現(xiàn)代控制理論(沈陽(yáng)建筑大學(xué))第三章

PAGEPAGE1第三章線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性3.1線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性3.1.1線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性（一）定義：對(duì)于系統(tǒng)若存在輸入信號(hào)u(t)，能在有限時(shí)間區(qū)間[t0，tf]內(nèi)將系統(tǒng)的任意一個(gè)初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)x(tf)，稱(chēng)x(t)在t0時(shí)刻或[t0，tf]區(qū)間上是完全能控的，或稱(chēng)系統(tǒng)在t0時(shí)刻是能控的，否則不能控。（二）性質(zhì)線性時(shí)變系統(tǒng)方程的解意義：系統(tǒng)狀態(tài)x(t0)能控，即[t0，tf]區(qū)間上受u(t)控制。（三）能控性判據(jù)[定理3.1]系統(tǒng)∑(A(t)，B(t)，C(t))在t0時(shí)刻或[t0，tf]完全能控的充要條件是矩陣Φ(t0，t)*B(t)是行線性無(wú)關(guān)的（滿(mǎn)秩的、非奇異的）。3.1.2線性定常系統(tǒng)的能控性（一）定義：對(duì)系統(tǒng)如果存在分段連續(xù)的u(t)在[t0，tf]內(nèi)，將系統(tǒng)的任一x(t0)轉(zhuǎn)移到x(tf)，稱(chēng)此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控制的，或狀態(tài)能控的。若n個(gè)狀態(tài)變量中，至少有一個(gè)狀態(tài)變量不能控時(shí)，稱(chēng)系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控或不能控。注意：1、某些狀態(tài)能控≠系統(tǒng)完全能控2、系統(tǒng)完全能控→肯定狀態(tài)能控（二）能控性判別準(zhǔn)則：三個(gè)定理[定理3.2]線性定常系統(tǒng)完全能控的充要條件是矩陣是滿(mǎn)秩的證明：線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解方程有解的充要條件是系數(shù)陣滿(mǎn)秩，即都與u有關(guān)，所以狀態(tài)完全能控，即能控例3.2有系統(tǒng)如下，判斷其是否能控解： 故它是一個(gè)三角形矩陣，斜對(duì)角線元素均為1，不論a2、a1取何值，其秩為3，系統(tǒng)總是能控的。因此把凡是具有本例形式的狀態(tài)方程，稱(chēng)之為能控標(biāo)準(zhǔn)型。[定理3.3]若線性定常系統(tǒng)的系數(shù)矩陣A有互不相同的特征值，則系統(tǒng)能控的充要條件是輸入矩陣B沒(méi)有任何一行的元素全部為零。[定理3.4]若A為約旦型，則系統(tǒng)能控的充要條件是（1）B中對(duì)應(yīng)于互異的特征值的各行，沒(méi)有一行的元素全為零。（2）B中與每個(gè)約旦塊最后一行相對(duì)應(yīng)的各行，沒(méi)有一行的元素全為零。例3.4判斷下列系統(tǒng)的能控性所以A為約旦陣，但有兩個(gè)相同特征值的約旦塊對(duì)應(yīng)b雖為最后一行全為0的元素行，仍不能控，可算出rank[M]<3.結(jié)論：系統(tǒng)的能控性，取決于狀態(tài)方程中的A和B。3.2線性定常離散系統(tǒng)的能控性3.2.1定義對(duì)于線性定常離散系統(tǒng)x(k＋1）＝Gx(k)+Hu(k)如果存在控制信號(hào)序列u(k)、u(k+1)…u(n-1)，使得系統(tǒng)從第k步狀態(tài)x(k)開(kāi)始，能在第n步上達(dá)到零狀態(tài)（平衡狀態(tài)），即x(n)＝0，其中n為大于k的某一個(gè)有限正整數(shù)，稱(chēng)系統(tǒng)在第k步上是能控的，x(k)稱(chēng)為系統(tǒng)在第k步上的能控狀態(tài)。如果對(duì)于任一個(gè)k，第k步上的狀態(tài)x(k)都是能控狀態(tài)，則系統(tǒng)都完全能控，稱(chēng)系統(tǒng)完全能控。注意：控制信號(hào)序列有限，但規(guī)律和大小沒(méi)有限制。3.2.2判別準(zhǔn)則[定理3.5]線性定常離散系統(tǒng)∑(G，H)狀態(tài)能控的充要條件是能控性矩陣證明：離散系統(tǒng)解：假設(shè)能控，經(jīng)n步，x(k)=x(n)=0寫(xiě)成其中[u(0)…u(n-1)]T為n個(gè)未知，方程有解的充要條件是系數(shù)陣滿(mǎn)秩，即說(shuō)明：形式上同連續(xù)系統(tǒng)，AB→GH例3.5已知判斷是否能控。解：說(shuō)明：也可把矩陣G化為對(duì)角形或約旦標(biāo)準(zhǔn)型后，按定理3.3、3.4判別系統(tǒng)是否能控。3.3線性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性3.3.1線性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性的定義對(duì)于系統(tǒng)如果對(duì)任意給定的u(t)，在有限觀測(cè)時(shí)間內(nèi)[t0~tf]內(nèi)測(cè)量值，就能唯一地確定x(t0),則稱(chēng)x(t0)是能觀的，如果每個(gè)x(t0)是能觀，稱(chēng)狀態(tài)完全能觀，簡(jiǎn)稱(chēng)狀態(tài)能觀。3.3.2判別準(zhǔn)則[定理3.7]線性定常系統(tǒng)∑(A,B,C)狀態(tài)能觀測(cè)的充要條件是。系統(tǒng)能觀測(cè)性與輸入向量無(wú)關(guān)，令u(t)=0,t0=0可見(jiàn)，根據(jù)在[0,tf]量測(cè)的y(t),能將初始狀態(tài)x(0)唯一地確定下來(lái)地充要條件是。例若系統(tǒng)為試判斷系統(tǒng)的能觀測(cè)性。