考研數(shù)學(xué)三（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷2（共129題）

考研數(shù)學(xué)三（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷2（共4套）（共129題）考研數(shù)學(xué)三（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)設(shè)f(x)分別滿足如下兩個條件中的任何一個：1、f(x)在x=0處三階可導(dǎo)，且則下列說法正確的是A、f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))不是曲線y=f(x)的拐點B、f(0)是f(x)的極小值C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點D、f(0)是f(x)的極大值標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由條件及f’(x)在x=0連續(xù)即知用洛必達(dá)法則得型未定式的極限因若f"(0)≠0，則J=∞，與J=1矛盾，故必有f"(0)=0．再由f’"(0)的定義知因此，(0，f(0))是拐點．選C．2、f(x)在x=0鄰域二階可導(dǎo)，f’(0)=0，且則下列說法正確的是A、f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))不是曲線y=f(x)的拐點B、f(0)是f(x)的極小值C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點D、f(0)是f(x)的極大值標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：已知f’(O)=0，現(xiàn)考察f"(0)．由方程得利用當(dāng)x→0時的等價無窮小關(guān)系并求極限即得又f"(x)在x=0連續(xù)，故f"(0)=3＞0．因此f(0)是f(x)的極小值．應(yīng)選B．3、設(shè)函數(shù)y(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2處有極值，其圖形在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行，則y(x)的極大值與極小值之差為A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：先確定三次函數(shù)y(x)表達(dá)式中的常數(shù)a，b，c．由y’(x)=3x2+6ax+3b及已知x=2是極值點，可得y’(2)=3(4+4a+b)=0．①又由在x=1處的斜率為y’(1)=－3，得3(1+2a+b)=－3．②由①、②可得a=－1，b=0．故三次函數(shù)y(x)=x3－3x2+c．由y’(x)=3x(x－2)得函數(shù)y(x)有駐點x=0與x=2．又由y"(x)=6x－6知y"(0)＜0與y"(2)＞0．故y(x)的極大值為y(0)=c，極小值為y(2)=一4+c．于是y(0)－y(2)=4．故應(yīng)選D．二、解答題(本題共31題，每題1.0分，共31分。)4、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點，凹凸區(qū)間與拐點及漸近線．標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)在定義域(0，+∞)上處處連續(xù)，先求y’，y"和它們的零點及不存在的點．由y’=0得x=1；時y’不存在；時y"不存在；無y"=0的點．現(xiàn)列下表：因此得單調(diào)減少區(qū)間是(0，1)，單調(diào)增加區(qū)間是(1，+∞)，x=1是極小值點，凹區(qū)間是凸區(qū)間是是拐點．最后求漸近線．因在(0，+∞)連續(xù)，且所以無垂直漸近線．由于因此只有斜漸近線y=x．知識點解析：暫無解析5、作函數(shù)的圖形．標(biāo)準(zhǔn)答案：定義域x≠±1，間斷點x=±1，零點x=0，且是奇函數(shù)．2求y’，y"和它們的零點．由y’=0得三個駐點x=0，由y"=0得x=0，用這些點及間斷點x=±1把函數(shù)的定義域分成六個區(qū)間由此可列出函數(shù)如下分段變化表：求漸近線．有兩個間斷點x=±1，由x=±1為垂直漸近線．又即y=x是斜漸近線，無水平漸近線．綜上所述，作函數(shù)圖形在x≥0部分如圖2．11．(由于奇函數(shù)圖形關(guān)于原點對稱，所以只作右半平面的圖形，列表也可以只列右半部分．)知識點解析：暫無解析6、設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且x0∈(a，b)使得又f(x0)＞0(＜0)，(如圖2．12)，求證：f(x)在(a，b)恰有兩個零點．標(biāo)準(zhǔn)答案：由x1∈(a，x0)使f(x1)＜0，x2∈(x0，b)使f(x2)＜0，又f(x0)＞0，則f(x)在(x1，x0)與(x0，x2)內(nèi)各至少存在一個零點．因f’(x)＞0(x∈(a，x0))，從而f(x)在(a，x0)單調(diào)增加；f’(x)＜0(x∈(x0，b))，從而f(x)在(x0，b)單調(diào)減少．因此，f(x)在(a，x0)，(x0，b)內(nèi)分別存在唯一零點，即在(a，b)內(nèi)恰有兩個零點．知識點解析：暫無解析7、求證：方程在(0，+∞)內(nèi)只有兩個不同的實根．標(biāo)準(zhǔn)答案：即證在(0，+∞)只有兩個零點．先考察它的單調(diào)性：由于f(x)在(0，e)與(e，+∞)分別單調(diào)上升與下降，又故只需證明：x1∈(0，e)使f(x1)＜0；x2∈(e，+∞)使f(x2)＜0．因則x1∈(0，e)使f(x)＜0；x2∈(e，+∞)使f(x2)＜0，因此f(x)在(0，e)與(e，+∞)內(nèi)分別只有一個零點，即在(0，+∞)內(nèi)只有兩個零點．知識點解析：暫無解析8、就a的不同取值情況，確定方程lnx=xa(a＞0)實根的個數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=lnx－xa，即討論f(x)在(0，+∞)有幾個零點．用單調(diào)性分析方法．求f(x)的單調(diào)區(qū)間．則當(dāng)0＜x≤x0時，f(x)單調(diào)上升；當(dāng)x≥x0時，f(x)單調(diào)下降；當(dāng)x=x0時，f(x)取最大值從而f(x)在(0，+∞)有幾個零點，取決于y=f(x)屬于圖2．13中的哪種情形．方程f(x)=0的實根個數(shù)有下列三種情形：(I)當(dāng)即時，恒有f(x)＜0(x∈(0，+∞))，故f(x)=0沒有根．(Ⅱ)當(dāng)即時，由于x∈(0，+∞)，當(dāng)x≠x0=ee時，f(x)＜0，故f(x)=0只有一個根，即x=x0=ee．(Ⅲ)當(dāng)即時，因為故方程f(x)=0在(0，x0)，x0，+∞)各只有一個根．因此f(x)=0在(0，+∞)恰有兩個根．知識點解析：暫無解析9、討論曲線y=2lnx與y=2x+ln2x+k在(0，+∞)內(nèi)的交點個數(shù)(其中k為常數(shù))．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=2X+ln2x+k－2lnx(x∈(0，+∞))，于是本題兩曲線交點個數(shù)即為函數(shù)f(x)的零點個數(shù)．由令f’(x)=0，可解得唯一駐點x0=1∈(0，+∞)．當(dāng)0＜x＜1時f’(x)＜0，f(x)在(0，1]單調(diào)減少；而當(dāng)x＞1時f’(x)＞0，f(x)在[1，+∞)單調(diào)增加．于是f(1)=2+k為f(x)在(0，+∞)最小值．因此f(x)的零點個數(shù)與最小值f(1)=2+k的符號有關(guān)．當(dāng)f(1)＞0即k>－2時，f(x)在(0，+∞)內(nèi)恒為正值函數(shù)，無零點．當(dāng)f(1)=0即k=－2時，f(x)在(0，+∞)內(nèi)只有一個零點x0=1．