第6講.萬有引力與航天（原卷版）-2024高考二輪復習

2024高考二輪復習二十五專題第6講、萬有引力與航天第一部分織網點睛，綱舉目張一．開普勒三定律開普勒用20年的時間通過對第谷行星觀測資料的分析總結得出開普勒行星運動三定律。定律內容圖示或公式開普勒第肯定律(軌道定律)全部行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上開普勒其次定律(面積定律)對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過的面積相等開普勒第三定律(周期定律)全部行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等eq\f(a3,T2)＝k，k是一個與行星無關的常量二、萬有引力定律1．內容自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比．2．表達式F＝Geq\f(m1m2,r2)，G為引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2.3．適用條件(1)公式適用于質點間的相互作用，當兩個物體間的距離遠大于物體本身的大小時，物體可視為質點．(2)質量分布均勻的球體可視為質點，r是兩球心間的距離．4．萬有引力的“兩點理解”和“兩個推論”(1)兩點理解①兩物體相互作用的萬有引力是一對作用力和反作用力．②地球上的物體(兩極除外)受到的重力只是萬有引力的一個分力．(2)兩個推論①推論1：在勻質球殼的空腔內任意位置處，質點受到球殼的萬有引力的合力為零，即∑F引＝0.②推論2：在勻質球體內部距離球心r處的質點(m)受到的萬有引力等于球體內半徑為r的同心球體(M′)對其的萬有引力，即F＝Geq\f(M′m,r2).5．萬有引力與重力的關系地球對物體的萬有引力F表現為兩個效果：一是重力mg，二是供應物體隨地球自轉的向心力F向，如圖所示．(1)在赤道上：GMmR2＝mg1＋mω2(2)在兩極上：GMmR2＝mg(3)在一般位置：萬有引力GMmR2等于重力mg與向心力F越靠近南北兩極g值越大，由于物體隨地球自轉所需的向心力較小，常認為萬有引力近似等于重力，即GMmR2＝三、天體運動1.天體運動的兩條基本思路(1)F引＝F向，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r。(2)在忽視自轉時，萬有引力近似等于物體的重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，可得GM＝gR2(黃金代換式)。2．解決天體運動問題的“萬能關系式”四、衛(wèi)星變軌1．兩類變軌問題辨析(1)加速變軌：衛(wèi)星的速率增大時，使得萬有引力小于所需向心力，即F引<eq\f(mv2,r)，衛(wèi)星做離心運動，軌道半徑將變大。因此，要使衛(wèi)星的軌道半徑增大，需開動發(fā)動機使衛(wèi)星做加速運動。(2)制動變軌：衛(wèi)星的速率減小時，使得萬有引力大于所需向心力，即F引>eq\f(mv2,r)，衛(wèi)星做向心運動，軌道半徑將變小。因此，要使衛(wèi)星的軌道半徑減小，需開動發(fā)動機使衛(wèi)星做減速運動。2．變軌前后能量的比較在離心運動過程中(發(fā)動機已關閉)，衛(wèi)星克服引力做功，其動能向引力勢能轉化，機械能保持不變。在兩個不同的軌道上(圓軌道或橢圓軌道)，軌道越高衛(wèi)星的機械能越大。五、雙星模型和多星系統1.雙星系統之“二人轉”模型雙星系統由兩顆相距較近的星體組成，由于彼此的萬有引力作用而繞連線上的某點做勻速圓周運動簡稱“二人轉”模型。