例：對(duì)于能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型判斷系統(tǒng)的能觀性。解：由，，即：，所以系統(tǒng)能觀。[定理3.8]若矩陣A有互不相同的特征值，則系統(tǒng)能觀測(cè)的充要條件是輸出矩陣C沒(méi)有任何一列的元素全部為0。[定理3.6]若矩陣A為約旦型，則系統(tǒng)能觀測(cè)的充要條件是（1）輸出矩陣C中對(duì)應(yīng)于互異特征值的各列，沒(méi)有一列的元素全為0。（2）C中與每個(gè)約旦塊的第一列相對(duì)應(yīng)的各列，沒(méi)有一列的元素全為0。例3.10下列的一些系統(tǒng)是完全能觀測(cè)的下列的系統(tǒng)是不完全能觀測(cè)的3.3.3線性定常離散系統(tǒng)的能觀測(cè)性（一）定義：當(dāng)u(k)給定，根據(jù)第i步，以及以后若干步對(duì)y(i),y(i+1)…y(n)的測(cè)量，就唯一地確定出第i步的x(i)，稱(chēng)x(i)是能觀的。如果每個(gè)x(i)都能觀，稱(chēng)狀態(tài)完全能觀，簡(jiǎn)稱(chēng)狀態(tài)能觀。（二）判別準(zhǔn)則[定理3.10]線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)能觀測(cè)的充要條件是。[證明]假設(shè)觀測(cè)從第0步開(kāi)始，令u(k)＝0，則遞推求解：矩陣形式：即，有解的充要條件是系數(shù)矩陣滿(mǎn)秩。從測(cè)量的要唯一地確定出的充要條件是：3.4能控性與能觀性的對(duì)偶原理對(duì)偶原理是現(xiàn)代控制理論中的重要概念，利用該概念，可以將系統(tǒng)能控性分析的結(jié)果，轉(zhuǎn)化到能觀測(cè)性分析中去。本節(jié)內(nèi)容3.4.1線性系統(tǒng)的對(duì)偶關(guān)系3.4.2對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣3.4.3能控性和能觀測(cè)性的對(duì)偶關(guān)系3.4.1線性系統(tǒng)的對(duì)偶關(guān)系若系統(tǒng)S1的狀態(tài)空間描述為：系統(tǒng)S2的狀態(tài)空間描述為：則稱(chēng)系統(tǒng)S1和系統(tǒng)S2互為對(duì)偶的。兩個(gè)互為對(duì)偶系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：對(duì)偶系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖對(duì)偶系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖中：輸入端和輸出端互換，信號(hào)傳遞方向相反，信號(hào)引出點(diǎn)和綜合點(diǎn)互換，各矩陣轉(zhuǎn)置。3.4.2對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣定理：用F(t,t0)和Fd(t,t0)分別表示原系統(tǒng)與其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，則兩者具有對(duì)偶關(guān)系證明：按定義，對(duì)偶系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Fd(t,t0)滿(mǎn)足矩陣方程而原系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣F(t,t0)滿(mǎn)足比較由微分方程初值問(wèn)題解的唯一性，就有3.4.3能控性和能觀測(cè)性的對(duì)偶關(guān)系定理原系統(tǒng)完全能控?對(duì)偶系統(tǒng)完全能觀測(cè)；原系統(tǒng)完全能觀測(cè)?對(duì)偶系統(tǒng)完全能控。證明：原系統(tǒng)完全能控?存在t1>t0，使比較對(duì)偶系統(tǒng)能觀測(cè)Gram矩陣原系統(tǒng)完全能控?對(duì)偶系統(tǒng)完全能觀測(cè)。同樣，原系統(tǒng)完全能觀測(cè)?存在t1>t0，使?對(duì)偶系統(tǒng)完全能控作為例子，下面由定常系統(tǒng)的能控性判據(jù)，通過(guò)對(duì)偶原理，推導(dǎo)對(duì)應(yīng)的能觀測(cè)性判據(jù)。例線性定常系統(tǒng)S[A,B]完全能觀測(cè)?對(duì)偶系統(tǒng)完全能控，即而線性定常系統(tǒng)S[A,B]完全能觀測(cè)的充分必要條件是，能觀測(cè)性矩陣的秩為n。例(PBH)線性定常系統(tǒng)S[A,B]完全能觀測(cè)?對(duì)偶系統(tǒng)完全能控，即3.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解（1）當(dāng)系統(tǒng)不能控或不能觀測(cè)時(shí)，并不是所有狀態(tài)都不能控或不能觀測(cè)（可通過(guò)坐標(biāo)變換對(duì)狀態(tài)空間進(jìn)行分解。）（2）把狀態(tài)空間按能控性或能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。3.5.1結(jié)構(gòu)分解舉例系統(tǒng)：經(jīng)過(guò)變換后：由前述定理可知：,能控，,不能控能觀測(cè)，不能觀系統(tǒng)有：（1）能控能觀（2）能控不能觀（3）不能控能觀（4）不能控不能觀結(jié)構(gòu)圖：(1)令：，則：同左乘：(2)3.5.2系統(tǒng)按能控性分解定理：設(shè)系統(tǒng)∑(A,B,C)不能控，則rank[M]=rank[B,AB…An-1B]=r<n，必存在一非奇異矩陣T=Rc，使得,則系統(tǒng)得狀態(tài)空間被分解成能控和不能控的兩部分變換矩陣T的求法：（1）從M=[B,AB…An-1B]中選擇r個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量。