1.6-倒點(diǎn)陣和倒格子概述

固體物理學(xué)

SolidStatePhysics衛(wèi)來聯(lián)系方式lweiphy@物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2015年3月※為什么要研究倒空間（reciprocalspace)?◆

一個(gè)物理問題，既可以在正(實(shí)，坐標(biāo))空間描寫，也可以在倒(動(dòng)量)空間描寫:坐標(biāo)表象r，動(dòng)量表象k◆為什么選擇不同的表象？*適當(dāng)?shù)剡x取一個(gè)表象，可使問題簡(jiǎn)化容易處理*比如電子在均勻空間運(yùn)動(dòng)，雖然坐標(biāo)一直變化，但k守衡，這時(shí)在坐標(biāo)表象當(dāng)然不如在動(dòng)量表象簡(jiǎn)單※量子力學(xué)中※為什么要研究倒空間（reciprocalspace)?※

晶格的周期性描寫方式◆任何基本粒子都具有波粒二象性。亦即具有一定能量和動(dòng)量的微觀粒子，同時(shí)也是具有一定的波長(zhǎng)和頻率的波，波也是物質(zhì)存在的一種基本形式。正（坐標(biāo)）空間的格矢（R）描寫周期性，同樣在倒（動(dòng)量）空間，倒格矢K也是描寫周期性。這兩個(gè)空間是等價(jià)的，只是存在一個(gè)變換（傅里葉變換）◆坐標(biāo)空間（空間）的布拉伐格子表示

晶體結(jié)構(gòu)的周期性，可以用坐標(biāo)空間(r空間)的布拉維格子來描述?！舨ㄊ缚臻g（空間）的倒格子表示

◆波矢k可用來描述波的傳播方向.那么晶體結(jié)構(gòu)的周期性是否也可以用

波矢k來描述呢？如果可以，在波矢k空間，k應(yīng)滿足什么條件呢？倒易點(diǎn)陣的概念是Ewald1921年在處理晶體X射線衍射問題時(shí)首先引入的，對(duì)我們理解衍射問題極有幫助，更是整個(gè)固體物理的核心概念。是理解晶格X射線衍射、處理晶格振動(dòng)和固體電子論等有關(guān)問題的有力工具。※為什么要研究倒空間（reciprocalspace)?◆晶體中原子和電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，以及各種微觀粒子的相互作用→都是在波矢空間進(jìn)行描寫的。

周期勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的單電子波函數(shù)可展開為波矢為的平面波的線性迭加（第4章能帶論）對(duì)同一能帶，當(dāng)用波矢標(biāo)志電子狀態(tài)時(shí)，相差一個(gè)倒格矢的兩個(gè)狀態(tài)是等價(jià)的，據(jù)此可引入簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的概念（第4章能帶論）5◆任意周期函數(shù)都可在該函數(shù)所定義的倒格子空間展開為傅里葉級(jí)數(shù)

布拉維格子具有平移對(duì)稱性，因而相應(yīng)的只與位置有關(guān)的物理量，由于布拉維格點(diǎn)的等價(jià)性，均應(yīng)是布拉維格矢R的周期函數(shù)，如：格點(diǎn)密度、質(zhì)量密度、電子云密度、離子實(shí)產(chǎn)生的勢(shì)場(chǎng)等都是如此。不失一般性，上述函數(shù)可統(tǒng)一寫為：布拉維格矢Δ周期函數(shù)的傅里葉展開

由于F(r)是布拉維格矢R的周期函數(shù),所以可以將其展開成傅里葉級(jí)數(shù)：展開系數(shù)展開系數(shù)原胞體積因?yàn)椋核裕毫顒t：則不合要求，應(yīng)舍去所以成立也就是說，一定存在某些g使得當(dāng)成立時(shí)，

