考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷19（共245題）

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷19（共9套）（共245題）考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè){an}與{bn}為兩個數(shù)列，下列說法正確的是()．A、若{an}與{bn}都發(fā)散，則{anbn}一定發(fā)散B、若{an}與{bn}都無界，則{anbn}一定無界C、若{an}無界且anbn=0，則bn=0D、若an為無窮大，且anbn=0，則bn一定是無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：(A)不對，如an=2+(－1)n，bn=2－(－1)n，顯然{an}與{bn}都發(fā)散，但anbn=3，顯然{anbn}收斂；(B)、(C)都不對，如an=n[1+(－1)n]，bn=n[1－(－1)n]，顯然{an}與{bn}都無界，但anbn=0，顯然{anbn}有界且bn≠0；正確答案為(D)．2、設(shè)f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f(a)≠0，則|f(x)|在x=a處()．A、可導(dǎo)B、不可導(dǎo)C、不一定可導(dǎo)D、不連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：不妨設(shè)f(a)＞0，因?yàn)閒(x)在x=a處可導(dǎo)，所以f(x)在x=a處連續(xù)，于是存在δ＞0，當(dāng)|x－a|＜δ時，有f(x)＞0，于是=f’(a)，即|f(x)|在x=a處可導(dǎo)，同理當(dāng)f(a)＜0時，|f(x)|在x=a處也可導(dǎo)，選(A)．3、下列說法中正確的是()．A、若f’(x0)＜0，則f(x)在x0的鄰域內(nèi)單調(diào)減少B、若f(x)在x0取極大值，則當(dāng)x∈(x0－δ，x0)時，f(x)單調(diào)增加，當(dāng)x∈(x0，x0+δ)時，f(x)單調(diào)減少C、f(x)在x0取極值，則f(x)在x0連續(xù)D、f(x)為偶函數(shù)，f"(0)≠0，則f(x)在x=0處一定取到極值標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：則f(x)在x=0的任意鄰域內(nèi)都不單調(diào)減少，(A)不對；f(x)在x=0處取得極大值，但其在x=0的任一鄰域內(nèi)皆不單調(diào)，(B)不對；f(x)在x=1處取得極大值，但f(x)在x=1處不連續(xù)，(C)不對；由f(0)存在，得f’(0)存在，又f(x)為偶函數(shù)，所以f’(0)=0，所以x=0一定為f(x)的極值點(diǎn)，選(D)．4、平面π與π1：x－2y+z－2=0和π2：x－2y+z－6=0的距離之比為1：3，則平面π的方程為()．A、x－2y+z=0B、x－2y+z－3=0C、x－2y+z=0或x－2y+z－3=0D、x－2y+z－4=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：設(shè)所求平面為π：x－2y+z+D=0，在平面π：x－2y+z+D=0上取一點(diǎn)M0(x0，y0，z0)，d1因?yàn)閐1：d2=1：3，所以D=0或D=－3，選(C)．5、累次積分∫0π／2dθ∫0cosθrf(rcosθ，rsinθ)dr等于()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：積分所對應(yīng)的直角坐標(biāo)平面的區(qū)域?yàn)镈：0≤x≤1，0≤y≤，選(D)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)6、標(biāo)準(zhǔn)答案：1／4知識點(diǎn)解析：由∫0xtsin(x2－t2)dt=－1／2∫0xsin(x2－t2)d(x2－t2)=1／2sinudu，得7、設(shè)f(x)在x=1處一階連續(xù)可導(dǎo)，且f’(1)=－2，則=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：8、設(shè)f(lnx)=，則∫f(x)dx=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：9、∫0πxdx=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：π／2知識點(diǎn)解析：10、設(shè)f(u)連續(xù)可導(dǎo)，且∫04f(u)du=2，L為半圓周y=，起點(diǎn)為原點(diǎn)，終點(diǎn)為B(2，0)，則I=∫Lf(x2+y2)(xdx+ydy)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：P(x，y)=xf(x2+y2)，Q(x，y)=yf(x2+y2)，因?yàn)?2xyf’(x2+y2)，所以曲線積分與路徑無關(guān)，故I=∫Lf(x2+y2)(xdx+ydy)=1／2∫(0，0)(2，0)f(x2+y2)d(x2+y2)=1／2∫01f(t)dt=1．11、微分方程xy’=+y(x＞0)的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：lnx+C知識點(diǎn)解析：三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)f(x)在[a，+∞)上連續(xù)，f(a)＜0，而f(x)存在且大于零．證明：f(x)在(a，+∞)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=k＞0，取ε0=k／2＞0，因?yàn)閒(x)=k＞0，所以存在X0＞0，當(dāng)x≥X0時，有|f(x)－k|≤k／2，從而f(x)≥k／2＞0，特別地，f(X0)＞0，因?yàn)閒(x)在[a，X0]上連續(xù)，且f(a)f(X0)＜0，所以存在ξ∈(a，X0)，使得f(ξ)=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，f(0)=f(1)=0且f(x)=－1．證明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)≥8．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，所以f(x)在[0，1]上連續(xù)且f(0)=f(1)=0，f(x)=－1，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值定理知，f(x)在[0，1]取到最小值且最小值在(0，1)內(nèi)達(dá)到，即存在c∈(0，1)，使得f(c)=－1，再由費(fèi)馬定理知f’(c)=0，根據(jù)泰勒公式f(0)=f(c)+f’(c)(0－c)+(0－c)2，ξ1∈(0，C)f(1)=f(c)+f’(c)(1－c)+(1－c)2，ξ2∈(c，1)整理得f"(ξ1)=2／c2，f"(ξ2)=2／(1－c)2．當(dāng)c∈(0，1／2]時，f"(ξ1)=2／c2≥8，取ξ=ξ1；當(dāng)c∈(1／2，1)時，f"(ξ2)=2／(1－c)2≥8，取ξ=ξ2．所以存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)≥8．知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)在(－1，1)內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f"(x)≠0．證明：15、對(－1，1)內(nèi)任一點(diǎn)x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]；標(biāo)準(zhǔn)答案：對任意x∈(－1，1)，根據(jù)微分中值定理，得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]，其中0＜θ(x)＜1．因?yàn)閒"(x)∈C(－1，1)且f"(x)≠0，所以f"(x)在(－1，1)內(nèi)保號，不妨設(shè)f"(x)＞0，則f’(x)在(－1，1)內(nèi)單調(diào)增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、θ(x)=1／2．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式，得f(x)=f(0)+f’(0)x+x2，其中ξ介于0與x之間，而f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]，所以有令x→0，再由二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性及非零性，得θ(x)=1／2．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0，且f’+(a)＞0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)＜0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?f’+(a)＞0，所以存在δ＞0，當(dāng)0＜x－a＜δ時，有＞0，從而f(x)＞f(a)，于是存在c∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)=0．由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得再由微分中值定理及f(x)的二階可導(dǎo)性，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在x=x0的鄰域內(nèi)連續(xù)，在x=x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x)=M．證明：f’(x0)=M．標(biāo)準(zhǔn)答案：由微分中值定理得f(x)－f(x0)=f’(ξ)(x－x0)，其中ξ介于x0與x之間，即f’(x0)=M．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、求x(4－x4)5／2dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在(－∞，+∞)上有定義，且對任意的x，y∈(－∞，+∞)有|f(x)－f(y)|≤|x－y|．證明：|∫abf(x)dx－(b－a)f(a)|≤1／2(b－a)2．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?b－a)f(a)=∫abf(a)dx，所以|∫abf(x)dx－(b－a)f(a)|=|∫ab[f(x)－f(a)]dx|≤∫ab|f(x)－f(a)|dx≤∫ab(x－a)dx=1／2(x－a)2|ab=1／2(b－a)2知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且對任意的t∈[0，1]及任意的x1，x2∈[a，b]滿足：f[tx1+(1－t)x2]≤tf(x1)+(1－t)f(x2)．