考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷5（共239題）

考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷5（共9套）（共239題）考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、若級數(shù)un收斂(un＞0)，則下列結(jié)論正確的是()．A、＝ρ＜1B、＝ρ＜1C、(un＋un＋1)一定收斂D、收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：令Sn＝u1＋u2＋…＋un，因?yàn)椋?，令S’n＝(u1＋u2)＋(u2＋u3)＋…＋(un＋un＋1)＝2Sn－u1＋un＋1，于是－u1存在，選(C)，(A)，(B)，(D)都不對．2、設(shè)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足＝－3，則函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處()．A、取極大值B、取極小值C、不取極值D、無法確定是否有極值標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋剑?，根據(jù)極限保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)0＜＜δ時(shí)，有＜0，而x2＋1－xsiny＞0，所以當(dāng)0＜＜δ時(shí)，有f(x，y)－f(0，0)＜0，即f(x，y)＜f(0，0)，所以f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處取極大值，選(A)．3、設(shè)函數(shù)f(x)二階可導(dǎo)，且f’(x)＞0，f’’(x)＞0，△y＝f(x＋△x)－f(x)，其中△x＜0，則()．A、△y＞dy＞0B、△y＜dy＜0C、dy＞△y＞0D、dy＜△y＜0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)微分中值定理，△y＝f(x＋△x)－f(x)＝f’(ξ)△x＜0(x＋△x＜ξ＜x)dy＝f’(x)△x＜0，因?yàn)閒’’(x)＞0，所以f’(x)單調(diào)增加，而ξ＜x,所以f’(ξ)＜f’(x)，于是f’(ξ)△x＞f’(x)△x，即dy＜△y＜0，選(D)．4、設(shè)當(dāng)x→0時(shí)，(x－sinx)ln(1＋x)是比exn－1高階的無窮小，而exn－1是比∫0x(1一cos2t)dt高階的無窮小，則n為()．A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：exn－1～xn，因?yàn)閟inx＝x－＋ο(x3)，所以(x－sinx)ln(1＋x)～，所以∫0x(1－cos2t)dt～，于是n＝3，選(C)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)5、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：6、設(shè)f(x)在x＝2處可導(dǎo)，且＝2，則f(2)＝______，f’(2)＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：8知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋?，所f(x)＝0，再由f(x)在x＝2處的連續(xù)性得f(2)＝0．由f’(2)＝2，得f’(2)＝8．7、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)＝1，f(2)＝3，f’(2)＝5，則∫01xf"(2x)dx＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)f(x，y，z)＝exyz2，其中z＝z(x，y)是由x＋y＋z＋xyz＝0確定的隱函數(shù)，則f’x(0，1，－1)＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：f’(x，y，z)＝y(tǒng)(ex＋2zex)，x＋y＋z＋xyz＝0兩邊對x求偏導(dǎo)得1＋，將x＝0，y＝1，z＝－1代入得，解得f’z(0，1，－1)＝1．9、微分方程xy’－y［ln(xy)－1]＝0的通解為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln(xy)＝Cx知識(shí)點(diǎn)解析：令xy＝u，y＋xy’＝，代入原方程得lnu＝0，分離變量得，積分得lnlnu－lnx＋lnC，即lnu＝Cx，原方程的通解為ln(xy)＝Cx．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)10、設(shè)0＜a＜b＜c，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：由cn≤an＋bn＋cn≤3cn得c≤．因?yàn)椋R(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、(1)設(shè)＝0，求a，b的值．(2)確定常數(shù)a，b，使得ln(1＋2x)＋＝x＋x2＋ο(x2)．(3)設(shè)b＞0，且＝2，求b．標(biāo)準(zhǔn)答案：(2)由ln(1＋2x)＝2x－＋ο(x2)＝2x－2x2＋ο(x2)＝ax．[1－bx＋ο(x)]＝ax－abx2＋ο(x2)得ln(1＋2x)＋＝(a＋2)x－(ab＋2)x2＋ο(x2)，解得a＝－1，b＝－3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)f(x)＝x(x－1)(x＋2)(x－3)…(x＋100)，求f’(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(0)＝(x－1)(x＋2)…(x＋100)＝100?。R(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，3]上連續(xù)，在(0，3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)＋f(1)＋f(2)＝3，f(3)＝1．證明：存在ξ∈(0，3)，使得f’(ξ)＝0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在[0，3]上連續(xù)，所以f(x)在[0，2]上連續(xù)，故f(x)在[0，2]取到最大值M和最小值m，顯然3m≤f(0)＋f(1)＋f(2)≤3M，即m≤1≤M，由介值定理，存在c∈[0，2]，使得f(c)＝1．因?yàn)閒(x)在[c，3]上連續(xù)，在(c，3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(c)＝f(3)＝1，根據(jù)羅爾定理，存在ξ∈(c,3)(0，3)，使得f’(ξ)＝0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(x)＝，討論f(x)的單調(diào)性、凹凸性、拐點(diǎn)、水平漸近線．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒’(x)＝＞0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)增加．因?yàn)閒’’(x)＝，當(dāng)x＜0時(shí)，f’’(x)＞0；當(dāng)x＞0時(shí)，f’’(x)＜0，則y＝f(x)在(－∞，0)的圖形是凹的，y＝f(x)在(0，＋∞)內(nèi)是凸的，(0，0)為y＝f(x)的拐點(diǎn)．因?yàn)閒(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．為曲線y＝f(x)的兩條水平漸近線．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、求∫arcsin2xdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x2－1)＝ln，且f[φ(x)]＝lnx，求∫φ(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求∫－11(｜x｜＋x)e－｜x｜dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：由定積分的奇偶性得∫－11（｜x｜＋x）e－｜x｜dx＝∫－11｜x｜e－｜x｜dx＝2∫01xe－xdx＝－2∫01xd(e－x)＝－2xe－x｜01＋2∫01e－xdx＝－2e－1－2e－x｜01＝2－知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(t)在[0，π]上連續(xù)，在(0，π)內(nèi)可導(dǎo)，且∫0πf(x)cosxdx＝∫0πf(x)sincxdx＝0．證明：存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)＝0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)＝f(t)sintdt，因?yàn)镕(0)＝F(π)＝0，所以存在x1∈(0，π)，使得F’(x1)＝0，即f(x1)sinx1＝0，又因?yàn)閟inx1≠0，所以f(x1)＝0．設(shè)x1是f(x)在(0，π)內(nèi)唯一的零點(diǎn)，則當(dāng)x∈(0，π)且x≠x1時(shí)，有sin(x－x1)f(x)恒正或恒負(fù)，于是∫0πsin(x－x1)f(x)dx≠0．而∫0πsin(x－x1)f(x)dx＝cosx1∫0πf(x)sinxdx－sinx1∫0πf(x)cosxdx＝0，矛盾，所以f(x)在(0，π)內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)．不妨設(shè)f(x1)＝f(x2)＝0，x1，x2∈(0，π)且x1＜x2，由羅爾中值定理，存在ξ∈(x1，x2)(0，π)，使得f’(ξ)＝0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)z＝z(x，y)由xyz＝x＋y＋z確定，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F＝xyz－x－y－z，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、試求z＝f(x，y)＝x3＋y3－3xy在矩形閉域D＝{(x，y)｜0≤x≤2，－1≤y≤2)上的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)(x，y)在區(qū)域D內(nèi)時(shí)，在L1：y＝－1(0≤x≤2)上，z＝x3＋3x－1，因?yàn)閦’＝3x2＋3＞0，所以最小值為z(0)＝－1，最大值為z(2)＝13；在L2：y＝2(0≤x≤2)上，z＝x3－6x＋8，由z’＝3x2－6＝0得x＝，z(2)＝4；在L3：z＝0(－1≤y≤2)上，z＝y(tǒng)3，由z’＝3y2＝0得y＝0，z(－1)＝－1，z(0)＝0，z(2)＝8；在L4：x＝2(－1≤y≤2)上，z＝y(tǒng)3－6y＋8，由z’＝3y2－6＝0得y＝，z(2)＝4．故z＝x3＋y3－3xy在D上的最小值為－1，最大值為13．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、計(jì)算下列二重積分：(1)計(jì)算xydxdy，其中D＝{(x，y)｜y≥0，x2＋y2≤1，x2＋y2≤2x)．(2)設(shè)f(x,y)＝f(x,y)dxdy，其中D＝{(x，y)｜x2＋y2≥2x)．(3)設(shè)D：｜x｜≤1，｜y｜≤1，求｜y－x｜dxdy．