由于g與R存在上述對(duì)應(yīng)關(guān)系,R可以描述布拉維格子，自然g也可以描述同樣的布拉維格子，且g與第一章討論自由電子的波函數(shù)中的波矢類似，因而，凡是波矢和布拉維格矢滿足的波矢，一定也可以描述布拉維格子。這就是倒格子的由來。利用倒格矢，滿足的傅里葉展開為:把上述滿足坐標(biāo)空間中的某物理量轉(zhuǎn)變?yōu)榈垢褡涌臻g，且只存在波矢為倒格矢的分量。T:平移操作10◆晶格的傅立葉變換（Fouriertransformation）正格子位矢：數(shù)學(xué)上用函數(shù)來描寫點(diǎn)陣的格點(diǎn)11對(duì)點(diǎn)陣做傅里葉變換可得到是一個(gè)矢量,利用晶體的平移對(duì)稱性確定只要晶體有平移周期性，那么在傅里葉空間中就一定存在K矢量滿足這個(gè)關(guān)系！12所有的也組成一個(gè)點(diǎn)陣----倒點(diǎn)陣所以，同一個(gè)物理量在正格子空間中的表述與在倒格子空間中的表述之間遵守傅里葉變換關(guān)系。

當(dāng)矢量Kh與Rl乘積是2π的整數(shù)倍時(shí)，在坐標(biāo)空間Rl處的

δ函數(shù)的傅里葉變換為在動(dòng)量空間以Kh為中心的δ函數(shù)！坐標(biāo)空間里，δ(r-Rl)函數(shù)表示在Rl的格點(diǎn)，當(dāng)滿足上述

條件時(shí)，其傅里葉變換也是δ(k-Kh)函數(shù)，表示的是倒空

間里的一個(gè)點(diǎn)！13◆倒格矢與布拉格反射面間具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用倒格子概念可簡(jiǎn)化對(duì)衍射圖案分析1901諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)W.C.倫琴(德國(guó))發(fā)現(xiàn)倫琴射線(X射線)M.V.勞厄發(fā)現(xiàn)X射線通過晶體時(shí)的衍射，決定了X射線波長(zhǎng)，證明了晶體的原子點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)1914諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)W.H.布拉格W.L.布拉格用X射線分析晶體結(jié)構(gòu)1915諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)QP

A

TAP

Q

Sd入射線與反射線之間的光程差：

=SA+AT=2dsin把晶體對(duì)X射線的衍射看成是晶面對(duì)X射線的反射

布拉格假設(shè)入射波從原子平面作鏡面反射，但每個(gè)平面只反射很小

部分（另外部分穿透），當(dāng)反射波發(fā)生相長(zhǎng)干涉時(shí)，就出現(xiàn)衍射極大只有入射的10-3~10-5部分被每個(gè)面反射，大部分穿透，要有足夠多的

原子面參與反射滿足衍射方程：2dh1h2h3sin=n※布拉格定律(Bragglaw)對(duì)于給定的d和

，由布拉格定律就能確定

角，是僅有的能發(fā)生X射線衍射的角度。且n為衍射級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)增加，強(qiáng)度減弱。布拉格定律的條件衍射波長(zhǎng)條件要求波長(zhǎng)必須小于2d，否則不可能發(fā)生衍射推論1：不是所有的晶面都能發(fā)生衍射推論2：可見光波不能用于晶體衍射布拉格定律的局限只能得到晶面間距，對(duì)于分析晶體材料還不夠晶胞結(jié)構(gòu)？不清楚晶粒大??？不清楚d,

待求，衍射條件的計(jì)算較復(fù)雜CO=-Rl·S0OD=Rl·S衍射加強(qiáng)：Rl·（S－S0）=n由：ko=(2/)S0k=(2/)Sk即X射線的波矢得：Rl·（k－k0）=2n因?yàn)椋篟l·Kh=2n物理意義：當(dāng)入射波矢和衍射波矢相差一個(gè)或幾個(gè)Kh（倒格矢）

