第二章 數列教學課件

第二章數列

-數列的概念及簡單表示

1、數列的概念：

數列：按一定次序排列的一列數叫做數列.

注意：⑴數列的數是按一定次序排列的。⑵同一個數在數列中可以重復出現.

數列的項：數列中的每一個數都叫做這個數列的項.

2、數列的一般形式：6,外,%,…,％，…，或簡記為｛%｝，其中%是數列的第n項。

3、數列的分類：有窮數列：項數有限的數列.

無窮數列：項數無限的數列.

4、數列與函數的關系：

數列可以看成以正整數集N*（或它的有限子集｛1,2,3,…，n｝）為定義域的函數%=/（〃），當自

變量從小到大依次取值時對應的一列函數值。

5、數列的單調性；

遞增數列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數列.

遞減數列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數列.

常數列：各項相等的數列.

擺動數列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列.

6、數列的表示方法：

（1）表格法：,或簡記為｛。“｝,其中a“是數列的第n項。

（2）圖像法：函數圖象的畫法畫數列的圖形.

具體方法是：以項數〃為橫坐標，相應的項即為縱坐標，即以（冬％）為坐標在平面直角坐標系

中做出點。因為橫坐標為正整數，所以這些點都在丁軸的右側，所得的數列的圖形是一群孤立的

點，而點的個數取決于數列的項數.

（3）解析法：

①數列的通項公式：表示數列｛a,,｝的第"項與序號〃之間的關系的公式.

如：項1_L1

2345

11111

序號12345

這個數的第一項與這一項的序號可用一個公式：4=L來表示。

n

②數列的遞推公式：表示任一項與它的前一項a.」（或前幾項）間的關系的公式.

如：下數字排列的一個數列：3,5,8,13,21,34,55,89

遞推公式為:=3,a2=5,an=an_x+??_2(3<n<8)

數列的概念及表示練習題

1、下列說法中，正確的是（)

A.數列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}

B.數列1,0,-1,一2與數列—2,-1,0,1是相同的數列

〃+1的第項為+工

C.數列41

nk

D.數列0,2,4,6,8,…可記為｛2｝

2、己知數歹,那么（)

A.0是數列中的一項B.21是數列中的一項

C.702是數列中的一項D.以上答案都不對

3、數列11,13,15,…，2〃+1的項數是(）

A.nB.n—3C.〃一4D.n—5

n

4、右4=-則與的大小關系是（)

川十2

不能確定

A-a?>an+iB?an<an+iC-D.

。,用=」G一對所有的正整數〃都成立，且為=1,，則為

5、在數列｛4｝中,)

n+l2+a“72

A.0B.1C.-1D.2

6、一個數列｛?！保?其中q=3,4=6,4+2=那么這個數列的第5項是（）

A.6B.-3C.-12D.-6

7、

上述關于星星的圖案構成一個數列，該數列的一個通項公式是（）

n(n-l)

A.a=n2-n+1B?

tl2

〃(及+1)〃("+2)

C.aD.a

n2n2

8、下面對數列的理解有四種:

①數列可以看成一個定義在N*上的函數；②數列的項數是無限的;

③數列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點；④數列的通項公式是唯一的.

其中說法正確的序號是（）

A.①②③B.②③④C.①③D.①②③④

9、數列｛q｝中，4=〃2-7〃+6,那么150是其第項.

10、已知q=1,an=1+—!—則％=.

Un-\

（、!（〃為正奇數）

11、已知數列｛4｝的通項公式為=（〃'）,它的前8項依次為_________

為正偶數）

12、根據下面數列的前兒項的值，寫出數列的一個通項公式:

246810

(1)3,5,7,9,11,⑵針石‘或后

⑶0,1,0,1,0,1,(4)2,-6,12,-20,30,-42,

2n1+(-1)"

解：(1)%=2n+l；(2)an=----------------；(3)an-

"(2〃一1)(2〃+1)2

(4)將數列變形為1X2,-2X3,3X4,-4X5,5X6,

1.a?=(-l)rt+1n(n+l)

13、數列｛〃“｝中，已知=（一1）"〃+。（（2為常數），且4+4=3。2，求4oo.

