第二章邏輯代數(shù)基礎

《數(shù)字電子技術基礎》

（第五版）教學課件

信息科學與工程學院·基礎電子教研室《數(shù)字電子技術基礎》第五版第二章邏輯代數(shù)基礎內容提要本章介紹分析數(shù)字邏輯功能的數(shù)學方法。首先介紹邏輯代數(shù)的基本運算、常用公式和基本定理，然后介紹邏輯代數(shù)及其表示方法、邏輯函數(shù)的化簡。重點掌握卡諾圖化簡邏輯函數(shù)。本章的內容2.1概述2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.4邏輯代數(shù)的基本定理2.5邏輯函數(shù)及其表示方法2.6邏輯函數(shù)的化簡方法2.7具有無關項的邏輯函數(shù)及其化簡2.1概述二值邏輯：只有兩種對立邏輯狀態(tài)的邏輯關系。邏輯運算：二進制數(shù)碼“0”和“1”表示不同的邏輯狀態(tài)，并按某種因果關系進行推理運算。三種基本邏輯運算：“與”、“或”、“非”數(shù)字電路是一種開關電路，輸入、輸出量是高、低電平。輸入量和輸出量之間的關系是一種邏輯上的因果關系。數(shù)字電路可以用邏輯函數(shù)的的數(shù)學工具----布爾代數(shù)來描述。數(shù)字電路的特點及描述工具在邏輯代數(shù)中，邏輯函數(shù)的變量只能取兩個值（二值變量），即0和1，中間值沒有意義，這里的0和1只表示兩個對立的邏輯狀態(tài)，如電位的低高（0表示低電位，1表示高電位）、開關的開合等。1、“與”邏輯A、B條件都具備時，事件Y才發(fā)生。YAB一、三種基本運算-----與(AND)、或(OR)、非(NOT)ABY斷斷斷通通斷通通滅滅滅亮2.2邏輯代數(shù)的基本運算ABY斷斷斷通通斷通通滅滅滅亮邏輯代數(shù)的描述方法ABY真值表用0表示開關斷開、1表示開關閉合用0表示燈滅、1表示燈亮000010100111邏輯代數(shù)的描述方法邏輯式邏輯符號真值表ABY000010100111Y=A?B或AB0?0=00?1=01?0=01?1=1有0出0，全1出1。2、“或”邏輯A、B只有一個條件具備時，事件Y才發(fā)生。ABY斷斷斷通通斷通通滅亮亮亮AYB邏輯代數(shù)的描述方法邏輯式邏輯符號真值表ABY000011101111Y=A+B0+0=00+1=11+0=11+1=1有1出1，全0出0。3、“非”邏輯AYRAY0110邏輯式真值表A條件具備時，事件

Y不發(fā)生；A不具備時，事件Y才發(fā)生。注：上式也可寫成有1出0，有0出1二、幾種常用的邏輯運算“與”、“或”、“非”是三種基本的邏輯運算，任何其它的邏輯運算都以它們?yōu)榛A表示。邏輯符號①與非邏輯（NAND）AB

Y與非：條件A、B都具備，則Y不發(fā)生。001101011110AB

Y②或非邏輯（NOR）001101011000條件A、B任一具備，則Y不發(fā)生。③與或非邏輯（AND-NOR）ABCDY00000000111111110000111100001111001100110011001101010101010101011110111011100000當A，B不同時輸出Y為1；而A，B相同時輸出Y為0，即“相異為1，相同為0”。ABY001101010110④異或邏輯（EXCLUSIVEOR）ABY當A，B相同時輸出Y為1；當A，B不同時輸出Y為0，即“相異為0，相同為1”。001101011001⑤同或邏輯（EXCLUSIVENOR）與或非Y=A?BY=A+BY=AB?異或同或2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式邏輯代數(shù)的基本公式見下表2.3.1邏輯代數(shù)的基本公式19200AB0011011AB摩根定理00011110110010101110可以用列真值表的方法證明：11100100

AB【例1】用列真值表的方法證明：0110100110010110110010101920此外，(A的個數(shù)為偶數(shù))(A的個數(shù)為奇數(shù))2.3.2邏輯代數(shù)的常用公式（1）A+AB=A證明：利用運算規(guī)則可以對邏輯式進行化簡。例如：被吸收A+A?B=A?(1+B)=A

