1.5共軸球面組傍軸成像解析

2024/8/161共軸球面組：由球心在同一直線上的一系列折射或反射球面組成的光具組叫做共軸球面光具組。光軸：各球心的聯(lián)線叫做它的光軸。傍軸光線。對(duì)于球面來(lái)說，除了“齊明點(diǎn)”以外，其他位置發(fā)出的同心光線，經(jīng)過球面光具組后，無(wú)法再保持同心性，但傍軸光線會(huì)接近于同心性。5共軸球面組傍軸成像

單個(gè)折射球面光具組n：物方介質(zhì)的折射率n'：物方介質(zhì)的折射率C：球心Q：物點(diǎn)Q'：像點(diǎn)

軸上物點(diǎn)的折射成像Qss'rOMCn'n-u'uhQ'iHi'頂點(diǎn)：球面在光具組中的對(duì)稱點(diǎn)O

光軸：使光線不發(fā)生偏折的方向，如過球心并垂直于球面的方向

主光軸：過球面頂點(diǎn)O和球心C的連線

主截面：包含主光軸的截面

說明：

①

一個(gè)球面光具組有無(wú)數(shù)個(gè)光軸和無(wú)數(shù)個(gè)主截面，但主光軸只有一個(gè)。并且，由于軸對(duì)稱性，一般只需要討論光線在某一個(gè)主截面上的傳播規(guī)律即可。

②折射球面作為一個(gè)簡(jiǎn)單光具組，是構(gòu)成各種復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)的基本元件之一，研究球面的折射成像規(guī)律具有普遍意義：取n2=-n1，則球面折射問題轉(zhuǎn)化為球面反射問題；取r→∞，則球面的折射和反射變?yōu)槠矫娴恼凵浜头瓷洌?/p>

兩個(gè)或兩個(gè)以上折射球面構(gòu)成的光具組——透鏡或透鏡組。

5.1光在單球面上的折射圖中Σ為折射球面，其半徑為r，物點(diǎn)Q

，像點(diǎn)Q’。前后介質(zhì)折射率分別為n和n’。u與u’，分別稱“物方、像方孔徑角”；

稱“球心角”；s和s’分別稱“物方、像方截距”。光軸與球面的交點(diǎn)A稱“頂點(diǎn)”。

（1）圖中各參量約束關(guān)系：折射定律：幾何關(guān)系：正弦定理：余弦定理：利用可得：這是準(zhǔn)確的入射和出射光線間的關(guān)系（2）共心問題，共軛點(diǎn)問題，成像問題給定s后，s’隨

變化，出射光束喪失了同心性。表明這樣一個(gè)球面光具組不能使物點(diǎn)Q準(zhǔn)確成像。思考：何時(shí)具有同心性呢？何時(shí)接近具有同心性呢？同心性問題給定s，只有滿足下式，s’不隨

變化。把s和s’確定下來(lái)，結(jié)果正是齊明點(diǎn)。為了保持出射光束的同心性，必須近似處理，令則有傍軸近似下的公式由上式可得：高斯公式，物像距公式5.2軸上物點(diǎn)成像、焦距、物像距公式（1）傍軸近似、傍軸條件傍軸條件下，s’幾乎由s完全決定，此時(shí)Q和Q’可以認(rèn)為是共軛點(diǎn)，即可認(rèn)為任意物點(diǎn)Q皆可成像于某個(gè)Q’點(diǎn)。傍軸條件可表示為：或物像距公式：注意傍軸條件的相對(duì)性在物像距公式中令:得物、像方焦距公式:

平行主軸的入射光線折射后與主軸相交的位置稱為球面界面的像方焦點(diǎn)F’，從球面頂點(diǎn)A到像方焦點(diǎn)的距離稱為像方焦距f’．

軸上無(wú)窮遠(yuǎn)像點(diǎn)的共軛點(diǎn)稱為物方焦點(diǎn)，記作F，從球面頂點(diǎn)A到物方焦點(diǎn)F的距離稱為物方焦距f．（2）用焦距表示的物像距公式2024/8/16，物方焦距：物方焦點(diǎn)：，有，像方焦距：像方焦點(diǎn)：，有物像距公式可用焦距表示為：兩者之比為：F'On'n(b)像方焦點(diǎn)F'FOn'n(a)物方焦點(diǎn)F高斯形式（3）普遍情況下的物像距公式，符號(hào)約定之前公式僅限于實(shí)物、實(shí)像、折射面球心在頂點(diǎn)右側(cè)。對(duì)公式中參量做出符號(hào)約定，則可將公式推廣到普遍情形。注意：這類法則并不唯一，我們采用后述法則。3）若入射光由右向左傳播時(shí)，符號(hào)法則與上述規(guī)定相反4）各量在繪圖中均用絕對(duì)值標(biāo)示；如是字母表示，一般規(guī)定字母本身為正。設(shè)入射光從左向右傳播