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)椤襛bf(x)dx(b－a)∫01f(1－t)b]dt≤(b－a)[f(a)∫01dtd+f(b)∫01(1－t)dt]=(b－a)知識點(diǎn)解析：暫無解析22、f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處是否連續(xù)?標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?≤|f(x，y)|≤f(x，y)=0=f(0，0)，故f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處是否可微?標(biāo)準(zhǔn)答案：所以f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處不可微．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)z=(x2=y2標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)u=u(x，y)由方程組u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0確定，其中f，g，h連續(xù)可偏導(dǎo)且標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組由五個變量三個方程構(gòu)成，故確定了三個二元函數(shù)，其中x，y為自變量，由u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0，得三個方程兩邊對y求偏導(dǎo)得知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，證明：∫abf(x)dx∫xbf(y)dy=1／2[∫abf(x)dx]2．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=∫axf(t)dt，則∫abf(x)dx∫xbf(y)dy=∫abf(x)[F(b))－F(x)]dx=F(b)∫abf(x)dx－∫abf(x)F(x)dx=F2(b)－∫abF(x)dF(x)=F2(b)－F(x)|ab=1／2F2(b)=1／2[∫abf(x)dx]2知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)函數(shù)f(x，y)在D：x2+y2≤1有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且在L：x2+y2=1上有f(x，y)≡0．證明：f(0，0)其中Dr：r2≤x2+y2≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：=∫02π[f(cosθ，sinθ)－f(rcosθ，rsinθ)]dθ=－∫02πf(rcosθ，rsinθ)dθ，再根據(jù)積分中值定理得I=－2πf(rcosξ，rsinξ)．其中ξ是介于0與2π之間的值．故原式=－[－2πf(rcosξ，rsinξ)]=f(rcosξ，rsinξ)=f(0，0)．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、求冪級數(shù)x2n的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：級數(shù)x2n的收斂半徑為R=+∞，收斂區(qū)間為(－∞，+∞)．=(2x2+1)－1(－∞＜x＜+∞)．知識點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)y=y(x)是一向上凸的連續(xù)曲線，其上任意一點(diǎn)(x，y)處的曲率為，又此曲線上的點(diǎn)(0，1)處的切線方程為y=x+1，求該曲線方程，并求函數(shù)y(x)的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榍€是上凸的，所以y"＜0，由題設(shè)得令y’=p，y"=dp／dx，則有dp／dx=－(1+p2)arctanp=C1－x．因?yàn)榍€y=y(x)在點(diǎn)(，1)處的切線方程為y=x+1，所以p|x=0=1，從而y’=tan(－x)，積分得y=ln|cos(－x)|+C2．因?yàn)榍€過點(diǎn)(0，1)，所以C2=1+知識點(diǎn)解析：暫無解析30、某湖泊水量為V，每年排入湖泊中內(nèi)含污染物A的污水量為V／6，流入湖泊內(nèi)不含A的水量為V／6，流出湖的水量為V／3．設(shè)1999年底湖中A的含量為5m0，超過國家規(guī)定指標(biāo)．為了治理污染，從2000年初開始，限定排入湖中含A污水的濃度不超過m0／V．問至多經(jīng)過多少年，湖中污染物A的含量降到m0以內(nèi)(設(shè)湖中A的濃度是均勻的)?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)從2000年初開始，第t年湖中污染物A的總量為m，則濃度為m／V，任取時間元素[t，t+at]，排入湖中污染物A的含量為×dt=m0／dt，流出湖的污染物A的含量為×dt=m／3dt，則在此時間元素內(nèi)污染物A的改變量為dm=()dt．解得m=－Ce－t／3，又由m(0)=5m0，得C=－9m0／2，于是m=m0／2(1+9e－t／3)，令m=m0，得t=6ln3，即至多經(jīng)過7年，湖中污染物A的含量不超過m0．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)曲線y=x2+ax+b與曲線2y=xy3一1在點(diǎn)(1，一1)處切線相同，則()．A、a=1，b=1B、a=一1，b=一1C、a=2，b=1D、a=一2，b=一1．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由y=x2+ax+b得y’=2x＋a，2y=xy3一1兩邊對x求導(dǎo)得2y’－y3＋3xy2y’，解得y’=，因?yàn)閮汕€在點(diǎn)(1，一1)處切線相同，所以，應(yīng)選(B)．2、設(shè)L為由y2=x＋3及x=2圍成的區(qū)域的邊界，取逆時針方向，則等于()．A、一2πB、2πC、πD、0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：取C：x2+y2=r2(其中r＞0，Cr在L內(nèi)，取逆時針)，P(x，y)=設(shè)由L及Cr所圍成的區(qū)域?yàn)镈r，由Cr圍成的區(qū)域?yàn)镈0，由格林公式得3、設(shè)級數(shù)發(fā)散(an＞0)，令Sn=a1+a2+…+an，則()．A、發(fā)散B、收斂于C、收斂于0D、斂散性不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)檎?xiàng)級數(shù)=+∞．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)4、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：5、設(shè)f(x)連續(xù)，且F(x)=∫axf(t)dt，則F(x)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：a2f(a)知識點(diǎn)解析：6、曲線ex＋y一sin(xy)=e在點(diǎn)(0，1)處的切線方程為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=(－1)x＋1知識點(diǎn)解析：exy—sin(xy)=e兩邊對x求導(dǎo)得ex＋y．(1+y’)一cos(xy)．(y+xy’)=0，將x=0，y=1代入得y’(0)=—1，所求的切線為y一1=(一1)x，即y=(一1)x+1．7、曲線y=(3x+2)的斜漸近線為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=3x＋5知識點(diǎn)解析：由=5得曲線的斜漸近線為y=3x+5．8、曲面x2+2y2+3z2=21在點(diǎn)(1，一2，2)處的法線方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：n=｛2x，4y，6z｝(1，－2，2)=｛2，一8，12｝，法線方程為．9、設(shè)y=2e－x+exsinx為y’’’+py’’+qy’+ry=0的特解，則該方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y’’’一2y’’+2y=0知識點(diǎn)解析：三階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征值為λ1=一1，λ2，3=1±i，特征方程為(λ+1)(λ一1一i)(λ一1+i)=0，整理得λ3一λ2+2=0，所求方程為y’’’一2y’’+2y=0．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)10、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析11、求(其中ai＞0(i=1，2，…，n))標(biāo)準(zhǔn)答案：所以原式=a1a2…an．知識點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)f(x)=討論f(x)在x=0處的可導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(0)=f(0—0)=0，f(0+0)==0．由f(0一0)=f(0+0)=f(0)得f(x)在x=0處連續(xù)：由=0得f－’(0)=0．=0得f＋’(0)=0，因?yàn)閒－’(0)=f＋’(0)=0，所以f(x)在x=0處可導(dǎo)．知識點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)0＜a＜1，證明：方程arctanx=ax在(0，+∞)內(nèi)有且僅有一個實(shí)根．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=arctanx—ax，由f’(x)=，由f’’(x)=為f(x)的最大點(diǎn)，由=一∞，f(0)=0得方程arctanx=ax在(0，+∞)內(nèi)有且僅有唯一實(shí)根，位于內(nèi)．知識點(diǎn)解析：暫無解析14、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析15、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)=xe2x+2∫01f(x)dx，求∫01f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令A(yù)=∫01f(x)dx，f(x)=xe2x+2∫01f(x)dx兩邊積分得A=∫01xe2xdx＋2A，解得A=∫01f(x)dx=一∫01xe2xdx=一∫01xd(e2x)=一．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、求∫－22(3x+1)max｛2，x2｝dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫－222(3x+1)max{2，x2}dx=∫－22max｛2，x2｝dx=2∫02max｛2，x2｝dx，由max｛2，x2｝=得∫－22(3x+1)max{2，x2}dx=．