新高考數(shù)學一輪復習精講精練6.6 分布列基礎（基礎版）（解析版）

6.6分布列基礎（精講）（基礎版）思維導圖思維導圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一超幾何分布【例1】（2022·四川綿陽）某校高一，高二年級的學生參加書法比賽集訓，高一年級推薦了4名男生，2名女生，高二年級推薦了3名男生，5名女生，從參加集訓的男生中隨機抽取3人，女生中隨機抽取3人組成代表隊參加市上比賽.(1)求高一恰好有1名學生入選代表隊的概率；(2)正式比賽時，從代表隊的6名隊員中隨機抽取2人參賽，設SKIPIF1<0表示參賽的男生人數(shù)，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學期望【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0的分布列見解析，SKIPIF1<0.【解析】(1)SKIPIF1<0從參加集訓的男生中隨機抽取SKIPIF1<0人，女生中隨機抽取SKIPIF1<0人組成代表隊的抽取方法數(shù)為SKIPIF1<0，代表隊中恰好有SKIPIF1<0名高一學生的抽取方式中，恰有SKIPIF1<0名高一學生，若學生為男生，則抽取方法數(shù)為SKIPIF1<0，若學生為女生，則抽取方法數(shù)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0高一恰好有1名學生入選代表隊的概率SKIPIF1<0；(2)依題意得，SKIPIF1<0的所有可能取值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的分布了如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）一個袋中裝有大小相同的8個小球，其中5個紅球，3個黑球，現(xiàn)從中隨機摸出3個球．(1)求至少摸到SKIPIF1<0個紅球的概率；(2)求摸到紅球的個數(shù)SKIPIF1<0的概率分布及數(shù)學期望．【答案】(1)SKIPIF1<0.(2)分布列見解析，SKIPIF1<0.【解析】(1)設至少摸到1個紅球為事件A，則SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0服從超幾何分布，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以摸到紅球的個數(shù)SKIPIF1<0的概率分布列為SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.2．（2022·北京·景山學校模擬預測）4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”．為了解某地區(qū)高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取了500名高一學生進行在線調查，得到了這500名學生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數(shù)據(jù)分成SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)從這500名學生中隨機抽取一人，日平均閱讀時間在SKIPIF1<0內的概率；(2)為進一步了解這500名學生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，記日平均閱讀時間在SKIPIF1<0內的學生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；(3)以樣本的頻率估計概率，從該地區(qū)所有高一學生中隨機抽取10名學生，用SKIPIF1<0表示這10名學生中恰有k名學生日平均閱讀時間在SKIPIF1<0內的概率，其中SKIPIF1<0，1，2，…，10．當SKIPIF1<0最大時，寫出k的值．（只需寫出結論）【答案】(1)0.20(2)SKIPIF1<0的分布列見解析，數(shù)學期望為SKIPIF1<0(3)5【解析】(1)由頻率分布直方圖得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以日平均閱讀時間在SKIPIF1<0內的概率為0.20；(2)由頻率分布直方圖得：這500名學生中日平均閱讀時間在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三組內的學生人數(shù)分別為：SKIPIF1<0人，SKIPIF1<0人，SKIPIF1<0人，若采用分層抽樣的方法抽取了10人，則從日平均閱讀時間在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0內的學生中抽?。篠KIPIF1<0人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，則SKIPIF1<0的可能取值為0，1，2，3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0數(shù)學期望SKIPIF1<0.(3)SKIPIF1<0，理由如下：由頻率分布直方圖得學生日平均閱讀時間在SKIPIF1<0內的概率為0.50，從該地區(qū)所有高一學生中隨機抽取10名學生，恰有k名學生日平均閱讀時間在SKIPIF1<0內的分布列服從二項分布SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由組合數(shù)的性質可得SKIPIF1<0時SKIPIF1<0最大.3．（2022·全國·高三專題練習）新高考按照“3＋1＋2”的模式設置，其中“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學、外語，所有考生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史兩科中選擇一科；“2”為再選科目，考生可在化學、生物、政治、地理四科中選擇兩科.