14、已知數列｛4｝的通項公式g=5+3〃，求：⑴%等于多少；（2）81是否為數列｛%｝中的項，若是，是

第幾項；若不是，說明理由.

-等差數列的定義與性質

1>定義：an+i-an-d（d為常數），a“=q+（〃-l）d

等差中項：x,A,y成等差數列02A=x+y

一（a,+a,,｝nn（n-\\

前〃項和：S“=L一'^-=na.+-^——

n212

2、等差數列的證明與判斷：

證明方法：①遞推關系（定義）：??+,-an=d”為常數，〃eN.）

②等差中項法：2a”=an_x+an+i（〃>i）

判斷方法：③通項公式=%+（“一Dd=+q（其中p,q為常數）

c〃（區(qū)+[“）n（n-V）2

④前n項和S“=-=an+--—d為常數）

1—x=An+Bn（A,B

3、性質：｛4｝是等差數列

（1）任兩項關系：?,；=am+（n-ni）d（其中機。鹿）

（2）單調性：d>0,數列｛a"是遞增數列；（1<0,數列忸11｝是遞減數列；

d=0,數列｛a#是常數列。

（3）最值：｛可｝為等差數列=S,,=a〃2+0〃（。，人為常數，是關于〃的常數項為0的二次函數）。

S,,的最值可求二次函數S“=a〃2+b〃的最值或者求出｛4｝中的正、負分界項。

即：當q>0,d<0,解不等式組1〃可得S〃達到最大值時的〃值。

13。

an<0

當4<0,d>0,由"可得"達到最小值時的〃值。

（4）若機+”=p+鄉(xiāng)=2左，則am+an=ap+aq=2ak

岡數列｛%,1｝,｛。2"｝，｛。2”+1｝仍為等差數列，“S2n-S?,S3n-S2l,……仍為等差數列，公差為〃2]；

（6）若三個成等差數列，可設為a—d,a,a+d.

(7)若可,a是等差數列，且前〃項和分別為S,,T?,則胃=20

(8)數列奇數項與偶數項的關系：

①項數為偶數2〃的等差數列｛%｝有S偶一5奇=,上=&.

'S偶?,|+|

s2n=n[a｛+a2n)=n(a2+a2n_1)=■■■=n(an+a“+iXa”a“+i為中間兩項)。

②項數為奇數2/一1的等差數列｛4｝有S2“T=(2〃-1)凡3“為中間項)。

等差數列練習題

一、選擇題

1、在等差數列40,37,34,…中，第一個負數項是()

A第13項B第14項C第15項D第16項

2、一個凸五邊形的內角的度數成等差數列，且最小角是46°,則最大角是()

A108°B139°C144°D170°

3、給出下列等式：(l)an+,-an=p(p為常數,nwN*)；(2)2a?+1=an+an+2(neN*)；

(3)%=如+仇&,6為常數,〃eN*),則無窮數列｛”“｝為等差數列的充要條件是()

A(1)B(1)(3)C(1)(2)D(1)(2)(3)

4、等差數列｛4｝的首項為70,公差為一9,則這個數列中絕對值最小的一項是()

A%Ba9Cal0D

5、一個等差數列的第5項%=10,且0+42+%=3,則有()

A<2(=-2,d=3B=2,d=—3C=-3,d=2Da]=3,d=—2

6、等差數列｛4｝的前n項和為S〃，且S3=6,q=4,則公差d等于()

5

A.1B-C.-2D3

3

7、在等差數列｛風｝中，若4+4+%+4+%=450,則生+/的值等于()

A.45B.75C.180D.300

8、已知為等差數列，4+%+%=105,4+/+4=99,貝/20等于()

A.-1B.1C.3D.7

9、在等差數列｛4｝中，已知4+%=12,那么它的前8項和§8=()

A12B24C36D48

10、已知｛〃“｝是等差數列，4+%=4,%+4=28,則該數列前10項和品）等于（)

A.64B.100C.110D.120

H1

11、記等差數列｛?！ǎ那啊椇蜑镾“，右6=5,54=20,則臬=<)

A.16B.24C.36D.48

12、設等差數列｛。〃｝的前〃項和為,若§3=9,56=36,則a7+6+%=()

