江西省萍鄉(xiāng)市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE21-江西省萍鄉(xiāng)市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.留意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫在答題卡上.考生要仔細(xì)核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一樣.2.第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答.若在試題卷上作答，答題無效.3.考試中不能運(yùn)用計(jì)算器.4.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回.第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)一元二次不等式解法干脆求解即可.【詳解】不等式可化為，所以，所以原不等式的解集為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.2.為了推動(dòng)課堂改革，提高課堂效率，銀川一中引進(jìn)了平板教學(xué)，起先推動(dòng)“才智課堂”改革.學(xué)校教務(wù)處為了了解我校高二年級(jí)同學(xué)平板運(yùn)用狀況，從高二年級(jí)923名同學(xué)中抽取50名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查．先用簡潔隨機(jī)抽樣從923人中剔除23人，剩下的900人再按系統(tǒng)抽樣方法抽取50人，則在這923人中，每個(gè)人被抽取的可能性()A.都相等，且為 B.不全相等 C.都相等，且為 D.都不相等【答案】C【解析】【分析】系統(tǒng)抽樣方法是一個(gè)等可能的抽樣，故每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是相等的，結(jié)合概率的定義，即可推斷每個(gè)個(gè)體被抽取的概率．【詳解】因?yàn)樵谙到y(tǒng)抽樣中，若所給的總體個(gè)數(shù)不能被樣本容量整除，則要先剔除幾個(gè)個(gè)體，然后再分組，在剔除過程中，每個(gè)個(gè)體被剔除的概率相等，所以每個(gè)個(gè)體被抽到包括兩個(gè)過程；一是被剔除，二是被選中，這兩個(gè)過程是相互獨(dú)立的，所以每人入選的概率故選C【點(diǎn)睛】本題考查系統(tǒng)抽樣的方法，解題的關(guān)鍵是理解系統(tǒng)抽樣是一個(gè)等可能抽樣，即每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，由此算出每人被抽取的概率．3.已知等比數(shù)列中，則公比為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式代入可得選項(xiàng).【詳解】若，，那么：，

可得：，，解得：或，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.4.在這個(gè)熱“晴”似火的月，多地持續(xù)高溫，某市氣象局將發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號(hào)（高溫橙色預(yù)警標(biāo)準(zhǔn)為小時(shí)內(nèi)最高氣溫將升至攝氏度以上），在今后的天中，每一天最高氣溫?cái)z氏度以上的概率是.某人用計(jì)算機(jī)生成了組隨機(jī)數(shù)，結(jié)果如下，若用表示高溫橙色預(yù)警，用表示非高溫橙色預(yù)警，則今后的天中恰有天發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號(hào)的概率估計(jì)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因?yàn)楸硎靖邷爻壬A(yù)警，在組隨機(jī)數(shù)中列出天中恰有天發(fā)布高溫橙色預(yù)警的隨機(jī)數(shù)，依據(jù)古典概型的公式計(jì)算即可得解.【詳解】天中恰有天發(fā)布高溫橙色預(yù)警包括的隨機(jī)數(shù)有：116,812,730,452,125,217,109,361,284,147,318,027,共12個(gè)，所以，今后的天中恰有天發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號(hào)的概率估計(jì)是.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查模擬方法估計(jì)概率，解題主要依據(jù)是等可能事務(wù)的概率，留意列舉法在本題的應(yīng)用.5.若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)不等式的性質(zhì)可推斷A、B選項(xiàng)，運(yùn)用作差比較法可推斷C、D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?/p>

，所以，所以利用不等式的性質(zhì)得

，，故A選項(xiàng)不正確，B選項(xiàng)不正確；又

