3-2工程數(shù)學-概率的基本性質與事件獨立性

第二節(jié)概率的基本性質與事件獨立性1概率的可列可加性概率的公理化定義2概率的性質概率的有限可加性3證明4證明由圖可得又由性質3得因此得5例1.一個電路上裝有甲、乙兩根保險絲，當電流強度超過一定值時，甲燒斷的概率為0.82，乙燒斷的概率為0.74，兩根同時燒斷的概率為0.63，問至少有一根保險絲燒斷的概率是多少？6例2在1~2000的整數(shù)中隨機地取一個數(shù),問取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

設A為事件“取到的數(shù)能被6整除”,B為事件“取到的數(shù)能被8整除”則所求概率為解7于是所求概率為8思考

袋中有3只白球,2只紅球,現(xiàn)從袋中任取一球(不放回),充分混合后再任取出另一球，假設每個球被取到的可能性相同.若已知第一次取到的球是白球,問第二次取得球也是白球的概率是多少？設

A

表示第一次任取一球為白球，

B

表示第二次任取一球為白球.古典概型9所求的概率稱為在事件A

發(fā)生的條件下事件B

發(fā)生的條件概率。記為10定義

ABAB1、條件概率11例3

擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點,問“擲出點數(shù)之和不小于10”的概率是多少?解:解:設A={擲出點數(shù)之和不小于10}B={第一顆擲出6點}應用定義12例4擲兩枚硬幣，已發(fā)現(xiàn)一枚是正面的條件下，求至少有一枚是反面的概率。13142、概率乘法公式15例5.一批零件共100件，次品率為10﹪，取三次，每次從中任取一個零件不再放回，求（1）第一次取得次品且第二次取得正品的概率；（2）第三次才取得正品的概率16171.樣本空間的劃分三、全概率公式182.全概率公式全概率公式19說明

全概率公式的主要用途在于它可以將一個復雜事件的概率計算問題,分解為若干個簡單事件的概率計算問題,最后應用概率的可加性求出最終結果.20例6

有一批同一型號的產(chǎn)品,已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%,二廠生產(chǎn)的占50%,三廠生產(chǎn)的占20%,又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為2%,1%,1%,問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?設事件A為“任取一件為次品”,解21由全概率公式得30%20%50%2%1%1%22四、事件的獨立性(一)兩個事件的獨立性由條件概率，知一般地，這意味著：事件B的發(fā)生對事件A發(fā)生的概率有影響.然而，在有些情形下又會出現(xiàn)：23則有引例242.定義注.1o說明

事件A與B相互獨立,是指事件A的發(fā)生與事件B發(fā)生的概率無關.252o獨立與互斥的關系這是兩個不同的概念.兩事件相互獨立兩事件互斥例如二者之間沒有必然聯(lián)系獨立是事件間的概率屬性互斥是事件間本身的關系11由此可見兩事件相互獨立但兩事件不互斥.兩事件相互獨立兩事件互斥.26定理6若事件A與B相互獨立,則以下三對事件也相互獨立.①②③注

稱此為二事件的獨立性關于逆運算封閉.27例7

分別擲兩枚均勻的硬幣，令A={硬幣甲出現(xiàn)正面H}，B={硬幣乙出現(xiàn)反面T}，試驗證A、B相互獨立．

解樣本空間

={HH,HT,TH,TT}共含有4個基本事件，它們發(fā)生的概率均為1/4．而A={HH,HT}，B={HT,TT}，AB={HT}，故有P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，P(AB)=P(A)P(B)

，所以A、B相互獨立．28例8甲,乙兩人同時向敵人炮擊,已知甲擊中敵機的概率為0.6,乙擊中敵機的概率為0.5,求敵機被擊中的概率.解設A={甲擊中敵機}B={乙擊中敵機}C={敵機被擊中}依題設,∴A與B不互斥

(P(A)+P(B)=1.1>1≥P(A+B))29由于甲，乙同時射擊，甲擊中敵機并不影響乙擊中敵機的可能性，所以A與B獨立,進而=0.830

設A1，A2，…，An為n個事件，若對于任意k(1≤k≤n),及1≤i1<i2<···<ik≤n

3.n個事件的獨立性定義31n個獨立事件和的概率公式:設事件相互獨立,則

也相互獨立即n個獨立事件至少有一個發(fā)生的概率等于1減去