當(dāng)f(1)＜0即k＜－2時，需進(jìn)一步考察f(x)在x→0+與x→+∞的極限：由連續(xù)函數(shù)的零點定理可得，x1∈(0，1)與x2∈(1，+∞)使得f(x1)=f(x2)=0，且由f(x)在(0，1)與(1，+∞)內(nèi)單調(diào)知f(x)在(0，1)內(nèi)與(1，+∞)內(nèi)最多各有一個零點，所以當(dāng)k＜－2時，f(x)在(0，+∞)內(nèi)恰有兩個零點．知識點解析：暫無解析10、某商品的需求價格彈性為|Ep|，某人的收入為M，全部用于購買該商品，求他的需求收入彈性．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)Q為需求量，由于因此當(dāng)某人的收入M全部用于購買該商品時，M=pQ．由需求收人彈性EM的定義知道在M=pQ時，兩邊求微分可得dM=pdQ+Qdp．因此知識點解析：暫無解析11、設(shè)某廠商生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其產(chǎn)量與人們對該產(chǎn)品的需求量Q相同，其價格為P．試?yán)眠呺H收益與需求價格彈性之間的關(guān)系解釋：當(dāng)|Ep|＜1時價格的變動對總收益的影響．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)總收益為R，則R=pQ，邊際收益另外，因此由dp=△p，知道收益的微分當(dāng)△p充分小時，△R≈dR，因此注意到當(dāng)|Ep|＜1時提價△p＞0，從而△R＞0，說明總收益增加；降價△p＜0，從而△R＜0，說明總收益減少．知識點解析：暫無解析12、設(shè)f(x)在(a，b)可導(dǎo)，且求證：存在ξ∈(a，b)使得f’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：【證法一】設(shè)則g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且g(a)=g(b)，把羅爾定理用于g(x)即知存在ξ∈(a，b)使得g’(ξ)=f’(ξ)=0．【證法二】若f(x)≡A(x∈(a，b))，結(jié)論顯然成立．否則，必x0∈(a，b)使得f(x0)≠A．不妨設(shè)f(x0)＜A，由極限的不等式性質(zhì)知，δ＞0使得a+δ＜b－δ且當(dāng)x∈(a，a+δ]或x∈[b－δ，b)時都有f(x)＞f(x)，于是f(x0)在[a+δ，b－δ]有最小值，且必在(a+δ，b－δ)內(nèi)某點ξ取到．由費馬定理知f’(ξ)=0．對f(x0)＞A的情形可類似證明．知識點解析：暫無解析13、設(shè)f(x)在[a，b]可導(dǎo)，且f’+(a)與f’－(b)反號，證明：存在ξ∈(n，b)使f’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：【證法一】由極限的不等式性質(zhì)和題設(shè)知，存在δ＞0使得a+δ＜b－δ，且于是f(a+δ)＞f(a)，f(b－δ)＞f(b)．這表明f(x)在[a，b]上的最大值必在(a，b)內(nèi)某點取到，即存在ξ∈(a，b)使得由費馬定理知f’(ξ)=0．【證法二】f(x)在[a，b]必有最大值．若最大值在x=a(或x=b)取到，由最值點處的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)知，f’+(a)≤0(f’－(b)≥0)，這與已知矛盾．因此f(x)在[a，b]的最大值不能在x=a及x=b取到，即ξ∈(a，b)使得是f(x)的極值點，f’(ξ)=0．知識點解析：因f(x)在[a，b]上可導(dǎo)，因而必連續(xù)，故存在最大值和最小值．如能證明最大值或最小值在(a，b)內(nèi)取得，那么這些點的導(dǎo)數(shù)值必為零，從而證明了命題．注意，由于題設(shè)條件中未假設(shè)f’(x)連續(xù)，所以不能用連續(xù)函數(shù)的介值定理來證明．證明時不妨設(shè)f’+(a)＞0且f’－(b)＜0．14、設(shè)f(x)在[0，1]三階可導(dǎo)，且f(0)=f(1)：0．設(shè)F(x)=x2f(x)，求證：在(0，1)內(nèi)存在c，使得F’"(c)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于F(0)=F(1)=0，F(xiàn)(x)在[0，1]可導(dǎo)，故存在ξ1∈(0，1)使得F’(ξ1)=0．又F’(x)=x2f’(x)+2xf(x)，于是由F’(0)=0，F(xiàn)’(ξ1)=0及F’(x)在[0，1]可導(dǎo)知，存在ξ2∈(0，ξ1)使得F"(ξ2)=0．又因F"(x)=x2f"(x)+4xf’(x)+2f(x)，于是由F"(0)=F"(ξ2)=0及F"(x)在[0，1]可導(dǎo)知，存在c∈(0，ξ2)(0，1)使得F’"(c)=0．知識點解析：暫無解析15、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且滿足求證：f(x)在(0，1)內(nèi)至少存在兩個零點．標(biāo)準(zhǔn)答案：令顯然G(x)在[0，1]可導(dǎo)，G(0)=0，又對G(x)在[0，1]上用羅爾定理知，c∈(0，1)使得G’(c)=F(c)=0．現(xiàn)由F(x)在[0，1]可導(dǎo)，F(xiàn)(0)=F(c)=F(1)=0，分別在[0，c]，[c，1]對F(x)用羅爾定理知，ξ1∈(0，c)，ξ2∈(c，1)，使得F’(ξ1)=f(ξ1)=0，F(xiàn)’(ξ2)=f(ξ2)=0，即f(x)在(0，1)內(nèi)至少存在兩個零點．知識點解析：為證f(x)在(0，1)內(nèi)存在兩個零點，只需證f(x)的原函數(shù)在[0，1]區(qū)間上有三點的函數(shù)值相等．由于F(0)=0，F(xiàn)(1)=0，故只需再考察F(x)的原函數(shù)證明G(x)的導(dǎo)數(shù)在(0，1)內(nèi)存在零點．16、設(shè)f(x)在[0，1]二階可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0，試證：存在ξ∈(0，1)使得標(biāo)準(zhǔn)答案：令由于因此F(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)．由于f(0)=f(1)=0，由羅爾定理知，η∈(0，1)使f’(η)=O．因此，F(xiàn)(η)=F(1)=0，對F(x)在[η，1]上利用羅爾定理得，ξ∈(η，1)使得即知識點解析：即證在(0，1)存在零點在(0，1)存在零點．17、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，又b＞a＞0．求證：存在ξ，η∈(a，b)使標(biāo)準(zhǔn)答案：記g(x)=lnx，由柯西中值定理知，存在η∈(a，b)使得由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(a，b)使得f(b)－f(a)=f’(ξ)(b－a)，代入即得知識點解析：暫無解析18、設(shè)a＞0，求的最值．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用可得函數(shù)f(x)的分段表達(dá)式從而函數(shù)f(x)在(－∞，+∞)上連續(xù)，且分別在(－∞，0)，(0，a)，(a，+∞)三個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)是由此得x∈(－∞，0)時f’(x)＞0，故f(x)在(－∞，0]單調(diào)增加；x∈(a，+∞)時f’(x)＜0，故f(x)在[a，+∞)單調(diào)減少．從而f(x)在[0，a]上的最大值就是f(x)在(－∞，+∞)上的最大值．當(dāng)x∈(0，a)時，由得唯一駐點由于因此f(x)在[0，a]即在(－∞，+∞)上的最大值是由于f(x)在(－∞，0)上單調(diào)增加，在(a，+∞)上單調(diào)減少，又f(x)在[0，a]上的最小值因此f(x)在(－∞，+∞)上無最小值．知識點解析：暫無解析19、求函數(shù)的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于f(x)是偶函數(shù)，我們只需考察x∈[0，+∞)．