，而的符號(hào)不能確定，所以C選項(xiàng)不正確；又，所以肯定成立，故D選項(xiàng)正確，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)的運(yùn)用，以及作差比較法比較兩個(gè)數(shù)或式的大小，屬于基礎(chǔ)題.6.在中，角所對應(yīng)的邊分別為，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的形態(tài)為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】由成等差數(shù)列得，再由成等比數(shù)列，得，由正弦定理得，然后與變形化簡可得結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，即，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，由正弦定理得，，所以，化簡得，即，所以，代入得，所以為等邊三角形，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列、正弦定理等學(xué)問，考查了推斷三角形的形態(tài)，屬于基礎(chǔ)題.7.俗語云：天王蓋地虎，寶塔鎮(zhèn)河妖.萍鄉(xiāng)塔多，皆因舊時(shí)萍城多水患，民不聊生.迷信使然，建塔以辟邪鎮(zhèn)邪.坐落在萍城小西門汪公潭境內(nèi)的寶塔嶺上就有這么一座“如愿塔”.此塔始建于唐代，后該塔曾因久失修倒塌，在清道光年間重建.某愛好小組為了測量塔的高度，如圖所示，在地面上一點(diǎn)處測得塔頂?shù)难鼋菫椋谒滋帨y得處的俯角為.已知山嶺高為米，則塔高為（）A.米 B.米C.米 D.米【答案】B【解析】【分析】是等腰直角三角形，；在中選擇三角函數(shù)表示，依據(jù)得方程求解．【詳解】由題意可知：因?yàn)樵谒滋帨y得處的俯角為，則,在中，有；同理可得：，,米，米.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形應(yīng)用-仰角俯角問題，考查分析問題的實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.8.某地甲乙兩家保險(xiǎn)公司分別對公司的員工進(jìn)行了保險(xiǎn)基礎(chǔ)學(xué)問測試，現(xiàn)從兩家公司的員工中各隨機(jī)選取人的測試成果用莖葉圖表示.如圖，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.甲保險(xiǎn)公司員工的測試成果的眾數(shù)高于乙保險(xiǎn)公司員工的測試成果的眾數(shù)B.甲保險(xiǎn)公司員工的測試成果的極差低于乙保險(xiǎn)公司員工的測試成果的極差C.甲保險(xiǎn)公司員工的測試成果的平均分高于乙保險(xiǎn)公司員工的測試成果的平均分D.甲保險(xiǎn)公司員工的測試成果的方差高于乙保險(xiǎn)公司員工的測試成果的方差【答案】D【解析】【分析】從莖葉圖的數(shù)據(jù)，可得到眾數(shù)、極差、平均數(shù)、方差，所以逐個(gè)對選項(xiàng)推斷即可.【詳解】解：對于A，從莖葉圖看，甲保險(xiǎn)公司員工的測試成果的眾數(shù)為77，乙保險(xiǎn)公司員工的測試成果的眾數(shù)64，所以甲保險(xiǎn)公司員工的測試成果的眾數(shù)高于乙保險(xiǎn)公司員工的測試成果的眾數(shù)，所以A正確；對于B，甲保險(xiǎn)公司員工的測試成果的極差為，乙保險(xiǎn)公司員工的測試成果的極差為，所以甲保險(xiǎn)公司員工的測試成果的極差低于乙保險(xiǎn)公司員工的測試成果的極差，所以B正確；對于C，甲保險(xiǎn)公司員工的測試成果的平均分為，乙保險(xiǎn)公司員工的測試成果的平均分為，所以甲保險(xiǎn)公司員工的測試成果的平均分高于乙保險(xiǎn)公司員工的測試成果的平均分，所以C正確；對于D，方差是衡量數(shù)據(jù)的離散程度，數(shù)據(jù)越集中，方差越小，所以從莖葉圖看，甲的數(shù)據(jù)比較集中，所以甲的方差小，所以D不正確，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了統(tǒng)計(jì)中的眾數(shù)、極差、平均數(shù)、方差、莖葉圖等學(xué)問，屬于基礎(chǔ)題.9.遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”，如圖所示的是一位母親記錄的孩子自誕生后的天數(shù)，在從右向左依次排列的不同繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，依據(jù)圖示可知，孩子已經(jīng)誕生的天數(shù)是A.336 B.510 C.1326 D.3603【答案】B【解析】試題分析：由題意滿七進(jìn)一，可得該圖示為七進(jìn)制數(shù),化為十進(jìn)制數(shù)為,故選B.考點(diǎn)：1、閱讀實(shí)力及建模實(shí)力；2、進(jìn)位制的應(yīng)用.10.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則事務(wù)“且”發(fā)生的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由分兩種狀況，代入分段函數(shù)解出對應(yīng)的，然后利用幾何概型的概率公式求解即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，由，得，所以，當(dāng)時(shí)，由，得，所以，綜上，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，所以所求概率為，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了分段函數(shù)、幾何概型，屬于基礎(chǔ)題.11.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】按循環(huán)結(jié)構(gòu)依次計(jì)算，當(dāng)計(jì)算到第4次時(shí)，和起始值相同，所以得到周期為4，從而可求出結(jié)果.【詳解】第1次，時(shí)，，第2次，，，第3次，，，第4次，，，第5次，，，所以周期為4，當(dāng)時(shí)，結(jié)束，因?yàn)?024能被4整除，所以輸出的值與起始值相同，等于2故選：B【點(diǎn)睛】此題考查算法與程序框圖的計(jì)算，解題時(shí)要依據(jù)算法框圖計(jì)算出算法的每一步，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.12.