某校為了解該?？忌倪x科情況，從首選科目為物理的考生中隨機抽取10名（包含考生甲和考生乙）進行調查.假設考生選擇每個科目的可能性相等，且他們的選擇互不影響.(1)求考生甲和考生乙都選擇了地理作為再選科目的概率；(2)已知抽取的這10名考生中，女生有4名，從這10名考生中隨機抽取5名，記X為抽取到的女生人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析，SKIPIF1<0【解析】(1)考生可在化學、生物、政治、地理四科中選擇兩科，共有SKIPIF1<0種，其中考生選擇了地理作為再選科目，共有SKIPIF1<0種，故考生甲和考生乙都選擇了地理作為再選科目的概率SKIPIF1<0.(2)由題意可得，SKIPIF1<0所有可能取值為0，1，2，3，4SKIPIF1<0

，SKIPIF1<0

，

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0.考點二二項分布【例2】（2022·河南安陽）某省會城市為了積極倡導市民優(yōu)先乘坐公共交通工具綠色出行，切實改善城市空氣質量，緩解城市交通壓力，公共交通系統(tǒng)推出“2元換乘暢享公交”“定制公交”“限行日免費乘公交”“綠色出行日免費乘公交”等便民服務措施．為了更好地了解人們對出行工具的選擇，交管部門隨機抽取了1000人，做出如下統(tǒng)計表：出行方式步行騎行自駕公共交通比例5%25%30%40%同時交管部門對某線路公交車統(tǒng)計整理了某一天1200名乘客的年齡數(shù)據(jù)，得到的頻率分布直方圖如下圖所示：(1)求m的值和這1200名乘客年齡的中位數(shù)；(2)用樣本估計總體，將頻率視為概率，從該市所有市民中抽取4人，記X為抽到選擇公共交通出行方式的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，中位數(shù)為SKIPIF1<0；(2)分布列見解析，SKIPIF1<0【解析】(1)解：依題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以中位數(shù)為于SKIPIF1<0，設中位數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故這1200名乘客年齡的中位數(shù)為SKIPIF1<0；(2)解：選擇公共交通出行方式的頻率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的可能取值為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0；【一隅三反】1．（2022·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學模擬預測（理））為了解本市成年人的交通安全意識情況，某中學的同學利用五一假期進行了一次全市成年人安全知識抽樣調查．先根據(jù)是否擁有駕駛證，用分層抽樣的方法抽取了200名成年人，然后對這200人進行問卷調查．這200人所得的分數(shù)都分布在SKIPIF1<0范圍內，規(guī)定分數(shù)在80分以上（含80分）的為“具有很強安全意識”，所得分數(shù)的頻率分布直方圖如下圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖計算所得分數(shù)的眾數(shù)及中位數(shù)（中位數(shù)保留小數(shù)點后一位）(2)將上述調查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市成年人中隨機抽取4人，記“具有很強安全意識”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望．【答案】(1)眾數(shù)65分;中位數(shù)66.4分(2)X的分布列見解析，數(shù)學期望為SKIPIF1<0【解析】(1)由頻率分布直方圖，眾數(shù)為65分，又因為SKIPIF1<0，所以中位數(shù)在SKIPIF1<0之間，為SKIPIF1<0（分）；(2)由頻率分布直方圖，抽到“具有很強安全意識”的成年人的概率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故X的分布列為X01234PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0期望SKIPIF1<02．（2022·河南·模擬預測（理））某中學面向全校所有學生開展一項有關每天睡眠時間的問卷調查，調查結果顯示，每天睡眠時間少于7小時的學生占到SKIPIF1<0，而每天睡眠時間不少于8小時的學生只有SKIPIF1<0．現(xiàn)從所有問卷中隨機抽取4份問卷進行回訪（視頻率為概率）．(1)求抽取到的問卷中至少有兩份調查結果為睡眠時間不少于7小時的概率；(2)記抽取到的問卷中調查結果為少于7小時的份數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的概率分布及數(shù)學期望SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析，數(shù)學期望SKIPIF1<0【解析】(1)根據(jù)題意可知每位學生每天睡眠時間少于7小時的概率為SKIPIF1<0，每位學生每天睡眠時間不少于7小時的概率為SKIPIF1<0，所以4份問卷中至少有兩份結果為睡眠時間不少于7小時的概率為：SKIPIF1<0．(2)根據(jù)題意可知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<001234SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．3．