?1=A在兩個乘積項相加時，若其中一項以另一項為因子，則該項是多余的，可以刪去。證明：被吸收兩個乘積項相加時，如果一項取反后是另一項的因子，則此因子是多余的，可以消去?！部衫没竟剑篈+BC=(A+B)(A+C)證明※變量A和包含A的和相乘時，其結果等于A，即可以將和消掉。當兩個乘積項相加時，若它們分別包含B和兩個因子而其他因子相同，則兩項定能合并，且可將B和消去。證明：1吸收若兩個乘積中分別包含A和兩個因子，而這兩個乘積項的其余因子組成第三個乘積項時，則第三個乘積項能消去。2.4邏輯代數(shù)的基本定理2.4.1代入定理

在任何一個包含變量A的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中所有A的位置，則等式成立。例如，已知

(反演律)，若用B+C代替等式中的B，則可以得到適用于多變量的反演律，即

2.4.2反演定理注意以下兩條規(guī)則：①需遵守“先括號，然后乘，最后加”的運算優(yōu)先次序。②不屬于單個變量上的反號應保留不變。對于任意一個邏輯式Y，若將其中所有的“?”換成“+”，“+”換成“?”，0換成1，1換成0,原變量換成反變量，反變量換成原變量,則得到結果就是反函數(shù)?！纠縔=(A+B)C【例】Y=A(B+C)+CD注意：加括號的目的是保證優(yōu)先級【例】2.4.3對偶定理對于任何一個邏輯式Y，若將其中的“?”換成“+”，“+”換成“?”，0換成1，1換成0，則得到的一個新邏輯式YD，這就是Y的對偶式?！纠繉ε级ɡ恚喝魞蛇壿嬍较嗟?，則它們的對偶式也相等。小結基本要求：熟練掌握邏輯代數(shù)的一些常用公式，要求會靈活運用；2.掌握真值表法證明函數(shù)式的方法；3.了解邏輯代數(shù)的3個定理，會用定理求反函數(shù)及對偶式。2.5邏輯函數(shù)及其表示方法2.5.1邏輯函數(shù)任何一件具體的因果關系都可以用一個邏輯函數(shù)來描述。

以邏輯變量為輸入，運算結果為輸出，則輸入、輸出間的關系稱為邏輯函數(shù)。BACYY=F(A,B,C)例如，右圖是一個舉重裁判電路，若以1表示開關閉合，0表示開關斷開；以1表示燈亮，0表示燈暗，則指示燈Y是開關A，B，C的二值邏輯函數(shù)，即2.5.2邏輯函數(shù)的表示方法一、邏輯真值表ABCY00000101001110010111011100000111真值表：將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對應地列出。優(yōu)缺點直觀明廖。輸入確定后，可從真值表直接查到對應輸出，集成電路（IC）手冊常用它描述器件的邏輯功能。能方便得將實際問題抽象為數(shù)學問題。不適用于變量較多的情況。請注意

n個變量可以有2n個組合，一般按二進制數(shù)的順序，輸出與輸入狀態(tài)一一對應，列出所有可能的狀態(tài)。BACY二、邏輯函數(shù)式把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關系寫成與、或、非等邏輯運算的組合式，即邏輯代數(shù)式，又稱為邏輯函數(shù)式，通常采用“與或”的形式。Y=A·（B+C）優(yōu)缺點書寫簡潔、方便；便于用邏輯圖實現(xiàn)。不如真值表直觀。便于利用公式定理進行運算、變換；三、邏輯圖把相應的邏輯關系用邏輯符號和連線表示出來?！纠縔=A·（B+C）更接近于工程實際，與實際使用的電路器件有明顯的對應關系。

將輸入變量所有取值可能與對應輸出按時間順序排列起來畫成時間波形。四、波形圖ABCY邏輯函數(shù)的表示方法⑴邏輯真值表：將輸入變量所有的取值下對應的輸出值找出來，列成表格。⑵邏輯函數(shù)式：把輸出與輸入之間的邏輯關系寫成與，或，非等運算的組合式。⑶邏輯圖：將邏輯函數(shù)中各變量之間的與、或、非等邏輯關系用圖形符號表示出來。(4)波形圖:將輸入變量所有取值可能與對應輸出按時間順序排列起來畫成時間波形。五、各種表示方法間的互相轉換(1)真值表-----邏輯函數(shù)式一般分為下面三步：首先，找出真值表中使邏輯函數(shù)Y=1的輸入變量取值組合；其次，每組輸入變量取值的組合對應一個乘積項，其中取值為1的寫入原變量，取值為0的寫如反變量；最后，將這些乘積項相加，即得到Y的邏輯函數(shù)式。1、真值表與邏輯函數(shù)式互相轉換ABCY00000101001110010111011100100101【例】寫出下列真值表對應的函數(shù)式。第一步，找出使輸出Y=1的各組合。第二步，各組合寫成乘積項形式。第三步，各乘積項相加。（2）邏輯式-----真值表將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一代入邏輯式求出函數(shù)值，列成表。ABCY000001010011100101110111010001000100100100101111【例】已知邏輯函數(shù)求它對應的真值表。（1）邏輯式-----邏輯圖用圖形符號代替邏輯式中的運算符號?！纠恳阎壿嫼瘮?shù)為試畫出對應的邏輯圖。ABBC解：2.邏輯式與邏輯圖的相互轉換（2）邏輯圖-----邏輯式從輸入端到輸出端逐級寫出每個圖形符號對應的邏輯式?！纠繉懗鲇覉D的邏輯函數(shù)式。先寫出符號對應的邏輯式子分析電路設計電路數(shù)字電路→邏輯圖→邏輯函數(shù)式→真值表→分析邏輯功能。實際問題→真值表→邏輯函數(shù)式→邏輯圖→設計完成數(shù)字電路。小結基本要求：