(4)設(shè)D是由x≥0，y≥x與x2＋(y－b)2≤b2，x2(y－a)2≥a2(0＜a＜b)所圍成的平面區(qū)域，求xydxdy．(5)設(shè)D＝{(x，y)｜x2＋y2≤x)，求dxdy.標(biāo)準(zhǔn)答案：(3)令D1＝{(x,y)｜－1≤x≤1，－1≤y≤x}，由對稱性得｜y－x｜＝dxdy＝2(x－y)dxdy＝2∫－11dx∫－1x(x－y)dy＝2∫－11[x(x＋1)－＝∫－1π(x2＋1)dx＝2∫01(x2＋1)dx＝．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)為兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù)．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)取ε0＝1，由＝0，根據(jù)極限的定義，存在N＞0，當(dāng)n＞N時(shí)，＜1，即0≤an＜bn，由收斂(收斂級數(shù)去掉有限項(xiàng)不改變斂散性)，由比較審斂法得收斂(收斂級數(shù)添加有限項(xiàng)不改變斂散性)．(2)根據(jù)(1)，當(dāng)n＞N時(shí)，有0≤an＜bn，因?yàn)榘l(fā)散，由比較審斂法，發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、求微分方程(y＋)dx－xdy＝0的滿足初始條件y(1)＝0的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由(y＋)dx－xdy＝0，得．令u＝，則原方程化為＝lnx＋lnC，即u＋＝Cx，將初始條件y(1)＝0代入得C＝1．由，即滿足初始條件的特解為y＝．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、在上半平面上求一條上凹曲線，其上任一點(diǎn)P(x，y)處的曲率等于此曲線在該點(diǎn)的法線段PQ的長度的倒數(shù)(Q為法線與z軸的交點(diǎn))，且曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線與x軸平行．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所求曲線為y＝y(tǒng)(x)，該曲線在點(diǎn)P(x，y)的法線方程為Y－y＝(X－x)(y’≠0)令Y＝0，得X＝x＋yy’，該點(diǎn)到x軸法線段PQ的長度為由題意得即yy’＝1＋y’2．令y’＝p，則y’’＝p，兩邊積分得y＝＋C1，由y(1)＝1，y’(1)＝0得C1＝0，所以y’＝±，變量分離得＝±dx，兩邊積分得ln(y＋)＝±x＋C2，由y(1)＝1得C2＝1，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、設(shè)x→0時(shí)，（1+sinx）x—1是比xtanxn低階的無窮小，而xtanxn是比（—1）ln（1+x2）低階的無窮小，則正整數(shù)n等于（）A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時(shí)，（1+sinx）x—1=exln（l+sinx）—1～xln（1+sinx）～xsinx～x2，（esin2x—1）ln（1+x2）～sin2x．x2～x4，而xtanxn～x．xn=xn+1。因此2＜n+1＜4，則正整數(shù)n=2，故選B。2、設(shè)函數(shù)則f（x）在x=0處（）A、極限不存在B、極限存在但不連續(xù)C、連續(xù)但不可導(dǎo)D、可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：顯然f（0）=0，對于極限是無窮小量，為有界變量，故由無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)可知，因此f（x）在x=0處連續(xù)，排除A、B。又因?yàn)椴淮嬖冢詅（x）在x=0處不可導(dǎo)，故選C。3、已知函數(shù)y=y（x）在任意點(diǎn)x處的增量且當(dāng)△x→0時(shí)，α是△x的高階無窮小，y（0）=π，則y（1）等于（）A、2πB、πC、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=y（x）在任意點(diǎn)x處的增量故由微分定義可知此為一階可分離變量的微分方程，分離變量得兩邊積分，得ln|y|=arctanx+C1，即y=Cearctanx，由y（0）=π得C=π，于是y（x）=πearctanx。因此y（1）=πearctan1=。故選D。4、設(shè)函數(shù)f（x）在（一∞，+∞）上有定義，則下述命題中正確的是（）A、若f（x）在（一∞，+∞）上可導(dǎo)且單調(diào)增加，則對一切x∈（一∞，+∞），都有f’（x）＞0B、若f（x）在點(diǎn)x0處取得極值，則f’（x0）=0C、若f"（x0）=0，則（x0，f（x0））是曲線y=f（x）的拐點(diǎn)坐標(biāo)D、若f’（x0）=0，f"（x0）=0，f"（x0）≠0，則x0一定不是f（x）的極值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若在（一∞，+∞）上f’（x）＞0，則一定有f（x）在（一∞，+∞）上單調(diào)增加，但可導(dǎo)函數(shù)f（x）在（一∞，+∞）上單調(diào)增加，可能有f’（x）≥0。例如f（x）=x3在（一∞，+∞）上單調(diào)增加，f’（0）=0。故不選A。f（x）若在x0處取得極值，且f’（x0）存在，則有f’（x0）=0，但當(dāng)f（x）在x0處取得極值，在x0處不可導(dǎo)，就得不到f’（x0）=0，例如f（x）=|x|在x0=0處取得極小值，它在x0=0處不可導(dǎo)，故不選B。如果f（x）在x0處二階導(dǎo)數(shù)存在，且（x0，f（x0））是曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)，則f"（x0）=0，反之不一定，例如f（x）=x4在x0=0處，f"（0）=0，但f（x）在（一∞，+∞）沒有拐點(diǎn)，故不選C。由此選D。5、設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=160—2P，其中Q，P分別表示需求量和價(jià)格，如果該商品需求彈性的絕對值等于1，則商品的價(jià)格是（）A、10B、20C、30D、40標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：商品需求彈性的絕對值等于因此得P=40，故選D。6、設(shè)f（x）在[a，b]連續(xù)，則f（x）在[a，b]非負(fù)且在[a，b]的任意子區(qū)間上不恒為零是F（x）=∫axf（t）dt在[a，b]單調(diào)增加的（）A、充分非必要條件B、必要非充分條件C、充要條件D、既非充分又非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：已知g（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則g（x）在[a，b]單調(diào)增加g’（x）≥0（x∈（a，b）），在（a，b）內(nèi)的任意子區(qū)間內(nèi)g’（x）≠0。因此，F(xiàn)（x）=∫0πf（t）dt（在[a，b]可導(dǎo)）在[a，b]單調(diào)增加F’（x）=f（x）≥0（x∈（a，b））且在（a，b）內(nèi)的任意子區(qū)間內(nèi)F’（x）=f（x）≠0。故選C。7、考慮二元函數(shù)f（x，y）的四條性質(zhì)：①f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處連續(xù)，②f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，③f（x，），）在點(diǎn)（x0，y0）處可微，④f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在。則有（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于f（x，y）的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分條件，而f（x，y）可微是其連續(xù)的充分條件，因此正確選項(xiàng)為A。8、設(shè)Dk是圓域D={（x，y）|x2+y2≤1}位于第k象限的部分，記Ik=（y—x）dxdyA、I1＞0B、I2＞0C、I3＞0D、I4＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算可知所以I1=I3=0，I2=，I4=，應(yīng)該選B。9、設(shè)f（x，y）連續(xù)，且f（x，y）=xy+f（u，υ）dudυ，其中D是由y=0，y=x2，x=1所圍區(qū)域，則f（x，y）等于（）A、xyB、2xyC、D、xy+1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：等式f（x，y）=xy+f（u，υ）dudυ兩端積分得10、設(shè)a是常數(shù)，則級數(shù)A、絕對收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性與a的取值有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于發(fā)散，則發(fā)散。故選C。11、設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)y1，y2，y3都是二階非齊次線性方程y"+p（x）y’+q（x）y=f（x）的解，C1，C2是任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是（）A、C1y1+C2y2+）y3B、C1y1+C2y2一（C1+C2）y3C、C1y1+C2y2一（1一C1—C2）y3D、C1y1+C2y2+（1一C1—C2）y3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閥1，y2，y3是二階非齊次線性微分方程y"+p（x）y’+g（x）y=f（x）線性無關(guān)的解，所以（y1一y3），（y2一y3）都是齊次線性微分方程y"+p（x）y’+q（x）y=0的解，且（y1一y3）與（y2一y3）線性無關(guān)，因此該齊次線性微分方程的通解為y=C1（y1一y3）+C2（y2一y3）。比較四個(gè)選項(xiàng)，且由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知，選D。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)12、標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閤→0時(shí)，13、sin（x一t）2dt=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：sinx2知識(shí)點(diǎn)解析：令x—t=u，則14、設(shè)f（x）=則f（x）的極值為________，f（x）的拐點(diǎn)坐標(biāo)為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：對f（x）求導(dǎo)，并令f’（x）=．2x=0，得x=0，且當(dāng)x＜0時(shí)，f’（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f’（x）＞0，所以極小值點(diǎn)為x=0，極小值為f（0）=0。