A.63B.45C.36D.27

13、在項數為2n+l的等差數列中，所有奇數項和是165,所有偶數項和是150,則n=()

A9B10C11D12

14、等整數列｛?！ǎ凹禹椇蜑?,前2m項和為10,則它的前3根項和為（）

A.13B.17C.21D.26

二、填空題

I.在等差數列中已知ai=12,a6=27,貝ijd=

2.（。+刀2與他一與2的等差中項是-

3.已知數列｛?！埃秊榈炔顢盗校谊?4，?14—36.則。20=-

4.在等差數列｛%｝中，若小+。4+%0+=201。，則為+%+?=-

5.在等差數列｛%｝中，若$3=0,$6=-18,貝|J$9=.

6.若m—1,m,m2+1成等差數列，則m=.

7.已知等差數列｛4｝的前〃項和為S“，若，2=21,則4+4+4+?！?.

8,設等差數列｛4｝的前"項和為S,,,若%=5%則“■=

三、解答題

1、在等差數列｛?！埃校孩乓阎?=a,%。=120,求Si2o；⑵已知4=12,S”=187,求a”.

2、在等差數列｛%｝中，出=一15,公差d=3,求數列｛4｝的前〃項和S,,的最小值。

3、一等差數列前4項的和是24,前5項的和與前2項的和的差是27,求這個等差數列的通項公式。

4、己知｛%｝為等差數列，4=2,4=3,若在每相鄰兩項之間插入三個數，使它和原數列的數構成一個

新的等差數列，求：

(1)原數列的第12項是新數列的第幾項？

(2)新數列的第29項是原數列的第幾項？

5、己知一個共有〃項的等差數列前4項和為26,末4項和為110,且所有項之和為187,求〃的值.

6、一個等差數列的前12項和為354,前12項中偶數項的和與奇數項的和之比為32:27,求公差

7、一個等差數列的前10項和為100,前100項和為10,求它的前110項和。

8、兩個等差數列，它們的前〃項和之比為止口，求這兩個數列的第九項的比。

2n-\

9、已知等差數列｛%｝中，=-16,儀4+。6=°，求｛*｝前n項和

2

10、在數列｛許｝中，an=n+kn,對于任意的正整數〃，都有。，用＞明恒成立，求實數％的取值范圍.

三等比數列的定義與性質

1、定義：^-=q（4為常數，4中0）,an=atq"~'

/

等比中項：x、G、y成等比數列nG?=孫，或G=±而

叫（g=l）

前n項和：S-<（1-q"）

-4——^（#i）

i-q

2、等比數列的證明：①遞推關系（定義）：all+i/an=q（q為常數,〃GN*）

2

②等比中項法：an=?_]凡+]（〃>1,。,尸0）

注：（1）等比數列中a“70,g#0,且相間項符號相同；

（2）既是等差數列又是等比數列的數列一定是非零常數列；前n項和S“=〃4。

3、性質：｛q｝是等比數列

nm

（1）任兩項關系：an=am?q~（其中加?！ǎ?/p>

2

（2）若機+〃=〃+鄉(xiāng)=24,則=ap.ciq=ak

（3）Sn,S2?-Sn,Sin-S2?……仍為等比數列，公比為

等比數列測試題

一、選擇題：

1、ac=b”是a、/?、c,成等比數列的（）

A、充分不必要條件B、必要不充分條件

C、充要條件D、既不充分也不必要條件

917

2、在等比數列中，4=二,%=上應=—,則項數n為（）

1833

A、3B、4C、5D、6

3、己知一等比數列的前三項依次為x,2x+2,3x+3,那么一13,是此數列的第（）項

2

A、2B、4C、6D、8

4、在等比數歹|J｛4｝中，4]=1,。[0=3，則4a5。6%。8。9=（）

A、81B、27^27C、V3D、243

5、在公比為整數的等比數列｛2｝中，如果囚+4=18.+%=12,那么該數列的前8項之和為（)