（2）以（1）求得的列向量，作為T(mén)的前r個(gè)列向量，其余列向量可以在保持T為非奇異的情況下，任意選擇。說(shuō)明：（1）系統(tǒng)按能控性分解后，其能控性不變。（2）系統(tǒng)按能控性分解后，其傳遞函數(shù)陣不變。3.5.3系統(tǒng)按能觀測(cè)性分解定理設(shè)系統(tǒng)∑(A,B,C)不能觀，則，則存在非奇異矩陣,使得：原狀態(tài)方程被分解成能觀和不能觀測(cè)的兩部分變換矩陣Ro的求法：(1)從矩陣中l(wèi)個(gè)線性無(wú)關(guān)向量(2)以(1)中求得的行向量作為的前個(gè)行向量，其余行向量可以在保證為非奇異的條件下任選。例3.16設(shè)線性定常系統(tǒng)如下，判別其能觀性，若不是完全能觀的，將該系統(tǒng)按能觀性進(jìn)行分解。解：系統(tǒng)的能觀性判別矩陣所以該系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能觀的。為構(gòu)造非奇異變換陣，取得，其中,是在保證非奇異的條件下任意選取的。于是系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式變換為3.6狀態(tài)空間表達(dá)式的能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式也不是唯一的。在實(shí)際應(yīng)用中，常常根據(jù)所研究的問(wèn)題的需要，將狀態(tài)空間表達(dá)式化為相應(yīng)的幾種標(biāo)準(zhǔn)形式：如約旦標(biāo)準(zhǔn)型對(duì)于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算，可控性和可觀性的分析十分方便；能控標(biāo)準(zhǔn)型對(duì)于系統(tǒng)的狀態(tài)反饋分析比較方便；能觀標(biāo)準(zhǔn)型對(duì)于系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)以及系統(tǒng)辨識(shí)比較方便。將狀態(tài)空間表達(dá)式化為能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型的理論依據(jù)是狀態(tài)非奇異變換不改變其能控性和能觀性。但是，只有當(dāng)狀態(tài)完全可控時(shí)才存在可控標(biāo)準(zhǔn)型，只有當(dāng)狀態(tài)完全可觀時(shí)才存在可觀標(biāo)準(zhǔn)型。所以在將狀態(tài)空間表達(dá)式化為能控能觀標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)必須首先判斷系統(tǒng)的能控能觀性。3.6.1單輸入系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型(1)能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型只有當(dāng)狀態(tài)完全能控時(shí)才存在能控標(biāo)準(zhǔn)型。設(shè)線性定常單輸入系統(tǒng)是可控的，則存在線性非奇異變換其中如下所示。設(shè)經(jīng)非奇異變換后的系統(tǒng)為，稱(chēng)如上式的狀態(tài)空間表達(dá)式為能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型。其中（）為特征多項(xiàng)式：的各項(xiàng)系數(shù)。采用能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型的，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)非常方便。從上式可以看出，傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)是的最后一行的元素的負(fù)值；分子多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)是陣的元素。同樣可以根據(jù)傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式和分子多項(xiàng)式的系數(shù)，可以直接寫(xiě)出系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型。(2)能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型設(shè)線性定常單輸入系統(tǒng)是可控的，則存在線性非奇異變換其中如下所示。設(shè)經(jīng)非奇異變換后的系統(tǒng)為另一個(gè)能控標(biāo)準(zhǔn)型為取稱(chēng)形如上式的狀態(tài)空間表達(dá)式為能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型。3.6.2單輸出系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)型與變換為能控標(biāo)準(zhǔn)型的條件類(lèi)似，只有當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式才可能化為能觀標(biāo)準(zhǔn)型。(1)能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型設(shè)線性定常單輸入系統(tǒng)是可控的，則存在線性非奇異變換其中如下所示。設(shè)經(jīng)非奇異變換后的系統(tǒng)為稱(chēng)如上式的狀態(tài)空間表達(dá)式為能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型。其中（）為特征項(xiàng)式：的各項(xiàng)系數(shù)。(2)能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型設(shè)線性定常單輸入系統(tǒng)是可控的，則存在線性非奇異變換其中如下所示。