（2022·全國·高三專題練習）小明所在學習小組開展社會調查，記錄了某快餐連鎖店每天騎手的人均業(yè)務量．現(xiàn)隨機抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)隨機選取一天，估計這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務量不少于65單的概率；(2)將上圖中的頻率作為相應的概率，從該連鎖店的騎手中任意選3人，記其中業(yè)務量不少于65單的人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學期望．(3)如果該連鎖店的騎手每送1單可以提成3元，試估計一名騎手每天的收入．并說明理由．【答案】(1)0.4；(2)分布列見解析，1.2；(3)186元，理由見解析.【解析】(1)由頻率分布直方圖知，該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務量不少于65單的頻率為：SKIPIF1<0，所以，隨機選取一天，估計這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務量不少于65單的概率為0.4.(2)SKIPIF1<0的可能值為0，1，2，3，依題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<00123SKIPIF1<00.2160.4320.2880.064期望SKIPIF1<0.(3)由頻率分布直方圖知，騎手每天送單的平均數(shù)為：SKIPIF1<0，因騎手每送1單可以提成3元，則騎手每天的收入的期望為SKIPIF1<0（元）.考點三獨立重復實驗【例3】（2022·湖北·黃岡中學三模）2022世界乒乓球團體錦標賽將于2022年9月30日至10月9日在成都舉行．近年來，乒乓球運動已成為國內民眾喜愛的運動之一．今有甲、乙兩選手爭奪乒乓球比賽冠軍，比賽采用三局兩勝制，即某選手率先獲得兩局勝利時比賽結束．根據(jù)以往經驗，甲、乙在一局比賽獲勝的概率分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且每局比賽相互獨立．(1)求甲獲得乒兵球比賽冠軍的概率；(2)比賽開始前，工作人員買來兩盒新球，分別為“裝有2個白球與1個黃球”的白盒與“裝有1個白球與2個黃球”的黃盒．每局比賽前裁判員從盒中隨機取出一顆球用于比賽，且局中不換球，該局比賽后，直接丟棄．裁判按照如下規(guī)則取球:每局取球的盒子顏色與上一局比賽用球的顏色一致，且第一局從白盒中取球．記甲、乙決出冠軍后，兩盒內白球剩余的總數(shù)為SKIPIF1<0，求隨機變量SKIPIF1<0的分布列與數(shù)學期望．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析，SKIPIF1<0【解析】(1)記事件SKIPIF1<0:“甲在第SKIPIF1<0局比賽中獲勝”，SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0:“甲在第SKIPIF1<0局比賽中末勝”SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.記事件SKIPIF1<0“甲奪得冠軍"，則SKIPIF1<0.(2)設甲乙決出冠軍共進行了SKIPIF1<0局比賽，易知SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.記SKIPIF1<0表示第SKIPIF1<0局從白盒中抽取的白色球，SKIPIF1<0表示第SKIPIF1<0局從黃盒中抽取的黃色球，SKIPIF1<0的所有可能取值為SKIPIF1<0;SKIPIF1<0SKIPIF1<0;SKIPIF1<0SKIPIF1<0;SKIPIF1<0.綜上可得，SKIPIF1<0的分布列如下:X123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0數(shù)學期望為SKIPIF1<0【一隅三反】1（2022·全國·模擬預測（理））甲和乙相約下圍棋，已知甲開局時，甲獲勝的概率為SKIPIF1<0；乙開局時，乙獲勝的概率為SKIPIF1<0，并且每局下完，輸者下一局開局.第1局由甲開局.(1)如果兩人連下3局，求甲至少勝2局的概率；(2)如果每局勝者得1分，輸者不得分，先得2分者獲勝且比賽結束（無平局）.若兩人最后的比分為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【解析】(1)甲至少勝2局，則第1到3局勝負情況有{乙勝,甲勝,甲勝}，{甲勝,乙勝,甲勝}，{甲勝,甲勝,乙勝}，{甲勝,甲勝,甲勝}由第1局由甲開局，每局下完輸者下一局開局，所以甲至少勝2局的概率SKIPIF1<0.(2)由題意，SKIPIF1<0可能值為0、1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.2．（2022·河南·開封市東信學校模擬預測（理））靈活就業(yè)的崗位主要集中在近些年興起的主播、自媒體、配音，還有電競、電商這些新興產業(yè)上．只要有網絡、有電腦，隨時隨地都可以辦公．這些崗位出現(xiàn)的背后都離不開互聯(lián)網的加速發(fā)展和短視頻時代的大背景．甲、乙兩人同時競聘某公司的主播崗位，采取三局兩勝制進行比賽，假設甲每局比賽獲勝的概率為SKIPIF1<0，且每局比賽都分出了勝負．(1)求比賽結束時乙獲勝的概率；(2)比賽結束時，記甲獲勝的局數(shù)為隨機變量X，求隨機變量X的分布列．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案見解析【解析】(1)比賽結束時，乙獲勝有三種情況：①第一局甲勝，第二局乙勝，第三局乙勝，②第一局乙勝，第二局甲勝，第三局乙勝，③第一局，第二局2勝，∴比賽結束時乙獲勝的概率SKIPIF1<0；(2)由題意可得，X的所有可能取值為0，1，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴X的分布列為X012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03．