已知數(shù)列中，其前項(xiàng)和，數(shù)列的前項(xiàng)和，若對恒成立，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列定義可得數(shù)列，均為等比數(shù)列，再依據(jù)等比數(shù)列的求和公式可求出，，代入對分奇數(shù)、偶數(shù)分類探討，利用分別參數(shù)法即可求出取值范圍。【詳解】因?yàn)?，，又，，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，，由，得，所以，所以，又，所以，所以，即對恒成立，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，令，則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，所以，所以，綜上，實(shí)數(shù)取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，同時(shí)考查分類探討的思想及分別參數(shù)法處理恒成立問題，屬于中檔題.萍鄉(xiāng)市2024—2025學(xué)年度其次學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)第Ⅱ卷留意事項(xiàng)：第Ⅱ卷共2頁，須用黑色墨水簽字筆在答題卡上作答.若在試題卷上作答，答題無效.二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.13.某印刷廠的工人師傅為了了解個(gè)印張的質(zhì)量，采納系統(tǒng)抽樣的方法抽取若干個(gè)印張進(jìn)行檢查，為此先對個(gè)印章進(jìn)行編號(hào)為：，已知抽取的印張中最小的兩個(gè)編號(hào)為，則抽取的印張中最大的編號(hào)為_______.【答案】95【解析】【分析】依據(jù)系統(tǒng)抽樣的方法得出抽取的編號(hào)構(gòu)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得最大編號(hào).【詳解】設(shè)抽到編號(hào)為，即，令，即

，則當(dāng)時(shí)，的最大值為95，故最大編號(hào)為95.故答案為：95.【點(diǎn)睛】本題考查系統(tǒng)抽樣方法，屬于基礎(chǔ)題.14.已知當(dāng)取到最小值時(shí)，的最大值為________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)約束條件作出可行域，將目標(biāo)函數(shù)變形為，通過平移可知當(dāng)直線與直線重合時(shí)，取得最小值，再利用基本不等式求解即可.【詳解】作出已知不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示：將目標(biāo)函數(shù)變形為，由圖可知當(dāng)直線與直線重合時(shí)，取得最小值，此時(shí)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查簡潔線性規(guī)劃問題中的目標(biāo)函數(shù)最值問題及基本不等式，解決線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵是正確地作出可行域，精確地理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義.15.________.【答案】【解析】【分析】將分母利用等差數(shù)列求和公式化簡，然后利用裂項(xiàng)相消法求解即可.【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的求和公式及裂項(xiàng)相消法求和，屬于中檔題.16.已知銳角的角的對邊分別為，且，三角形的面積，則的取值范圍為_______.【答案】【解析】【分析】因?yàn)槿切螢殇J角三角形，所以過點(diǎn)作于點(diǎn)，依據(jù)面積得出，再由過股定理，得到，化，構(gòu)造二次函數(shù)，即可求出取值范圍.【詳解】因?yàn)槿切螢殇J角三角形，所以過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖；由，得，在三角形中，，在三角形中，，因?yàn)椋?，因此，令，則，因?yàn)槎魏瘮?shù)關(guān)于直線對稱，所以，且,，即，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形，涉及二次函數(shù)求最值的問題，屬于?？碱}型.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.2024年2月份，依據(jù)新型冠狀病毒的疫情狀況，教化部下達(dá)了延遲開學(xué)的通知.由此使得全國中小學(xué)生停課，影響了教學(xué)進(jìn)度，某中學(xué)依據(jù)“停課不停學(xué)”的原則，扎實(shí)開展停課不停學(xué)的工作，特制定了網(wǎng)上授課和微課自學(xué)相結(jié)合的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行教學(xué)，某學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了名學(xué)生每天運(yùn)用微課學(xué)習(xí)狀況，進(jìn)行抽樣分析，并得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計(jì)這名學(xué)生每天運(yùn)用微課學(xué)習(xí)時(shí)間的中位數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù))；(2)為了進(jìn)一步了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，按分層抽樣的思想，從每天運(yùn)用微課學(xué)習(xí)時(shí)間在分鐘的學(xué)生中抽出人，再從人中隨機(jī)抽取人，試求抽取的人中恰有一人來自運(yùn)用微課學(xué)習(xí)時(shí)間在分鐘的概率.