又因f"（x）=（1—4x4）=0，可得x=15、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：16、設(shè)函數(shù)f（x）=且λ＞0，則∫—∞∞xf（x）dx=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：已知x≤0時(shí)，函數(shù)值恒為0，因此可得∫—∞+∞xf（x）dx=∫0+∞λxe—λxdx=一∫0+∞xd（e—λx）=—xe—λx|0+∞+∫0+∞e—λxdx17、已知極坐標(biāo)系下的累次積分I=dθ∫0acosθf（rcosθ，rsinθ）rdr，其中a＞0為常數(shù)，則I在直角坐標(biāo)系下可表示為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：先將I表示成I=f（x，y）dσ，用D的極坐標(biāo)表示因此可知區(qū)域D:（x—）2+y2≤（）2。如圖1—4—10所示：如果按照先y后x的積分次序，則有18、設(shè)連續(xù)函數(shù)z=f（x，y）滿足=0，則dz|（1，0）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2dx—dy知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)以及函數(shù)z的連續(xù)性可知f（0，1）=1，從而已知的極限可以轉(zhuǎn)化為或者f（x，y）—f（0，1）=2x—（y—1）+根據(jù)可微的定義，f（x，y）在點(diǎn)（0，1）處是可微的，且有fx’（0，1）=2，fy’（0，1）=—1，dz|（0，1）=2dx—dy。19、設(shè)冪級數(shù)anxn的收斂半徑為3，則冪級數(shù)nan（x一1）n+1的收斂區(qū)間為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：（一2，4）知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)冪級數(shù)的性質(zhì)對原冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后，得[anxn]’=nanxn—1，其收斂半徑不變，因此有nan（x一1）n+1=（x一1）2nn（x一1）n—1，其收斂區(qū)間為|x一1|＜3，即（一2，4）。20、微分方程y’+ytanx=cosx的通解y=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：（x+C）cosx，C是任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：直接利用一階線性微分方程的通解公式可知y=e—∫tanxdx[∫cosx．e∫tanxdxdx+C]=（x+C）cosx，其中C是任意常數(shù)。21、微分方程y"一4y=e2x的通解為y=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1e—2x+（C2+）e2x，其中C1，C2為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：對應(yīng)齊次微分方程的特征方程為r2一4=0，解得r1=2，r2=一2。故y"一4y=0的通解為y1=C1e—2x+C2e—2x，其中C1，C2為任意常數(shù)。由于非齊次項(xiàng)為f（x）=e2x，α=2為特征方程的單根，因此原方程的特解可設(shè)為y*=Axe2x，代入原方程可求出A=。故所求通解為y=C1e—2x+（C2+）e2x，其中C1，C2為任意常數(shù)。三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)22、設(shè)數(shù)列{xn}滿足0＜x1＜π，xn+1=sinxn（n=1，2，…）。（Ⅰ）證明xn存在，并求該極限；（Ⅱ）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）因?yàn)?＜x1＜π，則0＜x2=sinx1≤1＜π?？赏频?＜xn+1=slnxn≤1＜π，n=1，2，…，則數(shù)列{xn}有界。于是＜1（因當(dāng)x＞0時(shí)，slnx＜x），則有xn+1＜xn，可見數(shù)列{xn}單調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知，極限xn存在。設(shè)xn=l，在xn+1=sinxn兩邊令n→∞，得l=sinl，解得l=0，即xn=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、求方程karctanx—x=0不同實(shí)根的個(gè)數(shù)，其中k為參數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：令f（x）=karctanx一x，則f（0）=0，且當(dāng)k＜1時(shí)，f’（x）＜0，f（x）在（一∞，+∞）單調(diào)遞減，故此時(shí)f（x）的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，也即方程karctanx—x=0只有一個(gè)實(shí)根。當(dāng)k=1時(shí)，在（一∞，0）和（0，+∞）上都有f’（x）＜0，所以f（x）在（一∞，0）和（0，+∞）上是嚴(yán)格單調(diào)遞減的，又f（0）=0，故f（x）的圖象在（一∞，0）和（0，+∞）與x軸均無交點(diǎn)。綜上所述，k≤1時(shí)，方程karctanx—x=0只有一個(gè)實(shí)根；k＞1時(shí)，方程karctanx—x=0有三個(gè)實(shí)根。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)函數(shù)f（x）在[0，+∞）上可導(dǎo)，f（0）=0且f（x）=2，證明：（Ⅰ）存在a＞0，使得f（a）=1；（Ⅱ）對（Ⅰ）中的a，存在ξ∈（0，a），使得f’（ξ）=標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）設(shè)F（x）=f（x）—1，x≥0。因?yàn)閒（x）=2，所以存在X＞0，當(dāng)x＞X時(shí)，f（x）＞1，不妨令x0＞X，則f（x0）＞1，所以F（x0）＞0。又因?yàn)镕（0）=—1＜0，根據(jù)零點(diǎn)定理，存在a∈（0，x0）（0，+∞），使得F（a）=0，即f（a）=1。（Ⅱ）函數(shù)在[0，a]上連續(xù)，在（0，a）內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，存在ξ∈（0，a）使得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)函數(shù)f（x）在[0，3]上連續(xù)，在（0，3）內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且2f（0）=∫02f（x）dx=f（2）+f（3）。（Ⅰ）證明存在η∈（0，2），使f（η）=f（0）；（Ⅱ）證明存在ξ∈（0，3），使f"（ξ）=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）設(shè)F（x）=∫0xf（t）dt，x∈[0，3]。由于f（x）在[0，3]上連續(xù)，從而可知F（x）在[0，3]上可導(dǎo)。由拉格朗日中值定理可知F（2）—F（0）=F’（η）（2—0），η∈（0，2），所以∫02f（x）dx=2f（η），又因?yàn)?f（0）=∫02f（x）dx，所以f（η）=f（0）。（Ⅱ）因f（2）+f（3）=2f（0），即=f（0），又因?yàn)閒（x）在[2，3]上連續(xù)，由介值定理知，至少存在一點(diǎn)η1∈[2，3]使得f（η1）=f（0）。因f（x）在[0，η]上連續(xù)，在（0，η）上可導(dǎo)，且f（0）=f（η），由羅爾定理知，存在ξ1∈（0，η），有f’（ξ1）=0。又因?yàn)閒（x）在[η，η1]上是連續(xù)的，在（η，η1）上是可導(dǎo)的，且滿足f（η）=f（0）=f（η1），由羅爾定理知，存在ξ2∈（η，η1），有f’（ξ2）=0。又因?yàn)閒（x）在[ξ1，ξ2]上是二階可導(dǎo)的，且f’（ξ1）=f’（ξ2）=0，根據(jù)羅爾定理，至少存在一點(diǎn)ξ∈（ξ1，ξ2），使得f"（ξ）=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)z=z（x，y）是由方程x2+y2—z=φ（x+y+z）所確定的函數(shù)，其中φ具有二階導(dǎo)數(shù)且φ’≠—1。（Ⅰ）求dz；標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）對方程兩端同時(shí)求導(dǎo)得2xdx+2ydy—dz=φ’（x+y+z）．（dx+dy+dz），知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、計(jì)算二重積分（x+y）3dxdy，其中D由曲線x=與直線x+=0及=0圍成。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域如圖1—4—16所示，D=D1∪D2，其中D1={（x，y）|0≤y≤1，D2={（x，y）|一1≤y≤0，由于（x+y）3dxdy=（x3+3x2y+3xy2+y3）dxdy，且區(qū)域D關(guān)于x軸是對稱的，被積函數(shù)3x2y+y3是y的奇函數(shù)，所以（3x2y+y3）dxdy=0。因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、求下列積分。（Ⅰ）設(shè)f（x）=∫1xe—y2dy，求∫01x2f（x）dx；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）在[0，1]上連續(xù)且∫01f（x）dx=A，求∫01dxf（x）f（y）dy。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅱ）令Ф（x）=∫x1f（y）dy，則Ф’（x）=一f（x），于是∫01dx∫x1f（x）f（y）dy=∫01[∫x1f（y）dy]f（x）dx=—∫01Ф（x）dФ（x）知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、求冪級數(shù)n（x一1）n的收斂域及其在收斂域內(nèi)的和函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于=1，所以|x一1|＜1，即0＜x＜2，當(dāng)x=0和x=2時(shí)冪級數(shù)變?yōu)榫l(fā)散，故原級數(shù)的收斂域?yàn)椋?，2）。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、級數(shù)(a＞0)()．A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、收斂性與a有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?－收斂，即原級數(shù)絕對收斂，選(C)．2、設(shè)f’x(x0，y0)，f’y(x0，y0)都存在，則()．A、f(x，y)在(x0，y0)處連續(xù)B、f(x，y)存在C、f(x，y)在(x0，y0)處可微D、f(x，y0)存在標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：多元函數(shù)在一點(diǎn)可偏導(dǎo)不一定在該點(diǎn)連續(xù)，(A)不對；函數(shù)f(x，y)＝在(0，0)處可偏導(dǎo)，但f(x，y)不存在，(B)不對；f(x，y)在(x0，y0)處可偏導(dǎo)是可微的必要而非充分條件，(C)不對，選(D)，事實(shí)上由f’x(x0，y0)＝存在得f(x，y0)＝f(x0，y0)．3、設(shè)y＝y(tǒng)(x)由x－dt＝0確定，則y’’(0)等于()．