（2022·河南·平頂山市第一高級中學模擬預測（理））已知某射擊運動員射中固定靶的概率為SKIPIF1<0，射中移動靶的概率為SKIPIF1<0，每次射中固定靶、移動靶分別得1分、2分，脫靶均得0分，每次射擊的結果相互獨立，該射擊運動員進行3次打靶射擊；向固定靶射擊2次，向移動靶射擊1次．(1)求“該射擊運動員沒有射中移動靶且恰好射中固定靶1次”的概率；(2)若該射擊運動員的總得分為X，求X的分布列和數(shù)學期望．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析；期望為SKIPIF1<0【解析】（1）記“該射擊運動員沒有射中移動靶且恰好射中固定1次”為事件A，則SKIPIF1<0．(2)X的所有可能取值為0，1，2，3，4，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以X的分布列為：X01234PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以X的數(shù)學期望SKIPIF1<0．考點四正態(tài)分布【例4-1】（2022·河南洛陽·模擬預測（理））已知隨機變量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．0.36 B．0.18 C．0.64 D．0.82【答案】C【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選:C．【例4-2】（2022·湖北武漢·高三開學考試）為應對氣候變化，我國計劃在2030年前實現(xiàn)碳排放量到達峰值，2060年前實現(xiàn)“碳中和”.某市為了解本市企業(yè)碳排放情況，從本市320家年碳排放量超過2萬噸的企業(yè)中隨機抽取50家企業(yè)進行了調查，得到如下頻數(shù)分布表，并將年碳排放量大于18萬噸的企業(yè)確定為“超標”企業(yè)：硫排放量X[2.55.5）[5.5，8.5）[8.5，115）[115，14.5）[14.5.175）[175，20.5）[20.523.5）頻數(shù)56912864(1)假設該市這320家企業(yè)的年碳排放量大致服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0近似為樣本平均值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0近似為樣本方差SKIPIF1<0，經計算得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.試估計這320家企業(yè)中“超標”企業(yè)的家數(shù)；(2)通過研究樣本原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，抽取的50家企業(yè)中共有8家“超標”企業(yè)，市政府決定對這8家“超標”企業(yè)進行跟蹤調查，現(xiàn)計劃在這8家“超標”企業(yè)中任取5家先進行跟蹤調查，設Y為抽到的年碳排放量至少為20.5萬噸的企業(yè)家數(shù)，求Y的分布列與數(shù)學期望.（參考數(shù)據(jù)：若X~SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.）【答案】(1)51(2)分布列答案見解析，數(shù)學期望：SKIPIF1<0【解析】（1）由已知，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0所以這320家企業(yè)中“超標”企業(yè)的家數(shù)約為51.（2）由頻數(shù)分布表可知，8家“超標”企業(yè)中碳排放量至少為20.5萬噸的企業(yè)有4家，所以Y的可能取值為1，2，3，4，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以Y的分布列為Y1234PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0【一隅三反】1．（2022·黑龍江·雞西市第四中學三模（理））已知隨機變量SKIPIF1<0服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．0.977 B．0.954 C．0.5 D．0.023【答案】B【解析】隨機變量SKIPIF1<0服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則依據(jù)正態(tài)曲線的性質有SKIPIF1<0故選：B2（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習（理））貴陽一中有2000人參加2022年第二次貴陽市模擬考試，其中數(shù)學考試成績近似服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，試卷滿分150分，統(tǒng)計結果顯示數(shù)學成績優(yōu)秀（高于120分）的人數(shù)占總人數(shù)的SKIPIF1<0，則此次數(shù)學考試成績在105分到120分（含105分和120分）之間的人數(shù)約為（

