2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：第01講 三角恒等變換和解三角形（原卷）

第01講三角恒等變換和解三角形考法呈現(xiàn)考法一：三角函數(shù)和三角恒等變換例題分析【例1】（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)f(x)=sin(1)若f(0)=?32，求(2)已知f(x)在區(qū)間?π3,2π3上單調(diào)遞增，f2π3=1，再從條件條件①：fπ條件②：f?條件③：f(x)在區(qū)間?π注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．滿分秘籍變式訓(xùn)練【變式1-1】（2021·陜西咸陽·校考二模）已知函數(shù)f(1)求函數(shù)fx(2)當(dāng)x∈π8,【變式1-2】（2023·黑龍江齊齊哈爾·齊齊哈爾市實驗中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)f(x)=cos(ωx+φ)在區(qū)間?π6,π3(1)求y=f(x)的圖象的一個對稱中心的坐標(biāo)；(2)若點P?π12,3【變式1-3】（2023·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預(yù)測）a=3sinωx,sin(1)若ω=1，求fπ(2)若函數(shù)fx的最小正周期為①求ω的值；②當(dāng)x∈5π24,5π12【變式1-4】（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)求f0(2)從①ω1=1,ω2=2；②ω1=1,【變式1-5】（2023·上海松江·?？寄M預(yù)測）已知向量m=2sinωx,cos2ωx,(1)求fx(2)在△ABC中，若fB=?2,BC=3考法二：直接用正弦、余弦定理解三角形例題分析【例2】（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學(xué)?？家荒＃┰凇鰽BC中，三邊a,b,c所對的角分別為A,B,C，已知a=4，cos(1)若c=23，求sin(2)若AB邊上的中線長為372，求AB滿分秘籍變式訓(xùn)練【變式2-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）在三角形△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且sinA=(1)從下列中選擇一個證明：①證明：asinA=b(2)求三角形△ABC面積的最小值．【變式2-2】（2022·上海奉賢·統(tǒng)考一模）在△ABC中，A?B?C所對邊(1)求A的值；(2)若a=3，cosB=4【變式2-3】（2021·廣東佛山·統(tǒng)考二模）在①cos2Aa2?cos2Bb問題：已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c；a=1，C=π3，求【變式2-4】（2023·四川綿陽·四川省綿陽江油中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，CD=5，(1)若AC=27，求梯形ABCD(2)若AC⊥BD，求tan∠ABD【變式2-5】（2019·河南·校聯(lián)考二模）在ΔABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足sin2（1）求ab（2）若cosC=34【變式2-6】（2023·廣東東莞·?？既＃┰凇鰽BC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsin(1)求角B的大??；(2)設(shè)a=2，c=3，求sin2A?B考法三：利用正弦定理求外接圓半徑例題分析【例3】（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，bcos(1)求角B的大??；(2)若△ABC為鈍角三角形，且a?c=2，求△ABC外接圓半徑的取值范圍．滿分秘籍變式訓(xùn)練【變式3-2】（2023·江蘇揚州·江蘇省高郵中學(xué)校考模擬預(yù)測）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=2，且sinA+(1)求△ABC的外接圓半徑R；(2)求△ABC內(nèi)切圓半徑r的取值范圍．【變式3-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知△ABC的角A，B，C對邊分別為a，b，c，滿足b+ca=b?ab?c(1)求C；(2)求△ABC外接圓的半徑R.【變式3-4】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）在四邊形ABCD中，AB//(1)證明：AD?sin(2)若AD=1，AB=3，BC=3，∠BAD=2∠BCD，求△BCD【變式3-5】（2023·江蘇揚州·揚州中學(xué)?？寄M預(yù)測）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．從①②③中選取兩個作為條件，補充在下面的問題中，并解答．①cosA=?1725；②△ABC的面積是621問題：已知角A為鈍角，b=5，______．(1)求△ABC外接圓的面積；(2)AD為角A的平分線，D在BC上，求AD的長．考法四：正弦和余弦定理邊角互化的應(yīng)用例題分析【例4】（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，平面四邊形OACB中，△ABC的三內(nèi)角A,B,C對應(yīng)的三邊為a,b,c．給出以下三個條件：①cos②a③△ABC的面積為3(1)從以上三個條件中任選一個，求角C；(2)設(shè)OA=OB=2,AB=AC，在（1）的條件下，求四邊形OACB的面積的最大值．滿分秘籍變式訓(xùn)練【變式4-1】（2023·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知c(1)求角A的大??；(2)若b=1，sinB=217，求邊c【變式4-2】（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(2A+B)=2(1)證明：b=2a；(2)點D是線段AB上靠近點B的三等分點，且CD=AD=1，求△ABC的周長.【變式4-3】（2023·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)?？既＃┮阎猘,b,c分別為銳角△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊，b?2acos(1)證明：C=2A；(2)求sinA【變式4-4】（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考一模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2acos(1)求A的大??；(2)若b=3，c=3，求BC【變式4-5】（2023·四川綿陽·三臺中學(xué)?？家荒＃┰凇鰽BC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m=2b,1，n=(1)求角B的大??；(2)若點M為BC中點，且AM=AC，求sin∠BAC【變式4-6】（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，滿足b=3(1)求角B；(2)若acosC?ccos【變式4-7】（2023·廣東深圳·?？级＃┯洝鰽BC的內(nèi)角A?B?C的對邊分別為a?b?c，已知sinB(1)證明：b+c=3a；(2)若角B的平分線交AC于點D，且BD=465，AD【變式4-8】（2023·天津南開·南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，且2bcos(1)求角B的大??；(2)若23sinA考法五：求三角形面積及面積最值或范圍例題分析【例5】（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？既＃鰽BC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sinAa=(1)求B；(2)D為AC的中點，BD2=滿分秘籍變式訓(xùn)練【變式5-1】（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c，且ccos(1)求角C；(2)若△ABC的中線CD長為23，求△ABC【變式5-2】（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠C=135°，BD=5，CD=(1)求cos∠CBD(2)若△ABD為銳角三角形，求△ABD的面積的取值范圍.【變式5-3】（2022·貴州安順·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，為測量某雕像AB的高度（B，C，D，F(xiàn)在同一水平面上，雕像垂直該水平面于點B，且B，C，D三點共線），某校研究性學(xué)習(xí)小組同學(xué)在C，D，F(xiàn)三點處測得頂點A的仰角分別為60°，30°，45°，CD=20米．