A、2e2B、2e－2C、e2－1D、e－2－1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x＝0時(shí)，由－∫iye－t2dt＝0得y＝1，x－∫1x＋ye－t2dt＝0兩邊對x求導(dǎo)得，4、當(dāng)x→0＋時(shí)，下列無窮小中，階數(shù)最高的是()．A、ln(1＋x2)－x2B、＋cosx－2C、∫0x2ln(1＋t2)dtD、ex2－1－x2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：ln(1＋x2)－x2～，ex2－1－x2＝1＋x2＋＋ο(x4)－1－x2～ln(1＋t2)dt為最高階無窮小，選(C)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)5、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：6、設(shè)f(x)＝且f’(0)存在，則a＝______，b＝______，c＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2，2，－2知識(shí)點(diǎn)解析：f(0＋0)＝f(x)＝a，f(0)＝2，f(0－0)＝c，因?yàn)閒(x)在x＝0處連續(xù)，所以f(0＋0)＝f(0)＝f(0－0)，因?yàn)閒(x)在x＝0處可導(dǎo)，即f’＋(0)＝f’－(0)，故b＝－2．7、設(shè)f(x)＝dt，則∫01dx＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：e－1－1知識(shí)點(diǎn)解析：8、由方程xyz＋確定的隱函數(shù)z＝z(x，y)在點(diǎn)(1，0，－1)處的微分為dz＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：dx－知識(shí)點(diǎn)解析：xyz＋兩邊求微分得yzdx＋xzdy＋xydz＋(xdx＋ydy＋zdz)＝0，把(1，0，－1)代入上式得dz＝dx－．9、的通解為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：x＝知識(shí)點(diǎn)解析：－2x＝y(tǒng)2，則．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)10、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，0≤≤lnn(1＋x)≤xn，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)(x－3sin3x＋ax－2＋b)＝0，求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(x－3＋ax－2＋b)＝由麥克勞林公式得sin3x＝3x－＋ο(x3)＝3x－x3＋ο(x3)于是sin3x＋ax＋bx3＝(3＋a)x＋(b－)x3＋ο(x3)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)y＝f，且f’(x)＝lnx，求y’．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(x)＝驗(yàn)證f(x)在[0，2]上滿足拉格朗日中值定理的條件，求(0，2)內(nèi)使得f(2)－f(0)＝2f’(ξ)成立的ξ．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(1－0)＝f(1)＝f(1＋0)＝1得f(x)在x＝1處連續(xù)，從而f(x)在[0，2]上連續(xù)．得f(x)在x＝1處可導(dǎo)且f’(1)＝－1，從而f(x)在(0，2)內(nèi)可導(dǎo)，故f(x)在[0，2]上滿足拉格朗日中值定理的條件．f(2)－f(0)＝＝－1,當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f’(x)＝－x；當(dāng)x＞1時(shí)，f’(x)＝,當(dāng)0＜ξ≤1時(shí)，由f(2)－f(0)＝2f’(ξ)得－1＝－2ξ，解得ξ＝；當(dāng)1＜ξ＜2時(shí)，由f(2)－f(0)＝2f’(ξ)得－1＝．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)k＞0，討論常數(shù)k的取值，使f(x)＝xlnx＋k在其定義域內(nèi)沒有零點(diǎn)、有一個(gè)零點(diǎn)及兩個(gè)零點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，．由f’(x)＝lnx＋1＝0，得駐點(diǎn)為x＝為f(x)的極小值點(diǎn)，也為最小值點(diǎn)，最小值為．(1)當(dāng)k＞時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)沒有零點(diǎn)；(2)當(dāng)k＝時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)有唯一零點(diǎn)x＝；(3)當(dāng)0＜k＜時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，分別位于(0，＋∞)內(nèi)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)＝sin3x＋∫－ππxf(x)dx，求∫0πf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令∫－ππxsin3xdx＝2∫0πxsin3xdx＝π∫0πsin3xdx＝2πsin3xdx＝從而f(x)＝sin3x＋故∫0πf(x)dx＝∫0π(sin3＋)dx＝∫0πsin3xdx＋∫0πdx＝(1＋π2)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ξbg(x)dx＝g(ξ)∫aξf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)＝∫axf(t)dt∫bxg(t)dt，顯然φ(x)在[a，b]上可導(dǎo)，又φ(a)＝φ(b)＝0，由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)＝0，而φ’(x)＝f(x)｜g(t)dt＋g(x)∫axf(t)dt，所以f(ξ)∫bξg(x)dx＋g(ξ)∫aξf(x)dx＝0，即f(ξ)g(x)dx＝g(ξ)∫aξf(x)dx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)z＝f[xg(y)，x－y]，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，g二階可導(dǎo)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：＝g(y)f’1＋f’2，＝g’(y)f’1＋g(y)[xg’(y)f’’11－f’’12]＋xg’(y)f’’21－f’’22＝g’(y)f’1＋xg’(y)g(y)f’’11＋[xg’(y)－g(y)]f’’12－f’’22．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、(1)求二元函數(shù)f(x，y)＝x2(2＋y2)＋ylny的極值．(2)求函數(shù)f(x，y)＝(x2＋2x＋y)ey的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)二元函數(shù)f(x，y)的定義域?yàn)镈＝((x，y)｜y＞0}，因?yàn)锳C－B2＞0且A＞0，所以為f(x，y)的極小點(diǎn)，極小值為f(0，由AC－B2＝2＞0及A＝2＞0得(x，y)＝(－1，0)為f(x，y)的極小值點(diǎn)，極小值為f(－1，0)＝－1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、求∫02adx(x＋y)2dy(a＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令(0≤θ≤，0≤r≤2acosθ)，則∫02adx(x＋y)2dy＝dx∫02acosθr3(sinθ＋cosθ)2dr＝4a4(1＋2sinθcosθ)cos4θdθ＝4a4cos4θdθ＋8a4sinθcos5θdθ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、判斷級數(shù)的斂散性，若級數(shù)收斂，判斷其是絕對收斂還是條件收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)x＞0時(shí)，f(x)可導(dǎo)，且滿足：f(x)＝1＋∫1xf(t)dt，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x)＝1＋∫1xf(t)dt得xf(x)＝x＋∫1xf(t)dt，兩邊對x求導(dǎo)得f(x)＋xf’’(x)＝1＋f(x)，解得f’(x)＝，f(x)＝lnx＋C，因?yàn)閒(1)＝1，所以C＝1，故f(x)＝lnx＋1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)曲線L位于xOy平面的第一象限內(nèi)，L上任意一點(diǎn)M處的切線與y軸總相交，交點(diǎn)為A，已知｜MA｜＝｜OA｜，且L經(jīng)過點(diǎn)，求L的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則切線MA：Y－y＝y(tǒng)’(X－x)．令X＝0，則Y＝y(tǒng)－xy’，故A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，y－xy’)．由｜MA｜＝｜OA｜，得｜y－xy’｜＝即2yy’－＝－x，則y2＝＝x(－x＋C),因?yàn)榍€經(jīng)過點(diǎn)，所以C＝3，再由曲線經(jīng)過第一象限得曲線方程為y＝(0＜x＜3)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)，則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處A、可微．B、偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微．C、連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不存在．D、偏導(dǎo)數(shù)存在，但不連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)△z=f(x，y)一f(0，0)，則可知這表明f(x，y)=在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)．因，同理fy’(0，0)=0．令當(dāng)(△x，△y)沿y=x趨于點(diǎn)(0，0)時(shí)即α不是β的高階無窮小，因此f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處不可微，故選(B)．2、設(shè)則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處A、偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)．B、偏導(dǎo)數(shù)不存在，但連續(xù)．C、偏導(dǎo)數(shù)存在，可微．D、偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由偏導(dǎo)數(shù)定義可知這說明fx’(0，0)存在且為0，同理fy’(0，0)存在且為0．所以f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微分．故選(C)．