）A．300 B．400 C．600 D．800【答案】C【解析】由題意，隨機變量SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即正態(tài)分布曲線的對稱軸為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以此次數(shù)學考試成績在90分到105分之間的人數(shù)約為SKIPIF1<0，故選:C．3．（2022·廣東北江實驗學校模擬預測）教育部門最近出臺了“雙減”政策.即有效減輕義務教育階段學生過重作業(yè)負擔和校外培訓負擔，持續(xù)規(guī)范校外培訓（包括線上培訓和線下培訓）.“雙減”政策的出合對校外的培訓機構經濟效益產生了嚴重影響.某大型校外培訓機構為了規(guī)避風險，尋求發(fā)展制定科學方案，工作人員對2021年前200名報名學員的消費金額進行了統(tǒng)計整理，其中數(shù)據(jù)如表.消費金額（千元）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0人數(shù)305060203010(1)該大型校外培訓機構轉型方案之一是將文化科主陣地輔導培訓向音體美等興趣愛好培訓轉移，為了深入了解當前學生的興趣愛好，工作人員利用分層抽樣的方法在消費金額為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的學員中抽取了5人，再從這5人中選取3人進行有獎問卷調查，求抽取的3人中消費金額為SKIPIF1<0的人數(shù)的分布列和數(shù)學期望；(2)以頻率估計概率，假設該大型校外培訓機構2021年所有學員的消費金額可視為服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為報名前200名學員消費的平均數(shù)x以及方差SKIPIF1<0（同一區(qū)間的花費用區(qū)間的中點值替代）.①試估計該機構學員2021年消費金額為SKIPIF1<0的概率（保留一位小數(shù)）；②若從該機構2021年所有學員中隨機抽取4人，記消費金額為SKIPIF1<0的人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的方差.參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0；若隨機變量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】(1)X的分布列為：X123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；(2)①SKIPIF1<0．②SKIPIF1<0．【解析】(1)由題意得，抽中的5人中消費金額為SKIPIF1<0的人數(shù)為SKIPIF1<0，消費金額為SKIPIF1<0的人數(shù)為SKIPIF1<0，設消費金額為SKIPIF1<0的人數(shù)為X，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以X的分布列為：X123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；(2)①由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．②由題意及①得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．4．（2022·廣西桂林·模擬預測（理））W企業(yè)D的產品p正常生產時，產品p尺寸服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，從當前生產線上隨機抽取200件產品進行檢測，產品尺寸匯總如下表．產品尺寸/mm[76，78.5](78.5，79](79，79.5](79.5，80.5]件數(shù)4272780產品尺寸/mm(80.5，81](81，81.5](81.5，83]件數(shù)36206根據(jù)產品質量標準和生產線的實際情況，產品尺寸在SKIPIF1<0以外視為小概率事件．一旦小概率事件發(fā)生視為生產線出現(xiàn)異常，產品尺寸在SKIPIF1<0以內為正品，以外為次品．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)判斷生產線是否正常工作，并說明理由；(2)用頻率表示概率，若再隨機從生產線上取3件產品復檢，正品檢測費10元/件，次品檢測費15元/件，記這3件產品檢測費為隨機變量SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的數(shù)學期望及方差．【答案】(1)生產線沒有正常工作；理由見解析(2)數(shù)學期望是SKIPIF1<0（元）；方差是SKIPIF1<0【解析】（1）依題意，有SKIPIF1<0，所以正常產品尺寸范圍為(78.5，81.5]．生產線正常工作，次品不能多于SKIPIF1<0，而實際上，超出正常范圍以外的零件數(shù)為10，故生產線沒有正常工作．（2）依題意尺寸在(78.5，81.5]以外的就是次品，故次品率為SKIPIF1<0．記這3件產品中次品件數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0服從二項分布SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的數(shù)學期望是SKIPIF1<0（元），方差是SKIPIF1<0．5．（2022·安徽省舒城中學三模（理））某高中組織了1000名學生參加線上新冠肺炎防控知識競答活動，現(xiàn)從參與答題的男生、女生中分別隨機抽取20名學生的得分情況（滿分100分）．得到如下統(tǒng)計圖：(1)若從這40名成績位于SKIPIF1<0的學生中隨機抽取2人，記成績在SKIPIF1<0的人數(shù)為X，求X最有可能的取值；(2)若此次知識競答全校學生的成績Y近似服從正態(tài)分布SKIPIF1<0．若學校要對成績不低于95分的學生進行表彰，請估計獲得表彰的學生人數(shù)．附：若隨機變量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)1(2)23人【解析】(1)40人中，成績位于SKIPIF1<0中有5人，位于SKIPIF1<0有10人，SKIPIF1<0可能的值分別為0，1，2．