1.掌握基本公式和常用公式

2.了解邏輯函數(shù)三種描述方法的特點，掌握他們之間的轉換方法作業(yè)【題2.1】（5）、（6）【題2.3】（a）【題2.7】（a）2.5.3邏輯函數(shù)的兩種標準形式一、最小項n個變量的最小項有多少個？在n個變量邏輯函數(shù)中，若m為包含n個因子的乘積項，而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)一次，則稱m為該組變量的最小項。例如：3變量A、B、C的最小項包括？思考：2n個。三變量（A、B、C）最小項的編號表：001111110011010101234567m2m3m4m5m6m700000011m0m1①在輸入變量的任何取值下有一個最小項，而且僅有一個最小項的值為1。②全體最小項和為1。③任意兩個最小項的乘積為0。④具有相鄰性的兩個最小項之和可以合并成一項并消去一對因子。①在輸入變量的任何取值下有一個最小項，而且僅有一個最小項的值為1。②全體最小項和為1。③任意兩個最小項的乘積為0。④具有相鄰性的兩個最小項之和可以合并成一項并消去一對因子。相鄰相鄰二、最大項n個變量的最大項有多少個？在n變量邏輯函數(shù)中，若M為n個變量之和，而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在M中出現(xiàn)一次，則稱M為該組變量的最大項。例如：3變量A、B、C的最大項包括？思考：2n個。三變量（A、B、C）最大項的編號表：0000M0001111110011010101234567M2M3M4M5M6M70011M1相鄰①在輸入變量的任何取值下，必有一個最大項，而且只有一個最大項的值為0。②全體最大項之積為0。③任意兩個最大項之和為1。④只有一個變量不同的兩個最大項的乘積等于各相同變量之和。最小項和最大項的關系：

如果在一個與或表達式中，所有與項均為最小項，則稱這種表達式為最小項表達式，或稱為標準與或式、標準積之和式。三、邏輯函數(shù)的兩種標準形式1.邏輯函數(shù)的最小項之和形式——標準與或式例如：可以把任何一個邏利用基本公式輯函數(shù)化為最小項之和的標準形式?！纠?】較常用【例2】2.邏輯函數(shù)的最大項之積形式——標準或與式

如果已知邏輯函數(shù)Y=∑mi時，定能將Y化成編號i以外的那些最大項的乘積?！纠?】將化成最大項之積的形式。

【例2】將化成最大項之積形式【例3】將下面的邏輯函數(shù)最小項之和形式?！揪毩曨}】分析電路實現(xiàn)的邏輯功能。ABY【練習題】求最小項和最大項。小結基本要求：1.掌握最小項和最大項的概念；2.掌握邏輯函數(shù)兩種標準形式的求法。作業(yè)【題2.7】（a）【題2.10】（1）（3）【題2.11】（1）（3）2.5.4邏輯函數(shù)形式的變換（1）與或式：（2）與非-與非式：取兩次反用摩根定理變換常用一個邏輯函數(shù)的真值表是唯一的，而函數(shù)表達式卻有很多，常用的有與或、與非－與非、或非－或非、與或菲等，它們之間可相互轉換。

（3）與或非式：用摩根定理變換（4）或非-或非式：用摩根定理變換最簡××式： 如最簡與或式，指包含的乘積項最少，且每個乘積項里的因子也不能再少。

最簡××式變換成其它形式的邏輯式時，結果不一定最簡。公式法化簡的原理是反復使用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式消去函數(shù)式中多余的乘積項和多余因子，來得到最簡函數(shù)形式。2.6邏輯函數(shù)的化簡方法2.6.1公式化簡法邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式1.并項法利用公式將兩項合并成一項，并消去互補因子?！纠?】【例2】2.吸收法

