大學(xué)普通物理學(xué)經(jīng)典-剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)省公開課金獎(jiǎng)全國賽課一等獎(jiǎng)微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

第五章剛體轉(zhuǎn)動(dòng)1/64教學(xué)基本要求

一

了解描寫剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物理量，并掌握角量與線量關(guān)系.

二

了解力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概念，掌握剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)定理.

三

了解角動(dòng)量概念，掌握質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)以及剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情況下角動(dòng)量守恒問題.

能利用以上規(guī)律分析和處理包含質(zhì)點(diǎn)和剛體簡(jiǎn)單系統(tǒng)力學(xué)問題.

四了解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能概念，能在有剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問題中正確地應(yīng)用機(jī)械能守恒定律2/64一剛體§5.1剛體轉(zhuǎn)動(dòng)描述1定義：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生改變物體.note：1）理想化模型。2）剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)之間相對(duì)距離不發(fā)生改變。3）視為內(nèi)力無窮大特殊質(zhì)點(diǎn)系。3/642剛體運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng).剛體平動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)1）平動(dòng)：若剛體中全部點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同，或者說剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間連線總是平行于它們初始位置間連線.4/642）轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中全部點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng).轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng).剛體平面運(yùn)動(dòng).5/643)剛體普通運(yùn)動(dòng)質(zhì)心平動(dòng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)+6/64二剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度和角加速度參考平面角位移角坐標(biāo)<0q0>q約定沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)角速度矢量

方向:右手螺旋方向參考軸7/64角加速度1）每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面；2）任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)均相同，但不一樣；3）運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo).定軸轉(zhuǎn)動(dòng)特點(diǎn)

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（一維轉(zhuǎn)動(dòng)）轉(zhuǎn)動(dòng)方向能夠用角速度正負(fù)來表示.8/64三勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式

剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度為恒量時(shí)，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng).剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式對(duì)比9/64四角量與線量關(guān)系10/64飛輪30s內(nèi)轉(zhuǎn)過角度例1一飛輪半徑為0.2m、轉(zhuǎn)速為150r·min-1，因受制動(dòng)而均勻減速，經(jīng)30s停頓轉(zhuǎn)動(dòng).試求：（1）角加速度和在此時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)圈數(shù)；（2）制動(dòng)開始后t=6s

時(shí)飛輪角速度；（3）t=6s時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)線速度、切向加速度和法向加速度.解（1）

t=30s時(shí)，設(shè).飛輪做勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，

t=0s

11/64（2）時(shí)，飛輪角速度（3）時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)線速度大小該點(diǎn)切向加速度和法向加速度轉(zhuǎn)過圈數(shù)12/64剛體繞Oz軸旋轉(zhuǎn),力作用在剛體上點(diǎn)P,

且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi),為由點(diǎn)O到力作用點(diǎn)P徑矢.一力矩P*O2轉(zhuǎn)動(dòng)定律力臂：從O點(diǎn)到作用線垂直距離d叫力臂。力矩為：力大小和力臂乘積，叫做力對(duì)轉(zhuǎn)軸Z力矩。13/64是一矢量。大?。悍较颍河沂致菪?。思索：與Z軸平行力在Z軸上力矩等于多少？作用線過Z軸力在Z軸上力矩等于多少？判斷：平行于Z軸力對(duì)Z軸力矩一定是0，垂直于Z軸力對(duì)Z軸力矩一定不為0.14/64O討論

1）若力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向兩個(gè)分量

2）合力矩等于各分力矩矢量和其中對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩為零，故對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩15/64結(jié)論：剛體所受協(xié)力為0是，剛體協(xié)力矩能夠?yàn)?，也能夠不為0.當(dāng)協(xié)力矩為0時(shí)，協(xié)力不一定為0.T1T116/643）剛體內(nèi)作用力和反作用力力矩相互抵消O17/64O二轉(zhuǎn)動(dòng)定律2）剛體質(zhì)量元受外力，內(nèi)力

1）單個(gè)質(zhì)點(diǎn)與轉(zhuǎn)軸剛性連接外力矩內(nèi)力矩O18/64剛體所受對(duì)于某一固定軸協(xié)力矩等于剛體對(duì)此轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體在此協(xié)力矩作用下所取得角加速度乘積。轉(zhuǎn)動(dòng)定律定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量O19/64Note：1）轉(zhuǎn)動(dòng)定律中各量均對(duì)同一轉(zhuǎn)軸。2）此方程式類似于。說明力矩是使剛體狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度原因。20/64三轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性量度.質(zhì)量離散分布剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣性計(jì)算方法質(zhì)量連續(xù)分布剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：質(zhì)量元21/64

對(duì)質(zhì)量線分布剛體：：質(zhì)量線密度

對(duì)質(zhì)量面分布剛體：：質(zhì)量面密度

對(duì)質(zhì)量體分布剛體：：質(zhì)量體密度：質(zhì)量元質(zhì)量連續(xù)分布剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量22/64O′O