A、513B>512C>510D、---

8

6、已知等差數列｛斯｝的公差為2,若0,〃3,成等比數列，則。2等于（）

AN—4-6C、-8D^—10

7、設4,出，生，％成等比數列，其公比為2,則2%-+%一的值為（）

2%+。4

111

A、一B、一C、一D、1

428

8、等比數列｛?！ǎ校?+。3=6,。2。3=8,則9=（）

A^2B、一C、2或一D^一2或---

222

9、在等比數列｛??｝中，§4=1,§8=3,則。17+。18+〃19+。20的值是（）

A、14B、16C、18D、20

10>等比數列｛《7｝的各項均為正數，且。5。6+。4。7=18,則log3。］+log3〃2+.??+10g3〃10=（）

A、12B、10C、1+log35D>2+log35

二、填空題：

11、在等比數列｛%｝中，若%,%o是方程3，—2x—6=0的兩根，則4?%=。

12、已知在等比數列｛/｝中，各項均為正數，且4=1,/+%+。3=7,則數列｛%｝的通項公式是

an=-----------。

13、在正項等比數列｛%｝中，?；?+2。3。5+。3。7=25,則。3+。5=。

14、在等比數列｛?！ǎ校阎?生+。3=1，。4+。5+。6=-2,則該數列的前15項的和

S15=0

三、解答題：

15、已知數列｛4｝為等比數列.

（1）若。5=4,%=6，求。［2；⑵若。4—4=24,。>+。3=6,=125,求〃。

16>在等比數列｛%｝的前n項和中，%最小，且為+%=66,〃2%一1=128，前n項和S〃=126,求n

和公比q。

17、等比數列｛凡｝的首項為q=2002,公比4=—；.

(1)設/(n)表示該數列的前“項的積，求/(〃)的表達式。

18、已知等比數列｛4｝中，。2=2,%=128.若勿=1。824,數列｛4｝前〃項的和為S..

(I)若S,=35,求〃的值；(II)求不等式S“<2〃的解集.

四求數列通項公式的常用方法

1、公式法(定義法)：根據等差數列、等比數列的定義求通項。

如果已知數列為等差(或等比)數列，可直接根據等差(或等比)數列的通項公式，求得q,d(或

q),從而直接寫出通項公式。

例1、等差數列｛4｝是遞減數列，且。2々3?4=48，a2+a3+a4=U,求數列的通項公式。

3+d)?&?(&+d)=48

解析：設等差數列的公差位d,由已知3，3'3,

3%=12

解得］，又｛七｝是遞減數列，d=-2,4=8,

:.dn=8+(〃—1)(—2)=-2"+10,故選(D)。

2、累加法適用于：?！?|=%+/(〃)

例1、若在數列｛。"｝中，q=3,?！?|=。“+〃，求通項明。

解析：由a“+I=an+n得all+1-an=n,所以

aa

n-?-\=n-\,an_x-an_2=n-2,…，a2-at=l,

將以上各式相加得：an—(i\=(?-1)+(/?-2)H---bl,又q=3

所以〃吐l)+3

2

例2、已知數列｛4｝滿足41M=4+2x3"+24=3,求數列｛%｝的通項公式。

解：由。用=%+2x3"+1得一/=2x3"+1則

%=(<2?-an_x)+(%_]-a?_2)H--F(%-。2)+(4-4)+4

=(2x3"-1+l)+(2x3n-2+l)+---+(2x32+l)+(2x3'+1)+3

=2(3，1+3"-2+...+32+3i)+(〃-1)+3

=2型也)+(-1)+3

1-3

=3"-3+〃-1+3

=3"+〃一1

所以a”=3"+〃—1.

3、累乘法適用于：。”+|=/(")%

r\

例1、已知數列｛〃/滿足卬=—，。〃+]=----4，求明。

3H+1

a?7

解：由條件知*L=，—，分別令〃=1,2,3,……代入上式得(”—1)個等式累乘之，即

a”?+1

a,a.aa123〃一1a1

4?...?—n—=—x—X—X....x----=>—n=—

qa2/afl_1234naxn

4、待定系數法：適用于。用=,4+75)

例1已知數列&｝中，G=1q=1,4=2a,1+1(〃>2),求數列｛%｝的通項公式。

解法一：an=2%+1(">2),

可設?！?Z=2(a〃_]+k)?！?女=2an_]+2k

??.an=2?！╛1+左，則&=1/.。〃+1=+1)

又％=1即｛%+1｝是以%+1=2為首項，2為公比的等比數列

n

:.an+l=2,即4=2"-1

解法二：；a“=2az+1(〃N2),：.4“+]=2q,+1

兩式相減得an+l-an=2&—a,-)(〃N2),故數列｛c.—%｝是首項為2,公比為2的等比數列,

再用累加法的...

