.16．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意可知，結(jié)合線面垂直的判定定理分析證明；（2）方法1：根據(jù)題意可知：平面平面，作輔助線，可知平面，利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離為，結(jié)合線面夾角的定義分析求解；方法2：根據(jù)題意可知：平面平面，作輔助線，可知平面，建系，利用空間向量求線面夾角.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連，由，可得，又因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）方法1：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，由?）可得平面，所以平面平面，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則平面且，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，則，可得，設(shè)直線與平面所成角為，可得，所以直線與平面取成線面角的正弦值為；方法2：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，可知，由?）可得平面，且平面，所以平面平面，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則平面且，如圖，以為軸，為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，可得，設(shè)直線與平面所成角為，可得，所以直線與平面取成線面角的正弦值為.17．(1)，(2)【分析】（1）由題意得到，且得到，利用構(gòu)造法得到為等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式；（2）求出，及對(duì)應(yīng)的概率，得到的數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意得，第3天不下雪，分為兩種情況，第2天不下雪且第三天不下雪，第2天下雪且第3天不下雪，故，依題意，整理得，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即，所以；（2），由（1）得，則他第天通過(guò)運(yùn)動(dòng)鍛煉消耗的能量的期望為.18．(1)(2)①；②不存在【分析】（1）由焦距為，可得出c的值，再由離心率為和可得出a與b的值，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)且兩個(gè)交點(diǎn)在x軸兩側(cè)，利用韋達(dá)定理求出m范圍，然后建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件，得出，即可得出m的值；②分別表示出折疊前間的距離和折疊后間的距離，根據(jù)題目中距離的比值列方程求解m，再判斷其是否滿足條件即可.【詳解】（1）由題意，解得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）折疊前設(shè)，聯(lián)立可得由直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，所以，解得，由韋達(dá)定理得：，因?yàn)槲挥谳S兩側(cè)，所以，化簡(jiǎn)得，從而，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，折疊后，分別以原軸負(fù)半軸，原軸，原軸正半軸所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則折疊后①折疊后，則，即，所以②折疊前，折疊后所以，解得，此時(shí)直線與橢圓無(wú)交點(diǎn)，故不存在，使折疊后的與折疊前的長(zhǎng)度之比為.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是找到折疊前后的聯(lián)系，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量的知識(shí)求解.19．(1)不是，理由見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義直接判斷即可.（2）將已知條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線最多一個(gè)交點(diǎn)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程根的關(guān)系，分離，構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為新函數(shù)在上單調(diào)，進(jìn)而求解.（3）同問(wèn)題（2）根據(jù)已知條件構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為新函數(shù)在上單調(diào)，求導(dǎo)，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求最值即可.【詳解】（1）函數(shù)不是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，理由如下：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與軸重合，當(dāng)時(shí)，有無(wú)數(shù)個(gè)與之對(duì)應(yīng)，與函數(shù)的概念矛盾，因此函數(shù)不是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.（2）由題意可得函數(shù)與