復(fù)變函數(shù)論教學(xué)大綱09

復(fù)變函數(shù)論（FunctionsofaComplexVariable）復(fù)變函數(shù)論是面向數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)開設(shè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，其主要研究對象是解析函數(shù)。復(fù)變函數(shù)論建立在數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)上，是數(shù)學(xué)分析的推廣和發(fā)展；復(fù)變函數(shù)論又稱復(fù)分析或解析函數(shù)論。因此它不僅在內(nèi)容上與數(shù)學(xué)分析有許多類似之處，而且在研究問題的方面與邏輯結(jié)構(gòu)方面也非常類似。復(fù)變函數(shù)論是一門古老而富有生命力的學(xué)科。早在19世紀(jì)，Cauchy、Weierstrass及Riemann等人就已經(jīng)給這門學(xué)科奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。復(fù)變函數(shù)論不但是我們所學(xué)數(shù)學(xué)分析的理論推廣，而且作為一種強(qiáng)有力的工具，已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用于自然科學(xué)的眾多領(lǐng)域，如理論物理、空氣動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、彈性力學(xué)以及自動(dòng)控制學(xué)等，目前也被廣泛應(yīng)用于信號處理、電子工程等領(lǐng)域。復(fù)變函數(shù)論作為一門學(xué)科，有其自身的特點(diǎn)和研究方法與研究工具，在學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)注意與數(shù)學(xué)分析的比較，從而加深理解，同時(shí)也須注意復(fù)變函數(shù)本身的特點(diǎn)，并掌握它自身所固有的理論和方法，抓住要點(diǎn)，融會(huì)貫通。一．教學(xué)目的與要求這門課與數(shù)學(xué)專業(yè)的許多其它課程有著廣泛的聯(lián)系。其中函數(shù)及其運(yùn)算和初等解析函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)內(nèi)容的深化，同時(shí)復(fù)變函數(shù)在工程、力學(xué)等方面有著廣泛的應(yīng)用。這是一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課。該課程的教學(xué)內(nèi)容分為以下六個(gè)部分：（1）復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)；（2）函數(shù)的可微性——解析函數(shù)；（3）利用積分研究函數(shù)——柯西積分定理與公式；（4）利用級數(shù)（泰樂級數(shù)與洛朗級數(shù)）研究復(fù)函數(shù)；（5）殘數(shù)計(jì)算及其應(yīng)用；（6）研究復(fù)函數(shù)的幾何性質(zhì)——保形變換。通過合理安排教學(xué)內(nèi)容，從更高的一個(gè)層次開展教學(xué)，使整個(gè)教學(xué)活動(dòng)化抽象為具體，也使整個(gè)內(nèi)容易教易學(xué)，提高本課程教學(xué)效率與水平。教學(xué)目的：在復(fù)變函數(shù)論的學(xué)習(xí)過程中，使學(xué)生逐步提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)，掌握數(shù)學(xué)研究的基本思想方法，最終使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到根本的提高，同時(shí)極大的擴(kuò)展學(xué)生的學(xué)習(xí)思路，使他們了解更多的應(yīng)用知識(shí)。二．教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：解析函數(shù)的概念及基本性質(zhì)；解析函數(shù)的求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則；柯西－黎曼條件（C-R條件）；復(fù)變函數(shù)積分的定義及基本性質(zhì)；單連通區(qū)域內(nèi)的柯西積分定理；不定積分概念；多連通區(qū)域內(nèi)的柯西積分定理；柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式；平均值公式；柯西不等式、劉維爾定理、摩勒拉定理；復(fù)數(shù)項(xiàng)及復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、一致收斂及其判別準(zhǔn)則、維爾斯特拉斯定理；解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性、唯一性定理及最大模原理；羅朗級數(shù)的定理與收斂域、解析函數(shù)羅朗展開式的系數(shù)公式、收斂域；解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)（包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)）的分類、三類奇點(diǎn)的特征與性質(zhì)；留數(shù)的定義及計(jì)算方式、留數(shù)定理；輻角原理、儒歇定理；保形映射的概念；初等函數(shù)的保形映射；分式線性函數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)可導(dǎo)與解析的判別法；牛頓-萊布尼茨類似的解析函數(shù)的積分計(jì)算公式的應(yīng)用；柯西積分定理、柯西積分公式及其應(yīng)用。