時(shí)，滿足衍射加強(qiáng)條件，n為衍射級(jí)數(shù)。CRlD衍射單位矢量SOA入射單位矢量S0晶面k0k0kk把位于格點(diǎn)上的原子看作是散射中心，勞厄衍射是散射中心對(duì)入射X射線的衍射k－k0=nKh勞厄公式※勞埃方程

|k－k0|=2

|S/

-S0/

|

=(2/)2sin2sin=n/dh1h2h3|k－k0|

=|nKh|=2n/dh1h2h3

|

Kh|=2/dh1h2h3

k－k0kk0晶面(h1h2h3)-kKh倒格矢與晶面相互對(duì)應(yīng)※愛瓦爾德構(gòu)圖根據(jù)公式：k－k0=nKh,建立反射球入射線的波矢k0反射線的波矢k倒格矢KhOCA晶面反射球（h1h2h3）(h1′

h2′

h3′)建立反射球的意義通過所建立的反射球，把晶格的衍射條件和衍射照片上的斑點(diǎn)直接聯(lián)系起來。所有落在此球上的倒格點(diǎn)都滿足關(guān)系式:k－k0=nKh即滿足衍射加強(qiáng)條件。

利用反射球求出某一晶面族發(fā)生衍射的方向（若反射球上的A點(diǎn)是一個(gè)倒格點(diǎn)，則CA就是以O(shè)A為倒格矢的一族晶面(h1h2h3)的衍射方向S）。衍射線束的方向是倒格點(diǎn)與球心C的連線方向※愛瓦爾德構(gòu)圖應(yīng)用舉例：晶體電子衍射花樣的標(biāo)定21需要學(xué)習(xí)倒格子和布里淵區(qū)！

如果已知晶格的基矢和法線的取向，即得晶面的Miller指數(shù),從而晶面族中最靠近原點(diǎn)的晶面的截距和面間距都可得出，晶面族就完全決定。

反之，晶格的基矢是未知的，現(xiàn)在只有一些周期性分布的點(diǎn)子同所討論的晶格中的每族晶面有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，通過對(duì)應(yīng)關(guān)系原則上可以把晶格的基矢確定出來。

倒格子，就是類似于上面所設(shè)想的那些與晶面族對(duì)應(yīng)的點(diǎn)子所組成的格子。一、倒點(diǎn)陣和倒格子1、倒點(diǎn)陣和倒格子

是格點(diǎn)的位矢（平移矢量），也稱為正格矢。是正格矢的倒矢量，稱為倒格矢。對(duì)于布拉菲格子中所有的格矢Rl，有一系列動(dòng)量空間矢量Kh

，滿足倒點(diǎn)陣和倒格子的定義：的全部端點(diǎn)的集合，構(gòu)成該布拉菲格子的倒格子或倒點(diǎn)陣，這些點(diǎn)稱為倒格點(diǎn)，Kh為倒格矢。2）倒格子空間

正格子基矢在空間平移構(gòu)成正格子，倒格子基矢在空間平移構(gòu)成倒格子；由正格子組成的空間是位置空間，稱為坐標(biāo)空間。而由倒格子組成的空間則為狀態(tài)空間，稱為倒格子空間，或K空間。

正格子基矢組成的平行六面體為正格子原胞，由倒格子基矢組成的平行六面體則稱為倒格子原胞。3）倒格點(diǎn)的選取

◆

從坐標(biāo)原點(diǎn)O引晶面族ABC的法線ON◆在法線上截取一段OP=ρ,使ρd=2π,(其中d為晶面族ABC的面間距）◆以O(shè)P為該方向的周期，作無限平移，就得到一系列新的點(diǎn)子?！魧?duì)于每一個(gè)晶面族，我們都能得到這樣一系列點(diǎn)子，從而得到了一個(gè)新的點(diǎn)陣。◆把這個(gè)新的點(diǎn)陣稱為原點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣。◆將倒易點(diǎn)陣連成格子稱之為倒格子，而原來的晶格則稱為正格子。4）倒格子的基矢

