2024秋新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)跟蹤檢測(cè)三十三蝗制新人教A版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE2弧度制層級(jí)(一)“四基”落實(shí)練1．600°化為弧度數(shù)為()A．eq\f(10,3)πB．eq\f(11π,3)C.eq\f(5π,3) D．eq\f(13π,6)解析：選A依據(jù)1°＝eq\f(π,180)弧度，600°＝600×eq\f(π,180)＝eq\f(10π,3).2．已知扇形的周長(zhǎng)為8，扇形圓心角的弧度數(shù)是2，則扇形的面積為()A．2B．4C．6 D．8解析：選B設(shè)扇形的半徑為R，所以2R＋2R＝8，所以R＝2，扇形的弧長(zhǎng)為4，半徑為2，扇形的面積為：S＝eq\f(1,2)×4×2＝4.3．已知單位圓⊙O圓周上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，10分鐘轉(zhuǎn)一圈，則24分鐘之后，OP從起始位置OA轉(zhuǎn)過(guò)的角是()A－eq\f(24π,5) B．eq\f(12π,5)C．eq\f(14π,5) D．eq\f(24π,5)解析：選D因?yàn)橐恢転?π，故10分鐘轉(zhuǎn)了2π，所以每分鐘就轉(zhuǎn)了eq\f(2π,10)＝eq\f(π,5)，故24分鐘轉(zhuǎn)了24×eq\f(π,5)＝eq\f(24π,5)，所以O(shè)P從起始位置OA轉(zhuǎn)過(guò)的角是eq\f(24π,5).4.中國(guó)傳統(tǒng)折扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)，一般狀況下，折扇可看作是由從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的面積為S1，圓面中剩余部分的面積為S2，當(dāng)S1與S2的比值為eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618(黃金分割比)時(shí)，扇面看上去形態(tài)較為美觀，那么此時(shí)扇形的圓心角的度數(shù)約為()A．127.50° B．137.50°C．147.50° D．150.50°解析：選B由題意知，S1與S2所在扇形圓心角的比即為它們的面積比，設(shè)S1與S2所在扇形圓心角分別為α，β，則eq\f(α,β)＝eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，又α＋β＝360°，∴α＋eq\f(α,0.618)≈360°，解得α≈137.50°.5．(多選)已知扇形的周長(zhǎng)是6cm，面積是2cm2，下列選項(xiàng)正確的有()A．圓的半徑為2cm B．圓的半徑為1cmC．圓心角的弧度數(shù)是1 D．圓心角的弧度數(shù)是2解析：選ABC設(shè)扇形半徑為r，圓心角弧度數(shù)為α，則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋αr＝6，,\f(1,2)αr2＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,α＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝2，,α＝1，))可得圓心角的弧度數(shù)是4或1.6．把－570°寫成2kπ＋α(k∈Z，α∈(0,2π))的形式是________．解析：法一：∵－570°＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(570×\f(π,180)))rad＝－eq\f(19,6)πrad，∴－eq\f(19,6)π＝－4π＋eq\f(5,6)π.法二：∵－570°＝－2×360°＋150°，∴－570°＝－4π＋eq\f(5,6)π.答案：－4π＋eq\f(5,6)π7．已知扇形OAB的圓心角為eq\f(5,7)π，周長(zhǎng)為5π＋14，則扇形OAB的面積為________．解析：設(shè)扇形的半徑為r，∵圓心角為eq\f(5,7)π，∴弧長(zhǎng)l＝eq\f(5,7)πr.∵扇形的周長(zhǎng)為5π＋14，∴eq\f(5,7)πr＋2r＝5π＋14，解得r＝7，由扇形的面積公式得S＝eq\f(1,2)×eq\f(5,7)π×r2＝eq\f(1,2)×eq\f(5,7)π×49＝eq\f(35π,2).答案：eq\f(35π,2)8．用弧度表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在圖中陰影部分內(nèi)的角的集合．解：題圖①中，在－360°～0°內(nèi)，以O(shè)B為終邊的角為－30°角，化為弧度為－eq\f(π,6)，75°＝75×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,12)，設(shè)終邊落在題圖①中陰影部分內(nèi)的角為θ，題圖②中，在－360°～0°內(nèi)，以O(shè)B為終邊的角為－135°角，化為弧度為－eq\f(3π,4)，135°＝135×eq\f(π,180)＝eq\f(3π,4)，設(shè)題圖②中終邊落在陰影部分的角為β，層級(jí)(二)實(shí)力提升練1．(多選)下列給出的角中，與－eq\f(11π,3)終邊相同的角有()A．eq\f(π,3)B．eq\f(13π,3)C．－eq\f(2π,3) D．－eq\f(29π,3)解析：選ABD與－eq\f(11π,3)終邊相同的角為2kπ－eq\f(11π,3)，k∈Z，令k＝2，可得2kπ－eq\f(11π,3)＝eq\f(π,3)，令k＝4，可得2kπ－eq\f(11π,3)＝eq\f(13π,3)，令k＝－3，可得2kπ－eq\f(11π,3)＝－eq\f(29π,3).2.