高考數(shù)學(xué)試題(江蘇卷)含答案

2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（江蘇卷）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共計50分．在每小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的．1．下列函數(shù)中，周期為的是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2．已知全集，，，則為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，一條漸近線的方程為，則它的離心率為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4．已知兩條直線，兩個平面．給出下面四個命題：①，；②，，；③，；④，，．其中正確命題的序號是（）Ａ．①、③ Ｂ．②、④ Ｃ．①、④ Ｄ．②、③5．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．6．設(shè)函數(shù)定義在實數(shù)集上，它的圖像關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時，，則有（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．7．若對于任意的實數(shù)，有，則的值為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．8．設(shè)是奇函數(shù)，則使的的取值范圍是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．9．已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，對于任意實數(shù)，有，則的最小值為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知平面區(qū)域，則平面區(qū)域的面積為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共計分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．11．若，，則_____．12．某校開設(shè)門課程供學(xué)生選修，其中三門由于上課時間相同，至多選一門，學(xué)校規(guī)定，每位同學(xué)選修門，共有_____種不同的選修方案．（用數(shù)值作答）13．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則_____．14．正三棱錐的高為，側(cè)棱與底面成角，則點到側(cè)面的距離為_____．15．在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點和，頂點在橢圓上，則_____．16．某時鐘的秒針端點到中心點的距離為，秒針均勻地繞點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時間時，點與鐘面上標(biāo)的點重合．將兩點間的距離表示成的函數(shù)，則_____，其中．三、解答題：本大題共5小題，共計70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本題滿分12分）某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為，計算（結(jié)果保留到小數(shù)點后第2位）：（1）5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確的概率；（4分）（2）5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確的概率；（4分）（3）5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報準(zhǔn)確的概率．（4分）18．（本題滿分12分）如圖，已知是棱長為的正方體，點在上，點在上，且．（1）求證：四點共面；（4分）（2）若點在上，，點在上，，垂足為，求證：平面；（4分）（3）用表示截面和側(cè)面所成的銳二面角的大小，求．（4分）ABABCPQOxyl如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過軸正方向上一點任作一直線，與拋物線相交于兩點．一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于點．（1）若，求的值；（5分）（2）若為線段的中點，求證：為此拋物線的切線；（5分）（3）試問（2）的逆命題是否成立？說明理由．（4分）20．（本題滿分16分）已知是等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，，，記為數(shù)列的前項和．（1）若（是大于的正整數(shù)），求證：；（4分）（2）若（是某個正整數(shù)），求證：是整數(shù)，且數(shù)列中的每一項都是數(shù)列中的項；（8分）（3）是否存在這樣的正數(shù)，使等比數(shù)列中有三項成等差數(shù)列？若存在，寫出一個的值，并加以說明；若不存在，請說明理由．（4分）21．（本題滿分16分）已知是不全為零的實數(shù)，函數(shù)，．方程有實數(shù)根，且的實數(shù)根都是的根；反之，的實數(shù)根都是的根．（1）求的值；（3分）（2）若，求的取值范圍；（6分）（3）若，，求的取值范圍．（7分）2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（江蘇卷）參考答案一、選擇題：本題考查基本概念和基本運(yùn)算．每小題5分，共計50分．1．Ｄ2．Ａ3．Ａ4．Ｃ5．Ｄ6．Ｂ7．Ｂ8．Ａ9．Ｃ10．Ｂ二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算．每小題5分，共計30分．11．12．13．14．15．16．三、解答題17．本小題主要考查概率的基本概念、互斥事件有一個發(fā)生及相互獨立事件同時發(fā)生的概率的計算方法，考查運(yùn)用概率知識解決實際問題的能力．滿分12分．解：（1）次預(yù)報中恰有次準(zhǔn)確的概率為．（2）次預(yù)報中至少有次準(zhǔn)確的概率為．（3）“次預(yù)報中恰有次準(zhǔn)確，且其中第次預(yù)報準(zhǔn)確”的概率為．18．本小題主要考查平面的基本性質(zhì)、線線平行、線面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力．滿分12分．解法一：（1）如圖，在上取點，使，連結(jié)，，則，．因為，，所以四邊形，都為平行四邊形．從而，．又因為，所以，故四邊形是平行四邊形，由此推知，從而．因此，四點共面．（2）如圖，，又，所以，．因為，所以為平行四邊形，從而．又平面，所以平面．（3）如圖，連結(jié)．因為，，所以平面，得．于是是所求的二面角的平面角，即．因為，所以，．解法二：（1）建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，所以，故，，共面．又它們有公共點，所以四點共面．（2）如圖，設(shè)，則，而，由題設(shè)得，得．因為，，有，又，，所以，，從而，．故平面．（3）設(shè)向量截面，于是，．而，，得，，解得，，所以．又平面，所以和的夾角等于或（為銳角）．于是．故．19．本小題主要考查拋物線的基本性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、向量的數(shù)量積、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、簡易邏輯等基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算，考查分析問題、探索問題的能力．滿分14分．ABCPQOABCPQOxyl將該方程代入得．令，，則．因為，解得，或（舍去）．故．（2）由題意知，直線的斜率為．又的導(dǎo)數(shù)為，所以點處切線的斜率為，因此，為該拋物線的切線．（3）（2）的逆命題成立，證明如下：設(shè)．若為該拋物線的切線，則，又直線的斜率為，所以，得，因，有．故點的橫坐標(biāo)為，即點是線段的中點．20．本小題主要考查等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識，考查運(yùn)用方程、分類討論等思想方法進(jìn)行分析、探索及論證問題的能力．滿分16分．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題設(shè)得，，且．由得，所以，．故等式成立．（2）（?。┳C明為整數(shù)：由得，即，移項得．因，，得，故為整數(shù)．（ⅱ）證明數(shù)列中的每一項都是數(shù)列中的項：設(shè)是數(shù)列中的任一項，只要討論的情形．令，即，得．因，當(dāng)時，，為或，則為或；而，否則，矛盾．當(dāng)時，為正整數(shù)，所以為正整數(shù)，從而．故數(shù)列中的每一項都是數(shù)列中的項．（3）取，，．．所以，，成等差數(shù)列．21．本小題主要考查函數(shù)、方程、不等式的基本知識，考查綜合運(yùn)用分類討論、等價轉(zhuǎn)化等思想方法分析問題及推理論證的能力．滿分16分．解：（1）設(shè)為方程的一個根，即，則由題設(shè)得．于是，，即．所以，．（2）由題意及（1）知，．由得是不全為零的實數(shù)，且，則．方程就是．①方程就是．②（?。┊?dāng)時，，方程①、②的根都為，符合題意．（ⅱ）當(dāng)，時，方程①、②的根都為，符合題意．（ⅲ）當(dāng)，時，方程①的根為，，它們也都是方程②的根，但它們不是方程的實數(shù)根．由題意，方程無實數(shù)根，此方程根的判別式，得．綜上所述，所求的取值范圍為．（3）