3、設(shè)f(x，y)=｜x一y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)且φ(0，0)=0，則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處A、連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不存在．B、不連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)存在．C、可微．D、不可微．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：逐項(xiàng)分析：(I)｜x—y｜在(0，0)連續(xù)，φ(x，y)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)→f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)．(Ⅱ)，同理fy(0，0)=0．(Ⅲ)4、已知(axy3一y2cosx)dx+(1+bysinx+3x2y2)dy為某二元函數(shù)f(x，y)的全微分，則常數(shù)A、a=一2，b=2．B、a=2，b=一2．C、a=一3，b=3．D、a=3，b=一3．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：依題設(shè)由df(x，y)=fy’(x，y)dx+fy’(x，y)dy=(axy3一y2cosx)dx+(1+bysinx+3x2y2)dy，可知fx’(x，y)=axy3一y2cosx，fy’(z，y)=1+bysinx+3x2y2，所以fxy’’(x，y)=3axy2—2ycosx，fyx’’(x，y)=bycosx+6xy2．由fxy’’(x，y)和fyx’’(x，y)的表達(dá)式可知它們都是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)當(dāng)混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)與求導(dǎo)次序無關(guān)的定理即得fxy’’(x，y)≡fyx’’(x，y)．從而a=2，b=一2．故應(yīng)選(B)．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)5、已知函數(shù)z=f(x，y)在(1，1)處可微，且設(shè)φ(x)=f[x，f(x，x)]，則=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：51知識(shí)點(diǎn)解析：6、設(shè)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于故在區(qū)域D1={(x，y)10≤y≤1，一y≤x≤1一y}(如圖4．2)上f(y)=y，f(x+y)=x+y，在D1的外部f(y)=0，f(x+y)=0．于是三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)7、計(jì)算下列函數(shù)指定的偏導(dǎo)數(shù)：(I)設(shè)u=f(2x—y)+g(x，xy)，其中f具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，g具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求(Ⅱ)設(shè)u=u(x，y)由方程u=φ(u)+∫yxp(t)dt確定，其中φ可微，P連續(xù)，且φ’(u)≠1，求(Ⅲ)設(shè)z3一2xz+y=0確定z=z(x，y)，求z的三個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)(Ⅱ)在u=φ(u)+∫yxP(t)dt兩邊分別對x，y求偏導(dǎo)數(shù)可得(Ⅲ)在方程兩邊分別對x求偏導(dǎo)數(shù)得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、已知函數(shù)z=u(x，y)eax+by，其中u(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)函數(shù)f(x)二階可導(dǎo)，g(y)可導(dǎo)，且F(x，y)=f[x+g(y)]，求證：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)函數(shù)且g有二階導(dǎo)數(shù)，求證：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、已知函數(shù)f(x，y，z)=x3y2z及方程x+y+z一3+e-3=e-(x+y+z)．(I)如果x=x(y，z)是由方程(*)確定的隱函數(shù)滿足x(1，1)=1，又u=f(x(y，z)，y，z)，求(Ⅱ)如果z=z(x，y)是由方程(*)確定的隱函數(shù)滿足z(1，1)=1，又w=f(x，y，z(x，y))，求標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)依題意，為f[x(y，z)，y，z]對y的偏導(dǎo)數(shù)，故有因?yàn)轭}設(shè)方程(*)確定x為y，z的隱函數(shù)，所以在(*)兩邊對y求導(dǎo)數(shù)時(shí)應(yīng)將z看成常量，從而有(Ⅱ)同(I)一樣，求得在題設(shè)方程(*)中將x看成常量，對y求導(dǎo)，可得，故有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)z=f(x，y，u)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，u(x，y)由方程u3一5xy+5u=1確定．求標(biāo)準(zhǔn)答案：將方程u5一5xy+5u=1兩端對u5求導(dǎo)數(shù)，得5u4ux’一5y+5x’=0，解得故在上式對x求導(dǎo)數(shù)時(shí)，應(yīng)注意其中的f1’，f3’仍是x，y，u的函數(shù)，而u又是x，y的函數(shù)，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)M=f(x，y，z)，φ(x2，ey，z)=0，y=sinx確定了函數(shù)u=u(x)，其中f，φ都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且標(biāo)準(zhǔn)答案：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法知其中上式中的表示由方程φ(x2,esinx，z)=0所確定的函數(shù)z=(x)的導(dǎo)數(shù)．由φ(x2，esinx，z)=0兩端對x求導(dǎo)得將dz代入①式即得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)y=f(x，t)，且方程F(x，y，t)=0確定了函數(shù)t=t(x，y)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由y=f(x，t(x，y))兩端對x求導(dǎo)得而t=t(x，y)由F(x，y，t)=0所確定，則將的表達(dá)式代入①，式即得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)函數(shù)f(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(y)連續(xù)可導(dǎo)，且g(y)在y=1處取得極值g(1)=2．求復(fù)合函數(shù)z=f(xg(y)，x+y)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(1，1)處的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x，y)在點(diǎn)(a，b)的某鄰域具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且fy’(a，b)≠0，證明由方程f(x，y)=0在x=a的某鄰域所確定的隱函數(shù)y=φ(x)在x=a處取得極值b=φ(a)的必要條件是：f(a，b)=0，fx’(a，b)=0，且當(dāng)r(a，b)＞0時(shí)，b=φ(a)是極大值；當(dāng)r(a，b)＜0時(shí)，b=φ(a)是極小值，其中標(biāo)準(zhǔn)答案：y=φ(x)在x=a處取得極值的必要條件是φ’(a)=0．按隱函數(shù)求導(dǎo)法，φ’(x)滿足fx’(x，φ(x))+fy’(x，φ(x))φ’(x)=0．(*)因b=φ(a)，則有于是fx’(a，b)=0．將(*)式兩邊對x求導(dǎo)得上式中令x=a，φ(a)=b，φ’(a)=0，得因此當(dāng)時(shí)，φ’’(a)＜0，故b=φ(a)是極大值；當(dāng)時(shí)，φ’’(a)＞0，故b=φ(a)是極小值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求使得不等式在區(qū)域D=｜(x，y)｜x＞0，y＞0｜內(nèi)成立的最小正數(shù)A與最大負(fù)數(shù)B．標(biāo)準(zhǔn)答案：在區(qū)域D={x戈，y)｜x＞0，y＞0}內(nèi)因此使上式成立的常數(shù)A的最小值就是函數(shù)在區(qū)域D上的最大值．令r=x2+y2，則A的最小值就是函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)的最大值．計(jì)算可得這表明F(r)在(0，+∞)內(nèi)的最大值是，從而A的最小值是．在區(qū)域D={(x，y)｜x＞0，y＞0}內(nèi)因此使上式成立的常數(shù)B的最大值就是函數(shù)g(x，y)=xyln(x2+y2)在區(qū)域D上的最小值。計(jì)算可得由此可知g(x，y)在D中有唯一駐點(diǎn)因?yàn)樵趨^(qū)域D的邊界{(x，y)｜x=0，y≥0}與{(x，y)｜x≥0，y=0}上函數(shù)g(x，y)=0，而且當(dāng)x2+y2≥1時(shí)g(x，y)≥0，從而就是g(x，y)在D內(nèi)的最小值．即B的最大值是.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、試求多項(xiàng)式p(x)=x2+ax+b，使積分∫-11P2(x)dx取最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題是要確定a，b的值，使積分∫-11p2(x)dx取最小值，因此可把定積分看成a，b的二元函數(shù)求極值．記f(a，b)=∫-11p2(x)dx=∫-11(x2+ax+b2)dx先求駐點(diǎn)，由知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，當(dāng)這兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x和y(單位：噸)時(shí)的總收益函數(shù)為R(x，y)=42x+27y一4x2一2xy—y2，總成本函數(shù)為C(x，y)=36+8x+12y(單位：萬元)．除此之外，生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品每噸還需分別支付排污費(fèi)2萬元，1萬元．19、在不限制排污費(fèi)用支出的情況下，這兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少噸時(shí)總利潤最大?總利潤是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題設(shè)知該廠生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的總利潤函數(shù)L(x，y)=R(x，y)一C(x，y)一2x一y=42x+27y一4x2—2xy—y2一36—8x一12y一2x一y=32x+14y一4x2—2xy一y2—36，求L(x，y)的駐點(diǎn)：令可解得唯一駐點(diǎn)(3，4)．