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、求曲線y=cosx與x軸圍成的區(qū)域繞x軸、y軸形成的幾何體體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：Vx=．取[x，x+dx]，則dVy=2πxcosxdx，知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)y=y(x)，z=z(x)由．標(biāo)準(zhǔn)答案：兩邊對x求導(dǎo)得知識點(diǎn)解析：暫無解析20、求函數(shù)μ=x2+yz的梯度方向的方向?qū)?shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：x2＋yz的梯度為l=｛x，z，y｝，梯度的方向余弦為故所求的方向?qū)?shù)為．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤}，求｜x—y｜dxdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析22、求(x+y)2dy．標(biāo)準(zhǔn)答案：令，則知識點(diǎn)解析：暫無解析23、計算I=被z=1和z=2截得部分的下側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令∑1：z=1(x2+y2≤1)取下側(cè)，∑2：z=2(x2+y2≤4)取上側(cè)，=∫12ezdz∫02πdθ∫0zdr=2π∫12zezdz=2π(z－1)ez｜12=2πe2知識點(diǎn)解析：暫無解析24、判斷級數(shù)的斂散性，若收斂是絕對收斂還是條件收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：，又當(dāng)n充分大時，單調(diào)減少，且=0．所以級數(shù)條件收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、求微分方程(y+)dx一xdy=0(x＞0)的滿足初始條件y(1)=0的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由(y＋)dx一xdy=0，得．令μ==lnx+lnC，即μ+=Cx，將初始條件y(1)=0代入得C=1．由，即滿足初始條件的特解為y=．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)且滿足，f(0)=1，f’(x)一f(x)=a(x一1)．y=f(x)，x=0，x=1，y=0圍成的平面區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積最小，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f’(x)一f(x)=a(x一1)得f(x)=[a∫(x一1)e∫－1dxdx+C]e－∫－dx=Cex－ax由f(0)=1得C=1，故f(x)=ex一ax．V(a)=π∫01f2(x)dx=，由V’(a)=π(一2+)=0得a=3，因?yàn)閂’’(a)=＞0，所以當(dāng)a=3時，旋轉(zhuǎn)體的體積最小，故f(x)=ex一3x．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，f’(0)=0，且=一1，則()．A、x=0為f(x)的極大點(diǎn)B、x=0為f(x)的極小點(diǎn)C、(0，f(0))為y=f(x)的拐點(diǎn)D、x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：因?yàn)?一1＜0，所以由極限保號性，存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x｜＜δ時，＜0，注意到x3=o(x)，所以當(dāng)0＜｜x｜＜δ時，f’’(x)＜0，從而f’(x)在(一δ，δ)內(nèi)單調(diào)遞減，再由f’(0)=0得故x=0為f(x)的極大點(diǎn)，應(yīng)選(A)．2、設(shè)f(x)，g(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且g(x)＜f(x)＜m，則由曲線y=g(z)，y=f(x)及直線x=a，x=b所圍成的平面區(qū)域繞直線y=m旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為()．A、π∫ab[2m一f(x)+g(x)][f(x)一g(x)]dxB、π∫ab[2m一f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dxC、π∫ab[m一f(x)+g(x)][f(x)一g(x)]dxD、π∫ab[m—f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dx標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由元素法的思想，對[x，x+dx][a，b]，dν=｛π[m一g(x)]2－π[m一f(x)]2dx=π[2m－f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dx，則V=∫abdν=π∫ab[2m—f(x)一g(x)][f(x)－g(x)]dx，選(B)．3、設(shè)直線L1：，L2：則直線L1，L2的夾角為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：s1=｛1，一2，1｝，s2=｛1，一1，0｝×｛0，2，1｝=｛一1，一1，2｝，設(shè)直線L1，L2的夾角為θ，則cosθ=，正確答案為(C)．4、級數(shù)()．A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、收斂性與a有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：5、設(shè)y=y(x)為微分方程2xydx+(x2一1)dy=0滿足初始條件y(0)=1的解，則∫0y(x)dx為()A、一ln3B、ln3C、一ln3D、ln3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：6、設(shè)f(x)在x=a的鄰域內(nèi)有定義，且f＋’(a)與f－’(a)都存在，則()．A、f(x)在x=a處不連續(xù)B、f(x)在x=a處連續(xù)C、f(x)在x=a處可導(dǎo)D、f(x)在x=a處連續(xù)可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒＋’(a)存在，所以，即f(x)在x=a處右連續(xù)，同理由f－’(a)存在可得f(x)在x=a處左連續(xù)，故f(x)在x=a處連續(xù)，選(B)．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)7、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：8、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：9、設(shè)連續(xù)非負(fù)函數(shù)f(x)滿足f(x)f(-x)=1，則=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)10、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析11、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)f(x)=x(x一1)(x+2)(x一3)…(x+100)，求f’(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一由f’(x)=(x一1)(x+2)…(x+100)+x(x+2)…(x+100)+…x(x一1)…(x一99)得f’(0)=(一1)．2．(一3)．…．100=100?。椒ǘ’(0)=(x一1)(x+2)…(x+100)=100?。R點(diǎn)解析：暫無解析13、證明方程lnx=在(0，+∞)內(nèi)有且僅有兩個根．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析14、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析15、計算∫3＋∞．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x，y)=，討論函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處的連續(xù)性與可偏導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x，y)=，其中D=｛(x，y)｜a≤x+y≤b｝(0＜a＜b)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={(x，y)｜0≤x≤a，a一x≤y≤b—x}，D2={(x，y)｜a≤x≤b，0≤y≤b—x｝，則f(x，y)dxdy=∫0ae－x∫a－xb－xe－y+∫abe－xdx∫0b－xe－y=∫0ae－x(ex－a—ex－b)dx+∫abe－x(1一ex－b)dx=(a+1)(e－a—e－b)一(b一a)e－b．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)Q(x，y)在平面xOy上具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且∫L2xydx＋Q(x，y)dy與路徑無關(guān)，且對任意的t有∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(1，t)2xydx+Q(x，y)dy，求Q(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榍€積分與路徑無關(guān)，所以=2x，于是Q(x，y)=x2+φ(y)．由∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(1，t)2xydx+Q(x，y)dy，得t2+∫01φ(y)dy=t+∫0tφ(y)dy，兩邊對t求導(dǎo)數(shù)得1＋φ(t)=2t，φ(t)=2t－1，所以Q(x，y)=x2+2y一1．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(2)知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在[0，1]上有定義，且exf(x)與e－f(x)在[0，1]上單調(diào)增加．證明：f(x)在[0，1]上連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：對任意的x0∈[0，1]，因?yàn)閑xf(x)與e－f(x)在[0，1]上單調(diào)增加，所以當(dāng)x＜x0時，有，故f(x0)≤f(x)≤ex0－xf(x0)，令x→x0－，由夾逼定理得f(x0一0)=f(x0)；當(dāng)x＞x0時，有故ex0－xf(x0)≤f(x)≤f(x0)，令x→x0＋，由夾逼定理得f(x0+0)=f(x0)，故f(x0一0)=f(x0+0)=f(x0)，即f(x)在x=x0處連續(xù)。