1.2.1集合之間的關(guān)系

1．2集合之間的關(guān)系與運(yùn)算1．2.1集合之間的關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)導(dǎo)航重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：能識(shí)別給定集合的子集．難點(diǎn)：集合之間的關(guān)系與其特征性質(zhì)．新知初探思維啟動(dòng)維恩(Venn)圖：通常用平面內(nèi)一條_________的內(nèi)部表示一個(gè)集合，這種圖形通常叫做維恩圖．1.維恩圖封閉曲線定義符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言(Venn圖)子集如果集合A中的___________元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集.A?B(或B?A)2.子集、真子集與集合相等的概念任意一個(gè)定義符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言(Venn圖)真子集如果集合A是集合B的子集，并且B中______

________不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集A

B(或B

A)集合相等如果集合A的________

______都是集合B的元素，反過(guò)來(lái)，集合B的___________也都是集合A的元素，那么就說(shuō)集合A等于集合BA＝B至少有每一個(gè)一個(gè)元素元素每一個(gè)元素想一想1.符號(hào)“∈”與“?”有何區(qū)別？提示：(1)“∈”是表示元素與集合之間的關(guān)系，比如有1∈N，－1?N.(2)“?”是表示集合與集合之間的關(guān)系，比如有N?R，{1，2，3}?{3，2，1}．(3)“∈”的左邊是元素，右邊是集合，而“?”的兩邊均為集合．做一做在下列各關(guān)系中，正確的個(gè)數(shù)是(

)①1∈{0，1，2}；②{1}∈{0，1，2}；③{0，1，2}?{0，1，2}；④{0，1，2}＝{2，0，1}．A．1

B．2C．3 D．4答案：C(1)規(guī)定：空集是_______________的子集，也就是說(shuō)，對(duì)任意集合A，都有??A.(2)任何一個(gè)集合A都是它本身的_______，即A?A.(3)如果A?B，B?C，則_________．3.性質(zhì)任意一個(gè)集合子集A?C(4)如果A

B，B

C，則________．(5)若A?B，B?A，則A＝B；反之，____________________________．A

C若A＝B，則A?B且B?A想一想2.0，{0}，?，{?}之間有什么關(guān)系？提示：0∈{0}，0??，0?{?}，?∈{?}，?

{?}．我們可以通過(guò)判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系來(lái)判斷它們的_______________的關(guān)系；或用集合特征性質(zhì)之間的關(guān)系，判斷_________的關(guān)系.4.集合關(guān)系與其特征性質(zhì)之間的關(guān)系特征性質(zhì)之間集合之間典題例證技法歸納題型一子集、真子集的概念及應(yīng)用

設(shè)集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x?A}，求集合B.題型探究例1【解】

∵A＝{1，2，3}，∴A的子集為?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}．又∵B＝{x|x?A}，∴B＝{?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}}．【名師點(diǎn)評(píng)】集合B中的代表元素為x，x滿足的條件是x?A，即x是A的子集，即集合B是集合A的子集構(gòu)成的集合．互動(dòng)探究1.在本例中將“集合B＝{x|x?A}”改為“集合B中含有兩個(gè)元素且集合B＝{x|x∈A}”，怎樣求集合B的子集？解：由題意知B＝{1，2}或{1，3}或{2，3}，當(dāng)B＝{1，2}時(shí)，B的子集為?，{1}，{2}，{1，2}；當(dāng)B＝{1，3}時(shí)，B的子集為?，{1}，{3}，{1，3}；當(dāng)B＝{2，3}時(shí)，B的子集為?，{2}，{3}，{2，3}．

設(shè)集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，求實(shí)數(shù)x，y的值．題型二集合的相等例2【解】

∵A＝B，∴x＝0或y＝0.(1)當(dāng)x＝0時(shí)，x2＝0，則B中的元素0重復(fù)出現(xiàn)，此時(shí)集合B不滿足互異性，舍去．(2)當(dāng)y＝0時(shí)，x＝x2，解得x＝1或x＝0(舍去)，此時(shí)A＝{1，0}＝B，滿足條件．綜上可知，x＝1，y＝0.【名師點(diǎn)評(píng)】?jī)杉舷嗟瓤梢詮膬蓚€(gè)角度進(jìn)行描述：一是從元素角度，兩集合所含元素完全相同，但與集合順序無(wú)關(guān)；二是從包含角度看，A＝B?A?B且B?A.變式訓(xùn)練2.已知M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b2}，且M＝N，求a，b的值． (本題滿分12分)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B?A.求實(shí)數(shù)m的取值范圍．題型三根據(jù)集合的關(guān)系，求參數(shù)的取值范圍例3名師微博不要遺漏?的情況，B＝?是初學(xué)者易忽視的地方.【名師點(diǎn)評(píng)】

(1)A?B包括A

B和A＝B兩種情形；其中A為空集也滿足題意．(2)由集合之間的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，一般要先化簡(jiǎn)集合為最簡(jiǎn)的集合形式,借助于數(shù)軸的直觀性，轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的方程(組)或不等式(組)解決．變式訓(xùn)練3.已知A＝{x|ax－10＝0}，B＝{2，5}滿足A?B.求實(shí)數(shù)a.解：(1)當(dāng)a＝0時(shí)，A＝?，滿足A?B.(2)當(dāng)a≠0時(shí)，A可能為{2}或{5}．當(dāng)x＝2時(shí)，a＝5；當(dāng)x＝5時(shí)，a＝2.綜上，滿足條件A?B的a值為0，2，5.1.寫(xiě)出集合{a，b，c}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．解：子集為：?，{a}，，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c}．真子集為：?，{a}，，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}．備選例題2.說(shuō)出下列每對(duì)集合之間的關(guān)系．(1)A＝{a，b，c}，B＝{c，b，a}；(2)P＝{x|x是偶數(shù)}，Q＝{x|x是整數(shù)}；(3)C＝{x|x2＝4}，D＝{－2，2，0}．解：(1)集合A與B中元素完全相同，故A＝B.(2)因整數(shù)集包括偶數(shù)集和奇數(shù)集，故P

Q.(3)集合C＝{x|x2＝4}＝{－2，2}故C

D.3.若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B

A，求m的值．分析：由B

A知方程mx＋1＝0無(wú)解，或mx＋1＝0的解是方程x2＋x－6＝0的解中的一個(gè)，求出m的值．方法技巧1.元素與集合間的關(guān)系用符號(hào)“∈”或“?”表示，集合與集合間的關(guān)系用“?”、“”、“＝”或“”等表示．方法感悟2.在特定的情況下集合也可以作為元素，如集合B＝{?，{0}，{1}，{0，1}}，則此時(shí){1}∈B而不能是{1}

B.3.解集合關(guān)系的問(wèn)題時(shí)還需注意以下幾個(gè)方面：(1)當(dāng)A?B時(shí)，則A＝