由變限積分求導(dǎo)公式得f’(x)=2x(2一x2)e-x2．解f’(x)=0得x=0與于是從而，f(x)的最大值是由上述單調(diào)性分析，為求最小值，只需比較f(0)與的大?。捎趶亩鴉(0)=0是最小值．知識點解析：暫無解析20、在橢圓的第一象限部分上求一點P，使該點處的切線，橢圓及兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：過橢圓上任意點(x0，y0)的切線的斜率y’(x0)滿足切線方程為分別令y=0與x=0，得x，y軸上的截距：于是該切線與橢圓及兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積(圖2．14)為問題是求：的最小值點，其中將其代入S(x)中，問題可進(jìn)一步化為求函數(shù)f(x)=x2(a2－x2)在閉區(qū)間[0，a]上的最大值點．由f’(x)=2x(a2－2x2)=0(x∈(0，a))得a2－2x2=0，注意f(0)=f(0)=0，f(x0)＞0，故是f(x)在[0，a]的最大值點．因此為所求的點．知識點解析：暫無解析已知某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為(元)．問：21、要使平均成本最小，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?標(biāo)準(zhǔn)答案：生產(chǎn)x件產(chǎn)品的平均成本因在(0，+∞)中僅有唯一零點x=1000，又因從而在其唯一駐點x=1000處取得最小值．即應(yīng)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品才可使平均成本最?。R點解析：暫無解析22、若以每件500元的價格出售該產(chǎn)品，要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?標(biāo)準(zhǔn)答案：若該產(chǎn)品以每件500元的價格售出，則生產(chǎn)x件產(chǎn)品可獲利潤(單位：元)由邊際利潤可得x=6000是總利潤函數(shù)L(x)的唯一駐點，又因L"(x)＜0，從而L(x)在該點取得最大值．即當(dāng)產(chǎn)品單價為500元時，生產(chǎn)6000件產(chǎn)品可獲利潤最大．知識點解析：暫無解析23、設(shè)平均收益函數(shù)和總成本函數(shù)分別為AR=a－bQ，C=Q3－7Q2+100Q+50，其中常數(shù)a＞0，b＞0待定．已知當(dāng)邊際收益MR=67，且需求價格彈性時總利潤最大．求總利潤最大時的產(chǎn)量，并確定a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：總利潤函數(shù)L(Q)=R－C=Q·AR－C=Q3+(7－b)Q2+(n－100)Q－50，從而使總利潤最大的產(chǎn)量Q及相應(yīng)的a，b應(yīng)滿足L’(Q)=0，MR=67及即解得a=111，Q=3或11，或2．由此得到兩組可能的解：a=111，Q=3與a=111，b=2，Q=11．把第一組數(shù)據(jù)中的a，b代入得總利潤函數(shù)雖然L’(3)=0，L"(3)＜0，即L(3)確實是L(x)的最大值，但L(3)＜0，不符合實際，故應(yīng)舍去．把第二組數(shù)據(jù)中的a，b代入得總利潤函數(shù)L=Q3+5Q2+11Q一50，也有L’(11)=0，L"(11)＜0，即是L(x)的最大值，故a=111，b=2是所求常數(shù)的值，使利潤最大的產(chǎn)量Q=11．知識點解析：平均收益函數(shù)AR=a－bQ其實就是價格P與銷售量Q的關(guān)系式，由此可得總收益函數(shù)R=Q·AR=aQ－bQ2，需求函數(shù)(它是P=a－bQ的反函數(shù))進(jìn)而可得需求價格彈性在x=0處展開下列函數(shù)至括號內(nèi)的指定階數(shù)：24、f(x)=tanx(x3)；標(biāo)準(zhǔn)答案：方法1f(0)=0，即tanx=x+÷x3+o(x3)．方法2設(shè)tanx=A0+A1x+A2x2+A3x3+o(x3)=A1x+A3x3+o(x3)(tanx為奇函數(shù)，A0=0，A2=0)，又則即A1x+(A3－A1)x3+o(x3)=x－x3+o(x3).比較系數(shù)可得A1=1，因此tanx=x+x3+o(x3).知識點解析：暫無解析25、f(x)=sin(sinx)(x3)．標(biāo)準(zhǔn)答案：已知再將sinx=x-x3+o(x3)，代入得知識點解析：暫無解析求下列函數(shù)f(x)在x=0處帶拉格朗日余項的n階泰勒公式：26、標(biāo)準(zhǔn)答案：由可得對m=1，2，3，…有故知識點解析：暫無解析27、f(x)=exsinx．標(biāo)準(zhǔn)答案：用歸納法求出f(n)(x)的統(tǒng)一公式．可歸納證明因此知識點解析：暫無解析用泰勒公式求下列極限：28、標(biāo)準(zhǔn)答案：用et，ln(1+t)，cost，sint的泰勒公式，將分子、分母中的函數(shù)在x=0展開．由于因此，再求分子的泰勒公式．由x2e2x=x2[1+(2x)+o(x)]=x2+2x3+o(x3)，ln(1－x2)=－x2+o(x3)，可得x2e2x+ln(1－x2)=2x3+o(x3)．因此知識點解析：暫無解析29、標(biāo)準(zhǔn)答案：由ln(1+x)=x－x2+o(x2)(x→0)，令即得故知識點解析：暫無解析30、設(shè)|x|≤1，由拉格朗日中值定理，存在θ∈(0，1)，使證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：由麥克勞林公式，有由題設(shè)知從而可得故有知識點解析：暫無解析用泰勒公式確定下列無窮小量當(dāng)x→0時關(guān)于x的無窮小階數(shù)：31、標(biāo)準(zhǔn)答案：因此當(dāng)x→0時是x的二階無窮小量．知識點解析：暫無解析32、標(biāo)準(zhǔn)答案：因et－1－t=t2+o(t2)，從而代入即得因此當(dāng)x→0時是x的五階無窮小量．知識點解析：暫無解析33、設(shè)f(x)在(0，+∞)三次可導(dǎo)，且當(dāng)x∈(0，+∞)時|f(x)|≤M0，|f’"(x)|≤M3，其中M0，M3為非負(fù)常數(shù)，求證f"(x)在(0，+∞)上有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：分別討論x＞1與0兩式相加并移項即得f"(x)=f(x+1)+f(x－1)－2f(x)+[f’"(η)－f’"(ξ)]，故當(dāng)x＞1時有|f"(x)|≤4M0+M3．2)當(dāng)0＜x≤1時對f"(x)用拉格朗日中值定理，有f"(x)=f"(x)－f"(1)+f"(1)=f’"(ξ)(x－1)+f"(1)，其中ξ∈(x，1)．從而|f"(x)|≤|f’"(ξ)||x－1|+|f"(1)|≤M3+|f"(1)|(x∈(0，1])．綜合即知f"(x)在(0，+∞)上有界．知識點解析：暫無解析34、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]二階可導(dǎo)，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．求證：存在ξ∈(0，1)使|f"(ξ)|≥4．標(biāo)準(zhǔn)答案：把函數(shù)f(x)在x=0與x=1分別展開成帶拉格朗日余項的一階泰勒公式，得f(x)=f(0)+f’(0)x+f"(ξ1)x2(0＜ξ1＜x)，f(x)=f(1)+f’(1)(x－1)+f"(ξ2)(x－1)2(x＜ξ2＜1)，在公式中取并利用題設(shè)可得兩式相減消去未知的函數(shù)值即得f"(ξ1)－f"(ξ2)=8|f"(ξ1)|+|f"(ξ2)|≥8．故在ξ1與ξ2中至少有一個ξ使得在該點的二階導(dǎo)數(shù)的絕對值不小于4，把該點取為ξ，就有ξ∈(0，1)使|f"(ξ)|≥4．