正格矢是正格子基矢的線性組合，根據(jù)定義式，我們可設(shè)倒格矢亦為線性組合，并寫成

晶格的原胞基矢為a1,a2,a3，原胞體積為Ω=a1·（a2×a3），從正格子基矢出發(fā)，建立其倒格子基矢：正格子原胞的體積上式表示正格子與倒格子的關(guān)系，除因子2π外，互為倒數(shù)，有了正格子基矢就能得出倒格子基矢，反之亦然。注意：倒格子基矢的量綱是[長(zhǎng)度]-1，與波數(shù)矢量具有相同的量綱。本是倒格矢，但可理解為波矢，因?yàn)槌Ｓ貌ㄊ竵砻枋鲞\(yùn)動(dòng)狀態(tài)，故可以將倒格子所組成的空間（空間）理解為狀態(tài)空間，正格子組成的空間是位置空間或坐標(biāo)空間。

正格子與倒格子結(jié)構(gòu)對(duì)比：

正格子與倒格子結(jié)構(gòu)對(duì)比。

正格子與倒格子結(jié)構(gòu)對(duì)比：第1章晶體結(jié)構(gòu)※正交晶系晶胞的正格子和倒格子abc二、倒點(diǎn)陣的性質(zhì)1.正、倒點(diǎn)陣的基矢相互正交證明：

a1·b1=

a1·2

(a2

a3)/a1·(a2

a3)=2

a1·b2=

a1·2

(a1

a3)/a2·(a1

a3)=0

同理可證明下角標(biāo)不同的其它正、倒格基矢驗(yàn)證：選擇：為倒格子的基矢為任意整數(shù)2.倒點(diǎn)陣原胞的體積反比于正點(diǎn)陣原胞的體積3.倒格矢Kh=h1b1+h2b2+h3b3與正格子晶面(h1h2h3)垂直如圖所示ABC是晶面(h1h2h3)族中離原點(diǎn)最近的晶面正格子晶面指數(shù)是垂直于該晶面的最短倒格矢坐標(biāo)4.晶面族（h1h2h3)的面間距d為證明：由前面的證明可知，原點(diǎn)到面ABC的距離即為所求面間距(設(shè)為d)。ABCOa1a2a3a1/h1a2/h2a3/h3Khd34355.布里淵區(qū)1）定義

倒易空間中的WS原胞稱為第一布里淵區(qū)。▼在倒格子空間中,做某一倒格點(diǎn)到它最近鄰和次近鄰倒格點(diǎn)連線的垂直平分面，由這些垂直平分面所圍成的多面體的體積等于倒格子原胞的體積；該多面體所圍成的區(qū)域稱為第一布里淵區(qū)，第一布里淵區(qū)也稱為簡(jiǎn)約布里淵區(qū)。▼第一布里淵區(qū)界面與次遠(yuǎn)垂直平分面所圍的區(qū)域，稱為第二布里淵區(qū)，依次得第三、…布里淵區(qū)。

布里淵區(qū)界面是某倒格矢K的垂直平分面，若用k表示倒格空間的矢量，則如果它的端點(diǎn)落在布里淵區(qū)界面上，必須滿足2）布里淵區(qū)的界面方程即：在倒格子空間中，凡滿足上式的矢量端點(diǎn)的集合構(gòu)成布里淵區(qū)。

上式被稱為布里淵區(qū)的界面方程。B-格子類型相同，倒格子類型就相同，B.Z.形狀也相同。如fcc的金剛石和氯化鈉，B.Z.形狀相同。布里源區(qū)有多個(gè)，各布里源區(qū)“體積”都相等，第一布里源區(qū)在最里面，逐個(gè)向外，第二以上的布里源區(qū)由若干個(gè)不相連的區(qū)域組成。由布里淵區(qū)的構(gòu)成可知：各個(gè)布里淵區(qū)的形狀都對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱。各高布里淵區(qū)經(jīng)過平移一個(gè)或多個(gè)倒格矢，都可以移到第一布里淵區(qū)，且與第一布里淵區(qū)重合。因此，每個(gè)布里淵區(qū)的體積均相等，且等于倒格子原胞體積。