雙星系統中兩星體繞同一個圓心做圓周運動，周期、角速度相等；向心力由彼此的萬有引力供應，大小相等.2.三星系統之“二繞一”和“三角形”模型三星系統由三顆相距較近的星體組成，其運動模型有兩種：一種是三顆星體在一條直線上，兩顆星體圍繞中體組成一個等邊三角形，形”模型。,“三角形”模型中，三星結構穩(wěn)定，角速度相同，半徑相同，任一星體的向心力均由另兩顆星體對它的萬有引力的合力供應3.四星系統之“三繞一”和“正方形”模型四星系統由四顆相距較近的星體組成，與三星系統類似，運動模型通常有兩種：一種是三顆星體相對穩(wěn)定地位于三角形的三個頂點上，環(huán)繞另一顆位于中心的星體做圓周運動簡稱“三繞一”模型；另一種是四顆星體相對穩(wěn)定地分布在正方形的四個頂點上，圍繞正方形的中心做圓周運動簡稱“正方形”模型。其次部分實戰(zhàn)訓練，高考真題演練1.（2023學業(yè)水公平級考試上海卷）月球繞地球做勻速圓周運動，已知月球的公轉周期為T，質量為m，地月距離為r，則月球繞地球轉動的線速度大小為，地球和月球之間的引力為。2.（2023高考江蘇學業(yè)水平選擇性考試）設想將來放射一顆人造衛(wèi)星，能在月球繞地球運動的軌道上穩(wěn)定運行，該軌道可視為圓軌道．該衛(wèi)星與月球相比，肯定相等的是（）A.質量 B.向心力大小C.向心加速度大小 D.受到地球的萬有引力大小3.（2023高考海南卷）如圖所示，1、2軌道分別是天宮二號飛船在變軌前后的軌道，下列說法正確的是（）A.飛船從1軌道變到2軌道要點火加速 B.飛船在1軌道周期大于2軌道周期C.飛船在1軌道速度大于2軌道 D.飛船在1軌道加速度大于2軌道4．（2023全國高考新課程卷）2023年5月，世界現役運輸力量最大的貨運飛船天舟六號，攜帶約5800kg的物資進入距離地面約400km（小于地球同步衛(wèi)星與地面的距離）的軌道，順當對接中國空間站后近似做勻速圓周運動。對接后，這批物資（）A．質量比靜止在地面上時小B．所受合力比靜止在地面上時小C．所受地球引力比靜止在地面上時大D．做圓周運動的角速度大小比地球自轉角速度大5．（2023年6月高考浙江選考科目）木星的衛(wèi)星中，木衛(wèi)一、木衛(wèi)二、木衛(wèi)三做圓周運動的周期之比為。木衛(wèi)三周期為T，公轉軌道半徑是月球繞地球軌道半徑r的n倍。月球繞地球公轉周期為T0，則（）A．木衛(wèi)一軌道半徑為B．木衛(wèi)二軌道半徑為C．周期T與T0之比為D．木星質量與地球質量之比為6.（2023高考選擇性考試遼寧卷）在地球上觀看，月球和太陽的角直徑（直徑對應的張角）近似相等，如圖所示。若月球繞地球運動的周期為T?，地球繞太陽運動的周期為T?，地球半徑是月球半徑的k倍，則地球與太陽的平均密度之比約為（）A. B. C. D.7.（2023高考山東高中學業(yè)水公平級考試）牛頓認為物體落地是由于地球對物體的吸引，這種吸引力可能與天體間（如地球與月球）的引力具有相同的性質、且都滿足。已知地月之間的距離r大約是地球半徑的60倍，地球表面的重力加速度為g，依據牛頓的猜想，月球繞地球公轉的周期為（）A. B. C. D.8.（2023高考湖北卷）2022年12月8日，地球恰好運行到火星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線，此現象被稱為“火星沖日”?；鹦呛偷厍驇缀踉谕黄矫鎯妊赝环较蚶@太陽做圓周運動，火星與地球的公轉軌道半徑之比約為，如圖所示。依據以上信息可以得出（）A.火星與地球繞太陽運動的周期之比約為B.當火星與地球相距最遠時，兩者的相對速度最大C.