SKIPIF1<0對應事件的概率為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0對應事件的概率為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0對應事件的概率為SKIPIF1<0；由于SKIPIF1<0最大，故SKIPIF1<0最可能值為1；(2)SKIPIF1<0，獲得表彰的學生人數(shù)約為SKIPIF1<0人；綜上，X最可能的值為1，獲得表彰的人數(shù)約為23人.6.6分布列基礎（精練）（基礎版）題組一題組一超幾何分布1．（2022·云南·昆明市第一中學西山學校）國家“雙減”政策落實之后，某市教育部門為了配合“雙減”工作，做好校園課后延時服務，特向本市小學生家長發(fā)放調查問卷了解本市課后延時服務情況，現(xiàn)從中抽取100份問卷，統(tǒng)計了其中學生一周課后延時服務總時間(單位：分鐘)，并將數(shù)據(jù)分成以下五組：SKIPIF1<0，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)如圖估計該市小學生一周課后延時服務時間的眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)(保留小數(shù)點后一位)；(2)通過調查分析發(fā)現(xiàn)，若服務總時間超過160分鐘，則學生有不滿情緒，現(xiàn)利用分層隨機抽樣的方法從樣本問卷中隨機抽取8份，再從抽取的8份問卷中抽取3份，記其中有不滿情緒的問卷份數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列及均值.【答案】(1)150，151，150.9；(2)分布列見解析，SKIPIF1<0.【解析】(1)眾數(shù)：150；第1到5組頻率分別為：0.05，0.15，0.55，0.2，0.05，平均數(shù)：SKIPIF1<0，設中位數(shù)為SKIPIF1<0，則中位數(shù)在第3組，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)用分層隨機抽樣抽取8份問卷，其中學生有不滿情緒的有8×(0.2＋0.05)＝2份，∴SKIPIF1<0的可能取值為0，1，2，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<0012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.2．（2022·北京·高三專題練習）為迎接SKIPIF1<0年冬奧會，北京市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動，并在培訓結束后對學生進行了考核.記SKIPIF1<0表示學生的考核成績，并規(guī)定SKIPIF1<0為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓活動的效果，在參加培訓的學生中隨機抽取了SKIPIF1<0名學生的考核成績，并作成如下莖葉圖：.(1)從參加培訓的學生中隨機選取SKIPIF1<0人，請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計這名學生考核為優(yōu)秀的概率；(2)從圖中考核成績滿足SKIPIF1<0的學生中任取SKIPIF1<0人，設SKIPIF1<0表示這SKIPIF1<0人中成績滿足SKIPIF1<0的人數(shù)，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學期望；(3)根據(jù)以往培訓數(shù)據(jù)，規(guī)定當SKIPIF1<0時培訓有效.請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判斷此次冰雪培訓活動是否有效，并說明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析，SKIPIF1<0(3)有效，理由見解析【解析】(1)解：設該名學生的考核成績優(yōu)秀為事件SKIPIF1<0，由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可知，SKIPIF1<0名同學中，有SKIPIF1<0名同學的考核成績?yōu)閮?yōu)秀，故SKIPIF1<0.(2)解：由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以，考核成績滿足SKIPIF1<0的學生中滿足SKIPIF1<0的人數(shù)為SKIPIF1<0，故隨機變量SKIPIF1<0的可能取值有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，隨機變量SKIPIF1<0的分布列如下表所示：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此，SKIPIF1<0.(3)解：由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由莖葉圖可知，滿足SKIPIF1<0的成績有SKIPIF1<0個，所以SKIPIF1<0，因此，可認為此次冰雪培訓活動有效.3．（2022·寧夏中衛(wèi)·三模（理））共享電動車（sharedev）是一種新的交通工具，通過掃碼開鎖，實現(xiàn)循環(huán)共享.某記者來到中國傳媒大學探訪，在校園噴泉旁停放了10輛共享電動車，這些電動車分為熒光綠和橙色兩種顏色，已知從這些共享電動車中任取1輛，取到的是橙色的概率為SKIPIF1<0，若從這些共享電動車中任意抽取3輛.(1)求取出的3輛共享電動車中恰好有一輛是橙色的概率；(2)求取出的3輛共享電動車中橙色的電動車的輛數(shù)X的分布列與數(shù)學期望.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)分布列見解析，數(shù)學期望為SKIPIF1<0.