利用公式A+AB=A消去多余的乘積項。

【例3】【例4】利用公式消去多余的乘積項。3.消項法【例5】【例6】利用公式消去多余的因子。4.消因子法【例7】【例8】5.配項法【例9】利用公式和先配項或添加多余項，然后再逐步化簡?！纠?0】反變量吸收提出AB=1提出A【例11】反演配項被吸收被吸收【例12】化簡邏輯函數(shù) 解法1： 解法2：

可見，邏輯函數(shù)的化簡結果不一定唯一?！纠?3】公式法化簡優(yōu)點是：不受變量數(shù)目的限制。缺點是：沒有固定的步驟可循；需要熟練運用各種公式和定理；在化簡一些較為復雜的邏輯函數(shù)時還需要一定的技巧和經(jīng)驗；有時很難判定化簡結果是否最簡?！揪毩曨}】化簡成最簡與或式。小結基本要求：1.掌握邏輯函數(shù)常用幾種最簡形式的轉換；2.掌握公式法化簡的技巧，會用公式法化簡邏輯函數(shù)。作業(yè)【題2.15】（3）（4）（5）（6）2.6.2卡諾圖化簡法一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法1.表示最小項的卡諾圖將n變量的全部最小項（2n）用小方塊表示，并且使邏輯相鄰的最小項幾何位置也相鄰，所得到的方格圖即為n變量最小項的卡諾圖。0001111001ABC三變量ABC的卡諾圖：m1m0m2m3m4m5m6m7000111100001ABCDm1m0m2m3m4m5m6m7m13m12m14m15m8m9m10m111110四變量ABCD的卡諾圖：五變量ABCDE的卡諾圖：

②卡諾圖中任何幾何位置相鄰的兩個最小項，在邏輯上都是相鄰的。①

n變量的卡諾圖有2n個方格，對應表示2n個最小項。每當變量數(shù)增加一個，卡諾圖的方格數(shù)就擴大一倍。③5變量卡諾圖相鄰項不直觀，因此它只適于表示5變量以下的邏輯函數(shù)。所謂幾何相鄰，一是相接，即緊挨著；二是相對，即任意一行或一列的兩頭。所謂邏輯相鄰，是指除了一個變量不同外其余變量都相同的兩個與項。注意！0001111001ABCm1m0m2m3m4m5m6m7二、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)最小項和的形式卡諾圖【例】0001111001ABCm1m0m2m3m4m5m6m711110000用卡諾圖表示邏輯函數(shù)，首先將函數(shù)式化成最小項和的形式；在函數(shù)式中包含的最小項在卡諾圖相應的位置添1，其余位置添0。

只要將構成邏輯函數(shù)的最大項在卡諾圖相應的方格中填0，其余的方格填1即可。也就是說，任何一個邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖上填0的那些最大項之積。0001111001ABCm1m0m2m3m4m5m6m73、最大項的卡諾圖表示法注意:

在卡諾圖中最大項的編號與最小項編號是一致的，但對應輸入變量的取值是相反的。M0M1M3M2M4M5M7M6……【例2】

0001111001ABC00011111二、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)依據(jù)：具有相鄰性的最小項可以合并，消去不同的因子。在卡諾圖中，凡是幾何位置相鄰的最小項均可以合并。

1、合并最小項的規(guī)則ABC0001111001ABC0001111001AB?兩個最小項相鄰且組成矩形框，可以合并成一項，消去一個不同的因子。ABCD0001111000011110ABDADABCD0001111000011110不是矩形四個最小項相鄰且組成矩形框，可以合并成一項，消去兩個不同的因子。ABCD0001111000011110？思考：八個最小項相鄰且組成矩形框，情況怎樣？八個最小項相鄰且組成矩形框，可以合并成一項，消去三個不同的因子。2、卡諾圖化簡的步驟（1）將函數(shù)化成最小項和的形式（2）填卡諾圖；（3）合并最小項；（4）將各乘積項相加，即得到最簡與或式。（1）圈成的矩形框越大越好；（3）每個矩形框至少包含一個新項；（4）必須圈完所有為1的最小項；（5）注意“相接”、“相對”都相鄰；（6）圈圈時先圈大圈，后圈小圈；（2）各最小項可以重復使用；（7）盡可能圈大圈，少圈圈；（8）圈法不唯一，結果可能也不唯一。10000011ABC0001111001【例3】第一步，將函數(shù)化成最小項和的形式。BCAB第二步，填卡諾圖第三步，合并最小項第四步，各乘積項相加00111111ABC0001111001【例4】化簡10111101ABC0001111001【例4】化簡ABC0001111001【例4】化簡00111111【例5】化簡Y(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD0001111000011110A【例6】【例6】1111111111ABCD0001111000011110000000【例7】ABCD00