由x0的任意性得f(x)在[0，1]上連續(xù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)，且f’’(x)＞0，取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)及ki＞0(i=1，2，…，n)且滿足k1+k2+…+kn=1．證明：f(k1x1+k2x2+…+knxn)k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x0=k1x1+k2x2+…+knxn，顯然x0∈[a，b]．因?yàn)閒’’(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x一x0)，分別取x=xi(i=1，2，…，n)，得由ki＞0(i=1，2，…，n)，上述各式分別乘以ki(i=1，2，…，n)，得將上述各式分別相加，得f(x0)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)，即f(k1x1+k2x2+…+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)．知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)平面曲線L上一點(diǎn)M處的曲率半徑為ρ，曲率中心為A，AM為L在點(diǎn)M處的法線，法線上的兩點(diǎn)P，Q分別位于L的兩側(cè)，其中P在AM上，Q在AM的延長線AN上，若P，Q滿足｜AP｜．｜AQ｜=ρ2，稱P，Q關(guān)于L對稱．設(shè)．22、求點(diǎn)M，使得L在M點(diǎn)處的法線經(jīng)過點(diǎn)P，并寫出法線的參數(shù)方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)點(diǎn)M(x，y)∈L，則知識點(diǎn)解析：暫無解析23、求點(diǎn)P關(guān)于L的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f’(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(1)一f(0)=1．證明：∫01f’2(x)dx≥1．標(biāo)準(zhǔn)答案：由1=f(1)一f(0)=∫01f’(x)dx，得12=1=(∫01f’(x)dx)2≤∫0112dx∫01f’2(x)dx=∫01f’2(x)dx，即∫01f’2(x)dx≥1．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)μ=f(x，y，xyz)，函數(shù)z=z(x，y)由exyz=∫xyzh(xy＋z－t)dt確定，其中f連續(xù)可偏導(dǎo)，h連續(xù)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)f(x)連續(xù)，F(xiàn)(t)=[z2+f(x2+y2)]dν，其中V=｛(x，y，z)｜x2+y2≤t2，0≤z≤h｝(t＞0)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：F(t)=∫02πdθ∫0trdr∫0h[z2＋f(r2)]dz=2π∫0tr[＋hf(r2)]dr，知識點(diǎn)解析：暫無解析27、，哪個級數(shù)一定收斂?標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)y=y(x)二階可導(dǎo)，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù)．(1)將x=x(y)所滿足的微分方程=0變換為y=y(x)所滿足的微分方程；(2)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0，y’(0)=的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)，代入原方程得y’’一y=sinx，特征方程為r2—1=0，特征根為r1，2=±1，因?yàn)閕不是特征值，所以設(shè)特解為y*=acosx+bsinx，代入方程得a=0，，于是方程的通解為y=C1ex+C2e－x一sinx；(2)由初始條件得C1=1，C2=一1，滿足初始條件的特解為y=ex—e－x一sinx．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(x)可導(dǎo)，函數(shù)y=f(x2)的自變量x在x=一1處取得增量△x=一0．1時相應(yīng)的函數(shù)增量△y的線性主部為0．1，則f’(1)等于()．A、一1B、0．1C、1D、0．5標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由y’｜x=—1△x=0．1，得2xf’(x2)｜x=—1×(一0．1)=0．1，則故選D．若f(x)在x0處可微，則△y=f’(x0)△x+θ(△x)．2、設(shè)則F(x)等于()．A、0B、C、arctanxD、2arctanx標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：故選B．本題可直接計算F(x)=arctanx+3、設(shè)積分區(qū)域D：x2+y2≤R2，其中Y≥0，則()．其中D1是積分區(qū)域D在x≥0的部分區(qū)域．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)榉e分區(qū)域D是關(guān)于變量y對稱的，且f(x，y)=x是奇函數(shù)，所以而相應(yīng)的右側(cè)均不為0，故選B．本題用到了二重積分關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱性．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)4、曲線(擺線)與x軸所圍平面圖形的面積是_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填3πa2．知識點(diǎn)解析：t∈[0，2π]，曲線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x=0，2πa，且曲線在x軸上方，所以面積為∫02πay(x)dx∫02πa2(1－cost)2dt=a2∫02πa(1－2cost+cos2t)dt=3πa2．5、函數(shù)在點(diǎn)A(1，0，1)處沿點(diǎn)A指向點(diǎn)B(3，一2，2)方向的方向?qū)?shù)為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填知識點(diǎn)解析：先計算函數(shù)在點(diǎn)A處的各個偏導(dǎo)數(shù)，再計算向量的三個方向余弦．因?yàn)橛纱说钠浞较蛴嘞覟?、設(shè)則a2=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填1．知識點(diǎn)解析：由于an是x2在[一π，π]上周期為2π的傅里葉系數(shù)，根據(jù)傅里葉系數(shù)的計算公式，有7、的通解為y=_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填知識點(diǎn)解析：本題主要考查高階方程的降階以及一階線性方程的解法．令y’’=u，則有解得u=y’’=x2+cx，故三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)8、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗灾R點(diǎn)解析：若在求極限時，涉及等時，一定要考慮單側(cè)極限．9、設(shè)f(x)在(一a，a)內(nèi)連續(xù)，在x=0處可導(dǎo)，且f’(0)≠0．(1)求證：對任給的0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使(2)求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令F(x)=∫0xf(t)dt+∫0－xf(t)dt，則F(0)=0，F(xiàn)(x)在[0，x]上可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理F(x)一F(0)=F’(θx)x，0<θ<1，即∫0xf(t)dt+∫0－xf(t)dt=x[f(θx)－f(－θx)](2)將上式兩邊同除以2x2，得又f’(0)存在，且f’(0)≠0，所以，知識點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)f(x)連續(xù)，φ(x)=∫01f(x2t)dt，且存在，求φ’(x)并討論φ’(x)的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)．知識點(diǎn)解析：令x2t=u，將參數(shù)x提至積分號外(或積分限上)再求導(dǎo)．11、設(shè)y=y(x)由方程確定，求y’(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程兩邊對自變量x求導(dǎo)，得知識點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)二階可導(dǎo)，且f(2)，試證：存在一點(diǎn)ξ∈(0，2)，使得f’’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x)在[0，2]上連續(xù)及由積分中值定理，存在點(diǎn)a∈使得在[a，2]上f(x)滿足洛爾定理的全部條件，由洛爾定理，存在一點(diǎn)b∈(a，2)，使得f’(b)=0，又f’(x)在[a，b]上滿足洛爾定理的全部條件，由洛爾定理，存在點(diǎn)ξ∈(a，b)(0，2)，使f’’(ξ)=0．知識點(diǎn)解析：要證f’’(ξ)=0，對f(x)可用兩次洛爾定理來證明．用兩次洛爾定理的關(guān)鍵是在[0，2]內(nèi)構(gòu)造使f(a)=f(2)的區(qū)間和使f’(b)=f’(c)的區(qū)間[a，2]與[b，c]．[a，2]可由積分中值定理得到，[b，c]可由已知極限和洛爾定理獲得．13、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=1，試證：存在兩點(diǎn)ξ，η∈(a，b)，使得(e2a+ea+b+e2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η－ξ．標(biāo)準(zhǔn)答案：令g(x)=e3x,則g(x)=e3x在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件．由拉格朗日中值定理，存在點(diǎn)η∈(a，b)，使得令F(x)=exf(x)，由拉格朗日中值定理，存在點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得=eξ[f(ξ)+f’(ξ)]．由f(b)=f(a)=1，可得=eξ[f(ξ)+f’(ξ)]．兩邊同乘(e2a+ea+b+e2b)，得=(e2a+ea+b+e2b)eξ[f(ξ)+f’(ξ)]，代入①式，可得(e2a+ea+b+e2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η－ξ．