【解析】(1)因為從10輛共享電動車中任取一輛，取到橙色的概率為0.4，所以橙色的電動車有4輛，熒光綠的電動車有6輛.記A為“從中任取3輛共享單車中恰好有一輛是橙色”，則SKIPIF1<0.(2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以分布列為SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0數(shù)學期望SKIPIF1<0.4．（2022·廣東·華南師大附中三模）“雙減”政策實施后，為了解某地中小學生周末體育鍛煉的時間，某研究人員隨機調查了600名學生，得到的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表所示：周末體育鍛煉時間SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0頻率0.10.20.30.150.150.1(1)估計這600名學生周末體育鍛煉時間的平均數(shù)SKIPIF1<0；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）(2)在這600人中，用分層抽樣的方法，從周末體育鍛煉時間在SKIPIF1<0內的學生中抽取15人，再從這15人中隨機抽取3人，記這3人中周末體育鍛煉時間在SKIPIF1<0內的人數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學期望SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)分布列答案見解析，數(shù)學期望：SKIPIF1<0.【解析】(1)估計這600名學生周末體育鍛煉時間的平均數(shù)SKIPIF1<0.(2)依題意，周末體育鍛煉時間在SKIPIF1<0內的學生抽6人，在SKIPIF1<0內的學生抽9人，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故X的分布列為：X0123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0.5．（2022·云南保山·模擬預測（理））某高中學校為了解學生的課外體育鍛煉時間情況，在全校學生中隨機抽取了200名學生進行調查，并將數(shù)據(jù)分成六組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．將平均每天課外體育鍛煉時間在SKIPIF1<0上的學生評價為鍛煉達標，將平均每天課外體育鍛煉時間在SKIPIF1<0上的學生評價為鍛煉不達標(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計這200名學生每天課外體育鍛煉時間的眾數(shù)、中位數(shù)；(2)為了了解學生課外體育鍛煉時間不達標的原因，從上述鍛煉不達標的學生中按分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機抽取3人，記這三人中每天課外體育鍛煉時間在SKIPIF1<0的人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學期望．【答案】(1)中位數(shù)為SKIPIF1<0，眾數(shù)等于25(2)分布列見解析，0.9【解析】(1)眾數(shù)就是直方圖中最高矩形底邊中點的橫坐標，則樣本眾數(shù)等于25．由頻率分布直方圖可得，在SKIPIF1<0上的頻率為0.08，在SKIPIF1<0上的頻率為0.16，在SKIPIF1<0上的頻率為0.32，SKIPIF1<0，則中位數(shù)在區(qū)間SKIPIF1<0上．設中位數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即樣本中位數(shù)為SKIPIF1<0．(2)根據(jù)題意，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上抽取的人數(shù)分別為1，2，4，3，其中在SKIPIF1<0上抽取的人數(shù)為3，則SKIPIF1<0，1，2，3．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．從而得到隨機變量SKIPIF1<0的分布列如下表：SKIPIF1<00123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0隨機變量SKIPIF1<0的期望SKIPIF1<06．（2022·北京市朝陽區(qū)人大附中朝陽分校模擬預測）自“新型冠狀肺炎”疫情爆發(fā)以來，科研團隊一直在積極地研發(fā)“新冠疫苗”.在科研人員不懈努力下，我國公民率先在SKIPIF1<0年年末開始使用安全的新冠疫苗，使我國的“防疫”工作獲得更大的主動權.研發(fā)疫苗之初，為了測試疫苗的效果，科研人員以白兔為實驗對象，進行了一些實驗：(1)實驗一：選取SKIPIF1<0只健康白兔，編號SKIPIF1<0至SKIPIF1<0號，注射一次新冠疫苗后，再讓它們暴露在含有新冠病毒的環(huán)境中，實驗結果發(fā)現(xiàn)：除SKIPIF1<0號?SKIPIF1<0號?SKIPIF1<0號和SKIPIF1<0號四只白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染.現(xiàn)從這SKIPIF1<0只白兔中隨機抽取SKIPIF1<0只進行研究，將仍被感染的白兔只數(shù)記作SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學期望.(2)實驗二：疫苗可以再次注射第二針?加強針，但兩次疫苗注射時間間隔需大于三個月.科研人員對白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗對白兔是否有效互相不影響.