因L(x，y)的駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際問題必有最大利潤，故計(jì)算結(jié)果表明，在不限制排污費(fèi)用支出的情況下，當(dāng)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x=3(噸)與y=4(噸)時(shí)總利潤L(戈，y)取得最大值且maxL=L(3，4)=40(萬元)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、當(dāng)限制排污費(fèi)用支出總額為8萬元的條件下，甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少時(shí)總利潤最大?最大總利潤是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)限制排污費(fèi)用支出總額為8萬元的條件時(shí)應(yīng)求總利潤函數(shù)L(x，y)在約束條件2x+y=8即2x+y一8=0下的條件最大值．可用拉格朗日乘數(shù)法，為此引入拉格朗日函數(shù)F(x，y，λ)=L(x，y)+λ(2x+y一8)，為求F(x，y，λ)的駐點(diǎn)，令由①，②兩式消去參數(shù)λ可得2x一y一2=0，與③聯(lián)立可得唯一駐點(diǎn)(2．5，3)．因駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際問題必有最大利潤，故計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)排污費(fèi)用限于8萬元的條件下，甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為z=2．5(噸)與y=3(噸)時(shí)總利潤取得最大值，最大利潤maxL=L(2．5，3)=37(萬元)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要投甲、乙兩種原料，x1和2(單位：噸)分別是它們各自的投入量，則該產(chǎn)品的產(chǎn)出量為Q=2x1αx2β(單位：噸)，其中常數(shù)α＞0，β＞0且α+β=1．如果兩種原料的價(jià)格分別為p1與p2(單位：萬元／噸)．試問，當(dāng)投入兩種原料的總費(fèi)用為P(單位：萬元)時(shí)，兩種原料各投入多少可使該產(chǎn)品的產(chǎn)出量最大?標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知應(yīng)求函數(shù)Q=2x1αx2β在條件p1x1+p2x2=P之下的最大值點(diǎn)．用拉格朗日乘數(shù)法，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(x1，x2，λ)=2x1αx2β+λ(p1x1+p2x2一P)，為求F(x1，x2，λ)的駐點(diǎn)，解方程組因駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際問題必有最大產(chǎn)出量，故計(jì)算結(jié)果表明，在兩種原料投入的總費(fèi)用為P(萬元)時(shí)，這兩種原料的投入量分別為時(shí)可使該產(chǎn)品的產(chǎn)出量最大．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、已知三角形的周長為2p，將它繞其一邊旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成一立體，求使立體體積最大的那個(gè)三角形．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)三角形的三邊長為a，b，c，并設(shè)以AC邊為旋轉(zhuǎn)軸(見圖4．6)，AC上的高為h，則旋轉(zhuǎn)所成立體的體積為又設(shè)三角形的面積為S，于是有問題化成求V(a，b，c)在條件a+b+c一2p=0下的最大值點(diǎn)，等價(jià)于求在條件a+b+c一2p=0下的最大值點(diǎn)．用拉格朗日乘子法．令F(a，b，c，λ)=V0(a，b，c)+λ(a+b+c一2p)，求解方程組比較①，③得a=c，再由④得b=2(P一a)．⑤比較①，②得b(p—b)=(P—a)p．⑥由⑤，⑥解出由實(shí)際問題知，最大體積一定存在，而以上解又是方程組的唯一解．因而也是條件最大值點(diǎn)．所以當(dāng)三角形的邊長分別為時(shí)，繞邊長為的邊旋轉(zhuǎn)時(shí)，所得立體體積最大．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、證明不等式：標(biāo)準(zhǔn)答案：由以上分析知其中D1={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0}，D2={(x，y)}x2+y2≤2，x≥0，y≥0}．在極坐標(biāo)系下同理故有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)常數(shù)k＞0，則級數(shù)()．A、發(fā)散B、絕對收斂C、條件收斂D、斂散性與k有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：2、設(shè)u＝f(x＋y，xz)有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則＝()．A、f’2＋xf’’11＋(x＋z)f’’12＋xzf’’22B、xf’’12＋xzf’’22C、f’2＋xf’’12＋xzf’’22D、xzf’’22標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：＝f’1＋zf’2，＝xf’’12＋f’2＋xzf’’22，選(C)．3、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，a]上連續(xù)，在(0，a)內(nèi)二階可導(dǎo)，且f(0)＝0，f’’(x)＜0，則在(0，a]上()．A、單調(diào)增加B、單調(diào)減少C、恒等于零D、非單調(diào)函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：，令h(x)＝xf’(x)－f(x)，h(0)＝0，h’(x)＝xf’’(x)＜0(0＜x≤a)，由得h(x)＜0(0＜x≤a),于是＜0(＜x≤a)，故在(0，a]上為單調(diào)減函數(shù)，選(B)．4、設(shè)f(x)＝∫0xdt，g(x)＝∫0xsin2(x－t)dt，則當(dāng)x→0時(shí)，g(x)是f(x)的()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階但非等價(jià)的無窮小D、等價(jià)無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由又g(x)＝∫0xsin2(x－t)dt∫x0sin2u(-du)＝∫0xsin2udu，故g(x)是f(x)的高階無窮小，選(A)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)5、設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，且f(x)＞0，則＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：6、設(shè)f(u)可導(dǎo)，y＝f(x2)在x0＝－1處取得增量△x＝0．05時(shí)，函數(shù)增量△y的線性部分為0．15，則f’(1)＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由dy＝2xf’(x2)△x得dy｜x＝－1＝－2f’(1)×0．05＝0．1f’(1)，因?yàn)椤鱵的線性部分為dy，由－0．1f’(1)＝0．15得f’(1)＝．7、＝______．(其中a為常數(shù))．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、(x2＋xy－x)dxdy＝______，其中D由直線y＝x，y＝2x及x＝1圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：(x2＋xy－x)dxdy＝∫01dx∫π2x(x2＋xy－x)dy＝∫01．9、設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(x)＝，則f(x)＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2e2x－ex知識(shí)點(diǎn)解析：∫02xdt＝2∫0xf(t)dt，則f(x)＝∫02xfdt＋ex可化為f(x)＝2∫0xf(t)dt＋ex，兩邊求導(dǎo)數(shù)得f’(x)－2f(x)＝ex，解得f(x)＝＝(－e－x＋C)e2x＝Ce2x－ex，因?yàn)閒(0)＝1，所以f(0)＝C－1＝1，C＝2，于是f(x)＝2e2x－ex．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)10、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)f(x)連續(xù)，且＝e3，且f’(0)存在，求f’(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)＝0，求a，b，c，d的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以a，b，c，d滿足的條件是a＝－2d，c＝－1，b取任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、(1)設(shè)y＝y(tǒng)(x)由方程ey＋6xy＋x2－1＝0確定，求y’’(0)．(2)設(shè)y＝y(tǒng)(x)是由exy－x＋y－2＝0確定的隱函數(shù)，求y’’(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)將x＝0代入得y＝0，ey＋6xy＋x2－1＝0兩邊對x求導(dǎo)得ey＋2x＝0，將x＝0，y＝0代入得y’(0)＝0．ey＋2x＝0兩邊再對x求導(dǎo)得ey＋2＝0，將x＝0，y＝0，y’(0)＝0代入得y’’(0)＝－2．(2)當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，exy－x＋y－2＝0兩邊對x求導(dǎo)得exy(y＋xy’)－1＋y’＝0，解得y’(0)＝0；exy(y＋xy’)－1＋y’＝0兩邊對x求導(dǎo)得exy(y＋xy’)2＋exy(2y’＋xy’’)＋y’’＝0，解得y’’(0)＝－1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a＞0)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)＝f(b)lnx－f(x)lnx＋f(x)lna,φ(a)＝φ(b)＝f(b)lna．由羅爾定理，存在ξ∈(a,b)，使得φ’(ξ)＝0．而φ’(x)＝－f’(x)lnx＋f’(x)lna，所以[f(b)－f(ξ)]－f’(ξ)(lnξ－lna)＝0，即＝ξf’(ξ)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)＝f(b)＝0，證明：(1)存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＝2ξf(ξ)．(2)存在η∈(a，b)，使得ηf’(η)＋f(η)＝0．