設(shè)經(jīng)非奇異變換后的系統(tǒng)為稱(chēng)如上式的狀態(tài)空間表達(dá)式為能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型。其中（）為特征項(xiàng)式：的各項(xiàng)系數(shù)。由上可知，能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ和能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ互為對(duì)偶；能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ和能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ互為對(duì)偶。3.7系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣的實(shí)現(xiàn)3.7.1概念：根據(jù)給定的傳遞函數(shù)陣，求其相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式使其滿(mǎn)足，稱(chēng)該狀態(tài)空間表達(dá)式為傳遞函數(shù)陣的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。3.7.2實(shí)現(xiàn)的目的是為了仿真（做模仿）通過(guò)模擬結(jié)構(gòu)圖，用積分器、加法器等（集成電路塊）連接試驗(yàn)，物理可實(shí)現(xiàn)條件為1、中的每一個(gè)元素的分子分母多項(xiàng)式的系數(shù)均為實(shí)常數(shù)。2、中每一個(gè)元素均為s的真有理分式函數(shù)3.7.3如何實(shí)現(xiàn)：狀態(tài)變量的選擇有無(wú)窮多組，實(shí)現(xiàn)的方法有無(wú)窮多。單變量系統(tǒng)可以根據(jù)直接寫(xiě)出其能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)和能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)?？梢詫屋斎雴屋敵鐾茝V到多輸入多輸出系統(tǒng)維的傳遞函數(shù)陣寫(xiě)成和單輸入單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)類(lèi)似的形式： 式中為維常數(shù)陣；分母多項(xiàng)式為該傳遞函數(shù)的特征多項(xiàng)式。傳遞函數(shù)的能控型實(shí)現(xiàn)為： 和為階零矩陣；為輸入矢量的維數(shù)。與此類(lèi)似，其能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)為： 式中，和為階零矩陣；為輸入矢量的維數(shù)。3.7.4最小實(shí)現(xiàn)（1）定義：若的一個(gè)實(shí)現(xiàn)為 （1）如果不存在其他實(shí)現(xiàn) （2）使的維數(shù)小于的維數(shù)，則稱(chēng)(1)式的實(shí)現(xiàn)為的最小實(shí)現(xiàn)。（2）定理：的一個(gè)實(shí)現(xiàn) 為最小實(shí)現(xiàn)的充要條件是不但能控而且能觀。（3）確定最小實(shí)現(xiàn)的步驟1、對(duì)初選一種實(shí)現(xiàn)，通常選取能控或能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，檢查其實(shí)現(xiàn)的能控性（或能觀性），若為能控又能觀則(A,B,C)便是最小實(shí)現(xiàn)。2、否則對(duì)以上標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解，找出其完全能控又完全能觀的子系統(tǒng)，這便是的一個(gè)最小實(shí)現(xiàn)。3.8能控性和能觀性與傳遞函數(shù)陣的關(guān)系描述系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)特性的能控性和能觀測(cè)性，與描述系統(tǒng)外部特性的傳遞函數(shù)之間，是必然存在密切關(guān)系的，這里揭示出能控性、能觀測(cè)性與傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象之間的關(guān)系，可用來(lái)判斷單輸入-單輸出系統(tǒng)的能控性、能觀測(cè)性；傳遞函數(shù)矩陣的行或列的線性相關(guān)性，可用來(lái)判斷多輸入-多輸出系統(tǒng)的能控性、能觀測(cè)性。這是又一種判斷系統(tǒng)的能控性、能觀測(cè)性的判據(jù)，是在s域內(nèi)的判據(jù)。定理3.12：對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)，如果其傳遞函數(shù)存在零極點(diǎn)對(duì)消，則由狀態(tài)變量選擇而定，要么能控不能觀，要么能觀不能控，或既不能控也不能觀，若沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消，則狀態(tài)能控能觀。證明：對(duì)于有互不相同的從狀態(tài)空間看：從傳遞函數(shù)陣看：，其中：故1、沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消，能控能觀，即 2、有零極點(diǎn)對(duì)消，就會(huì)存在由定理可得以下推論：推論：所表示的僅僅是該系統(tǒng)既能觀又能控的那一部分子系統(tǒng)，所以是系統(tǒng)的一種不完整描述若有零極點(diǎn)對(duì)消，就會(huì)出現(xiàn)不能控或不能觀。定理3.13：對(duì)于多變量系統(tǒng)，系統(tǒng)能控又能觀的充分條件是其傳遞函數(shù)陣中無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消。（不是必要條件）。例3-12

