山東省壽光市圣都中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末備考卷B

PAGEPAGE17山東省壽光市圣都中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末備考卷（B）留意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆干脆答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若全集，，，則集合等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，所以．2．已知實數(shù)，滿意，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】在，的條件下，，故“”是“”的充要條件．3．歐拉公式，把自然對數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位，三角函數(shù)和聯(lián)系在一起，被譽為“數(shù)學(xué)的天橋”，若復(fù)數(shù)滿意，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，解得，所以．4．設(shè)，，，若，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，由，得，此時，所以，夾角的余弦值為．5．已知角的終邊與單位圓的交點為，且，則的值等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依據(jù)三角函數(shù)的定義得，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及，得，所以，，所以．6．某中學(xué)共有人，其中男生人，女生人，為了了解該校學(xué)生平均每周體育熬煉時間的狀況以及常常進行體育熬煉的學(xué)生是否與性別有關(guān)（常常進行體育熬煉是指：平均每周體育熬煉時間不少于小時），現(xiàn)在按性別用分層抽樣的方法從中收集位學(xué)生平均每周體育熬煉時間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時），其頻率分布直方圖如圖．已知在樣本數(shù)據(jù)中，有位女生的平均每周體育熬煉時間超過小時，依據(jù)獨立性檢驗原理（）附：，其中．A．有的把握認為“該校學(xué)生平均每周體育熬煉時間與性別無關(guān)”B．有的把握認為“該校學(xué)生平均每周體育熬煉時間與性別有關(guān)”C．有的把握認為“該校學(xué)生平均每周體育熬煉時間與性別無關(guān)”D．有的把握認為“該校學(xué)生平均每周體育熬煉時間與性別有關(guān)”【答案】B【解析】依據(jù)分層抽樣方法知，名樣本中男生人，女生人．依據(jù)頻率分布直方圖可知，常常進行體育熬煉的頻率為，得常常進行體育熬煉的人數(shù)為（人），其中女生有人，可得如下列聯(lián)表：所以，故有的把握認為“該校學(xué)生平均每周體育熬煉時間與性別有關(guān)”．7．的綻開式的各項系數(shù)和為，則該綻開式中的系數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，得的綻開式的各項系數(shù)之和為，由已知，得，此時，故綻開式中項的系數(shù)為．8．已知函數(shù)的定義域為，且，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，可得，即，所以，故不等式的解集為．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9．若正實數(shù)，滿意，則下列說法正確的是（）A．有最大值 B．有最大值C．有最小值 D．有最大值【答案】AB【解析】由基本不等式可得，選項A正確；，所以，選項B正確；，的最小值為，選項C不正確；，得的最小值為，選項D不正確．10．直線與圓相交于，兩點，則的長度可能為（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】易知直線過定點，該點與圓心的距離為，故圓心到直線的距離滿意，所以，即，結(jié)合選項可知B、C正確．11．是居民消費價格指數(shù)（）的簡稱．居民消費價格指數(shù)是一個反映居民家庭一般所購買的消費品和服務(wù)項目價格水平變動狀況的宏觀經(jīng)濟指標．如圖是依據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的年月年我國漲跌狀況數(shù)據(jù)繪制的折線圖（注：年月與年月相比較，叫同比；年月與年月相比較，叫環(huán)比），依據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）A．年月至年月各月與去年同期比較，有漲有跌B．年月居民消費價格指數(shù)同比漲幅最小，年月同比漲幅最大C．年月至年月只跌不漲D．年月至年月漲跌波動不大，改變比較平穩(wěn)【答案】BD【解析】依據(jù)圖中同比的折線圖可知，年月至年月各月與去年同期比較均為漲，故選項A不正確；同樣依據(jù)同比折線圖知選項B正確；依據(jù)環(huán)比折線圖可知，年月、月均為漲，月、月為跌，故選項C不正確；依據(jù)同比、環(huán)比折線圖可知，年月至年月漲跌波動不大，改變比較平穩(wěn)，選項D正確．12．拋物線的焦點為，為其上一動點，設(shè)直線與拋物線相交于，兩點，點，下列結(jié)論正確的是（）A．的最小值為B．拋物線上的動點到點的距離的最小值為C．存在直線，使得，兩點關(guān)于對稱D．若過，的拋物線的兩條切線交準線與點，則，兩點的縱坐標之和的最小值為【答案】AD【解析】依據(jù)拋物線的定義知，拋物線上的動點到點與到焦點的距離之和等于動點到點的距離與到準線的距離之和，因為，所以的最小值為，選項A正確；設(shè)為拋物線上一動點，則，所以的最小值為，選項B不正確；假設(shè)存在直線使得，兩點關(guān)于直線對稱，則直線的斜率為，設(shè)直線，代入拋物線方程，得，則，得，設(shè)，，的中點坐標為，則，，由，得，與沖突，故假設(shè)不成立，故選項C不正確；設(shè)，，由，得，，故過點的拋物線的切線方程為，即①，同理，過點的拋物線的切線方程為②，由①②解得，，因為點在準線上，所以，即，所以，當且僅當時等號成立，故，兩點的縱坐標之和的最小值為，選項D正確．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知雙曲線過點，且與雙曲線有相同的漸近線，則雙曲線的標準方程為．【答案】【解析】由于雙曲線與有相同的漸近線，故可設(shè)雙曲線的方程為，將點代入雙曲線的方程，得，，故雙曲線的標準方程為．14．已知為奇函數(shù)，當時，，則曲線在處的切線方程是．