試問：若將實驗一中未被感染新冠病毒的白兔的頻率當做疫苗的有效率，那么一只白兔注射兩次疫苗后的有效率能否保證達到SKIPIF1<0？如若可以，請說明理由；若不可以，請你參考上述實驗給出注射疫苗后有效率在SKIPIF1<0以上的建議.【答案】(1)分布列見解析；數(shù)學期望SKIPIF1<0；(2)無法保證；建議：需要將注射一次疫苗的有效率提高到SKIPIF1<0以上.【解析】(1)由題意得：SKIPIF1<0所有可能的取值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0數(shù)學期望SKIPIF1<0；(2)由已知數(shù)據(jù)知：實驗一中未被感染新冠病毒的白兔的頻率為SKIPIF1<0，則注射一次疫苗的有效率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0一只白兔注射兩次疫苗的有效率為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0無法保證一只白兔注射兩次疫苗后的有效率達到SKIPIF1<0；設每支疫苗有效率至少達到SKIPIF1<0才能滿足要求，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0需要將注射一次疫苗的有效率提高到SKIPIF1<0以上才能保證一只白兔注射兩次疫苗后的有效率達到SKIPIF1<0.7．（2022·全國·高三專題練習（理））高二年級某班學生在數(shù)學校本課程選課過程中，已知第一小組與第二小組各有六位同學.每位同學都只選了一個科目，第一小組選《數(shù)學運算》的有1人，選《數(shù)學解題思想與方法》的有5人，第二小組選《數(shù)學運算》的有2人，選《數(shù)學解題思想與方法》的有4人，現(xiàn)從第一、第二兩小組各任選2人分析選課情況.(1)求選出的4人均選《數(shù)學解題思想與方法》的概率；(2)設SKIPIF1<0為選出的4個人中選《數(shù)學運算》的人數(shù)，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學期望．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析，期望為SKIPIF1<0【解析】(1)解：設“從第一小組選出的2人選《數(shù)學解題思想與方法》”為事件SKIPIF1<0，“從第二小組選出的2人選《數(shù)學解題思想與方法》”為事件SKIPIF1<0,由于事件SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相互獨立，且SKIPIF1<0，所以選出的4人均選《數(shù)學解題思想與方法》的概率為SKIPIF1<0.(2)解：由題意，隨機變量SKIPIF1<0可能的取值為0，1，2，3，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以隨機變量SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<00123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以隨機變量SKIPIF1<0的數(shù)學期望SKIPIF1<0.題組二題組二二項分布1．（2022·北京·人大附中三模）從某校隨機抽取100名學生，獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：組號分組頻數(shù)1SKIPIF1<062SKIPIF1<083SKIPIF1<0174SKIPIF1<0225SKIPIF1<0256SKIPIF1<0127SKIPIF1<068SKIPIF1<029SKIPIF1<02合計100每周課外閱讀時間小于SKIPIF1<0小時的學生我們稱之為“閱讀小白”，大于等于SKIPIF1<0小時且小于SKIPIF1<0小時的學生稱之為“閱讀新手”，閱讀時間大于等于SKIPIF1<0小時的學生稱之為“閱讀達人”.(1)從樣本中隨機選取一名學生，已知這名學生的閱讀時間大于等于SKIPIF1<0小時，問這名學生是“閱讀達人”概率；(2)從該校學生中選取SKIPIF1<0人，用樣本的頻率估計概率，記這SKIPIF1<0人中“閱讀新手和閱讀小白”的人數(shù)和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學期望；(3)假設同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替，試估計樣本中的SKIPIF1<0名學生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第幾組.（只需寫出結論）【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列答案見解析，SKIPIF1<0(3)第SKIPIF1<0組【解析】(1)解：從樣本中隨機選取一名學生，其中閱讀時間大于等于SKIPIF1<0小時的學生人數(shù)為SKIPIF1<0，“閱讀達人”的學生人數(shù)為SKIPIF1<0，故所求概率為SKIPIF1<0.(2)解：從該校學生中任選一人，該學生是“閱讀小白”或“閱讀新人”的概率為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，隨機變量SKIPIF1<0的分布列如下表所示：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(3)解：樣本中的SKIPIF1<0名學生該周課外閱讀時間的平均數(shù)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因此，樣本中的SKIPIF1<0名學生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第SKIPIF1<0組.2．（2022·安徽·合肥一六八中學模擬預測（理