例2、設數列｛?！埃?=4,a“=3%_]+2〃-1,("22),求a“.

解：設a=a?+An+B,則%=2-A〃-8,將an,代入遞推式，得

b?-An-B=3瓦_]一A(n-l)-fi]+2n-l=3〃-一(3A-2)n-(38-3A+1)

A=3A-2(A-\

n-

6=38-3A+1〔3=1

二取2=可+〃+1…(1)則a=3〃T，又4=6,故a=6x3"i=2x3"代入(1)

得a“=2x3”-n-\

5、構造法：

有些數列本身并不是等差或等比數列，但可以經過適當的變形，構造出一個新的數列為等差或等比數

歹！I,從而利用這個數列求其通項公式。

例1、在數列｛。"｝中，,=1,w=2,an+2=-an+i+-an,求%。

211

解析：在4+2=§4川+§%兩邊減去%+i，得勺+2用=一§(4+1一凡)

/.｛an+]-an｝是以%—4=1為首項，以一;為公比的等比數列，

n

a?+l-a?=(-^)-',由累加法得

aaaa

n=(n~n-\)+—n-2)-----F(%一。］)+〃|

1-(_，嚴

=T產+(-\+..")+1+1=^^=/7尸］+1=汨7嚴

1H—

3

例2、已知數列｛見｝滿足。.=一一,%=1,求數列｛4｝的通項公式。

氏+2

.1。+211.111

解:由己知Z得H:=-----=—I，?----------=一

4+i2?！?cina“+i冊2

_L1為等差數列，_L=i,公差為_L,.?.1-=1+(〃-1)」=，(〃+1),

anI42an22

2

?,冊=—―

72+1

6、公式法：遞推公式中既有S〃，又有％

分析：把已知關系通過4=｛1轉化為數列｛4｝或S,,的遞推關系，然后采用相應的方法求

￡-5“_”22

解。

例1、已知數列伍,｝的各項均為正數，且前n項和S“滿足S,,=工(%+1)(q+2),且％,%,%成等比

6

數列，求數列｛〃〃｝的通項公式。

解：..?對任意〃eV有S“=2(a“+l)(%+2)(1)

6

/.當n=1時，S]=q='(q+1)(q+2),解得a}=1或4=2

6

當n22時，S?_1=^(?n-1+l)(<z?-1+2)(2)

O

(1).(2)整理得：(%+〃,-)(q-3)=0

???｛6｝各項均為正數，，4—%=3

當q=1時，?！?3〃—2,此時=a2ag成立

當4=2時，an-3n-\,此時〃：=a2a9不成立，故。1=2舍去

所以?！?3〃-2

7、對無窮遞推數列求差（商）法

11

例、數列｛風｝=2幾+5,求a

1，/+鏟++鏟no

1c，U

解：〃=1時，—6^1=2x1+5,/.4=14①

111

.N2時,/+鏟++2〃-1=2n-l+5②

14(n=l)

①一②得：-~_La-2,..a“=2"—.a〃=<

nn2"+,(n>2)

例2、已知數列｛?！ǎ凉M足4=1,a=4+2%+3q-例之2),求a

n'nO

解：因為a“=q+2%+3%?1-----2)①

a

所以n+\=4+24+34+…+(〃-+nan②

用②式一①式得用一

則a,=(〃+1)%(〃22)。故-=〃+l(〃N2)

%

所以...--a-,=[n(n-l).......4x3]a,--a.,.③

a,i??,2?22

由=4+2〃2+3/+???+(〃-22),取〃=2得%=4+2%,則％=4，又知q

則生=1，代入③得4=L345…n=G。

所以，｛4｝的通項公式為a“=5.