洛朗展式及應(yīng)用；留數(shù)定理；輻角原理、儒歇定理，最大模定理，許瓦茲引理的證明；導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求保形映射。三．教學(xué)方法與手段基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)應(yīng)是啟發(fā)式為主，結(jié)合討論式教學(xué)；《復(fù)變函數(shù)論》是數(shù)學(xué)分析課在復(fù)數(shù)里的推廣，所以應(yīng)注意與數(shù)學(xué)分析的聯(lián)系與比較區(qū)別。四．教學(xué)內(nèi)容與目標(biāo)教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)學(xué)時(shí)分配（總48學(xué)時(shí)）1復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)6學(xué)時(shí)1.1復(fù)數(shù)及其表示方法、運(yùn)算了解11.2復(fù)平面、復(fù)數(shù)的模與輻角.了解1.51.3復(fù)平面上的點(diǎn)集.區(qū)域.區(qū)曲線.掌握21.4無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與擴(kuò)充復(fù)平面.了解1.52解析函數(shù)5學(xué)時(shí)2.1函數(shù)概念.極限與連續(xù).了解12.2復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義.掌握0.52.3解析函數(shù)的概念及基本性質(zhì).掌握12.4解析函數(shù)的求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則.掌握12.5柯西－黎曼條件（C-R條件）.掌握12.6指數(shù)函數(shù).掌握0.53復(fù)變函數(shù)積分9學(xué)時(shí)3.1復(fù)變函數(shù)積分的定義及基本性質(zhì).了解23.2單連通區(qū)域內(nèi)的柯西積分定理.掌握23.3不定積分概念.掌握13.4多連通區(qū)域內(nèi)的柯西積分定理.掌握13.5柯西積分公式，高階導(dǎo)數(shù)公式；掌握2平均值公式3.6柯西不等式，劉維爾定理，代數(shù)基本掌握1定理的證明，摩勒拉定理.4解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法7學(xué)時(shí)4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)及復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，一致收斂及其判別準(zhǔn)則，維爾斯特拉斯定理.掌握24.2冪級數(shù)的收斂圓，收斂半徑公式，冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)表示解析函數(shù).掌握24.3解析函數(shù)在一點(diǎn)鄰域內(nèi)展開成泰勒級數(shù)，掌握14.4解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性，唯一性定理及最大模原理.掌握25解析函數(shù)的羅朗展式與孤立奇點(diǎn)6學(xué)時(shí)5.1羅朗級數(shù)的定理與收斂域，解析函數(shù)羅朗展開式的系數(shù)公式、收斂域.掌握3.55.2解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)（包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)）的分類，三類奇點(diǎn)的特征與性質(zhì).掌握2.56殘數(shù)理論及其應(yīng)用7學(xué)時(shí)6.1留數(shù)的定義及計(jì)算方式，在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù).掌握26.2留數(shù)定理.掌握26.3利用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分.掌握26.4輻角原理，儒歇定理.掌握17保形變換6學(xué)時(shí)7.1導(dǎo)數(shù)的幾何意義，保形映射的概念.了解27.2初等函數(shù)的保形映射掌握2.7.3分式線性函數(shù).掌握2總復(fù)習(xí)2學(xué)時(shí)五．考試范圍和題型：1．考試范圍和分?jǐn)?shù)比例（1）復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 4%（2）解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù) 24%（3）復(fù)變函數(shù)的積分理論 20%（4）解析函數(shù)的級數(shù)表示