知識點(diǎn)解析：(e2a+ea+b+e2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η－ξ<=>(e2a+ea+b+e2b)eξ[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η<=>(e2a+ea+b+e2b)[exf(x)]’｜x=ξ=(e3x)’｜x=η，先對g(x)=e3x用拉格朗日中值定理，再對F(x)=exf(x)用拉格朗日中值定理，然后乘以常數(shù)(e2a+ea+b+e2b)可得待證的等式．14、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：原式知識點(diǎn)解析：15、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且∫01f(x)dx=A，求∫01[∫x1f(t)dt+(1－x)f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=∫x1f(t)dt，則φ’(x)=一f(x)，φ(0)=∫01f(t)dt=A．于是，原式=∫01[φ(x)+(x一1)φ’(x)]dx=∫01[(x一1)φ(x)]’dx=(x一1)φ(x)｜01=φ(0)=A．知識點(diǎn)解析：本題也可分項(xiàng)計算．原式=∫01φ(x)dx+∫01(x一1)φ’(x)dx=∫01φ(x)dx+(x一1)φ(x)｜01－∫01φ(x)dx=(x一1)φ(x)｜01=φ(0)=A．16、設(shè)f(x)在[0，1]上可導(dǎo)，f’(x)>0，求φ(x)=∫01｜f(x)一f(t)｜dt的極值點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f’(x)>0可知，f(x)單調(diào)增加．于是可知，所以φ(x)=∫0x[f(x)一f(t)]dt+∫x1[f(t)一f(x)]dt=xf(x)一∫0xf(t)dt+∫x1f(t)dt+xf(x)一f(x)=(2x－1)f(x)一∫0xf(t)dt一∫1xf(t)dt,φ’(x)=2f(x)+(2x一1)f’(x)一f(x)一f(x)=(2x一1)f’(x)．知識點(diǎn)解析：先去掉φ(x)的絕對值符號，再求極值．17、求曲線在其拐點(diǎn)處的切線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析18、求橢圓在第一象限部分的重心坐標(biāo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)橢圓的面密度為ρ=1，則橢圓的質(zhì)量為對x,y軸的靜力矩分別為知識點(diǎn)解析：一般地，平面圖形D={(x，y)｜a≤x≤b，g(x)≤y≤f(f)}的重心坐標(biāo)可利用如下公式計算：19、設(shè)函數(shù)z=f(x，y)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且滿足f’’xx=f’’yy．又由f(x，2x)=x，f’x(x，2x)=x2，試求二階偏導(dǎo)數(shù)f’’xx(x，2x)，f’’xy(x，2x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒’x．1+f’y．2=1，所以2f’y=1一x2．對此式兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)，得2(f’’yx．1+f’’yy．2)=一2x①由條件f’x(x，2x)=x2，則有f’’x．1+f’’xy．2=2x．②聯(lián)立①和②并由條件f’’xx=f’’yy可得知識點(diǎn)解析：此題的解法有一定的技巧性．20、試求平面x+y一z=0與圓柱面x2+y2+z2一xy—yz一zx一1=0相交所成的橢圓的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)分析，由坐標(biāo)原點(diǎn)O至橢圓上的任意一點(diǎn)(x，y，z)的距離d=之最大、最小值，就是該橢圓的長、短半軸．為此，設(shè)拉朗格日函數(shù)為L(x,y,z,λμ)=x2+y2+z2+λ(x+y－z)－μ(x2+y2+z2－xy－yz－zx－1)．令方程組將上述方程組中的前三個式子分別乘以x、y、z后相加，得2(x2+y2+z2)+λ(x+y—z)一2μ(x2+y2+z2一xy一yz一zx)=0．再將上述方程組的后兩個式子化為d2=x2+y2+z2μ．這充分說明μ就是d2的極值，從而說明就是d的極值．于是，問題就轉(zhuǎn)化為求μ．由上述方程組的前四個式子消去參數(shù)λ，得由此可知，此式的兩個根μ1、μ2就是d2的極大值、極小值，即a2與b2．由于μ1μ2=4，故所求的橢圓的面積是S=πab==2π．知識點(diǎn)解析：(1)若能求得該橢圓的長、短半軸a與6，則橢圓的面積為S=πab．(2)由圓柱面方程x2+y2+z2一xy一yz一zx一1=0可知，此圓柱關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)0是對稱的，故此圓柱的中心軸為通過坐標(biāo)原點(diǎn)0的某一直線．(3)由平面方程x+y—z=0可知，它也是通過坐標(biāo)原點(diǎn)0的．所以，此平面上的橢圓截線必以坐標(biāo)原點(diǎn)0為其中心點(diǎn)．若用解析幾何的方法來求解，可知圓柱面方程x2+y2+z2一xy一yz一zx一1=0所表示圓柱的中心軸為直線L：x=y=z，且其緯圓半徑為再由直線L與平面x+y—z=0法線間的夾角的余弦為以及面積的投影關(guān)系A(chǔ)=Scosθ，可得21、計算二重積分其中積分區(qū)域D={(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤2π)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)0≤x+y≤π時，sin(x+y)≥0；當(dāng)π≤x+y≤π時，sin(x+y)≤0；當(dāng)π≤x+y≤π時，sin(x+y)≥0．故可將積分區(qū)域D分解成三個小區(qū)域D1，D2，D3，如圖1—8—3所示．于是，知識點(diǎn)解析：本題主要考查絕對值函數(shù)的二重積分．本題的關(guān)鍵在于先確定被積函數(shù)在積分區(qū)域中的符號，從而將積分區(qū)域D分解成若干部分．22、設(shè)f(t)為連續(xù)函數(shù)，常數(shù)a>0，區(qū)域標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)橹R點(diǎn)解析：因被積函數(shù)是復(fù)合的抽象函數(shù)，故應(yīng)先作變量代換，再將二重積分化為累次積分．在計算二重積分時，要注意積分區(qū)域．23、計算曲線積分其中L為自點(diǎn)A(一1，0)沿曲線y=x2一1至點(diǎn)B(2，3)的一段?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：由于構(gòu)造一個單連通區(qū)域D：為坐標(biāo)xOy平面去掉Oy正半軸及點(diǎn)O(0，0)的開區(qū)間．曲線積分在區(qū)域D內(nèi)與路徑無關(guān)．取兩點(diǎn)C=(一1,一1)和D=(2,一1)，于是知識點(diǎn)解析：本題主要考查曲線積分與路徑無關(guān)的條件．若E=(一1，3)，則本題不能選取路徑所圍成的區(qū)域包含奇點(diǎn)O(0，0)．24、若對于x>0的任意空間內(nèi)的分片光滑有向閉曲面∑，都有其中函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且求函數(shù)f(x)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榍妗剖欠忾]的，由高斯公式，有由已知條件函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，得三重積分的被積函數(shù)是連續(xù)的．又由于空間區(qū)域Ω的任意性，從而當(dāng)x>0時，有[f(x)+xf(x)]一xf’(x)一e2x=0，知識點(diǎn)解析：本題主要考查高斯公式的逆問題．本題的關(guān)鍵問題在于三重積分中的被積函數(shù)為0．25、已知函數(shù)y=y(x)滿足關(guān)系式y(tǒng)’=x+y，且y(0)=1．試討論級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閥’=x+y，所以y’’=1+y’．由y(0)=1，得y’(0)=1，y’’(0)=2．根據(jù)麥克勞林公式，得知識點(diǎn)解析：因?yàn)閥(x)是已知微分方程的一個特解，則由麥克勞林公式討論級數(shù)的斂散性．26、將函數(shù)f(x)=ln(4—3x—x2)展開成x的冪級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ln(4—3x—x2)=ln(4+x)+ln(1一x)，而所以，f(x)=ln(4—3x—x2)=知識點(diǎn)解析：暫無解析27、某地區(qū)的人口增長速度與當(dāng)前該地區(qū)的人口成正比．若兩年后，人口增加一倍；三年后，人口是20000人，試估計該地區(qū)最初的人口數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)該地區(qū)在時刻t時的人口數(shù)為N，且最初的人口數(shù)為N0，則這是一個變量可分離的微分方程，其通解為N=cekt，其中c為任意常數(shù)．將初始條件t=0、N=N0代入，得c=N0．于是，N=N0ekt．當(dāng)t=2時，N=2N0，將它們代入到上式中，得2N0=N0e2k，從而undefined知識點(diǎn)解析：本題主要考查如何根據(jù)實(shí)際問題，建立相應(yīng)的微分方程，并求其對應(yīng)的特解．28、設(shè)函數(shù)f(x)和f(x)在x∈[0，+∞)上連續(xù)，且｜f(x)｜≤b，a和b均為常數(shù)．試證：微分方程的一切解在x∈[0，+∞)上皆有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：考查初值問題y(0)=y0．對于固定的y0，由方程可得相應(yīng)的特解．對于任意的y0，可得方程的一切解由于故由函數(shù)極限的保號性：存在M＞0，使得x＞M時，有由洛必塔法則，知故一切解｜y(x)｜在x∈[0，+∞)上皆有界．知識點(diǎn)解析：因函數(shù)p(x)和f(x)均未具體給出，則用一階線性微分方程的通解公式(一般是用不定積分表示的)是無法討論其性質(zhì)的，故應(yīng)當(dāng)用變上限的定積分來表示其通解，以便討論其性質(zhì)．29、求解微分方程y’’+y’=2x2+1．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用高階可降階的方法求解．在微分方程y’’+y’=2x2+1的兩端同時積分，得y’+y=x3+x+c，這是一階線性微分方程，其通解為知識點(diǎn)解析：本題主要考查二階非齊次線性微分方程的通解的結(jié)構(gòu)．形如y’’+ay’+by=erxPn(x)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，其特解的選取為y*=xkerxQn(x)，其中數(shù)r對應(yīng)于特征方程λ2+aλ+b=0不是特征根、是特征單根、是特征重根，分別取得k=0，1，2．