[練習]數列｛4,｝滿足S,+S,T=g/H4=4,求

q

注意到%T=S“M-S”，代入得年=4又0=4,...｛SJ是等比數列，S“=4"

Sn.

〃》2時，an=Sn-S“_|=.......=3?4"一1

求數列通項公式練習題

1、在數列｛an｝中，a1=1,?！?]+2n-1,求。幾的表達式。

2、在數列｛〃〃｝中，a｝=1,(n+l)?an+i=n?an,求?！ǖ谋磉_式。

2

3、已知數｛凡｝的遞推公式為。用+4,且6=1求通項

4、已知數列｛4｝中％=1且可+1=—%—(〃eN)求數列的通項公式。

氏+1

5、已知數列｛凡｝的前n項和S“=(”+1)2，其中｛4｝是首項為1,公差為2的等差數列.

求數列｛%｝的通項公式.

6、若數列｛?｝滿足%=2,〃〃向一(〃+1)q=2,求數列｛%｝的通項公式。

7、數列｛4｝的前八項和為S”，4=1,6用=2S“(〃eN*).求數列｛《,｝的通項％。

8、設數列｛4｝滿足4+34+32%+?“+3”一%二§,〃eN*.求數列｛叫的通項公式。

9、已知數列｛a“｝的前n項和S.=3+2",求數列｛a,,｝的通項公式.

10、設數列｛小｝的前項的和S,=g（斯-1）（〃wN*）.

（1）求?。虎?；（H）求證數列｛m｝為等比數列.

11、已知數列｛aj滿足a。？=2an+3?2\a,-2,求數列｛an｝的通項公式。

2

12、己知在正整數數列僅“｝中，前〃項和S“，滿足：Sn=-（??+2）,

8

（1）求證：｛〃〃｝是等差數列；

（2）若2=；%-30,求數列｛2｝的前〃項和的最小值.

五求數列前n項和的常用方法

1、公式法：

如果一個數列是等差、等比數列或者是可以轉化為等差、等比數列的數列，我們可以運用等差、等比

數列的前〃項和的公式來求.

①等差數列求和公式：Sn==naA+〃（”Dd

22

叫（4=1）

②等比數列求和公式:

紇%什1)

常見的數列的前n項和：1+2+3+....+n=Z；(-+1),

1+3+5+....+（2n-l）=〃2

F+22+32+……+M=〃（〃+l）（2〃+D,『+23+33+……+/=^1112

62

例1求—F+22—32+42—5?+62-----992+1002.

解：原式=(22-12)+(42-32)+6—52)+…+(10()2-992)=3+7+11+…+199.

由等差數列求和公式，得原式=50*(3+199)=5050.

2

2、倒序相加法：

類似于等差數列的前〃項和的公式的推導方法。如果一個數列｛q｝,與首末兩項等距的兩項之和等于

首末兩項之和，可采用正序寫和與倒序寫和的兩個和式相加，就得到一個常數列的和。這一種求和的

方法稱為倒序相加法.

例1設等差數列｛aj,公差為d,求證：｛aj的前n項和Sn=n(ai+an)/2

解：Sn—ai+82+33+...+an①

倒序得:Sn=an+an-i+an-2+.-.+ai②

①+②得：2Sn=(ai+an)+(a2+a?i)+(a3+an-2)+…+(an+ai)

又*/ai+an=a2+an.i=a3+an.2=...=an+ai

2Sn=n(a2+an)Sn=n(ai+an)/2

點撥：由推導過程可看出，倒序相加法得以應用的原因是借助ai+an=a2+a?i=a3+an-2，..=an+ai即與首末

項等距的兩項之和等于首末兩項之和的這一等差數列的重要性質來實現的。

I22232102

例2求？，++…+：’的和.

12+10222+9232+82102+12

I22232102

解：設5=―-——+——+——+...+—-1—

12+10222+9232+82102+12

1029282I2

則S=-------1-------1-------1---1-------.

102+1222+9232+82102+12

兩式相加，得25=1+升…++l.QS=.

小結：解題時，認真分析對某些前后具有對稱性的數列，可以運用倒序相加法求和.

3、分組求和法：

有一類數列，它既不是等差數列，也不是等比數列.若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比數

列或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.