已知下列動(dòng)態(tài)方程，試研究能控性、能觀測(cè)性與傳遞函數(shù)的關(guān)系：1．2．3．1． 2． 3． 解三個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：存在零極點(diǎn)的對(duì)消對(duì)象。1．，；，對(duì)為能控標(biāo)準(zhǔn)形，故能控，則不可觀測(cè)；2．對(duì)為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形，故能觀測(cè)，則不可控；3．用陣對(duì)角化后的輸入、輸出矩陣可判斷不能控、不能觀測(cè)。例3-13設(shè)有兩個(gè)能控、能觀測(cè)的單輸入-單輸出系統(tǒng)和相串聯(lián)，其動(dòng)態(tài)方程分別為：：，式中；；：，式中，，試寫(xiě)出串聯(lián)連接系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程（設(shè)）；考察串聯(lián)連接系統(tǒng)的能控性、能觀測(cè)性；求、及串聯(lián)連接系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，并驗(yàn)證能控性和觀測(cè)性結(jié)果。解

1.求串聯(lián)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程：輸入為，輸出為，利用串聯(lián)連接條件，有：寫(xiě)出分塊矩陣形式：令，則串聯(lián)連接系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：；式中；；2.求串聯(lián)系統(tǒng)的可控性、可觀測(cè)性：故不能控； 故能觀測(cè)。原來(lái)是能控能觀測(cè)的系統(tǒng)，如圖2-2串聯(lián)連接后變成不能控、能觀測(cè)的了。若改變圖2-2串聯(lián)連接的順序，則串聯(lián)系統(tǒng)將變成能控、不能觀測(cè)的。3.