考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設(shè)f(x)連續(xù)且F(x)=∫axf(t)dt，則F(x)為()．A、a2B、a2f(a)C、0D、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：[2x∫axf(t)dt+x2f(x)]=a2f(a)，選(B)．2、平面π與π1：x一2y+z一2=0和π2：x一2y+z一6=0的距離之比為1：3，則平面π的方程為()．A、x一2y+z=0B、x一2y+z一3=0C、x一2y+z=0或x一2y+z一3=0D、x一2y+z一4=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：設(shè)所求平面為π．x一2y+z＋D=0，在平面π：x一2y＋z＋D=0上取一點(diǎn)M0(x0，y0，Z0)，d1=，因?yàn)閐1：d2=1：3，所以D=0或D=一3，選(C)．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)3、設(shè)f(x)=，且f’(0)存在，則a=_________，b=_________，c=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：a=2，b=-2，c=2知識點(diǎn)解析：f(0+0)=f(x)=a，f(0)=2，f(0一0)=c，因?yàn)閒(x)在x=0處連續(xù)，所以f(0+0)=f(0)=f(0—0)，因?yàn)閒(x)在x=0處可導(dǎo)，即f＋’(0)=－’(0)，故b=一2．4、=_________(其中a為常數(shù))．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：5、過點(diǎn)(2，0，－3)且與直線垂直的平面方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一16x+14y+11z+65=0知識點(diǎn)解析：s1=｛1，一2，4｝，s2=｛3，5，一2｝，所求平面的法向量n=s1×s2=｛一16，14，11｝，則所求平面方程為一16x+14y+11z+65=0．6、曲線L：繞y軸一周所得旋轉(zhuǎn)曲面在點(diǎn)(0,-1,2)處指向外側(cè)的單位法向量為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：曲線L：繞y軸一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面為4x2＋9y2＋4z2=25．n=｛8x，18y，8z｝(0，－1，2)=｛0，－18，16｝，所求的單位向量e=．7、∫01dycosx2dx=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：改變積分次序得8、∫(1，1)(2，2)xy2dx+x2ydy=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：因?yàn)閤y2dx+x2ydy=，所以∫(1，1)(2，2)xy2dx+x2ydy=．9、微分方程y2dx+(x2一xy)dy=0的通解為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：10、設(shè)F(x)=∫0x(x2一t2)f’(t)dt，其中f’(x)在x=0處連續(xù)，且當(dāng)x→0時，F(xiàn)’(x)～x2，則f’(0)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：F(x)=x2∫0xf’(t)dt—∫0xt2f’(t)dt，F(xiàn)’(x)=2x∫0xf’(t)dt，因?yàn)楫?dāng)x→0時，F(xiàn)’(x)～x2，所以=1，而．11、=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：12、微分方程yy’’一2(y’)2=0的通解為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)13、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析14、由方程sin(xy)+ln(y一x)=x確定函數(shù)y=y(x)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=0代入sin(xy)+ln(y—x)=x得y=1，sin(xy)+ln(y—x)=x兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得cos(xy)．=1，將x=0，y=1代入得｜x=0=1．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)b＞a＞0，證明：．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析16、求不定積分．標(biāo)準(zhǔn)答案：令sinx—cosx=a(sinx+2cosx)＋b(sinx+2cosx)’，則知識點(diǎn)解析：暫無解析17、求∫01．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)L1：x一1=，L2：x+1=y一1=z．18、若L1⊥L2，求λ；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)L1：x－1=，L2：x+1=y一1=z垂直，則｛1，2，λ｝⊥｛1，1，1｝或1+2+λ=0，解得λ=一3．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、若L1，L2共面，求λ．標(biāo)準(zhǔn)答案：s1=｛1，2，λ｝，s2=｛1，1，1｝，s1×s2=｛1，2，λ｝×｛1，1，1｝=｛2一λ，λ一1，一1｝，M1(1，1，1)∈L1，M2(一1，1，0)∈L2，=｛2，0，1｝，L1，L2共面的充分必要條件是(s1×s2)．．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)向量場A=｛xz2+y2，x2y+z2，y2z+x2｝，求rotA及divA．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、判斷級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析22、求y’’一2y’一e2x=0滿足初始條件y(0)=1，y’(0)=1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程可化為y’’一2y’=e2x，特征方程為λ2一2λ=0，特征值為λ1=0，λ2=2，y’’一2y’=0的通解為y=C1+C2e2x，設(shè)方程y’’一2y’=e2x的特解為y0=Axe2x，代入原方知識點(diǎn)解析：暫無解析23、確定a，b，使得x一(a+bcosx)sinx當(dāng)x→0時為階數(shù)盡可能高的無窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：令y=x一(a+bcosx)sinx，y’=1+bsin2x一(a+bcosx)cosx，y’’=bsin2x+sin2x+(a+bcosx)sinx=asinx+2bsin2x，y’’’=acosx+4bcos2x，顯然y(0)=0，y’’(0)=0，所以令y’(0)=y’’’(0)=0得，故當(dāng)時，x一(a+bcosx)sinx為階數(shù)盡可能高的無窮?。R點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，f(0)=f(1)=0且f(x)=一1．證明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)≥8．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，所以f(x)在[0，1]上連續(xù)且f(0)=f(1)=0，f(x)=一1，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值定理知，f(x)在[0，1]取到最小值且最小值在(0，1)內(nèi)達(dá)到，即存在c∈(0，1)，使得f(c)=一1，再由費(fèi)馬定理知f’(c)=0，根據(jù)泰勒公式知識點(diǎn)解析：在使用泰勒中值定理時，若已知條件中給出某點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)在該點(diǎn)展開；若結(jié)論中是關(guān)于某點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)，則在該點(diǎn)展開；若既未給出某點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)的條件，結(jié)論中又不涉及某點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)，往往函數(shù)在區(qū)間的中點(diǎn)處展開．25、∫02．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析26、已知f(x，y)=，設(shè)D為由x=0、y=0及x+y=t所圍成的區(qū)域，求F(t)=f(x，y)dxdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)t＜0時，F(xiàn)(t)=0；知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)L是不經(jīng)過點(diǎn)(2，0)，(一2，0)的分段光滑簡單正向閉曲線，就L的不同情形計算標(biāo)準(zhǔn)答案：I==I1＋I(xiàn)2．顯然曲線積分I1，I2都滿足柯西-黎曼條件．(1)當(dāng)(2，0)，(一2，0)都在L所圍成的區(qū)域之外時，I1=I2=0，因此I=0；(2)當(dāng)(2，0)，(一2，0)都在L所圍成的區(qū)域之內(nèi)時，分別以這兩個點(diǎn)為中心以r1，r2為半徑的圓C1，C2，使它們都在L內(nèi)，則I1==－2π，同理I2=一2π，因此I=－4π；(3)當(dāng)(2，0)，(一2，0)有一個點(diǎn)在L圍成的區(qū)域內(nèi)，一個點(diǎn)在L圍成的區(qū)域外時，I=－2π．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第6套一、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)D為兩個圓x2＋y2≤1及(x一2)2＋y2≤4的公共部分，則＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：D關(guān)于x軸對稱，被積函數(shù)對y為奇函數(shù)I＝0．2、設(shè)D為y＝x3及x＝一1，y＝1所圍成的區(qū)域，則I＝＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：D如圖9．1所示．