高考數(shù)學一輪復習 10.1 分類計數(shù)原理與分布計數(shù)原理 理 蘇教版

10.1分類計數(shù)原理與分布計數(shù)原理一、填空題1.有四位老師在同一年級的4個班級中,各教一個班的數(shù)學,在數(shù)學考試時,要求每位老師均不在本班監(jiān)考,則安排監(jiān)考的方法總數(shù)是________種．解析由分步乘法計數(shù)原理知監(jiān)考方法總數(shù)為.答案92.如圖，正五邊形ABCDE中，若把頂點A、B、C、D、E染上紅、黃、綠三種顏色中的一種，使得相鄰頂點所染顏色不相同，則不同的染色方法共有種．解析依題意用三種顏色為五個頂點染色，可將五個頂點分成三組，模型為2、2、1，則共有=30種不同的染色方法．答案303．如圖，用6種不同的顏色把圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有________種．解析從A開始，有6種方法，B有5種，C有4種，D、A同色1種，D、A不同色3種，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480種．答案4804．4位同學從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法有________種．解析分三步，第一步先從4位同學中選2人選修課程甲．共有Ceq\o\al(2,4)種不同選法，第二步給第3位同學選課程，有2種選法．第三步給第4位同學選課程，也有2種不同選法．故共有Ceq\o\al(2,4)×2×2＝24(種)．答案245．從a、b、c、d、e五人中選1名班長，1名副班長，1名學習委員，1名紀律委員，1名文娛委員，但a不能當班長，b不能當副班長．不同選法總數(shù)為________種．解析第1類，a當副班長，共有A44種選法；第2類，a當委員，共有C31C31·A3∴不同選法共有A44＋C31C31·A3答案786．五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，則報名方法的種數(shù)為________．五名學生爭奪四項比賽的冠軍(冠軍不并列)，獲得冠軍的可能性有________種．解析報名的方法種數(shù)為4×4×4×4×4＝45(種)．獲得冠軍的可能情況有5×5×5×5＝54(種)．答案45547．三個人踢毽，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過5次傳遞后，毽又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有________種．解析如圖，甲傳給乙時有5種情況；同理，甲傳給丙也可以推出5種情況，綜上有10種傳法．答案108．如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”．在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是________．解析長方體的6個表面構(gòu)成的“平行線面組”有6×6＝36個，另含4個頂點的6個面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”有6×2＝12個，共36＋12＝48個．答案489．將數(shù)字1,2,3,4,5,6按第一行1個數(shù)，第二行2個數(shù)，第三行3個數(shù)的形式隨機排列，設Ni(i＝1,2,3)表示第i行中最大的數(shù)，則滿足N1＜N2＜N3的所有排列的個數(shù)是________．(用數(shù)字作答)解析由已知數(shù)字6一定在第三行，第三行的排法種數(shù)為Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,5)＝60；剩余的三個數(shù)字中最大的一定排在第二行，第二行的排法種數(shù)為Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,2)＝4，由分步計數(shù)原理滿足條件的排列個數(shù)是240.答案24010.數(shù)字1,2,3，…，9這九個數(shù)字填寫在如圖的9個空格中，要求每一行從左到右依次增大，每列從上到下也依次增大，當數(shù)字4固定在中心位置時，則所有填寫空格的方法共有________種．4解析必有1、4、9在主對角線上，2、3只有兩種不同的填法，對于它們的每一種填法，5只有兩種填法．對于5的每一種填法，6、7、8只有3種不同的填法，由分步計數(shù)原理知共有22×3＝12種填法．答案1211．8名世界網(wǎng)球頂級選手在上海大師賽上分成兩組，每組各4人，分別進行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名與另一組的第二名進行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐第3、4名，大師賽共有________場比賽．