、的傳遞函數(shù)分別為：串聯(lián)連接系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：顯見(jiàn)存在零極點(diǎn)對(duì)消，使特征方程階次降低，故不能控。一、多輸入-多輸出系統(tǒng)多輸入-多輸出系統(tǒng)傳遞矩陣存在零極點(diǎn)對(duì)消時(shí)，系統(tǒng)并非一定是不能控或不能觀測(cè)的，這時(shí)需利用傳遞矩陣中的行或列向量的線性相關(guān)性來(lái)作出判斷。傳遞矩陣的元素一般是的多項(xiàng)式。設(shè)表示為列向量組：若存在不全為零的實(shí)常數(shù)使下式 (3-101)成立，則稱(chēng)是線性相關(guān)的，若只有當(dāng)全為零時(shí)，式(2-101)才成立，則稱(chēng)是線性無(wú)關(guān)的。有如下判據(jù)：1．

多輸入系統(tǒng)能控的充要條件是：的行線性無(wú)關(guān)。證明

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：，兩端取拉氏變換，令初始條件為零，有 (3-102)該式表明乃是輸入向量與狀態(tài)向量間的傳遞矩陣。由于，故；定常系統(tǒng)中的陣為常數(shù)矩陣，于是有： (3-103)展開(kāi)左端： (3-104)式中為階單位矩陣，為寫(xiě)面矩陣形式而引入的，其為維矩陣，其中的行與列均線性無(wú)關(guān)。當(dāng)維可控性矩陣行線性無(wú)關(guān)時(shí)，其及其必行線性無(wú)關(guān)，故系統(tǒng)可控的充要條件可表示為：的行線性無(wú)關(guān)。2．

多輸出系統(tǒng)能觀測(cè)的充要條件是：的列線性無(wú)關(guān)。證明

研究能觀測(cè)性時(shí)，可不失一般性地假定系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：；兩端取拉氏變換：故