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f’(0)=0，則A、f(0)是f(x)的極大值B、f(0)是f(x)的極小值C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點D、x=0不是f(x)的極值點，(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由于又f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，所以f"(0)=0，但不能確定點(0，f(0))為曲線y=f(x)的拐點．由根據(jù)極限的保號性可知，在x=0的某鄰域內(nèi)必有即f"(x)＞0，從而f’(x)在該鄰域內(nèi)單調(diào)增加．又因f’(0)=0，所以f’(x)在x=0兩側(cè)變號，且在x=0的空心鄰域內(nèi)，當(dāng)x＜0時f’(x)＜f’(0)=0，當(dāng)x＞0時f’(x)＞f’(0)=0，由極值第一充分條件可知，x=0為f(x)的極小值點．即f(0)是f(x)的極小值，故選B．2、設(shè)f(x)，g’(x)，φ"(x)的圖形分別為則曲線y=f(x)，y=g(x)，y=φ(x)中恰有兩個拐點的是A、y=f(x)B、y=f(x)，y=g(x)C、y=f(x)，y=φ(x)D、y=f(x)，y=g(x)，y=φ(x)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：(1)由f(x)的圖形可知，在(x0，x1)上為凸弧，(x1，x2)上為凹弧，(x2，+∞)為凸弧，故(x1，f(x1))，(x2，f(x2))是y=f(x)的兩個拐點．又因f(x)在點x=x0處不連續(xù)，所以點(x0，f(x0))不是拐點．(拐點定義要求函數(shù)在該點處連續(xù))(2)由g’(x)的圖形可知，在x=x1和x=x2處有g(shù)"(x)=0，且在x=x1，x=x2的左右兩側(cè)一階導(dǎo)數(shù)升降性相反或二階導(dǎo)數(shù)異號，故有兩個拐點(x1，g(x1))與(x2，g(x2))．由于在x0附近，當(dāng)x＜x0和x＞x0時g’(x)均單調(diào)上升或均有g(shù)"(x)＞0，故點(x0，g(x0))不是拐點．因此g(x)只有兩個拐點．(3)由φ"(x)的圖形可知，在點x=x0與x=x2處φ(x)的二階導(dǎo)數(shù)等于零，且二階導(dǎo)數(shù)在其左右異號，故點(x0，φ(x0))與(x2，φ(x2))為拐點．因為點x1的附近二階導(dǎo)數(shù)均為正，故點(x1，φ(x1))不是拐點．綜上所述，曲線y=f(x)，y=g(x)，y=φ(x)均有兩個拐點．故選D．3、曲線的漸近線的條數(shù)為A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：先考察垂直漸近線．間斷點為x=0與x=1，因所以x=0，x=1分別是該曲線的垂直漸近線．再考察水平漸近線．由于所以沿x→+∞方向無水平漸近線．又所以沿x→－∞方向有水平漸近線y=0．最后考察斜漸近線．由于所以沿x→+∞方向有一條斜漸近線y=x．因沿x→－∞方向有水平漸近線，當(dāng)然就沒有斜漸近線，所以共有4條，故選D．4、設(shè)f(x)在x=x0可導(dǎo)，且f(x0)=0，則f’(x0)=0是|f(x)|在x0可導(dǎo)的()條件。A、充分非必要B、充分必要C、必要非充分D、既非充分也非必要標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：按定義|f(x)|在x0可導(dǎo)存在．因|f(x)|在x=x0處的右導(dǎo)數(shù)與左導(dǎo)數(shù)分別是由可導(dǎo)的充要條件知|f’(x0)|=－|f’(x0)||f’(x0)|=0，故選B．二、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)5、(I)設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(a)=f(b)=0，f(c)＜0，(a＜c＜b)．證明：至少存在一點ξ∈(a，b)，使f"(ξ)＞0；(Ⅱ)設(shè)h＞0，f(x)在[a－h(huán)，a+h]上連續(xù)，在(a－h(huán)，a+h)內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在0＜θ＜1使得標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)由于a＜c＜b，由已知條件可知f(x)在[a，c]與[c，b]上都滿足拉格朗日中值定理的條件，故存在點ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使f(c)－f(a)=f’(ξ1)(c－a)，ξ1∈(a，c)；f(b)－f(c)=f’(ξ2)(b－c)，ξ2∈(c，b)．由于f(a)=f(b)=0，于是有f(c)=f’(ξ1)(c－a)，①-f(c)=f’(ξ2)(b－c)．②由于c－a＞0，b－c＞0，f(c)＜0，因此由式①、②可知f’(ξ1)＜0，f’(ξ2)＞0．由已知條件知f’(x)在[ξ1，ξ2]上滿足拉格朗日中值定理的條件，故存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使(Ⅱ)令F(x)=f(a+x)+f(a－x)，則F(x)在[0，h]上連續(xù)，在(0，h)內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理可得存在θ∈(0，1)使得由于F(h)－F(0)=f(a+h)+f(a－h(huán))－2f(a)，F(xiàn)’(x)=f’(a+x)－f’(a－x)，F(xiàn)’(θh)=f’(a+θh)－f’(a－θh)，因此存在滿足0＜θ＜1的θ使得知識點解析：(I)證明在某區(qū)間內(nèi)存在一點ξ使得f’(ξ)=0?？煽紤]利用羅爾定理，而證明在某區(qū)間內(nèi)存在一點ξ使得f’(ξ)＞0?？煽紤]利用拉格朗日中值定理．(Ⅱ)分析：在[a，a+h]和[a－h(huán)，a]上分別對f(x)應(yīng)用拉格朗日中值定理可得到存在θ1，θ2∈(0，1)使得f(a+h)－f(a)=f’(a+θ1h)h，f(a－h(huán))－f(a)=－f’(a－θ2h)h，這時有然而θ1與θ2未必相等．若將f(a+h)－2f(a)+f(a－h(huán))重新組合成f(a+h)－2f(a)+f(a－h(huán))=[f(a+h)+f(a－h(huán))]－[f(a+0)+f(a－0)]，我們發(fā)現(xiàn)它是F(x)=f(a+x)+f(a－x)在點x=h的值減去在點x=0的值，并且f’(a+θh)－f’(a－θh)=F’(θh)，要證的等式就是對F(x)在[0，h]上應(yīng)用拉格朗日中值定理的結(jié)果．6、設(shè)a＞0，且函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，試證：至少存在一點ξ∈(a，b)使得標(biāo)準(zhǔn)答案：【證法一】將等式右端改寫成令則F(x)，G(x)在[a，b]上滿足柯西中值定理條件，于是，至少存在一點ξ∈(a，b)使得又將F’(ξ)，G’(ξ)代入(*)式，即得【證法二】令則待證等式可以改寫成將上式兩端同乘并改寫為由此可知，若令則F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且即F(x)在[a，b]上滿足羅爾定理的條件，因此，至少存在一點ξ∈(a，b)使得故有知識點解析：暫無解析7、證明當(dāng)x∈(－1，1)時成立函數(shù)恒等式標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=arctanx，要證f(x)=g(x)當(dāng)x∈(－1，1)時成立，只需證明：1f(x)，g(x)在(－1，1)可導(dǎo)且當(dāng)x∈(－1，1)時f’(x)=g’(x)；2存在x0∈(－1，1)使得f(x0)=g(x0)．由初等函數(shù)的性質(zhì)知f(x)與g(x)都在(－1，1)內(nèi)可導(dǎo)，計算可得即當(dāng)x∈(－1，1)時f’(x)=g’(x)．又f(0)=g(0)=0，因此當(dāng)x∈(－1，1)時f(x)=g(x)，即恒等式成立．