解析小組賽共有2Ceq\o\al(2,4)場比賽；半決賽和決賽共有2＋2＝4場比賽；根據(jù)分類計數(shù)原理共有2Ceq\o\al(2,4)＋4＝16場比賽．答案1612．從集合U＝{a，b，c，d}的子集中選出4個不同的子集，需同時滿足以下兩個條件：(1)?，U都要選出；(2)對選出的任意兩個子集A和B，必有A?B或A?B.那么，共有________種不同的選法．解析將選法分成兩類．第一類：其中一個是單元素集合，則另一集合為兩個或三個元素且含有單元素集合中的元素，有Ceq\o\al(1,4)×6＝24(種)．第二類：其中一個是兩個元素集合，則另一個是含有這兩個元素的三元素集合，有Ceq\o\al(2,4)×2＝12(種)．綜上共有24＋12＝36(種)．答案3613．一植物園參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不重復，則不同的參觀路線種數(shù)共有________種．解析如圖所示，在A點可先參觀區(qū)域1，也可先參觀區(qū)域2或3，共有3種不同選法．每種選法中又有2×2×2×2＝16(種)不同路線．∴共有3×16＝48(種)不同的參觀路線．答案48二、解答題14．如圖，用四種不同顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色．則不同的涂色方法共有多少種？解析先涂A、D、E三個點，共有4×3×2＝24種涂法，然后再按B、C、F的順序涂色，分為兩類：一類是B與E或D同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8種涂法；另一類是B與E或D不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3種涂法．所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264(種)．15．如圖所示三組平行線分別有m、n、k條，在此圖形中(1)共有多少個三角形？(2)共有多少個平行四邊形？解析(1)每個三角形與從三組平行線中各取一條的取法是一一對應的，由分步計數(shù)原理知共可構(gòu)成m·n·k個三角形．(2)每個平行四邊形與從兩組平行線中各取兩條的取法是一一對應的，由分類和分步計數(shù)原理知共可構(gòu)成Ceq\o\al(2,m)Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(2,n)Ceq\o\al(2,k)＋Ceq\o\al(2,k)Ceq\o\al(2,m)個平行四邊形．16．現(xiàn)安排一份5天的工作值班表，每天有一個人值班，共有5個人，每個人都可以值多天班或不值班，但相鄰兩天不準由同一個人值班，問此值班表共有多少種不同的排法？解析可將星期一、二、三、四、五分給5個人，相鄰的數(shù)字不分給同一個人．星期一：可分給5人中的任何一人有5種分法；星期二：可分給剩余4人中的任何一人有4種分法；星期三：可分給除去分到星期二的剩余4人中的任何一人有4種分法；同理星期四和星期五都有4種不同的分法，由分步計數(shù)原理共有5×4×4×4×4＝1280種不同的排法．17.中央電視臺“開心辭典”節(jié)目的現(xiàn)場觀眾來自四個不同的單位，分別在右圖中的A、B、C、D四個區(qū)域落座．現(xiàn)有四種不同顏色的服裝，每個單位的觀眾必須穿同色服裝，且相鄰區(qū)域不能同色，不相鄰區(qū)域是否同色不受限制，則不同的著裝方法共有多少種？解析當A、B、C、D四個區(qū)域的觀眾服裝顏色全不相同時，有4×3×2×1=24種不同的方法；當A區(qū)與C區(qū)同色，B區(qū)和D區(qū)不同色且不與A、C同色時，或B區(qū)、D區(qū)同色，A區(qū)、C區(qū)不同色且不與B、D同色時，有2×4×3×2=48種不同的方法；當A區(qū)與C區(qū)同色，B區(qū)與D區(qū)也同色且不與A、C同色時，有4×3=12種不同的方法．由分類計數(shù)原理知共有24+48+12=84種不同的著裝方法．18．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是從A到B的映射．(1)若B中每一元素都有原象，這樣不同的f有多少個？(2)若B中的元素0無原象，這樣的f有多少個？(3)若f滿足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，這樣的f又有多少個？解析(1)顯然對應是一一對應的，即a1找象有4種方法，a2找象有3種方法，a3找象有2種方法，a4找象有1種方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(個)．(2)0無原象，1,2,3有無原象不限，所以為A中每一元素找象時都有3種方法．所以不同的f共有34＝81(個)．(3)分為如下四類：第一類，A中每一元素都與1對應，有1種方法；第二類，A中有兩個元素對應1，一個元素對應2，另一個元素與0對應，有Ceq\