添加輔助線y＝一x3(x≤0)，將D分解成D＝D1∪D2，其中D1關(guān)于y軸對稱，D2關(guān)于x軸對稱，被積函數(shù)對x，y均為奇函數(shù)3、I＝｜xy｜dxdy＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：區(qū)域如圖9．2所示，由對稱性與奇偶性其中D1：0≤y≤1—x，0≤x≤1．于是4、設(shè)D：0≤x≤1，0≤y≤1，則I＝＝______·標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：D關(guān)于直線y＝x對稱與原式相加5、設(shè)I1＝，I2＝，I3＝，則這三個積分的大小順序是______＜______＜______．標(biāo)準(zhǔn)答案：I3＜I1＜I2知識點(diǎn)解析：比較，I1與I2，被積函數(shù)是相同的連續(xù)非負(fù)函數(shù)，積分區(qū)域圓域(x2＋y2≤1)包含在正方形區(qū)域(｜x｜≤1，｜y｜≤1)中I1＜I2．比較I1與I3，積分區(qū)域相同，被積函數(shù)均是連續(xù)的，比較它們知x4＋y42x2y2I1＞I3因此I3＜I1＜I26、設(shè)D為圓域x2＋y2≤x，則I＝＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：D如圖9．3．用極坐標(biāo)變換，D的極坐標(biāo)表示：于是7、設(shè)L是正方形邊界：｜x｜＋｜y｜＝a(a＞0)，則I＝xyds＝______，J＝｜x｜ds＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0，知識點(diǎn)解析：L如圖9．4，它關(guān)于x(或y)軸對稱，f(x，y)＝xy對y(或x)為奇函數(shù)L關(guān)于直線y＝x對稱(變量的輪換對稱性)J＝∫L｜x｜ds＝∫L｜y｜ds8、設(shè)∑為平面y＋z＝5被柱面x2＋y2＝25所截得的部分，則曲面積分I＝(x＋y＋z)dS＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：用∑的方程簡化被積表達(dá)式得其中xdS＝0，因?yàn)椤脐P(guān)于yz平面對稱，被積函數(shù)x對z為奇函數(shù)．∑的一個單位法向量n＝(cosα，cosβ，cosγ)＝(0，1，1)，∑的面積＝．因此I＝5·∑的面積＝125π．二、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)9、若函數(shù)f(x，y)對任意正實(shí)數(shù)t，滿足f(tx，ty)＝tnf(x，y)，(*)稱f(x，y)為n次齊次函數(shù)．設(shè)f(x，y)是可微函數(shù)，證明：f(x，y)為n次齊次函數(shù)(**)標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x，y)是n次齊次函數(shù)，按定義，得f(tx，ty)＝tnf(x，y)(t＞0)為恒等式．將該式兩端對t求導(dǎo)，得xf’1(tx，ty)＋yf’2(tx，ty)＝ntn—1f(x，y)(t＞0)，令t＝1，則xf’x(x，y)＋yf’y(x，y)＝nf(x，y)．現(xiàn)設(shè)上式成立．考察φ(t)＝，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得φ’(t)＝[xf’1(tx＋ty)＋yf’2(tx，ty)]—f(tx，ty)[txf’1(tx，ty)＋tyf’2(tx，ty)—nf(tx＋ty)]＝0，即φ(t)為常數(shù)，φ(t)＝φ(1)＝f(x，y)，即f(tx，ty)＝tnf(x，y)知識點(diǎn)解析：暫無解析10、計算I＝dxdy，其中D為曲線y＝lnx與兩直線y＝0，y＝(e＋1)一x所圍成的平面區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝lnx與y＝(e＋1)一x的交點(diǎn)是(e，1)，D如圖9．5所示，在Oxy坐標(biāo)系中選擇先x后y的積分順序(D不必分塊)得知識點(diǎn)解析：暫無解析11、計算，I＝dxdy，其中D是以O(shè)(0，0)，A(1，1)，B(一1，1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：D如圖9．6所示，D關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)對x為偶函數(shù)．其中D1＝D∩{x≥0}．選擇先x后y的積分順序知識點(diǎn)解析：暫無解析12、計算I＝，其中D：1≤x2＋y2≤9，≤y≤·標(biāo)準(zhǔn)答案：令x＝rcosθ，y＝rsinθ，則D：1≤r≤3，．于是知識點(diǎn)解析：暫無解析13、計算I＝｜sin(x一y)｜dxdy，其中D：0≤x≤y≤2π.標(biāo)準(zhǔn)答案：(內(nèi)層積分作變量替換后用分部積分法)知識點(diǎn)解析：暫無解析14、計算I＝(x＋y)2dxdy，其中D：｜x｜＋｜y｜≤1.標(biāo)準(zhǔn)答案：D關(guān)于x，y軸均對稱，它在第一象限部分記為D1，如圖9．8．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、計算I＝dxdy，其中D：x≥0，y≥0，x＋y≤1.標(biāo)準(zhǔn)答案：極坐標(biāo)變換x＝rcosθ，y＝rsinθ．D：知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)a＞0為常數(shù)，求積分I＝xy2dσ，其中D：x2＋y2≤ax．標(biāo)準(zhǔn)答案：D是圓域(如圖9．10)：．作極坐標(biāo)變換x＝rcosθ，y＝rsinθ，并由D關(guān)于x軸對稱，x軸上方部分為D1：0≤θ≤，0≤r≤acosθ．于是知識點(diǎn)解析：暫無解析改變二重積分的累次積分的順序17、f(x，y)dy＋，f(x，y)dy；標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖9．11所示．原式＝f(x，y)dxddy＝f(x，y)dx．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、f(x，y)dy＋，f(x，y)dy；標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖9．12所示．原式＝知識點(diǎn)解析：暫無解析19、f(x，y)dy；標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖9．13所示．當(dāng)x∈[0，t2]時，≤t(t＞0)，于是知識點(diǎn)解析：暫無解析20、極坐標(biāo)系下的累次積f(rcosθ，rsinθ)rdr．標(biāo)準(zhǔn)答案：在直角坐標(biāo)系Oθr中畫出D’的草圖(如圖9．14)．原積分＝f(rcosθ，rsinθ)drdθ．由r＝得r2＝sin2θ．r2＝sin2θ—sin(π—2θ)．于是π—2θ＝arcsinr2，θ＝arcsinr2．因此原積分f(rcosθ，rsinθ)rdθ．知識點(diǎn)解析：暫無解析求下列二重積分的累次積分21、標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖9．15所示．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖9．16所示．＝[R2ln(1＋R2)—R2＋ln(1＋R2)]＝[(1＋R2)ln(1＋R2)—R2]．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、f(x)在x0處可導(dǎo)，則|f(x)|在x0處()。A、可導(dǎo)B、不可導(dǎo)C、連續(xù)但不一定可導(dǎo)D、不連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由f(x)在x0處可導(dǎo)得|f(x)|在x0處連續(xù)，但|f(x)|在x0處不一定可導(dǎo)，如f(x)=x在x=0處可導(dǎo)，但|f(x)|=|x|在x=0處不可導(dǎo)，選(C)．2、設(shè)f(x)在[a，+∞)上二階可導(dǎo)，f(a)＜0，f’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，則f(x)在(a，+∞)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為()．A、0個B、1個C、2個D、3個標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f(x)=f(a)+f’(a)(x－a)+f"(ξ)／2!(x－a)2≥f(a)+(x－a)2，其中ξ介于a與x之間．而(x－a)2=+∞，故f(x)=+∞，再由f(a)＜0得f(x)在(a，+∞)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)．又因?yàn)閒’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)單調(diào)增加，所以零點(diǎn)是唯一的，選(B)．3、設(shè)F(x)=∫xx+2πesintsintdt，則F(x)()．A、為正常數(shù)B、為負(fù)常數(shù)C、為零D、取值與x有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由周期函數(shù)的平移性質(zhì)，F(xiàn)(x)=∫xx+2πesintsintdt=∫－ππesintsintdt，再由對稱區(qū)間積分性質(zhì)得F(x)=∫0π(esintsint－e－sintsint)dt=∫0π(esint－e－sint)sintdt，又(esint－e－sint)sint連續(xù)、非負(fù)、不恒為零，所以F(x)＞0，選(A)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)4、設(shè)f’(x)連續(xù)，f(0)=0，f’(0)=1，則標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：－1～1／2f2(x)，∫0xlncos(x－t)dt=－∫0xlncosc(x－t)d(x－t)=∫x0lncosudu=∫0xlncosudu，5、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：6、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：7、兩異面直線L1：之間的距離為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：7知識點(diǎn)解析：s1={4，－3，1}，s2={－2，9，2}，n={4，－3，1}×{－2，9，2}={－15，－10，30}，過直線L2且與L1平行的平面方程為π：－15x－10(y+7)+30(z－2)=0，即π：3x+2y－6z+26=0，8、設(shè)f(u，v)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，f(tx，ty)=t3f(x，y)，且f’1(1，2)=1，f’2(1，2)=4，則f(1，2)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點(diǎn)解析：f(tx，ty)=t3f(x，y)兩邊對t求導(dǎo)數(shù)得xf’1(tx，ty)+yf’2(tx，ty)=3t2f(x，y)，取t=1，x=1，y=2得f’1(1，2)+2f’2(1，2)=3f(1，2)，故f(1，2)=3．