(1)求雕像AB的高度；(2)當(dāng)觀景點C與F之間的距離為多少米時，△CDF的面積最大？并求出最大面積．【變式5-4】（2023·湖南長沙·周南中學(xué)?？级＃┮阎蛄縜=（sinx，1+cos2x），b=（cos(1)求函數(shù)y=fx的最大值及相應(yīng)x(2)在△ABC中，角A為銳角且A+B=7π12，fA=【變式5-5】（2022·貴州安順·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a2=bcos(1)求證：A≤π(2)求△ABC面積的最大值．【變式5-6】（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b?b2+(1)求角B的大?。?2)若b2+3c2考法六：求三角形邊長（比）或周長范圍例題分析【例6】在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，33(1)若a=2,b=1，求△ABC的面積；(2)若c=2，求△ABC周長的取值范圍.滿分秘籍變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練6-1】（四川省巴中市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a2?(1)求角A的大小；(2)若a=23，求△ABC【變式訓(xùn)練6-2】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2+c(1)求角B的大??；(2)求ac【變式訓(xùn)練6-3】（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)校考三模）已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，bsin(1)若tanB+tanC=(2)若△ABC為銳角三角形，c=2，求邊長b的取值范圍．【變式訓(xùn)練6-4】（2023·山東·山東省實驗中學(xué)?？级＃┰凇鰽BC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知bsin(1)求角A；(2)若D為邊BC上一點（不包含端點），且滿足∠ADB=2∠ACB，求BDCD【變式訓(xùn)練6-5】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？既＃┰谕顾倪呅蜛BCD中，AB=BC=7(1)若BD=27,cos(2)若四邊形ABCD有外接圓，求AD+CD的最大值.真題專練1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1.(1)求sin∠ABC(2)若D為BC上一點，且∠BAD=90°，求△ADC的面積.2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知在△ABC中，A+B=3C,2sin(1)求sinA(2)設(shè)AB=5，求AB邊上的高．3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知b2(1)求bc；(2)若acosB?bcos4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知△ABC的面積為3，D為BC中點，且AD=1．(1)若∠ADC=π3，求(2)若b2+c5．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c．已知a=39(1)求sinB(2)求c的值；(3)求sinB?C6．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)a>0，函數(shù)f(x)=2x?a(1)求不等式fx(2)若曲線y=fx與x軸所圍成的圖形的面積為2，求a7．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知a=6(1)求c的值；(2)求sinB(3)求sin(2A?B)8．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知4a=5(1)求sinA(2)若b=11，求△ABC的面積．9．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為S1,S(1)求△ABC的面積；(2)若sinAsinC=10．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知sinC(1)若A=2B，求C；(2)證明：211．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知sinC(1)證明：2a(2)若a=5,cosA=2512．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，sin2C=(1)求∠C；(2)若b=6，且△ABC的面積為63，求△ABC13．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA(1)若C=2π3，求(2)求a214．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）在△ABC，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知sinA:sinB:（I）求a的值；（II）求cosC（III）求sin2C?15．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，b=a+1，c=a+2.．（1）若2sinC=3sin（2）是否存在正整數(shù)a，使得△ABC為鈍角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．16．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，c=2bcosB，（1）求∠B；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求BC邊上中線的長．條件①：c=2條件②：△ABC的周長為4+23條件③：△ABC的面積為3317．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)fx（1）求函數(shù)y=f（2）求函數(shù)y=f(x)fx?π418．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）記△ABC是內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點D在邊AC上，（1）證明：BD=b；（2）若AD=2DC，求cos∠ABC19．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？级＃鰽BC的角A,B,C的對邊分別為a,b,c,AB?AC(1)若a=22，求△ABC(2)設(shè)D為AC中點，求A到BD距離的最大值.120．（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=6，bsin(1)若b=1，證明：C=A+π(2)若BC邊上的高為853，求21．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知sinA=(1)求角C的大??；(2)若C的角平分線交AB于點D，且CD=2，求a+2b的最小值，22．（2023·吉林長春·東北師大附中?？寄M預(yù)測）已知△ABC中角A,B,C的對邊分別為a,b,c，acos(1)求A；(2)若a=13，且△ABC的面積為33，求23．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosB=(1)求cos2(2)若b=4，S△ABC=2224．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)