知識點解析：暫無解析8、設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，證明：對于x，x0∈(a，b)且x≠x0時，f’(x)在(a，b)單調(diào)減少的充要條件是f(x0)+f’(x0)(x－x0)＞f(x)．(*)標(biāo)準(zhǔn)答案：充分性：設(shè)(*)成立，x1，x2∈(a，b)且x1＜x2，則f(x2)＜f(x1)+f’(x1)(x2－x1)，f(x1)＜f(x2)+f’(x2)(x1－x2)．兩式相加可得[f’(x1)－f’(x2)](x2－x1)＞0，于是由x12知f’(x1)＞f’(x2)，即f’(x)在(a，b)單調(diào)減少．必要性：設(shè)f’(x)在(a，b)單調(diào)減少．對于x，x0∈(a，b)且x≠x0，由微分中值定理得f(x)－[f(x0)+f’(x0)(x－x0)]=[f’(ξ)－f’(x0)](x－x0)＜0，其中ξ在x與x0之間，即(*)成立．知識點解析：暫無解析9、求的極值點、拐點、凹凸區(qū)間與漸近線．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)先求駐點與不可導(dǎo)點．由解得駐點當(dāng)x＜x時y’＞0，y=y(x)為增函數(shù)；當(dāng)x1＜x＜1時y’＜0，y=y(x)為減函數(shù)；當(dāng)x=1時函數(shù)無定義，y=y(x)不可導(dǎo)；當(dāng)1＜x＜x2時y’＜0，y=y(x)為減函數(shù)；當(dāng)x＞x2時y’＞0，y=y(x)為增函數(shù)．于是x=x1為極大值點，x=x2為極小值點，x=1為不可導(dǎo)點．(Ⅱ)再考慮凹凸區(qū)間與拐點．由令y"=0，解得在x=1處y"不存在．當(dāng)時y"＜0，y=y(x)圖形為凸；當(dāng)時y"＞0，y=y(x)圖形為凹；當(dāng)x＞1時y"(x)＞0，y=y(x)圖形為凹，于是y=y(x)圖形的拐點為(Ⅲ)最后考察漸近線．由于因此x=1為曲線y=y(x)的垂直漸近線．又因此無水平漸近線．由可知曲線y=y(x)有斜漸近線y=x+1．知識點解析：暫無解析10、(I)求曲線y=xe-x在點處的切線方程；(Ⅱ)求曲線上點(0，0)處的切線方程；(Ⅲ)設(shè)曲線y=x2+ax+b和2y=一1+xy3在點(1，一1)處相切，求常數(shù)a，b．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)因為y/=(1－x)e－x，于是y’(1)=0．從而曲線y=xe－x在點處的切線方程是(Ⅱ)因于是曲線在點(0，0)處的切線方程是y=2x．(Ⅲ)曲線y=x2+ax+b過點(1，－1)，所以1+ab=－1，在點(1，－1)處切線的斜率為y’=(x2+ax+b)’|x=1=2+a．將方程2y=－1+xy3對x求導(dǎo)得2y’=y3+3xy2y’．由此知，該曲線在點(1，－1)處的斜率y’(1)滿足2y’(1)=(－1)3+3y’(1)，解出得y’(1)=1．因這兩條曲線在點(1，－1)處相切，所以在該點它們切線的斜率相同，即2+a=1，即a=－1．再由1+a+b=－1得b=－2－a=－1．因此a=－1，b=－1．知識點解析：暫無解析11、設(shè)總成本關(guān)于產(chǎn)量x的函數(shù)為需求量x關(guān)于價格p的函數(shù)為求邊際成本，邊際收益，邊際利潤以及收益對價格的彈性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由邊際成本的定義知，邊際成本MC=C’(x)=3+x．又因總收益函數(shù)于是邊際收益從而邊際利潤由于函數(shù)的反函數(shù)是因而總收益函數(shù)由此可得收益對價格的彈性知識點解析：暫無解析12、設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)Q=Q(P)是單調(diào)減少的，收益函數(shù)R=PQ，當(dāng)價格為P0，對應(yīng)的需求量為Q0時，邊際收益R’(Q0)=2，而R’(P0)=－150，需求對價格的彈性EP滿足求P0和Q0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因需求函數(shù)Q=Q(P)單調(diào)減少，故需求對價格的彈性EP＜0，且反函數(shù)P=P(Q)存在．由題設(shè)知Q0=Q(P0)，P0=P(Q0)，且把它們代入分析中所得的關(guān)系式就有即P0=6；即Q0=300．知識點解析：為了解決本題，必須建立R’(Q)，R’(P)與EP之間的關(guān)系．因R=PQ=PQ(P)，于是設(shè)P=P(Q)是需求函數(shù)Q=Q(P)的反函數(shù)，則R=PQ=QP(Q)，于是設(shè)某商品需求量Q是價格p的單調(diào)減函數(shù)Q=Q(p)，其需求彈性13、設(shè)R為總收益函數(shù)，證明標(biāo)準(zhǔn)答案：R(p)=pQ(p)，兩邊對p求導(dǎo)得知識點解析：暫無解析14、求p=6時總收益對價格的彈性，并說明其經(jīng)濟(jì)意義．標(biāo)準(zhǔn)答案：經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)價格p=6時，若價格上漲1％，則總收益將增加0．54％．知識點解析：暫無解析15、在橢圓內(nèi)嵌入最大面積的四邊平行于橢圓軸的矩形，求該最大面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)橢圓內(nèi)接矩形在第一象限中的頂點為M(x，y)，則矩形的面積為下面求S(x)在[0，a]上的最大值．先求S’(x)：令S’(x)=0解得因S(0)=S(a)=0，所以S(x)在[0，a]的最大值即內(nèi)接矩形最大面積為2ab．知識點解析：暫無解析16、求在(0，+∞)內(nèi)的最大、最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由解得唯一駐點x0=e-2∈(0，+∞)．方法1(分析單調(diào)性)．x∈(0，+∞)時f(x)可導(dǎo)．當(dāng)x∈(0，e－2)時f’(x)＜0，f(x)在(0，e-2]單調(diào)減少；當(dāng)x∈(e－2，+∞)時f’(x)＞0，f(x)在[e-2，+∞)單調(diào)增加，于是x0=e-2為f(x)在(0，+∞)的最小值點．f(x)在(0，+∞)內(nèi)的最小值為f(e－2)=－2e－1，再由上述單調(diào)性可知f(x)在(0，+∞)無最大值．方法2(考察唯一的駐點是極大值點還是極小值點)．對唯一駐點x=x0=e－2，求x=x0是f(x)的極小值點．可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(0，+∞)的唯一駐點x=x0是極小值點，則x=x0必是f(x)在(0，+∞)的最小值點，最小值為f(x0)=－2e-1，因(0，+∞)是開區(qū)間，f(x)在(0，+∞)無最大值．知識點解析：暫無解析17、求的帶皮亞諾余項的三階麥克勞林公式．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為從而知識點解析：暫無解析18、求e-x2帶皮亞諾余項的麥克勞林公式．標(biāo)準(zhǔn)答案：把t=－x2代入即得知識點解析：暫無解析19、求arctanx帶皮亞諾余項的5階麥克勞林公式．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于又由該式逐項積分即得知識點解析：暫無解析20、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：因又sinx2～x2(x→0)，所以知識點解析：暫無解析21、確定常數(shù)a和b的值，f(x)=x－(a+bex2)sinx當(dāng)x→0時是x的5階無窮小量．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用可得不難看出當(dāng)1－a－b=0與同時成立f(x)才能滿足題設(shè)條件．由此可解得常數(shù)并且得到f(x)是x的5階無窮小量(x→0)．知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(x)在x=0處n(n≥2)階可導(dǎo)且求f(0)，f’(0)，…，f(n)(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：1)先轉(zhuǎn)化已知條件．