例4.求數列2工,4工61-,…,2〃+」，…的前〃項和S”.

48162,,+,"

解：S“=（2+4+6+…+2〃）+（*+[+攝+…+擊）=〃（〃+1）+；一擊

例5.求和：S“=（2—3x5-，+（4—3x5」）+（6—3x5-3）+…+（2〃—3x5-'）

解:S?=（2-3x5-1）+（4-3x5-2）+（6-3x5-3）+-..+（2n-3x5-n）

=（2+4+6+…+2〃）-3（5-|+5-2+5-3+...+5-"）

/?（??+l）-3x

小結：這是求和的常用方法，按照一定規(guī)律將數列分成等差(比)數列或常見的數列，使問題得到

順利求解.

針對訓練、求和：5?=(a-l)+(?2-2)+(?3-3)+---+(an-n)

4、裂項相消法：

把數列的通項拆成兩項之差，即數列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵

消，于是前〃項的和變成首尾若干少數項之和，這一求和方法稱為裂項相消法。適用于類似〈二一

4%,

(其中｛q｝是各項不為零的等差數列，c為常數)的數列、部分無理數列等。用裂項相消法求和，需

要掌握一些常見的裂項方法：

(1)=-f---—\特別地當&=1時，.1,--1

〃(〃+左)k\nn+kJnyn+\)n〃+1

（2）/----j=——（）,特別地當k=1時/---7=—J〃+1—y/n

1

例3、數列｛q｝的通項公式為例求它的前〃項和

n+\n+1

小結：裂項相消法求和的關鍵是數列的通項可以分解成兩項的差，且這兩項是同一數列的相鄰兩項,

即這兩項的結構應一致，并且消項時前后所剩的項數相同.

]]1]

針對訓練、(1)求數列…的前〃項和S?

1+收/+36+2品++1

(2)求數列二一,1I1

…的前n項和S“.

1x32^43^5n(n+2)

5、錯位相減法：

類似于等比數列的前"項和的公式的推導方法。若數列各項是由一個等差數列和一個等比數列對應項

相乘得到，即數列是一個“差?比”數列，則采用錯位相減法.

若a“=b“?c”,其中｛"｝是等差數列,｛%｝是公比為q等比數列,令

s“=4q+卜性…+力斥牛/

則qs*=3++…+%%+b?cn+1

兩式相減并整理即得。

例2、已知a?=〃?2"T,求數列｛%｝的前〃項和例

解：S?=102°+2E21+...+(?-l)E2n-2+①

25?=+2必+...+(〃—1)『+〃攵"②

②一①得

5“=心"一1攵。一21-…2"T=心"-2"+1

小結：錯位相減法的求解步驟：①在等式兩邊同時乘以等比數列｛%｝的公比分

②將兩個等式相減；③利用等比數列的前n項和的公式求和.

針對訓練、求和：S,=%+2%2+3。*+…+(Xw0,%w1)

數列求和練習題

1、等差數列｛q｝中，2=10且％,4,即1成等比數列，求數列｛%｝前20項的和52°.

2.數列｛%｝的通項是%=4〃-1,2=q+/+…求數列協,｝的的前〃項和。

n

3.已知數列伍“｝的前〃項和為S“=〃2-4〃+1,求|%|+|。21+1。31+…+1%0I的值。

4、求和：

(1)(47-1)+(?2-2)d---

,\11

(2)----1----h???H-------------

1x33x5(2n-1)(2n+l)

(3)1+2x+3%2+…+nxn1(xw1)

5、數列｛4｝中，％=3"+2〃-1,則前n項和5,,為()

6、若｛4｝的通項為an=-j=■_=，貝ij前100項和S100=。

7、數列｛%｝中，4=(2〃—1)2〃，求它的前n項和

8>已知。W0,求S〃=a+3a~+5。？+7a4+?.?+(2〃—1)〃”.

9、求5抽21。+§抽22。+5皿23。+???+5》288。+$方289。的值。

10、在等差數列｛%｝中，4=1，前〃項和S“滿足條件=邛3，〃=1，2,…，

(I)求數列｛q｝的通項公式；