專題07 三角函數的圖象與性質綜合（2知識點+6重難點+7方法技巧+4易錯易混）（原卷版）-2025高考數學一輪復習知識

專題06三角函數的圖象與性質綜合（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）知識點1三角函數的圖象與性質1、用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖(1)在正弦函數y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函數y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2、正弦、余弦、正切函數的圖象與性質(下表中k∈Z)函數y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))))值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數偶函數奇函數遞增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))遞減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]無對稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ無知識點2函數y=Asin(ωx＋φ)1、y＝Asin(ωx＋φ)的有關概念y＝Asin(ωx＋φ)振幅周期頻率相位初相(A>0，ω>0)AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φeq\a\vs4\al(φ)2、用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)y＝Asin(ωx＋φ)0eq\a\vs4\al(A)0－A03、三角函數的圖象變換由函數y＝sinx的圖象通過變換得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種方法重難點01利用三角函數的單調性求參數1、子集法：求出原函數的相應單調區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解；2、反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應正、余弦函數的某個單調區(qū)間的子集，列不等式(組)求解；3、周期性法：由所給區(qū)間的兩個端點到其相應對稱中心的距離不超過eq\f(1,4)周期列不等式(組)求解?！镜淅?】（23-24高三下·江西宜春·模擬預測）已知函數在區(qū)間上單調遞減，則的取值范圍是．【典例2】（23-24高三下·黑龍江雙鴨山·模擬預測）已知函數在區(qū)間上單調遞減，則的取值范圍是.重難點02與函數零點或方程的根有關的參數問題因為f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期是T=2πω，所以ω=2πT，也就是說只要確定了周期T，就可以確定ω的取值.對于區(qū)間長度為定值的動區(qū)間，若區(qū)間上至少含有k個零點，需要確定含有k個零點的區(qū)間長度，一般和周期相關，若在在區(qū)間至多含有k【典例1】（23-24高三下·河北滄州·月考）已知函數在區(qū)間上有且僅有3個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下·湖北·二模）已知函數（，）的最小正周期為T，，若在內恰有10個零點則的取值范圍是．重難點03利用三角函數的對稱性（奇偶性）求參數（1）三角函數兩條相鄰對稱軸或兩個相鄰對稱中心之間的“水平間隔”為T2，相鄰的對稱軸和對稱中心之間的“水平間隔”為T4，也就是說，我們可以根據三角函數的對稱性來研究其周期性，進而可以研究（2）三角函數的對稱軸比經過圖象的最高點或最低點，函數的對稱中心就是其圖象與x軸的交點（零點），也就是說我們可以利用函數的最值、零點之間的“差距”來確定其周期，進而可以確定ω的取值.【典例1】（23-24高三下·黑龍江·三模）已知函數在區(qū)間內恰有3條對稱軸，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三上·福建漳州·月考）已知函數（ω＞0），若f（x）在區(qū)間上有且僅有3個零點和2條對稱軸，則ω的取值范圍是（

）A． B． C． D．重難點04與圖象平移有關的參數范圍問題1、平移后與原圖象重合思路1：平移長度即為原函數周期的整倍數；思路2：平移前的函數=平移后的函數.2、平移后與新圖象重合：平移后的函數=新的函數.3、平移后的函數與原圖象關于軸對稱：平移后的函數為偶函數；4、平移后的函數與原函數關于軸對稱：平移前的函數=平移后的函數-；5、平移后過定點：將定點坐標代入平移后的函數中。【典例1】（23-24高三下·內蒙古赤峰·開學考試）將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，若在上單調遞增，則的最大值為（

）A． B． C． D．1【典例2】（23-24高三上·江蘇鎮(zhèn)江·月考）將函數的圖象向右平移個單位長度后，再將使得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（）得到函數的圖象，若在區(qū)間內有5個零點，則的取值范圍是.重難點05根據三角函數的最值求參數若已知三角函數的最值，則可利用三角函數的最值與對稱軸或周期的關系，列出關于參數的不等式(組)，進而求解.【典例1】（23-24高三下·浙江·三模）若函數的最大值為2，則常數的取值可以為（

）A．1 B． C． D．【典例2】（23-24高三下·山東濟寧·三模）已知函數，若在區(qū)間上的值域為，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．一、三角函數定義域的求法求三角函數定義域實際上是構造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數圖象來求解．【注意】解三角不等式時要注意周期，且k∈Z不可以忽略．【典例1】（23-24高三上·全國·專題練習）函數的定義域為（

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高三上·河南新鄉(xiāng)·月考）函數的定義域為.（用區(qū)間表示結果）二、三角函數值域或最值的3種求法1、直接法：形如y＝asinx＋k或y＝acosx＋k的三角函數，直接利用sinx，cosx的值域求出；2、化一法：形如y＝asinx＋bcosx＋k的三角函數，化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，確定ωx＋φ的范圍，根據正弦函數單調性寫出函數的值域(最值)；3、換元法：（1）形如y＝asin2x＋bsinx＋k的三角函數，可先設sinx＝t，化為關于t的二次函數求值域(最值)；（2）形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數，可先設t＝sinx±cosx，化為關于t的二次函數求值域(最值)【典例1】（23-24高三下·廣東湛江·二模）函數在上的值域為（

）A． B． C． D．【典例2】（22-23高三上·山東朔州·開學考）已知函數，則的最小值為.【典例3】（22-23高三上·廣東深圳·月考）已知函數，則的最大值為（