由知從而再用當(dāng)x→0時的等價無窮小替換ln[1+f(x)]～f(x)，可得2)用o(1)表示當(dāng)x→0時的無窮小量，由當(dāng)x→0時的極限與無窮小的關(guān)系并利用xno(1)=o(xn)可得f(x)=4xn+o(xn)．從而由泰勒公式的唯一性即知f(0)=0，f’(0)=0，…，f(n－1)(0)=0，故f(n)=4n!.知識點解析：暫無解析23、設(shè)證明標(biāo)準(zhǔn)答案：由帶拉格朗日余項的泰勒公式可得注意當(dāng)時有故知識點解析：暫無解析24、設(shè)f(x)在[0，1]二階可導(dǎo)，且|f(0)|≤a，|f(1)|≤a，|f"(x)|≤b，其中a，b為非負(fù)常數(shù)，求證：對任何c∈(0，1)，有標(biāo)準(zhǔn)答案：考察帶拉格朗日余項的一階泰勒公式：有f(x)=f(c)+f’(c)(x－c)+f"(ξ)(x－c)2，(*)其中ξ=c+θ(x－c)，0＜θ＜1．在(*)式中，令x=0，得f(0)=f(c)+f’(c)(－c)+f"(ξ)c2，0＜ξ1＜c＜1；在(*)式中，令x=1，得f(1)=f(c)+f’(c)(1－c)+f"(ξ2)(1－c)2，0＜c<ξ2＜1．上面兩式相減得f(1)－f(0)=f’(c)+[f"(ξ2)(1－c)2－f"(ξ1)c2]．從而f’(c)=f(1)－f(0)+[f"(ξ1)c2－f"(ξ2)(1－c)2]，兩端取絕對值并放大即得其中利用了對任何c∈(0，1)有(1－c)2≤1－c，c2≤c，于是(1－c)2+c2≤1．知識點解析：暫無解析25、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(0)=f(1)=0，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：將f(x)在處展成帶拉格朗日余項的一階泰勒公式，有在上式中分別令x=0，x=1，并利用f(0)=f(1)=0即得將①式與②式相加消去未知的一階導(dǎo)數(shù)值可得由于因此知識點解析：為了得到f"(x)的估值可以利用泰勒公式找出它與f(0)，f(1)及minf(x)之間的關(guān)系．由于題設(shè)條件中給出了f(0)與f(1)的函數(shù)值，又涉及二階導(dǎo)數(shù)f"(x)，因此可考慮利用f(0)和f(1)在展開點處的帶拉格朗日余項的一階泰勒公式．26、設(shè)f’(0)=1，且f(0)=0，求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：這是型極限，因為在題目中沒有假設(shè)當(dāng)x≠0時f(x)可導(dǎo)，故不能使用洛必達(dá)法則求極限．由導(dǎo)數(shù)定義可得知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(x)在x=a處連續(xù)且存在，則在x=a處()A、f(x)不可導(dǎo)，但|f(x)|可導(dǎo)B、f(x)不可導(dǎo)，且|f(x)|也不可導(dǎo)C、f(x)可導(dǎo)，且f’(a)=0D、f(x)可導(dǎo)，但對不同的f(x)，f’(a)可以等于0，也可以不等于0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：存在知，所以．再由f(x)在x=a處連續(xù)，知f(a)=0．于是2、設(shè)f(x)=+xcosx(x≠0)，且當(dāng)x=0時，f(x)連續(xù)，則()A、f”(0)=0，f”(x)在x=0處不連續(xù)B、f”(0)=0，f”(x)在x=0處連續(xù)C、f”(0)=1，f”(x)在x=0處不連續(xù)D、f”(0)=1，f”(x)在x=0處連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：3、設(shè)f(x)在[a，b]上可導(dǎo)，f’(a)f’(b)＜0，則至少存在一點x0∈(a，b)，使得()A、f(x0)＞f(a)B、f(x0)＞f(b)C、f’(x0)=0D、f(x0)=[f(a)+f(b)]標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由于f’(a)f’(b)＜0，不妨設(shè)f‘(a)＜0，f’(b)＞0．由及極限的保號性知，存在x=a的去心鄰域且x1＞a時，f(x1)＜f(a)，所以f(a)不是f(x)在[a，b]上的最小值．類似地可證f(b)也不是f(x)在[a，b]上的最小值，所以f(x)在[a，b]上的最小值點x=x0∈(a，b)．由極值的必要條件知，f’(x0)=0．(C)正確．(A)，(B)，(D)的反例見f(x)=x(x-1)，x∈[0，1]．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)4、設(shè)f(x)=整數(shù)n≥0，則f(2n+1)(0)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(一1)n(2n)!知識點解析：由泰勒級數(shù)展開式的唯一性，有=(一1)n(2n)!(n=0，1，…)．5、設(shè)f(x)在x=a處存在二階導(dǎo)數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：通分，分子用皮亞諾余項泰勒公式展開：三、解答題(本題共31題，每題1.0分，共31分。)6、設(shè)y=y(x)是由sin(xy)=確定的隱函數(shù)，求y’(0)和y"(0)的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：在方程中令x=0可得，0=故y(0)=e2．將方程兩邊對x求導(dǎo)數(shù)，得將x=0，y(0)=e2代入①式，有即y’(0)=e—e4．將①式兩邊再對x求導(dǎo)數(shù)，得一sin(xy).(y+xy’)2+cos(xy).(2y’+xy")=將x=0，y(0)=e2和y’(0)=e—e4代入上式，有故y"(0)=e3(3e3一4)．知識點解析：暫無解析7、曲線的切線與x軸和y軸圍成一個圖形，記切點的橫坐標(biāo)為a，求切線方程和這個圖形的面積．當(dāng)切點沿曲線趨于無窮遠(yuǎn)時，該面積的變化趨勢如何?標(biāo)準(zhǔn)答案：先求曲線處的切線方程．切線與x軸，y軸的交點坐標(biāo)分別為A(3a，0)，于是△AOB的面積為當(dāng)切點沿x軸正向趨于無窮遠(yuǎn)時，有當(dāng)切點沿y軸正向趨于無窮遠(yuǎn)時，有知識點解析：暫無解析8、設(shè)φ(x)=又f(x)可導(dǎo)，求F(x)=f[φ(x)]的導(dǎo)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：F(x)=f[φ(x)]=當(dāng)x≠0時，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)得當(dāng)x=0時(分段點)，φ(0)=0，φ’(0)=又f(x)在x=φ(0)處可導(dǎo)，于是根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有F’(0)=f’(φ(0)).φ’(0)=0．知識點解析：暫無解析9、證明不等式一∞＜x＜+∞．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f’(x)=0，得駐點為x=0，由于f"(x)=，知f"(0)＞0，則x=0為極小值點，即最小值點．f(x)的最小值為f(0)=0，于是，對一切x∈(一∞，+∞)，有f(x)≥0，即有知識點解析：暫無解析10、討論方程2x3一9x2+12x—a=0實根的情況．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=2x3一9x2+12x-a，討論方程2x3一9x2+12x-a=0實根的情況，即討論函數(shù)f(x)零點的情況．顯然，．所以，欲討論f(x)零點情況，應(yīng)求函數(shù)f(x)=2x3一9x2+12x一a的極值，并討論極值的符號．