(3-105)該式表明乃是初始狀態(tài)向量與輸出向量間的傳遞矩陣。定常系統(tǒng)中陣為常數(shù)矩陣，于是有：

(3-106)展開(kāi)右端：

(3-107)式是為階單位矩陣，為寫(xiě)成矩陣形式而引入的，其為維矩陣，其中的行與列均線性無(wú)關(guān)。當(dāng)維可觀測(cè)性矩陣列線性無(wú)關(guān)時(shí)，其及其必列線性無(wú)關(guān)，故系統(tǒng)可觀測(cè)的充要條件可表示為：的列線性無(wú)關(guān)。運(yùn)用以上判據(jù)判斷多輸入-多輸出系統(tǒng)的能控性、能觀測(cè)性時(shí)，只需檢查行或列的線性相關(guān)性，至于傳遞矩陣中是否出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消是無(wú)妨的。以上判據(jù)也可適用于單輸入-單輸出系統(tǒng)，不過(guò)，線性無(wú)關(guān)時(shí)必不存在零極點(diǎn)對(duì)消，線性相關(guān)時(shí)必有零極點(diǎn)對(duì)消，也就是說(shuō)，它們是一致的。例2-16

試判斷下列比輸入-雙輸出系統(tǒng)的能控性、能觀測(cè)性：，式中解

計(jì)算能控性陣、能觀測(cè)性陣的秩：，故能控。，故能觀測(cè)。計(jì)算傳遞矩陣（將公因子析出矩陣以外以便判斷）：由于故

①為判斷三行線性相關(guān)性，試看下列方程解的性質(zhì)：

②分為兩個(gè)方程：解得：

：利用同次項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等的條件，得。故只有時(shí)，才能滿(mǎn)足方程②，可判斷①式中三行線性無(wú)關(guān)，故系統(tǒng)能控，與零極點(diǎn)存在對(duì)消現(xiàn)象無(wú)關(guān)。由于為判斷三列線性相關(guān)性，試看下列方程解的性質(zhì)：

③分為：解得，故③式中三列線性無(wú)關(guān)，系統(tǒng)能觀測(cè)，與零極點(diǎn)對(duì)消無(wú)關(guān)。例3-17試判斷下列單輸入-單輸出系統(tǒng)的能控性、能觀測(cè)性：，式中解

計(jì)算能控性陣、能觀測(cè)性陣的秩：，故不可控。，故不可觀測(cè)。計(jì)算傳遞矩陣：由分為兩個(gè)方程得：可求得不全零的使④式成立，故不能觀測(cè)。由

⑤分為：，得任意，可求得不全零的使⑤式成立，三行線性相關(guān)，故系統(tǒng)不能控。由傳遞函數(shù)存在零極點(diǎn)對(duì)消，也可得出不能控、不能觀測(cè)的相同結(jié)論。本章小結(jié)能控性和能觀測(cè)性是現(xiàn)代控制理論中兩個(gè)重要的基本概念，由Kalman于1960年提出。能控性是u(t)支配x(t)的能力，回答u(t)能否使x(t)作任意轉(zhuǎn)移的問(wèn)題；能觀性是y(t)反應(yīng)x(t)的能力，回答是否能通過(guò)y(t)的量測(cè)來(lái)確定x(t)的問(wèn)題。例：分析：與輸入無(wú)關(guān)，不能控，能控，不完全能控。y=+,或都能對(duì)y產(chǎn)生影響，通過(guò)y能確定或，能觀測(cè)。能控能觀是最優(yōu)制和最優(yōu)估計(jì)的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)。定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性判定定理：線性定常系統(tǒng)完全能控的充要條件是矩陣是滿(mǎn)秩的。定理：若線性定常系統(tǒng)的系數(shù)矩陣A有互不相同的特征值，則系統(tǒng)能控的充要條件是輸入矩陣B沒(méi)有任何一行的元素全部為零。定理：若A為約旦型，則系統(tǒng)能控的充要條件是（1）B中對(duì)應(yīng)于互異的特征值的各行，沒(méi)有一行的元素全為零。（2）B中與每個(gè)約旦塊最后一行相對(duì)應(yīng)的各行，沒(méi)有一行的元素全為零。定常連續(xù)系統(tǒng)能觀性判定定理：線性定常系統(tǒng)∑(A,B,C)狀態(tài)能觀測(cè)的充要條件是定理：若矩陣A有互不相同的特征值，則系統(tǒng)能觀測(cè)的充要條件是輸出矩陣C沒(méi)有任何一列的元素全部為0。定理：若矩陣A為約