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)依據(jù)頻率直方圖知各組頻率之和為可求出的值，設(shè)中位數(shù)為，依據(jù)中位數(shù)兩側(cè)頻率之和相等且為，列式求解可；(2)依據(jù)頻率分布直方圖可求得每天運(yùn)用微課學(xué)習(xí)時(shí)間在分鐘和分鐘的學(xué)生人數(shù)，再依據(jù)分層抽樣求出抽出5人時(shí)，時(shí)間在分鐘的人數(shù)剛好間在分鐘的人數(shù)，然后依據(jù)古典概型求解即可.【詳解】(1))由，得.設(shè)中位數(shù)為，則依據(jù)直方圖可知，所以，所以，即中位數(shù)為.(2)由頻率分布直方圖中可求得每天運(yùn)用微課學(xué)習(xí)時(shí)間在分鐘的學(xué)生人數(shù)為人，所以按分層抽樣方法抽出5人時(shí)，時(shí)間在分鐘的人數(shù)有2人，記為；時(shí)間在分鐘的人數(shù)有3人，記為，則任選人共有種狀況，而恰有一人來自運(yùn)用微課學(xué)習(xí)時(shí)間在分鐘共有種狀況，故抽取的人中恰有一人來自運(yùn)用微課學(xué)習(xí)時(shí)間在分鐘的概率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖，用頻率分布直方圖估計(jì)總體的中位數(shù)，分層抽樣及古典概型，屬于基礎(chǔ)題.18.（1）解不等式；（2）解關(guān)于的不等式：.【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為空集；當(dāng)時(shí)，解集為.【解析】【分析】（1）分式不等式用穿根法求解即可.（2）含參數(shù)的二次不等式求解，先求解對應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，再結(jié)合二次函數(shù)圖象對實(shí)數(shù)根的大小分類探討解決即可.【詳解】(1)原不等式可化為且，由標(biāo)根法（或穿針引線法）可得不等式的解集為.(2)原不等式等價(jià)于.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，解集為空集；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為空集；當(dāng)時(shí)，解集.【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的穿根法，含參二次不等式的求解，考查分類探討思想，是中檔題.19.設(shè)△的內(nèi)角的對邊分別為，且，（1）求角的大??；（2）若△的面積為，其外接圓半徑，求的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】【分析】（1）依據(jù)題中條件，結(jié)合正弦定理，得到，利用余弦定理得到，結(jié)合角的范圍，求得結(jié)果；（2）利用三角形面積公式及已知條件，求得，由正弦定理得，利用余弦定理得到邊之間的關(guān)系，整理得出.【詳解】（1）由及正弦定理，得，所以，所以.又，故；（2），.由正弦定理得.由（1）中，可得所以.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)解三角形的問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，屬于簡潔題目.20.已知數(shù)列中，，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用退一作差法化簡已知條件，得到，由此證得數(shù)列是等差數(shù)列.（2）求得的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減求和法求得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，，當(dāng)時(shí)，得，，故是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列.(2)由（1）得，故，，，兩式相減得，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查依據(jù)遞推關(guān)系證明等差數(shù)列，考查錯(cuò)位相減求和法，屬于中檔題.21.為了了解某校中學(xué)生的身體質(zhì)量狀況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了一次高一學(xué)生體重和身高的抽樣調(diào)查，從中抽取了名學(xué)生（編號(hào)為）的身高和體重?cái)?shù)據(jù).如下表，某調(diào)查機(jī)構(gòu)分析發(fā)覺學(xué)生的身高和體重之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，在編號(hào)為的體檢數(shù)據(jù)丟失之前，調(diào)查員甲已進(jìn)行相關(guān)的數(shù)據(jù)分析并計(jì)算出該組數(shù)據(jù)的線性回來方程為，且依據(jù)回來方程預(yù)估一名身高為的學(xué)生體重為，計(jì)算得到的其他數(shù)據(jù)如下：.學(xué)生的編號(hào)身高體重（1）求的值及表格中名學(xué)生體重的平均值；（2）在數(shù)據(jù)處理時(shí)，調(diào)查員乙發(fā)覺編號(hào)為的學(xué)生體重?cái)?shù)據(jù)有誤，應(yīng)為，身高數(shù)據(jù)無誤.請你依據(jù)調(diào)查員乙更正的數(shù)據(jù)重新計(jì)算線性回來方程，并據(jù)此預(yù)估一名身高為的學(xué)生的體重.附：回來直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為：，.【答案】（1），；（2），.【解析】【分析】（1）將預(yù)估一名