由f’(x)=6x2一18x+12=6(x一1)(x一2)得駐點為x1=1，x2=2，又f"(x)=12x一18，f"(1)＜0，f"(2)＞0，得x1=1為極大值點，極大值為f(1)=5一a；x2=2為極小值點，極小值為f(2)=4—a．當(dāng)極大值f(1)=5一a＞0，極小值f(2)=4一a＜0，即4＜a＜5時，f(x)=2x3一9x2+12x一a有三個不同的零點，即方程2x3一9x2+12x—a=0有三個不同的實根；當(dāng)極大值f(1)=5一a=0或極小值f(2)=4一a=0，即a=5或a=4時，f(x)=2x3一9x2+12x—a有兩個不同的零點，即方程2x3-9x2+12x一a=0有兩個不同的實根；當(dāng)極大值f(1)=5-a＜0或極小值f(2)=4-a＞0，即a＞5或a＜4時，f(x)=2x3一9x2+12x-a有一個零點，即方程2x3一9x2+12x一a=0有一個實根．知識點解析：暫無解析11、討論方程axex+b=0(a＞0)實根的情況．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=axex+b，因為．求函數(shù)f(x)=axex+b的極值，并討論極值的符號及參數(shù)b的值．由f’(x)=aex+axex=aex(1+x)，得駐點為x=一1，又f"(x)=2aex+axex=aex(2+x)，f"(一1)＞0，所以x=一1是函數(shù)的極小值點，極小值為f(一1)=當(dāng)時，函數(shù)f(x)無零點，即方程無實根；當(dāng)或b≤0時，函數(shù)f(x)有一個零點，即方程有一個實根；當(dāng)時，函數(shù)f(x)有兩個不同的零點，即方程有兩個不同的實根．知識點解析：暫無解析12、設(shè)fn(x)=1一(1一cosx)n，求證：(1)對于任意正整數(shù)n，中僅有一根；(2)設(shè)有標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析13、在數(shù)中求出最大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：先考查連續(xù)函數(shù)由f’(x)=，得x=e，且當(dāng)x＜e時，f’(x)＞0，f’(x)單調(diào)增加；當(dāng)x＞e時，f’(x)＜0，f(x)單調(diào)減少．所以f(e)為f(x)的最大值，而2＜e＜3，于是所求的最大值必在知識點解析：暫無解析14、證明：方程xα=lnx(α＜0)在(0，+∞)上有且僅有一個實根．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=lnx—xα(α＜0)，則f(x)在(0，+∞)上連續(xù)，且f(1)=一1＜0，=+∞，故對任意M＞0，，當(dāng)x＞X時，有f(x)＞M＞0．任取x0＞X，則f(1)f(x0)＜0，根據(jù)零點定理，∈(1，x0)，使得f(ξ)=0，即方程xα=lnx在(0，+∞)上至少有一實根．又lnx在(0，+∞)上單調(diào)增加，α＜0，一xα也單調(diào)增加，從而f(x)在(0，+∞)上單調(diào)增加，因此方程f(x)=0在(0，+∞)上只有一個實根，即方程xα=lnx在(0，+∞)上只有一個實根．知識點解析：暫無解析15、設(shè)0＜k＜1，f(x)=kx—arctanx．證明：f(x)在(0，+∞)中有唯一的零點，即存在唯一的x0∈(0，+∞)，使f(x0)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x)的連續(xù)性，知f(x)在中至少有一個零點x0，另外f(0)=0，f(x)在單調(diào)增加，故這樣的零點是唯一的．知識點解析：暫無解析16、f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，=+∞，且f(x)的最小值f(x0)＜x0，證明：f[f(x)]至少在兩點處取得最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=f(x)一x0，則F(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，且F(x0)＜0，使得F(a)＞0；，使得F(b)＞0，于是由零點定理，知∈(a，x0)，使得F(x1)=0；∈(x0，b)，使得F(x2)=0，即有x1＜x0＜x2，使得f(x1)=x0=f(x2)，從而得f[f(x1)]=f(x0)=f[f(x2)]．知識點解析：暫無解析17、設(shè)T=cosnθ，θ=arccosx，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、已知y=x2sin2x，求y(50)．標(biāo)準(zhǔn)答案：y(50)=(sin2x.x2)50=(sin2x)(50).x2+50(sin2x)(49)(x2)’+由于(sin2x)(n)=，所以知識點解析：暫無解析19、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：此題考查用導(dǎo)數(shù)定義求極限，關(guān)鍵在于把此極限構(gòu)造為廣義化的導(dǎo)數(shù)的定義式．知識點解析：暫無解析20、已知，求f’(1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、已知f(x)是周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在x=0的某鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式：f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是當(dāng)x→0時比x高階的無窮小，且f(x)在x=1處可導(dǎo)，求y=f(x)在點(6，f(6))處的切線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：求切線方程的關(guān)鍵是求斜率，因f(x)的周期為5，故在點(6，f(6))處和點(1，f(1))處的切線有相同的斜率，根據(jù)已知條件求出f’(1)．則4f’(1)=8，f’(1)=2，由f(6)=f(1)=0，f’(6)=f’(1)=2，故所求切線方程為y=2(x-6)．知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(x)=其中g(shù)(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且g(0)=1，g’(0)=一1，求f’(x)，并討論f’(x)在(一∞，+∞)內(nèi)的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x≠0時，f(x)可導(dǎo)，且顯然，當(dāng)x≠0時，f’(x)連續(xù)；故f’(x)在x=0處連續(xù)，從而f’(x)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)．知識點解析：暫無解析23、(1)設(shè)求y’；(2)函數(shù)y=y(x)由方程cos(x2+y2)+ex一x2y=0所確定，求標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)兩邊取對數(shù)，得上式兩邊同時對x求導(dǎo)，得化簡可得x+xy’=xy’一y，故(2)方程兩端同時對x求導(dǎo)得一sin(x2+y2).(2x+2yy’)+ex一2xy—x2y’=0，因此知識點解析：暫無解析24、設(shè)函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程(t＞一1)所確定，其中φ(t)具有二階導(dǎo)數(shù)，且已知證明：函數(shù)φ(t)滿足方程標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)故(1+t)φ"(t)-φ’(t)=3(1+t)2，即知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x)=試問當(dāng)α取何值時，f(t)在點x=0處，(1)連續(xù)；(2)可導(dǎo)；(3)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)；(4)二階導(dǎo)數(shù)存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因當(dāng)α≤0時，極限不存在，而當(dāng)α＞0時，，故α＞0時，f(x)在x=0處連續(xù)．