9、標(biāo)準(zhǔn)答案：2(1－ln2)知識點(diǎn)解析：令S(x)=xn+1(－1＜x＜1)，三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)10、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)a1n=1，當(dāng)n≥1時，an+1=，證明：數(shù)列{an}收斂并求其極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=＞0(x＞0)，所以數(shù)列{an}單調(diào)．又因?yàn)閍1=1，0≤an+1≤1，所以數(shù)列{an}有界，從而數(shù)列{an}收斂，令an=A，則有知識點(diǎn)解析：暫無解析12、標(biāo)準(zhǔn)答案：xx－(sinx)x當(dāng)x→0時，1－(sinx／x)x知識點(diǎn)解析：暫無解析13、證明：當(dāng)x＞0時，(x2－1)lnx≥(x－1)2．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=(x2－1)lnx－(x－1)2，φ(1)=0．φ’(x)=2xlnx－x+2－，φ’(1)=0．φ"(x)=2lnx+1+，φ"(1)=2＞0．故x=1為φ"(x)的極小值點(diǎn)，由其唯一性得其也為最小值點(diǎn)，而最小值為φ"(1)=2＞0，故φ"(x)＞0(x＞0)．故x=1為φ(x)的極小值點(diǎn)，也為最小值點(diǎn)，而最小值為φ(1)=0，所以x＞0時，φ(x)≥0，即(x2－1)lnx≥(x－1)2．知識點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)a＞0，討論方程aex=x2根的個數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：aex=x2等價于x2e－x－a=0．令f(x)=x2e－x－a，由f’(x)=(2x－x2)e－x=0得x=0，x=2．當(dāng)x＜0時，f’(x)＜0；當(dāng)0＜x＜2時，f’(x)＞0；當(dāng)x＞2時，f’(x)＜0，于是x=0為極小值點(diǎn)，極小值為f(0)=－a＜0；x=2為極大值點(diǎn)，極大值為f(2)=f(x)=－a＜0．(1)當(dāng)－a＞0，即0＜a＜4／e2時，方程有三個根；(2)當(dāng)－a=0，即a=4／e2時，方程有兩個根．(3)當(dāng)－a＜0，即a＞4／e2時，方程只有一個根．知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)平面曲線L上一點(diǎn)M處的曲率半徑為ρ，曲率中心為A，AM為L在點(diǎn)M處的法線，法線上的兩點(diǎn)P，Q分別位于L的兩側(cè)，其中P在AM上，Q在AM的延長線AN上，若P，Q滿足|AP|．|AQ|=ρ2，稱P，Q關(guān)于L對稱．設(shè)L：y=x2／2，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1／2，1)．15、求點(diǎn)M，使得L在M點(diǎn)處的法線經(jīng)過點(diǎn)P，并寫出法線的參數(shù)方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)點(diǎn)M(x，y)∈L，則解得x=1，所以M的坐標(biāo)為(1，1／2)．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、求點(diǎn)P關(guān)于L的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：y’=x，y"=1，曲率曲率中心為A(－1，5／2)，由|AP|．|AQ|=ρ2，解得t=－2／3，t=14／3(舍去)，則Q的坐標(biāo)為(5／3，－1／6)．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)連續(xù)，且∫0xtf(2x－t)dt=1／2arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：由∫x2xtf(2x－t)dt∫2xx(2x－u)f(u)(－du)=∫x2x(2x－u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du得2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du=1／2arctanx2，等式兩邊對x求導(dǎo)得2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－4xf(2x)+xf(x)=，整理得2∫x2xf(u)du－xf(x)=取x=得2∫122f(u)du－f(1)=1／2，故∫12f(x)dx=3／4．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)連續(xù)，∫0xtf(x－t)dt=1－cosx，求∫0π／2f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：由∫0xtf(x－t)dt∫x0(x－u)f(u)(－du)=∫0x(x－u)f(u)du=x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du，得x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du=1－cosx，兩邊求導(dǎo)得∫0xf(u)du=sinx，令x=π／2得∫0π／2f(x)dx=1．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在[0，a]上一階連續(xù)可導(dǎo)，f(0)=0，令|f’(x)|=M．證明：|∫0af(x)dx|≤a2／2M．標(biāo)準(zhǔn)答案：由微分中值定理得f(x)－f(0)=f’(ξ)x，其中ξ介于0與x之間，因?yàn)閒(0)=0，所以|f(x)|=|f’(ξ)x|≤Mx，x∈[0，a]，從而|∫0af(x)dx|≤∫0a|f(x)|dx≤∫0aMxdx=a2／2M．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)二元函數(shù)f(x，y)=|x－y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在點(diǎn)(0，0)處的某鄰域內(nèi)連續(xù)．證明：函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微的充分必要條件是φ(0，0)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：(必要性)設(shè)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微，則f’y(0，0)，f’y(0，0)存在．所以φ(0，0)=0．(充分性)若φ(0，0)=0，則f’x(0，0)=0．f’y(0，0)=0．即f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、已知f(x，y)=，設(shè)D為由x=0、y=0及x+y=t所圍成的區(qū)域，求F(t)=f(x，y)dxdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)t＜0時，F(xiàn)(t)=0；當(dāng)0≤t＜1時，F(xiàn)(t)=1dxdy=1／21／t2；當(dāng)1≤t＜2時，F(xiàn)(t)=f(x，y)dxdy=1－(2－t)2；知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，計算+yf(x2+y2)]dxdy，其中D是由y=x3，y=1，x=－1圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為F(x)，則知識點(diǎn)解析：暫無解析23、在變力F={yz，xz，xy}的作用下，質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動到橢球面=1上第一卦限的點(diǎn)M(ξ，η，ζ)，問ξ，η，ζ取何值時，F(xiàn)所做的功最大?求最大的功．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)原點(diǎn)O到點(diǎn)M(ξ，η，ζ)的直線為L，L的參數(shù)方程為W=∫Lyzdx+xzdy+xydz=∫013ξηζt2dt=ξηζ當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為()時，力F所做的功最大，且最大功為abc．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)an＞0(n=1,2，…)且{an}n=1∞單調(diào)減少，又級數(shù)(－1)nan發(fā)散，判斷(1／1+an)n的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閧an}n=1∞單調(diào)減少且an＞0(n=1，2，…)，所以an=A，由(－1)nan發(fā)散，得A＞0．根據(jù)正項(xiàng)級數(shù)的根值審斂法，由知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為F(x)，且F(x)為方程xy'+y=ex的滿足y(x)=1的解．25、求F(x)關(guān)于x的冪級數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由xy’+y=ex得=ex／x，解得因?yàn)閥(x)=1，所以C=－1，于是知識點(diǎn)解析：暫無解析26、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析27、將函數(shù)f(x)=2+|x|(－1≤x≤1)展開成以2為周期的傅里葉級數(shù)，并求級數(shù)1／n2的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然函數(shù)f(x)是在[－1，1]上滿足收斂定理的偶函數(shù)，則a0=2∫01f(x)dx=5，an=2∫01f(x)cosnπxdx=2／n2π2[(－1)n－1](n=1，2，…)，bn=0(n=1，2，…)，又f(x)∈C[－1，1]，所以2+|x|=cos(2n+1)πx(－1≤x≤1)令x=0得知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)有微分方程y’－2y=φ(x)，其中φ(x)=，在(－∞，+∞)求連續(xù)函數(shù)y(x)，使其在(－∞，1)及(1，+∞)內(nèi)都滿足所給的方程，且滿足條件y(0)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x＜1時，y’－2y=2的通解為y=C1e2x－1，由y(0)=0得C1=1，y=e2x－1；當(dāng)x＞1時，y’－2y=0的通解為y=C2e2x，根據(jù)給定的條件，y(1+0)=C2e2