對(duì)高布里淵區(qū)，某個(gè)布里淵區(qū)被分成n個(gè)部分，則各部分也對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱。倒格子

3)布里淵區(qū)的特點(diǎn)由于倒格子基矢根據(jù)正格子基矢定義，所以布里淵區(qū)的形狀完全取決于晶體的布拉菲格子，與具體的原子無關(guān)。4)舉例取正格子基矢為※一維晶格點(diǎn)陣的布里淵區(qū)可求出倒格子基矢為倒格矢的垂直平分面構(gòu)成第一布里淵區(qū)O一維晶格點(diǎn)陣O倒格子點(diǎn)陣-π/aπ/a※二維晶格點(diǎn)陣的布里淵區(qū)取正格子基矢為作原點(diǎn)0至其它倒格點(diǎn)連線的中垂線，它們將二維倒格子平面分割成許多區(qū)域可求出倒格子基矢為二維正方格子的第一、二、三布里淵區(qū)③①②O二維正方格子布里淵區(qū)圖示（演示）第一布里淵區(qū)第二布里淵區(qū)第三布里淵區(qū)①②①②※三維晶格點(diǎn)陣的布里淵區(qū)簡(jiǎn)單立方格子的第一布里淵區(qū)是簡(jiǎn)單立方格子面心立方格子的第一布里淵區(qū)是截角八面體(十四面體)體心立方格子的第一布里淵區(qū)是棱形十二面體簡(jiǎn)單立方晶體正格子基矢為

倒格子基矢為

其倒格子仍為簡(jiǎn)單立方結(jié)構(gòu)與原點(diǎn)相近鄰的倒格點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的倒格矢為這些倒格矢的垂直平分面構(gòu)成簡(jiǎn)單立方體，即：簡(jiǎn)單立方晶體的第一布里淵區(qū)為簡(jiǎn)立方晶格體心立方晶格布里淵區(qū)體心立方晶格這些倒格矢的中垂面圍成菱形十二面體，構(gòu)成體心立方格子的第一布里淵區(qū)---面心立方結(jié)構(gòu)典型對(duì)稱點(diǎn)體心立方晶體面心立方晶格布里淵區(qū)面心立方晶格第一布里淵區(qū)中典型對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為

其布里淵區(qū)的形狀為，截角八面體----第一布里淵區(qū)為體心立方結(jié)構(gòu)。面心立方晶格493.正點(diǎn)陣是它本身倒點(diǎn)陣的倒點(diǎn)陣506.倒點(diǎn)陣保留了正點(diǎn)陣的全部宏觀對(duì)稱性證明：設(shè)為正格子的一個(gè)點(diǎn)群的任取對(duì)稱操作，亦即為正格矢時(shí)，亦為正格矢(點(diǎn)群對(duì)稱操作不會(huì)改變?cè)懈顸c(diǎn)之間的距離)。按照群的定義，當(dāng)為點(diǎn)群對(duì)稱操作時(shí)，亦為同一點(diǎn)群的對(duì)稱操作，則亦為正格矢。由點(diǎn)群對(duì)稱操作不會(huì)改變?cè)懈顸c(diǎn)之間的距離可知：當(dāng)和接受同一點(diǎn)群對(duì)稱操作時(shí)，空間任意兩點(diǎn)之間的距離不變。所以，對(duì)點(diǎn)群中任一而言，亦為倒格矢，亦即，對(duì)應(yīng)正格子的群中的任一操作，相應(yīng)的也是倒格子的對(duì)稱操作。因而同一晶格的正格子和倒格子有相同的點(diǎn)群對(duì)稱性。倒格子空間中的WS原胞，亦即第一布里淵區(qū)，也就是所謂的簡(jiǎn)約布里淵區(qū)，具有晶格點(diǎn)群的全部對(duì)稱性。主要因?yàn)閃S原胞本身就是對(duì)稱化原胞之故所以，第一布里淵區(qū)具有特別重要的意義