）A． B． C． D．【典例4】（23-24高三下·湘豫聯考·三模）當時，的最大值是（

）A．2 B． C．0 D．三、求三角函數單調區(qū)間的2種方法1、代換法：就是將比較復雜的三角函數含自變量的代數式整體當作一個角u(或t)，利用基本三角函數的單調性列不等式求解；2、圖象法：畫出三角函數的正、余弦和正切曲線，結合圖象求它的單調區(qū)間求解三角函數的單調區(qū)間時，若x的系數為負，應先化為正，同時切莫忽視函數自身的定義域．【典例1】（23-24高三上·湖南衡陽·期末）下列函數的最小正周期為，且在上單調遞減的是（

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高三下·全國·模擬預測）函數的單調遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【典例3】（23-24高三下·天津·高考模擬）函數的圖象經過點和點，則的單調遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．四、與三角函數奇偶性相關的結論三角函數中，判斷奇偶性的前提是定義域關于原點對稱，奇函數一般可化為y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函數一般可化為y＝Acosωx＋b的形式．常見的結論有：（1）若y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數，則有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；若為奇函數，則有φ＝kπ(k∈Z)．（2）若y＝Acos(ωx＋φ)為偶函數，則有φ＝kπ(k∈Z)；若為奇函數，則有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．（3）若y＝Atan(ωx＋φ)為奇函數，則有φ＝kπ(k∈Z)．【典例1】（23-24高三下·浙江杭州·三模）已知函數，則“”是“為奇函數且為偶函數”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【典例2】（23-24高三下·河南信陽·一模）若函數的圖像關于原點對稱，則m＝．【典例3】（23-24高三下·湖北黃石·三模）已知函數，，則下列說法正確的是（

）A．為偶函數，的圖象關于直線對稱B．的圖象關于軸對稱，不是對稱圖形C．的圖象關于原點對稱，的圖象關于點對稱D．的圖象關于原點對稱，的圖象關于軸對稱五、三角函數對稱性問題的2種求解方法1、定義法：正(余)弦函數的對稱軸是過函數的最高點或最低點且垂直于x軸的直線，對稱中心是圖象與x軸的交點，即函數的零點；2、公式法：（1）函數y＝Asin(ωx＋φ)的對稱軸為x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)，對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0))；（2）函數y＝Acos(ωx＋φ)的對稱軸為x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)，對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)＋\f(π,2ω)，0))；（3）函數y＝Atan(ωx＋φ)的對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2ω)－\f(φ,ω)，0)).上述k∈Z【典例1】（23-24高三下·陜西西安·模擬預測）已知函數的最小正周期為，則的圖象的一個對稱中心為（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下·陜西·模擬預測）已知函數，則的圖像（

）A．關于直線對稱 B．關于直線對稱C．關于中心對稱 D．關于中心對稱【典例3】（23-24高三下·安徽·三模）“”是“函數的圖象關于對稱”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件六、由圖象確定函數y＝Asin(ωx＋φ)的解析式確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步驟和方法(1)求A，b.確定函數的最大值M和最小值m，則A＝eq\f(M－m,2)，b＝eq\f(M＋m,2).(2)求ω.確定函數的最小正周期T，則ω＝eq\f(2π,T).(3)求φ，常用方法如下：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點或最低點代入.【典例1】（23-24高三下·陜西西安·模擬預測）已知函數的部分圖像如圖所示，則（

）A． B． C．0 D．【典例2】（23-24高三下·甘肅酒泉·三模）函數，其部分圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．七、三角函數圖象的變換函數y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，參數A，ω，φ，k的變化引起圖象的變換：（1）A的變化引起圖象中振幅的變換，即縱向伸縮變換；（2）ω的變化引起周期的變換，即橫向伸縮變換；（3）φ的變化引起左右平移變換，k的變化引起上下平移變換．圖象平移遵循的規(guī)律為：“左加右減，上加下減”．【注意】（1）平移變換和伸縮變換都是針對x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值；（2）余弦型、正切型函數的圖象變換過程與正弦型函數的圖象變換過程相同?！镜淅?】（23-24高三下·廣東揭陽·二模）把函數的圖象向左平移個最小正周期后，所得圖象對應的函數為（

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高三下·浙江·月考）（多選）為了得到函數的圖象，只要把函數圖象上所有的點（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度八、三角函數圖象與性質綜合角度一、圖象性質的綜合應用方法總結：研究y＝Asin(ωx＋φ)的性質時可將ωx＋φ視為一個整體，利用換元法和數形結合思想進行解題.【典例1】（23-24高三下·陜西銅川·三模）已知函數，則下列說法中不正確的是（

）A．的最小正周期為B．的最大值為C．在區(qū)間上單調遞增D．【典例2】（23-24高三下·湖北武漢·模擬預測）（多選）已知（，，）的部分圖象如圖所示，則（

）A． B．的最小正周期為C．在內有3個極值點 D．在區(qū)間上的最大值為角度二：三角函數的零點（方程的根）的問題方法總結：方程根的個數可轉化為兩個函數圖象的交點個數.【典例1】（23-24高三上·浙江溫州·期末）已知函數，若關于x的方程在上有兩個不同的根，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下·江蘇·月考）已知函數，則函數的零點個數為（

）A．9 B．10 C．11 D．12易錯點1忽視正、余弦函數的有界性點撥：許多三角函數問題可以通過換元的方法轉化為代數問題解決，在換元時注意正、余弦函數的有界性．【典例1】（2023高三上·全國·專題練習）函數的最大值為

．【典例2】（23-24高三上·上海浦東新·月考）函數的值域為.易錯點2三角函數單調性判斷錯誤點撥：對于函數來說，當時，由于內層函數是單調遞增的，所以函數的單調性與函數的單調性相同，故可完全按照函數的單調性來解決；但當時，內層函數是單調遞減的，所以函數的單調性與函數的單調性正好相