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令φ(x)＝e－x2f(x)，因?yàn)閒(a)＝f(b)＝0，所以φ(a)＝φ(b)＝0，由羅爾定理，存在ξ∈(a，6)，使得φ’(ξ)＝0，而φ’(x)＝e－x2[f’(x)－2xf(x))]且e－x2≠0，故f’(ξ)＝2ξf(ξ)．(2)令φ(x)＝xf(x)，因?yàn)閒(a)＝f(b)＝0，所以φ(a)φ(b)＝0，由羅爾定理，存在η∈(a，b)，使得φ’(η)＝0，而φ’(x)＝xf’(x)＋f(x)，故ηf’(η)＋f(η)＝0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求∫x2arctanxdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上階連續(xù)可導(dǎo)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(x)dx＝(b－a)ff’’(ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)＝∫axf(t)dt，則F(x)在[a，b]上三階連續(xù)可導(dǎo)，取x0＝，由泰勒公式得F(a)＝F(x0)＋F’(x0)(a－x0)(a－x0)3，ξ1∈(a,x0)，F(xiàn)(b)＝F(x0)＋F’(x0)(b－x0)(b－x0)3，ξ2∈(x0,b)，兩式相減得F(b)－F(a)＝F’(x0)(b－a)＋[F’’’(ξ1)＋F’’’(ξ2)]，即∫abf(x)dx＝(b－a)f[f’’(ξ1)＋f’’(ξ2)]，因?yàn)閒’’(x)在[a，b]上連續(xù)，所以存在ξ∈[ξ，ξ2](a，b)，使得f’’(ξ)＝[f’’(ξ1)＋f’’(ξ2)]，從而∫abf(x)dx＝(b－a)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)f(x，y)＝，討論函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處的連續(xù)性與可偏導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?，所以f(x，y)不存在，故函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處不連續(xù)．因?yàn)?，所以函?shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處對x，y都可偏導(dǎo)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)某工廠生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為x件和y件，利潤函數(shù)為L(x，y)＝6x－x2＋16y－4y2－2(萬元)．已知生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品時(shí)，每件產(chǎn)品都要消耗原料2000kg，現(xiàn)有該原料12000kg，問兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時(shí)總利潤最大？最大利潤是多少？標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意，即求函數(shù)L(x，y)＝6x－x2＋16y－4y2－2在0＜x＋y≤6下的最大值．L(x，y)的唯一駐點(diǎn)為(3，2)，令F(x，y，λ)＝6x－x2＋16y－4y2－2＋λ(x＋y－6)，，根據(jù)題意，x，y只能取正整數(shù)，故(x，y)的可能取值為L(4，2)＝22，L(3，3)＝19，L(3，2)＝23，故當(dāng)x＝3，y＝2時(shí)利凋最大，最大利潤為23萬元．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、計(jì)算dx2dy，其中D＝{(x，y)｜x2＋y2≤1，x≥0，y≥0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由極坐標(biāo)法得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、求冪級數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、求微分方程y2dx＋(2xy＋y2)dy＝0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由y2dx＋(2xy＋y2)dy＝0得，令u＝，所以原方程的通解為y2(y＋3x)＝C．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)且滿足f(0)＝1，f’(x)－f(x)＝a(x－1)．y＝f(x)，x＝0，x＝1，y＝0圍成的平面區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積最小，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f’(x)－f(x)＝a(x－1)得f(x)[a∫(x－1)＝Cex－ax，由f(0)＝1得C＝1，故f(x)＝ex－ax．V(a)＝π∫01f2(x)dx＝π，由V’(a)＝π(－2＋)得a＝3，因?yàn)閂’’(a)＝＞0，所以當(dāng)a＝3時(shí)，旋轉(zhuǎn)體的體積最小，故f(x)＝ex－3x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)f(x)=3x2+x2｜x｜，則使f(n)(0)存在的最高階數(shù)n=A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因3x2在(一∞，+∞)具有任意階導(dǎo)數(shù)，所以f(x)與函數(shù)g(x)=x2｜x｜具有相同最高階數(shù)的導(dǎo)數(shù)．因從而綜合即得類似可得綜合即得g’’(0)存在且等于0，于是由于g’’(x)在x=0不可導(dǎo)，從而g(x)存在的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)n=2，即f(x)存在的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)也是n=2．故應(yīng)選C．2、設(shè)f(x)在x=0的某鄰域連續(xù)且f(0)=0，則f(x)在x=0處A、不可導(dǎo)．B、可導(dǎo)且f’(0)≠0．C、有極大值．D、有極小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因，由極限的保號(hào)性質(zhì)知，由于1—cosx＞0→當(dāng)0＜｜x｜＜δ時(shí)f(x)＞0，又f(0)=0，故f(x)在x=0取得極小值．故應(yīng)選D．3、若xf’’(x)+3x[f’(x)]2=1一e-x且f’(x0)=0(x0≠0)，則A、(x0，f(x0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．B、f(x0)是f(x)的極小值．C、f(x0)不是f(x)的極值，(x0，f(x0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．D、f(x0)是f(x)的極大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)知又由f’’(x)存在可知f’(x)連續(xù)，再由在x=x0≠0附近連續(xù)可知f’’(x)在x=x0附近連續(xù)，于是由f’(x0)=0及f’’(x0)＞0可知f(x0)是f(x)的極小值．故應(yīng)選B．4、曲線漸近線的條數(shù)是A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：令f(x)的定義域是(一∞，一2)U(一2，1)U(1，+∞)，因從而x=1與x=一2不是曲線y=f(x)的漸近線．又因故是曲線y=-f(x)的水平漸近線．綜合知曲線y=f(x)有且只有一條漸近線．選A．5、曲線的拐點(diǎn)有A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)的定義域?yàn)?一∞，一1)∪(一1，1)∪(1，+∞)，且在定義域內(nèi)處處連續(xù)．由令f’’(x)=0，解得x1=0，x2=2；f’’(x)不存在的點(diǎn)是x3=一1，x4=1(也是f(x)的不連續(xù)點(diǎn))．現(xiàn)列下表：由上表可知，y在x1=0與x2=2的左右鄰域內(nèi)凹凸性不一致，因此它們都是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，故選B．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)6、設(shè)y=aretanx，則y(4)(0)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：因y=arctanx是奇函數(shù)，且y具有任何階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，從而y’，y’’是偶函數(shù)，y’’，y(4)是奇函數(shù)，故y(4)(0)=0．7、74的極大值點(diǎn)是x=__________，極小值點(diǎn)是x=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：極大值點(diǎn)x=0；極小值點(diǎn)為知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)f(x)=xex，則f(n)(x)在點(diǎn)x=__________處取極小值___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：x0一(n+1)為f(n)(x)的極小值點(diǎn)；極小值為f(n)(x0)=一e-(n+1)知識(shí)點(diǎn)解析：由歸納法可求得f(n)(x)=(n+x)ex，由f(n+1)(x)=(n+1+x)ex=0得f(n)(x)的駐點(diǎn)x0=一(n+1)．因?yàn)閒(n+2)(x)｜x=x0=(n+2+x)ex｜x=x0=ex0＞0，所以x0一(n+1)為f(n)(x)的極小值點(diǎn)；極小值為f(n)(x0)=一e-(n+1)．9、曲線y=x2e-x2的漸近線方程為____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=0知識(shí)點(diǎn)解析：函數(shù)y=x2e-x2的定義域是(一∞，+∞)，因而無鉛直漸近線．又因故曲線y=x2e-x2有唯一的水平漸近線y=0．10、曲線的漸近線方程為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題中曲線分布在右半平面x＞0上，因故該曲線無垂直漸近線．又其中利用了當(dāng)故曲線僅有斜漸近線11、曲線(x一1)3=y2上點(diǎn)(5，8)處的切線方程是__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由隱函數(shù)求導(dǎo)法，將方程(x一1)3=y2兩邊對x求導(dǎo)，得3(x一1)2=2yy’．令z=5，y=8即得y’(5)=3．故曲線(x一1)3=y2在點(diǎn)(5，8)處的切線方程是12、曲線y=lnx上與直線x+y=1垂直的切線方程為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=x－1知識(shí)點(diǎn)解析：與直線x+y=1垂直的直線族為y=x+c，其中c是任意常數(shù)，又因y=lnx上點(diǎn)(x0，y0)=(x0，lnxn)(x0＞0)處的切線方程是從而，切線與x+y=1垂直的充分必要條件是即該切線為y=x一1．