1）若

和

點(diǎn)在A點(diǎn)的左方，

則

，

若

和

點(diǎn)在A點(diǎn)的右方，

則

，則，，、

2）若

和

點(diǎn)在A點(diǎn)的左方，

則，，、

若

和

點(diǎn)在A點(diǎn)的右方，

a、單球折射面成像的符號(hào)法則

小提示：實(shí)物（像）距均大于零，虛物（像）距均小于零b、單球反射面成像公式和符號(hào)法則此時(shí)F和兩F’兩個(gè)焦點(diǎn)重合球面反射成像的特點(diǎn)：可以看作是球面折射的一種特殊形式，不同之處僅在于經(jīng)球面反射的光線方向倒轉(zhuǎn)，變?yōu)閺挠蚁蜃髠鞑?。取n’=-n，并以-s’代替s’，得（傍軸條件下）球面反射成像公式:小提示：同樣是實(shí)像時(shí)為正，虛像時(shí)為負(fù)。設(shè)入射光從左向右傳播，其符號(hào)法則為：

1）若

和點(diǎn)在A點(diǎn)的左方，

則，2）其余規(guī)定與單球折射面成像的符號(hào)法則相同

若

和點(diǎn)在A點(diǎn)的右方，

則，r→∞時(shí)，球面→平面，球面折射和反射成像→平面折射和反射成像，且有

傍軸光線在平面上的折射成像公式：

傍軸光線在平面上的反射成像公式：像似深度：傍軸光線在平面上折射成像時(shí)的像距s'。說明：平面鏡是能夠理想成像的光學(xué)系統(tǒng)，而球面折射、反射以及平面折射系統(tǒng)則只有在近軸近似條件下才能準(zhǔn)確成像。

推論：

光在單個(gè)平面上的折射、反射成像5.3傍軸物點(diǎn)成像與橫向放大率

a、傍軸物點(diǎn)成像繞球心C轉(zhuǎn)一很小角度

，根據(jù)對(duì)稱性，P和P’必然也是共軛點(diǎn)，即傍軸物點(diǎn)成像。近似：弧線看作垂線，球面看作平面。

和

’是一對(duì)共軛平面，即

上的點(diǎn)都成像于

’上。

：物平面

’：像平面符號(hào)法則：或若P或P’點(diǎn)在光軸上方，則

或軸外共軛點(diǎn)的旁軸條件：若P

或P’

點(diǎn)在光軸上方，則

2024/8/16b、橫向放大率公式定義：

折射球面的橫向放大率公式：，，反射球面的橫向放大率公式：2024/8/16討論：（3）若，則為實(shí)像。

若

，則為放大像。（1）若，則為正立像。（2）若

，則為縮小像。若，則為倒立像。若，則為虛像。

（4）V和y無(wú)關(guān)，保證了共軛面內(nèi)幾何圖形的相似性。共軸球面組：由曲率中心共線的兩個(gè)或以上球面組成的光具組

含義：不僅所有球面的球心共線，且其主光軸重合

單個(gè)球面光具組的逐次成像：前一個(gè)球面光具組的出射光束（像）——后一個(gè)球面光具組的入射光束（物）共軸球面組的逐次成像d23PQynO1S1s1n'n''n'''P'P''P'''O2O3S2S3Q'Q'''Q''y'''-y''-y's3's2s1's2's3d125.4逐次成像方法

橫向放大率

結(jié)論：共軸球面組成像的橫向放大率等于各個(gè)球面逐次成像的橫向放大率之乘積共軸球面組的物像關(guān)系：

逐次成像的步驟：1）繪圖，并確定第一次成像的入射光線方向及計(jì)算的起點(diǎn)；2）確定第一次成像的各個(gè)已知量的正負(fù)和大??；3）代入相應(yīng)成像公式計(jì)算；4）檢查結(jié)果是否合理；5）利用過渡關(guān)系求出下次成像的物距，重復(fù)上述步驟逐次成像。這種方法，在逐次成像過程中，計(jì)算的起點(diǎn)每次都要改變，聯(lián)立方程后，中間像的位置很難消去，因而得到整個(gè)光具組物方量和像方量的關(guān)系式比較困難。2024/8/1625*5.5拉格朗日-亥姆霍茲定理約定：從光軸到光線的的方向?yàn)槟鏁r(shí)針時(shí)交角u為正，順時(shí)針時(shí)交角u為負(fù)。又逐次成像得：拉格朗日-亥姆霍茲定理表明ynu每次折射都不變，從而可把整個(gè)光具組的物方量和像方量聯(lián)系起來(lái)。

例題：

如圖所示，玻璃球的