勒洛三角形是定寬曲線所能構(gòu)成的面積最小的圖形，它是德國(guó)機(jī)械學(xué)家勒洛首先進(jìn)行探討的，其畫法是：先畫一個(gè)正三角形，再以正三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形，如圖所示，若正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，則勒洛三角形面積為()A．2π－2eq\r(3)B．2π＋eq\r(3)C.eq\f(4π,3)＋eq\r(3) D．4π解析：選A如圖，BC＝2，以B為圓心的扇形面積是eq\f(π×22,6)＝eq\f(2π,3)，△ABC的面積是eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴勒洛三角形的面積為3個(gè)扇形面積減去2個(gè)正三角形面積，即eq\f(2π,3)×3－2eq\r(3)＝2π－2eq\r(3).3．已知圓的一段弧長(zhǎng)等于該圓外切正三角形的邊長(zhǎng)，則這段弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)的肯定值為________；若圓弧長(zhǎng)等于其所在圓的內(nèi)接正方形的周長(zhǎng)，那么這段弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)的肯定值為________．解析：設(shè)圓半徑為r，這段弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為θ，則圓外切正三角形的邊長(zhǎng)為2eq\r(3)r，∴|θ|＝eq\f(2\r(3)r,r)＝2eq\r(3)；又圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為eq\r(2)r，圓弧長(zhǎng)為4eq\r(2)r，∴|θ|＝eq\f(4\r(2)r,r)＝4eq\r(2).答案：2eq\r(3)4eq\r(2)4．已知半徑為10的圓O中，弦AB的長(zhǎng)為10.(1)求弦AB所對(duì)的圓心角α的大??；(2)求α所在的扇形的弧長(zhǎng)l及弧所在的弓形的面積S.解：(1)由⊙O的半徑r＝10＝AB，知△AOB是等邊三角形，∴α＝∠AOB＝60°＝eq\f(π,3).(2)由(1)可知α＝eq\f(π,3)，r＝10，∴弧長(zhǎng)l＝α·r＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)，∴S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10＝eq\f(50π,3)，而S△AOB＝eq\f(1,2)·AB·5eq\r(3)＝eq\f(1,2)×10×5eq\r(3)＝25eq\r(3)，∴S＝S扇形－S△AOB＝25eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－\r(3))).5．同學(xué)們，日常生活中，我們幾乎每天都要看鐘表，它的時(shí)針和分針猶如兄弟倆在賽跑，其中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)．(1)如圖1，上午8：00這一時(shí)刻，時(shí)鐘上分針與時(shí)針?biāo)鶌A的角弧度數(shù)等于________；(2)請(qǐng)?jiān)趫D2中大致畫出8：20這一時(shí)刻時(shí)針和分針的位置，思索并回答：從上午8：00到8：20，時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)是________，時(shí)鐘的時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)是________；(3)“元旦”這一天，城區(qū)某中學(xué)高一年級(jí)部分學(xué)生上午八點(diǎn)多集中在學(xué)校門口打算去步行街進(jìn)行公益服務(wù)，臨動(dòng)身時(shí)，組長(zhǎng)一看鐘，時(shí)針與分針正好是重合的，下午兩點(diǎn)多他們回到學(xué)校，進(jìn)校門時(shí)，組長(zhǎng)望見(jiàn)鐘的時(shí)針與分針?lè)较蛳喾?，正好成一條直線，那么你知道他們?nèi)ゲ叫薪诌M(jìn)行公益服務(wù)共用了多少時(shí)間嗎？通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明．解：(1)eq\f(π,6)×4＝eq\f(2π,3).(2)如圖所示，分針轉(zhuǎn)過(guò)4×eq\f(π,6)＝eq\f(2π,3)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)eq\f(20,60)×eq\f(π,6)＝eq\f(π,18).答案：(1)eq\f(2π,3)(2)eq\f(2π,3)eq\f(π,18)(3)設(shè)8點(diǎn)x分鐘時(shí)動(dòng)身，下午2點(diǎn)y分鐘回到學(xué)校，則(12－1)×eq\f(x,60)×30°＝8×30°，解得x＝eq\f(480,11)≈44，(12－1)×eq\f(y,60)×30°－2×30°＝180°，解得y＝eq\f(480,11)≈44，所以共用6小時(shí)(8：44動(dòng)身，2：44回校)．層級(jí)(三)素養(yǎng)培優(yōu)練如圖所示，一繩索繞在半徑為40厘米的滑輪上，繩索的下端B處懸掛著物體W，假如輪子按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼妱蛩傩D(zhuǎn)6圈，那么大約須要經(jīng)過(guò)幾秒鐘才能使物體W向上上升100厘米？解：設(shè)須要t秒才能使物體W向上上升100