火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為D.下一次“火星沖日”將消滅在2023年12月8日之前9.（2023高考湖南卷）依據宇宙大爆炸理論，密度較大區(qū)域的物質在萬有引力作用下，不斷聚集可能形成恒星。恒星最終的歸宿與其質量有關，假如質量為太陽質量的倍將坍縮成白矮星，質量為太陽質量的倍將坍縮成中子星，質量更大的恒星將坍縮成黑洞。設恒星坍縮前后可看成質量均勻分布的球體，質量不變，體積縮小，自轉變快．不考慮恒星與其它物體的相互作用．已知逃逸速度為第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星。依據萬有引力理論，下列說法正確的是（）A.同一恒星表面任意位置的重力加速度相同B.恒星坍縮后表面兩極處重力加速度比坍縮前的大C.恒星坍縮前后的第一宇宙速度不變D.中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度第三部分思路歸納，內化方法1.計算天體質量和密度的兩條基本思路(1)利用中心天體自身的半徑R和表面的重力加速度g：由Geq\f(Mm,R2)＝mg求出M，進而求得ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。(2)利用環(huán)繞天體的軌道半徑r、周期T：由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得出M＝eq\f(4π2r3,GT2)，若環(huán)繞天體繞中心天體表面做勻速圓周運動時，軌道半徑r＝R，則ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT2)。2.天體運行參量比較問題的兩種分析方法(1)定量分析法列出五個連等式：Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r。導出四個表達式：a＝Geq\f(M,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))。結合r的大小關系，比較得出a、v、ω、T的大小關系。(2)．定性結論法r越大，向心加速度、線速度、動能、角速度均越小，而周期和能量均越大。3.衛(wèi)星變軌前后各物理量的比較人造衛(wèi)星的放射過程要經過多次變軌，過程簡圖如圖所示。(1)兩個不同軌道的“切點”處線速度v不相等。圖中vⅢB>vⅡB，vⅡA>vⅠA。(2)兩個不同圓軌道上線速度v大小不相等。軌道半徑越大，v越小，圖中vⅠ>vⅢ。(3)在分析衛(wèi)星運行的加速度時，只要衛(wèi)星與中心天體的距離不變，其加速度大小(由萬有引力供應)就肯定與軌道外形無關，圖中aⅢB＝aⅡB，aⅡA＝aⅠA。(4)不同軌道上運行周期T不相等。依據開普勒行星運動第三定律eq\f(r3,T2)＝k，內側軌道的運行周期小于外側軌道的運行周期，圖中TⅠ<TⅡ<TⅢ。(5)衛(wèi)星在不同軌道上的機械能E不相等，“高軌高能，低軌低能”。衛(wèi)星變軌過程中機械能不守恒，圖中EⅠ<EⅡ<EⅢ。4.雙星或多星問題解題技巧(1)確定系統中心及半徑：明確雙星或多星的特點、規(guī)律，確定系統的中心以及運動的軌道半徑。(2)明確向心力：星體的向心力由其他天體對它的萬有引力的合力供應。(3)抓住角速度特點：星體的角速度相等。(4)清楚星體的軌道半徑不是天體間的距離：要利用幾何學問，查找兩者之間的關系，正確計算萬有引力和向心力。第四部分最新模擬集萃，提升應試力量1..(2024福建莆田重點高中12月質檢)2022年10月31日，夢天試驗艙在長征五號B遙四運載火箭托舉下成功進入預定軌道，此后與空間站對接成為組合體，在距離地面高度H的圓軌道勻速運行。