由于晶體的周期性，晶體中任何一點(diǎn)的物理量也具有周期性,在數(shù)學(xué)上,它可表

述為：－其中，為正格矢，它代表了晶體的周期性.將和同時(shí)展開為Fourier級(jí)數(shù)，則：7.正點(diǎn)陣的周期函數(shù)可以按倒格矢展開為傅里葉級(jí)數(shù)我們暫不定義代表的物理意義，只是把它當(dāng)成Fourier變換中的一個(gè)參量。由得：則(μ為整數(shù))☉和一種晶體結(jié)構(gòu)相聯(lián)系的有兩種點(diǎn)陣：晶體點(diǎn)陣和倒易點(diǎn)陣。⊕晶體點(diǎn)陣是真實(shí)空間的點(diǎn)陣，具有[長(zhǎng)度]的量綱。⊕倒易點(diǎn)陣是與真實(shí)空間相聯(lián)系的傅里葉空間中的點(diǎn)陣，具有[長(zhǎng)度]-1的量綱。→把一個(gè)具有晶體點(diǎn)陣周期的周期函數(shù)展成傅氏級(jí)數(shù)后，在傅里葉空間中表現(xiàn)為一系列規(guī)則排列的點(diǎn)，把這些點(diǎn)的列陣稱為倒易點(diǎn)陣。小結(jié)晶體的顯微圖象真實(shí)晶體結(jié)構(gòu)的映象；晶體的衍射圖象倒格子（倒易點(diǎn)陣）的映象；晶體點(diǎn)陣(正格子)的格點(diǎn)對(duì)應(yīng)原子、分子或其集團(tuán)倒格子中的格點(diǎn)對(duì)應(yīng)晶體中的一族晶面晶體點(diǎn)陣(正格子)的格點(diǎn)位于位置空間或坐標(biāo)空間內(nèi)的,其線度的量綱為[長(zhǎng)度]倒格子中的格點(diǎn)在與真實(shí)空間相聯(lián)系的倒易空間或傅里葉空間內(nèi)的55晶體結(jié)構(gòu)

倒格子2.與晶體中原子位置相對(duì)應(yīng)；2.與晶體中一族晶面相對(duì)應(yīng)；3.是與真實(shí)空間相聯(lián)系的倒格子空間中點(diǎn)的周期性排列；3.是真實(shí)空間中點(diǎn)的周期性排列；4.線度量綱為[長(zhǎng)度]4.線度量綱為[長(zhǎng)度]-1已知晶體結(jié)構(gòu)如何求其倒格子呢？晶體結(jié)構(gòu)正格子正格子基矢倒格子基矢倒格子練習(xí)1：下圖是一個(gè)二維晶體結(jié)構(gòu)圖，試畫出其倒格點(diǎn)的排列。倒格是邊長(zhǎng)為的正方形格子。練習(xí)2：證明體心立方的倒格子是面心立方。解：體心立方的原胞基矢：倒格矢：同理得：體心立方的倒格是邊長(zhǎng)為4/a的面心立方。例3：證明簡(jiǎn)立方晶面(h1h2h3)的面間距為證明：由得：簡(jiǎn)立方：法一：法二：設(shè)ABC為晶面族(h1h2h3)中離原點(diǎn)最近的晶面，ABC在基矢上的截距分別為，則對(duì)于立方晶系：且：倒格矢：同理得：體心立方的倒格是邊長(zhǎng)為4/a的面心立方