【答案】【解析】當時，，由于為奇函數(shù)，故，，，則，故所求的切線方程為，即．15．聲音是物體振動產(chǎn)生的聲波，其中純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，已知函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，與純音的數(shù)學(xué)模型的圖象重合，則，若函數(shù)在是減函數(shù)，則的最大值是．【答案】，【解析】依據(jù)題意，函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，又的圖象與的圖象重合，且，故，得，所以．令，可得，由于包含的單調(diào)遞減區(qū)間，故，得的最大值為．16．《九章算術(shù)》中記載：將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵，將一塹堵沿其一頂點與相對的棱剖開，得到一個陽馬（底面是長方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐）和一個鱉臑（四個面均為直角三角形的四面體）．在如圖所示的塹堵中，，，，且有鱉臑和鱉臑，現(xiàn)將鱉臑沿翻折，使點與點重合，則鱉臑經(jīng)翻折后，與鱉臑拼接成的幾何體的外接球的表面積是．【答案】【解析】鱉臑經(jīng)過翻折后，記點翻折到處，則與鱉臑拼接成的幾何體是如圖所示的三棱錐，其中平面，底面是邊長為的等邊三角形．設(shè)的中心為，該三棱錐外接球的球心在過且垂直于平面的直線上，連接，則平面，連接，，在中作，因為，所以為的中點，所以，在中，易得，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，所以該幾何體外接球的表面積．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知是的邊上的一點，的面積是面積的倍，．（1）若，求的值；（2）若，，求的長．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因為，，所以，所以，所以．（2）因為，即，以，所以，，，所以．18．（12分）給出以下三個條件：①；②；③．請從這三個條件中任選一個將下面的題目補充完整，并求解．設(shè)數(shù)列的前項和，，且滿意，記，，求數(shù)列的前項和．【答案】見解析．【解析】選①，由已知（?。?，當時，（ⅱ），（?。áⅲ┑茫?，當時，，即，所以，滿意，故是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，，，所以．選②，由已知（ⅰ），當時，（ⅱ），（?。áⅲ┑茫?，當時，滿意，，，所以．選③，由已知（?。?，當時，（ⅱ），（?。áⅲ?，即，當時，，而，得，滿意，故是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以．，，所以．19．（12分）如圖，已知平面平面，直線平面，且．（1）求證：平面；（2）若，平面，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）如圖，過點作于點，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因為平面，平面，所以平面．（2）因為平面，所以，由，可知，又，所以，所以，所以點是的中點，如圖，連接，則，所以平面，則，，所以四邊形是矩形．以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，，．設(shè)平面的法向量為，易知，，由，得，取，得；設(shè)平面的法向量為，易知，，由，得，取，得．設(shè)二面角的平面角為，則，由圖知二面角的平面角是鈍角，所以二面角的余弦值為．20．（12分）已知橢圓與圓相交于，，，四點，四邊形為正方形，，分別是的左、右焦點，的周長為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點，，若直線與直線的斜率之積為，證明：直線恒過定點．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）不妨設(shè)點在第一象限，因為四邊形為正方形，所以，因為點在圓上，所以，即，又點在橢圓上，所以，所以①，又的周長為，所以②，由①②及可解得，，所以橢圓的方程為．（2）①當直線的斜率不存在時，設(shè)，，，因為點在橢圓上，所以，即，所以，不滿意題意；②當直線的斜率存在時，設(shè)，，，聯(lián)立得，整理得，所以，，則，即，解得，所以直線恒過定點．21．（12分）已知函數(shù)．（1）若，在上的最小值是，求；（2）若，且，是的兩個極值點，證明：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，）．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）的定義域是，，令，易知圖象的對稱軸方程為，且，因為，且，所以當時，，此時，所以在上單調(diào)遞增，，解得．（2）由有兩個極值點，，可得在上有個不同的實根，即在上有個不同的實根，則，解得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，所以，當時，，令，則，令，則，當時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，，所以，所以原不等式成立，即．22．（12分）新能源汽車已經(jīng)走進我們的生活，漸漸為大家所青睞．現(xiàn)在有某品牌的新能源汽車在甲市進行預(yù)售，預(yù)售場面異樣火爆，故該經(jīng)銷商采納競價策略，基本規(guī)則是：①競價者都是網(wǎng)絡(luò)報價，每個人并不知曉其他人的報價，也不知道參與競價的總?cè)藬?shù)；②競價采納“一月一期制”，當月競價時間截止后，系統(tǒng)依據(jù)當期汽車配額，依據(jù)競價人的出價從高到低安排名額．某人擬參與年月份的汽車競價，他為了預(yù)料最低成交價，依據(jù)網(wǎng)站的公告，統(tǒng)計了最近個月參與競價的人數(shù)（如下表）：（1）由所收集數(shù)據(jù)的散點圖發(fā)覺，可用線性回來模型擬合競價人數(shù)（單位：萬人）與月份編號之間的相關(guān)關(guān)系．請用最小二乘法求關(guān)于的線性回來方程：，并預(yù)料年月份（月份編號為）參與競價的人數(shù)．（2）某市場調(diào)研機構(gòu)對位擬參與年月份汽車競價人員的報價進行了抽樣調(diào)查，得到如表所示的頻數(shù)表：（ⅰ）求這位競價人員報價的平均值和樣本方差（同一區(qū)間的報價用該價格區(qū)間的中點值代替）；（ⅱ）假設(shè)全部參與競價人員的報價聽從正態(tài)分布，且與可分別由（?。┲械臉颖酒骄鶖?shù)及估計．