若取無窮遠處為引力勢能零點，質量為m的物體在地球引力場中具有的引力勢能為（式中G為引力常量，M為地球的質量，為物體到地心的距離）。已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，試驗艙與空間站組合體的質量為，則（）A.先使試驗艙與空間站在同一軌道上運行，然后試驗艙加速追上空間站實現對接B.若組合體返回地球，則需加速離開該軌道C.在該軌道上組合體的引力勢能為D.在該軌道上組合體的機械能為2．（2023山西陽泉期末）兩顆相距較遠的行星A、B的半徑分別為、，距行星中心r處的衛(wèi)星圍繞行星做勻速圓周運動的線速度的平方隨r變化的關系如圖甲所示，兩圖線左端的縱坐標相同；距行星中心r處的衛(wèi)星圍繞行星做勻速圓周運動的周期為T，取對數后得到如圖乙所示的擬合直線（線性回歸），兩直線平行，它們的截距分別為、。已知兩圖像數據均接受國際單位，，行星可看作質量分布均勻的球體，忽視行星的自轉和其他星球的影響，下列說法正確的是A．圖乙中兩條直線的斜率均為 B．行星A、B的質量之比為2∶1C．行星A、B的密度之比為1∶2 D．行星A、B表面的重力加速度大小之比為2∶13.(2023天津模擬)．太陽系行星在眾多恒星背景下沿肯定方向移動，但也會消滅反常，即轉變了移動方向消滅“逆行”現象。行星的逆行在天空（天球背景）看起來好像倒退一樣，其中水星的逆行現象每年都會發(fā)生3次，若以地球為參考系觀看到水星的運動軌跡如圖。已知每當地球與水星相距最近時就發(fā)生一次逆行，水星比地球更靠近太陽，假設水星和地球繞太陽公轉方向相同且軌道共面。下列說法正確的是A．水星和地球繞太陽做勻速圓周運動的周期之比約為1:2B．水星和地球繞太陽做勻速圓周運動的周期之比約為1:4C．水星和地球繞太陽做勻速圓周運動的半徑之比約為1:2D．水星和地球繞太陽做勻速圓周運動的半徑之比約為1:4.（2024山東泰安9月測試）用火箭放射人造地球衛(wèi)星，假設最終一節(jié)火箭的燃料用完后，火箭殼體和衛(wèi)星一起以的速度繞地球做勻速圓周運動。已知衛(wèi)星的質量為，最終一節(jié)火箭殼體的質量為。某時刻火箭殼體與衛(wèi)星分別，分別時火箭殼體相對衛(wèi)星以的速度沿軌道切線方向向后飛去。則（）A.分別后衛(wèi)星的速度為 B.分別后衛(wèi)星的速度為C.分別后火箭殼體的軌道半徑會變大 D.分別后衛(wèi)星的軌道半徑會變大。5.（2024山西三重教育聯盟9月聯考）隨著深空探測工作的開展，中國人登上月球的幻想即將實現。我國的登月方案之一是：從地球放射的載人飛船，飛到環(huán)月軌道Ⅰ上作周期為T的勻速圓周運動。已知環(huán)月軌道的半徑為r，月球的半徑為R。宇航員先進入飛船攜帶的登月艙，登月艙脫離飛船后沿與月球表面相切的橢圓軌道Ⅱ降落至月面上。工作完成后，再乘坐登月艙返回飛船，飛回地球。飛船的繞行方向、登月艙的降落和返回方向如圖中箭頭所示，不考慮變軌、對接等其它時間，飛船和登月艙在軌道Ⅰ和Ⅱ上的運動均可視為無動力飛行，不考慮其它天體的引力作用，宇航員在月球上停留的最短時間是（）A. B.C. D.6.（2024黑龍江大慶第一次質檢）新一代載人運載火箭的研制將使我國具備在2030年前載人登陸月球的力量，若在將來某次登月過程中，先將一個載人飛船送入環(huán)月球圓軌道，飛船繞月球運行多圈后，在環(huán)月圓軌道上的點實施變軌，進入橢圓軌道，由距月面的近月點再次變軌落月，如圖所示。關于飛船的運動，下列說法正確的是（）A.飛船在點的加速度大于在點的加速度B.飛船在圓軌道上的周期大于在橢圓軌道上的周期C.