當(dāng)α一1＞0，即α＞1時，f(x)在x=0處可導(dǎo)，f’(0)=0．當(dāng)α＞2時，f’(x)=0f=f’(0)，此時f(x)的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)．(4)當(dāng)x≠0時，顯然f"(x)存在，故只需求f"(0)存在的條件，當(dāng)α≤3時，f"(0)不存在；當(dāng)α＞3時，f"(0)=0，即f(x)在點x=0處二階可導(dǎo)．知識點解析：暫無解析26、設(shè)y=求y(n)(n＞1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：，經(jīng)計算A=8，B=一1．故于是知識點解析：暫無解析27、設(shè)y=sin4x—cos4x，求y(n)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因y=(sin2x+cos2x)(sin2x—cos2x)=一cos2x，y(n)=知識點解析：暫無解析28、設(shè)y=exsinx，求y(n)．標(biāo)準(zhǔn)答案：y’=exsinx+cosx.ex=歸納可得知識點解析：暫無解析29、設(shè)求y(n)(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x≠0時，當(dāng)x=0時，，故對任意x∈(一∞，+∞)，都有又，比較系數(shù)，得知識點解析：暫無解析30、設(shè)f(x)滿足f(x)+．求f’(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程兩邊同時對x求導(dǎo)得②式兩邊同時對x求導(dǎo)得③×2一①得知識點解析：暫無解析31、設(shè)f(x)=試確定常數(shù)a，b，c，使f(x)在點x=0處連續(xù)且可導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為及c為任意值時，f(x)在x=0處連續(xù)．又因為令-’f(0)=f+’(0)，可得當(dāng)c=時，f’(0)存在．故當(dāng)a=2,時，f(x)在x=0處連續(xù)且可導(dǎo)．知識點解析：暫無解析32、試證明：曲線恰有三個拐點，且位于同一條直線上．標(biāo)準(zhǔn)答案：令y"=0，得x1=一1，列表所以A(-1，一1)．均為此曲線的拐點，又所以這三個拐點在一條直線上．知識點解析：暫無解析33、已知某種商品的需求量x對價格p的彈性為η=一2p2，而市場對該商品的最大需求量為1(萬件)．(1)確定需求函數(shù)；(2)若價格服從[1，2]上的均勻分布，計算期望收益值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由彈性公式：兩邊積分有知識點解析：暫無解析34、一商家銷售某種商品的價格滿足關(guān)系p=7—0．2x(萬元／單位)，x為銷售量，成本函數(shù)為C=3x+1(萬元)，其中x服從正態(tài)分布N(5p，1)，每銷售一單位商品，政府要征稅t萬元，求該商家獲得最大期望利潤時的銷售量．標(biāo)準(zhǔn)答案：收益為R=xp，利潤為L=R—C—T，其中交稅金額T=tx．于是L=xp一(3x+1)一tx=x(7—0．2x)一(3x+1)一tx=一0．2x2+(4一t)x一1，EL=一0．2E(x2)+(4一t)Ex一1=一0．2[Dx+(Ex)2]+(4一t)Ex一1=一0．2[1+(5p)2]+(4一t).5p一1=一5p2+5(4一t)p—1．2，令因此，當(dāng)(4一t)即x=35—5p=25+時，期望的利潤最大．知識點解析：暫無解析35、設(shè)需求函數(shù)為其中Q為需求量，p為價格，a，b＞0為待定常數(shù)，總成本函數(shù)為一7Q2+100Q+50，已知當(dāng)邊際收益MR=67，且需求價格彈性Ep=時，總利潤最大．求總利潤最大時的產(chǎn)量，并確定a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：總收益：R=Qp=aQ-bQ2，Q=(a一p)．則利潤為L(Q)=R—C=+(7—b)Q2+(a-100)Q-50．于是有L’(Q)=一Q2+2(7—b)Q+(a一100)．由題設(shè)a，b，Q應(yīng)滿足解得：a=111，，Q=3或a=111，b=2，Q=11．若a=111，，Q=3，此時L’(3)=0，L"(3)＜0，但L(3)＜0不符合題意；若a=111，b=2，Q=11，此時L’(11)=0，L”(11)＜0，且L(11)＞0．因此a=111，b=2為所求常數(shù)，此時對應(yīng)最大利潤的產(chǎn)量為Q=11．知識點解析：暫無解析36、某集郵愛好者有一個珍品郵票，如果現(xiàn)在(t=0)就出售，總收入為R0元．如果收藏起來待來日出售，t年末總收入為R(t)=R0eξ(t)，其中ξ(t)為隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布假定銀行年利率為r，并且以連續(xù)復(fù)利計息．試求收藏多少年后，再出售可使得總收入的期望現(xiàn)值最大，并求r=0．06時，t的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由連續(xù)復(fù)利公式，t年末售出總收入R的現(xiàn)值為：A(t)=R.e-rt．于是A(t)=R0eξ(t)e-rt=R0eξ(t)-rt，令時，期望的現(xiàn)值(取到極大值)最大．若r=0．06，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)則在x=1處f(x)()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)但不是連續(xù)可導(dǎo)D、連續(xù)可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因為所以f(x)在x=1處連續(xù)．因為所以f(x)在x=1處可導(dǎo)．當(dāng)x≠1時，f′(x)=2x+1，因為所以f(x)在x=1處連續(xù)可導(dǎo)，選(D)．2、若f(-x)=-f(x)，且在(0，+∞)內(nèi)f′(x)＞0，f"(x)＞0，則在(一∞，0)內(nèi)()．A、f′(x)＜0，f"(x)＜0B、f′(x)＜0，f"(x)＞0C、f′(x)＞0，f"(x)＜0D、f′(x)＞0，f"(x)＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為f(x)為奇函數(shù)，所以f′(x)為偶函數(shù)，故在(一∞，0)內(nèi)有f′(x)＞0．因為f"(x)為奇函數(shù)，所以在(一∞，0)內(nèi)f"(x)＜0，選(C)．3、設(shè)f(x)=|x3一1|g(x)，其中g(shù)(x)連續(xù)，則g(1)=0是f(x)在x=1處可導(dǎo)的()．A、充分條件B、必要條件C、充分必要條件D、非充分非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：設(shè)g(1)=0，因為f′-(1)=f′+(1)=0，所以f(x)在x=1處可導(dǎo)．設(shè)f(x)在x=1處可導(dǎo)，因為f′-(1)=f′+(1)=0，所以g(1)=0，故g(1)=0為f(x)在x=1處可導(dǎo)，選(C)．4、設(shè)f(x)連續(xù)，且則F′(x)=()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：選A．5、設(shè)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，在(0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，則()．A、