13、設(shè)某商品的需求量Q與價(jià)格P的函數(shù)關(guān)系為Q=aPb，其中a和b是常數(shù)，且a＞0，則該商品需求對價(jià)格的彈性=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：b知識(shí)點(diǎn)解析：14、設(shè)某商品的需求量Q與價(jià)格P的函數(shù)關(guān)系為Q=100—5P．若商品的需求彈性的絕對值大于1，則該商品價(jià)格P的取值范圍是__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：10＜P≤20知識(shí)點(diǎn)解析：從而P的取值范圍是10＜P≤20．三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)15、求函數(shù)F(x)=∫01(1一t)｜x一t｜dt(0≤x≤1)的凹凸區(qū)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：因當(dāng)0≤x≤1時(shí)，F(xiàn)(x)=∫01(1一t)｜x一t｜dt=∫0x(1一t)(x一t)dt+∫x1(1一t)(t一x)dt=x∫0x(1一t)dt—∫0x(1一t)tdt+∫x1t(1一t)dt一x∫x1(1一t)dt．從而F’(x)=∫0x(1一t)dt+x(1一x)一(1一x)x一x(1一x)一∫x1(1一t)dt+x(1一x)=∫0x(1一t)dt一∫x1(1一t)dt，F(xiàn)’’(x)=1一X+(1一x)=2(1一x)＞0，．由F(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)內(nèi)F’’(x)＞0．故反間[0，1]上y=F(x)的圖像是凹?。R(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：引入函數(shù)，則f(x)在(一∞，+∞)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0，又從而當(dāng)x∈(一∞，+∞)時(shí)f(x)≡f(0)=0，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)=2x3+3x2一12x+k，討論k的取值對函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響．標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(x)=6x2+6x一12=6(x+2)(x一1)，由f’(x)=0得駐點(diǎn)x1=一2，x2=1，且f(一2)為極大值，f(1)為極小值．又函數(shù)的單調(diào)性與極值如下表：要使f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，則需極大值小于零或極小值大于零，即f(一2)=一16+12+24+k＜0→＜一20；或f(1)=2+3—12+k＞0→k＞7．故當(dāng)k＜一20或k＞7時(shí)，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)k=一20或后=7時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)一20＜k＜7時(shí)，f(x)有三個(gè)零點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)當(dāng)x＞0時(shí)，方程有且僅有一個(gè)解，求k的取值范圍．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)，則(I)當(dāng)k≤0時(shí)，f’(x)＜0，f(x)單調(diào)減少，又故f(x)此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)．(Ⅱ)當(dāng)k＞0，由f’(x)=0，得是極小值點(diǎn)，且極小值為當(dāng)極小值為零時(shí)，即當(dāng)時(shí)，有此時(shí)方程有且僅有一個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程無根或有兩個(gè)根．因此，k的取值范圍為k≤0及知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在[a，+∞)上連續(xù)，在(a，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，且求證：存在ξ∈(a，+∞)，使f’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：若f（x)≡f(a)，則結(jié)論顯然成立，下設(shè)f(x)≠f(a)，于是，使得f(x0)≠f(a)．為確定起見，無妨設(shè)f(x0)＞f(a)(否則用一f(x)代替f(x)進(jìn)行討論)．令則f(x)＜m＜f(x0)．由f(x)在[a，x0]上連續(xù)知，，使f(α)=m．又因，從而，使f(x1)＜m，由f(x)在[x0，x1]上連續(xù)，且f(x0)＞m＞f(x1)知，，使f(β)=m．綜合可得，f(x)在區(qū)間[β，β]上連續(xù)且可導(dǎo)，又f(α)=f(β)，故由羅爾定理可知，，使得f’(ξ)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0．求證：如果f(x)在(0，1)內(nèi)不恒等于零，則必存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)f’(ξ)＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因，結(jié)合f(0)=0，故只需考察是否在(0，1]上有取正值的點(diǎn)．因f(x)在(0，1)上不恒等于零，從而必存在x0∈(0，1)使f(x0)≠0，即．設(shè)，則F(x)在[0，x0]上連續(xù)，在(0，x0]內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=0，F(xiàn)(x0)＞0。由拉格朗日中值定理知，使知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)p(x)在區(qū)間[0，+∞)上連續(xù)且為負(fù)值．y=y(x)在[0，+∞)上連續(xù)，在(0，+∞)內(nèi)滿足y’+p(x)y＞0且y(0)≥0，求證：y(x)在[0，+∞)單調(diào)增加．標(biāo)準(zhǔn)答案：因設(shè)，則F’(x)>0當(dāng)x＞0時(shí)成立，故F(x)當(dāng)x≥0時(shí)單調(diào)增加，即有設(shè)x2＞x1≥0，由F(x)單調(diào)增加→F(x2)＞F(x1)由于，代入即得y(x2)＞y(x1)(x2＞x1≥0)．這表明y(x)當(dāng)x≥0時(shí)單調(diào)增加．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、證明標(biāo)準(zhǔn)答案：首先證明：當(dāng)x＞0時(shí)ln(1+x)＜xln(1+x)一x＜0．引入函數(shù)f(x)=ln(1+x)一x，f(x)在[0，+∞)可導(dǎo)，且從而f(x)在[0，+∞)上單調(diào)減少，必有f(x)＜f(0)=0，即當(dāng)x＞0時(shí)ln(1+x)＜x成立．其次證明：當(dāng)x＞0時(shí)引入函數(shù)g(x)=．g(x)在[0，+∞)上可導(dǎo)，且從而g(x)在[0，+∞)上單調(diào)增加，必有g(shù)(x)＞g(0)=0．即當(dāng)x＞0時(shí)成立．綜合即得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)x∈(0，1)，證明不等式x＜ln(1+x)+aretanx＜2x．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于x∈(0，1)，所以欲證不等式可等價(jià)變形為令f(x)=In(1+x)+arctanx，則f(0)=0．由于對，f(x)在[0，x]上滿足拉格朗日中值定理的條件，于是有其中ξ∈(0，x)C(0，1)．并且由在[0，1]上的連續(xù)性與單調(diào)性可得所以故欲證不等式成立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、已知以2π為周期的周期函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)上有二階導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0．設(shè)F(x)=(sinx一1)2f(x)，證明存在使得F’’(x0)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然于是由羅爾定理知，存在使得F’(x1)=0．又對F’(x)應(yīng)用羅爾定理，由于F(x)二階可導(dǎo)，則存在使得F’’(x0*)=0．注意到F(x)以2π為周期，F(xiàn)’(x)與F’’(x)均為以2π為周期的周期函數(shù)，于是存在x0=2π+x0*，即使得F’’(x0)=F’’(x0*)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：首先，因f(x)是周期為2π的周期函數(shù)，則F(x)也必為周期函數(shù)，且周期為2π，于是只需證明存在，使得F’’(x0*)=0即可．25、設(shè)b＞a≥0，f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)≠f(b)，求證：存在ξ，η∈(a，b)使得標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，故至少存在ξ∈(a，b)，使令g(x)=x2，由柯西中值定理知，，使將②式代入①式，即得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)0＜x1＜x2，f(x)在[x1，x2]可導(dǎo)，證明：在(x1，x2)內(nèi)至少存在一個(gè)c，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：注意當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，在區(qū)間[x1，x2]上對函數(shù)F(x)=e-xf(x)與G(x)=e-x用柯西中值定理知，∈(x1，x2)，使得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二次可導(dǎo)，且求證：存在ξ∈(a，b)，使f’’(ξ)＜0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由羅爾定理知使f’(β)=0．又由因f(x)在[α，γ]上滿足拉格朗日中值定理的條件，于是，使最后，因f’(x)在區(qū)間[α，β]上滿足拉格朗日中值定理的條件，故，使知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)f(x)在[a，+∞)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f’(x)＞k＞0在(a，+∞)上成立，又f(a)＜0，其中k是一個(gè)常數(shù)．求證：方程f(x)=0在內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根．標(biāo)準(zhǔn)答案：因f(x)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件，由拉格朗日中值定理可得，使得