飛船在橢圓軌道上點的速度大于在點的速度D.在點月球對飛船中的航天員的萬有引力大于在點月球對飛船中同一航天員的萬有引力7.（2024遼寧十校聯合體）為簡化“天問一號”探測器在火星軟著陸的問題，可以認為地球和火星在同一平面上繞太陽做勻速圓周運動，如圖1所示?；鹦翘綔y器在火星四周的A點減速后，被火星捕獲進入了1號橢圓軌道，緊接著在B點進行了一次“側手翻”，即從與火星赤道平行的1號軌道，調整為經過火星兩極的2號軌道，將探測器繞火星飛行的路線從“橫著繞”變成“豎著繞”，從而實現對火星表面的全面掃描，如圖2所示。以火星為參考系，質量為的探測器沿1號軌道到達B點時速度為，為了實現“側手翻”，此時啟動發(fā)動機，在極短的時間內噴出部分氣體，假設氣體為一次性噴出，噴氣后探測器質量變?yōu)椤⑺俣茸優(yōu)榕c垂直的。已知地球的公轉周期為，火星的公轉周期為，地球公轉軌道半徑為，以下說法正確的是（）A.火星公轉軌道半徑為B.噴出氣體速度u的大小為C.假設實現“側手翻”的能量全部來源于化學能，化學能向動能轉化比例為k（），此次“側手翻”消耗的化學能D.考慮到飛行時間和節(jié)省燃料，地球和火星處于圖1中相對位置時是在地球上放射火星探測器的最佳時機，則在地球上相鄰兩次放射火星探測器最佳時機的時間間隔為8.（2024南京六校聯合體調研）牛頓認為物體落地是由于地球對物體的吸引，這種吸引力可能與天體間（如地球與月球）的引力具有相同的性質、且都滿足。已知地月之間的距離r大約是地球半徑的60倍，地球表面的重力加速度為g，依據牛頓的猜想，月球繞地球公轉的周期為（）A. B. C. D.9.（2024江西紅色十校9月聯考）處理廢棄衛(wèi)星的方法之一是將報廢的衛(wèi)星推到更高的軌道——“墓地軌道”，這樣它就遠離正常衛(wèi)星，連續(xù)圍繞地球運行．我國實踐21號衛(wèi)星（SJ－21）曾經將一顆失效的北斗導航衛(wèi)星從擁擠的地球同步軌道上拖拽到了“墓地軌道”上．拖拽過程如圖所示，軌道1是同步軌道，軌道2是轉移軌道，軌道3是墓地軌道，則下列說法正確的是（）A.衛(wèi)星在軌道2上的周期大于24小時B.衛(wèi)星在軌道1上P點的速度小于在軌道2上P點的速度C.衛(wèi)星在軌道2上Q點的加速度大于在軌道3上Q點的加速度D.衛(wèi)星在軌道2上的機械能大于在軌道3上的機械能10.（2024山東泰安9月測試）2022年6月，“神舟十四號”載人飛船與“中國空間站”成功對接，全國人民為之興奮。已知空間站繞地球做勻速圓周運動的周期為T，地球半徑為R，萬有引力常量為G，地球表面重力加速度為g，圓周率為，下列說法正確的是（）A.空間站做圓周運動的加速度小于gB.空間站的運行速度介于與之間C.依據題中所給物理量可計算出地球的密度D.空間站離地面的高度為11．．(2024廣東七校第一次聯考)《天問》是中國戰(zhàn)國時期詩人屈原創(chuàng)作的一首長詩，全詩問天問地問自然，表現了作者對傳統的質疑和對真理的探究精神，我國探測飛船天問一號放射成功飛向火星，屈原的“天問”幻想成為現實，也標志著我國深空探測邁向一個新臺階，如圖所示，軌道1是圓軌道，軌道2是橢圓軌道，軌道3是近火圓軌道，天問一號經過變軌成功進入近火圓軌道3，已知引力常量G，以下選項中正確的是（）

A．天問一號在B點需要點火加速才能從軌道2進入軌道3B．天問一號在軌道2上經過B點時的加速度大于在軌道3上經過B點時的加速度C．天問一號進入近火軌道3后，測出其近火環(huán)繞周期T，可計算出火星的平均密度D．天問一號進入近火軌道3后，測出其近火環(huán)繞周期T，可計算出火星的質量12．(2024江蘇鹽城期初摸底質檢)如圖為地球的三個衛(wèi)星軌道，II為橢圓軌道