解設(shè)棒線密度為，取一距離轉(zhuǎn)軸OO′為處質(zhì)量元例1一質(zhì)量為、長(zhǎng)為均勻細(xì)長(zhǎng)棒，求經(jīng)過棒中心并與棒垂直軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.O′O如轉(zhuǎn)軸過端點(diǎn)垂直于棒23/64ORO

例2一質(zhì)量為、半徑為均勻圓盤，求經(jīng)過盤中心O

并與盤面垂直軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

解設(shè)圓盤面密度為，在盤上取半徑為，寬為圓環(huán)而圓環(huán)質(zhì)量所以圓環(huán)對(duì)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量24/64四

平行軸定理P轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小取決于剛體質(zhì)量、形狀及轉(zhuǎn)軸位置.質(zhì)量為

剛體，假如對(duì)其質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，則對(duì)任一與該軸平行，相距為

轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量CO注意圓盤對(duì)P軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量O25/64例4二分之一徑為R，質(zhì)量密度為薄圓盤，有兩個(gè)半徑均為圓孔，兩圓孔中心距離圓盤中心距離均為，如圖所表示。求此薄圓盤對(duì)于經(jīng)過圓盤中心而與盤面垂直軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。O26/64解：賠償法構(gòu)想在帶孔圓盤每個(gè)小孔處填充質(zhì)量為+m′和-m′且相等小圓盤，這么并不會(huì)改變?cè)瓉碣|(zhì)量分布，但形成了正質(zhì)量大圓盤和負(fù)質(zhì)量小圓盤組合體，它們轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都能夠按公式計(jì)算，而帶孔圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量能夠由疊加法求出！正質(zhì)量大圓盤對(duì)盤心O轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：27/64兩個(gè)負(fù)質(zhì)量小圓盤對(duì)O軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：于是帶孔圓盤對(duì)O軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：28/64練習(xí)1：一可忽略質(zhì)量輕質(zhì)平面正方形框架，邊長(zhǎng)為a，其四個(gè)頂點(diǎn)上分別有一個(gè)質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)(平行軸定理)。求：1）此質(zhì)點(diǎn)系垂直于正方形平面且過中心軸OZ轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2）若轉(zhuǎn)軸平移至其中一個(gè)頂點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為多少？3）若轉(zhuǎn)軸平移至正方形一邊中點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為多少？OZ29/64練習(xí)2：求如圖所表示剛體對(duì)經(jīng)過棒端且與棒垂直軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。LRm0mLZ30/64五

轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體與可視為質(zhì)點(diǎn)物體組成系統(tǒng)力學(xué)問題。處理這類問題方法與處理質(zhì)點(diǎn)力學(xué)問題相同：1）選取研究對(duì)象2）分析各隔離體所受力或者力矩，判斷各隔離體運(yùn)動(dòng)情況3）應(yīng)用牛頓定律（質(zhì)點(diǎn)）或轉(zhuǎn)動(dòng)定律（剛體）分別列出方程4）建立角量與線量之間關(guān)系（質(zhì)點(diǎn)與剛體之間聯(lián)絡(luò)）5）連列方程求解簡(jiǎn)單剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，直接應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解。31/64

例5一長(zhǎng)為質(zhì)量為勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O

相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng).因?yàn)榇素Q直放置細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O轉(zhuǎn)動(dòng).試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成角時(shí)角加速度和角速度.

解細(xì)桿受重力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿約束力作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得32/64式中得由角加速度定義代入初始條件積分得33/64

例6質(zhì)量為物體A靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計(jì)繩索相連接，繩索跨過二分之一徑為R、質(zhì)量為圓柱形滑輪C，并系在另一質(zhì)量為物體B上.滑輪與繩索間沒有滑動(dòng)，且滑輪與軸承間摩擦力可略去不計(jì).問：（1）兩物體線加速度為多少？水平和豎直兩段繩索張力各為多少？（2）物體B從靜止落下距離

時(shí)，其速率是多少？ABC34/64ABCOO35/64解（1）隔離物體分別對(duì)物體A、B及滑輪作受力分析，取坐標(biāo)如圖，利用牛頓第二定律、轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程.36/64如令，可得（2）

B由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，下落速率ABC37/64力矩時(shí)間累積效應(yīng)沖量矩、角動(dòng)量、角動(dòng)量定理.一質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律

力時(shí)間累積效應(yīng)沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理.3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒1質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量質(zhì)量為質(zhì)點(diǎn)以速度在空間運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻相對(duì)原點(diǎn)

O

位矢為，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于原點(diǎn)角動(dòng)量大小方向符合右手法則.38/641）質(zhì)點(diǎn)以角速度作半徑為

圓運(yùn)動(dòng)，相對(duì)圓心角動(dòng)量2）角動(dòng)量與位矢和動(dòng)量相關(guān)，即與參考點(diǎn)O選擇相關(guān)。所以，在講述質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量時(shí)，必須指明是針對(duì)哪一點(diǎn)角動(dòng)量。3）角動(dòng)量定義并沒有對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)做任何限制，做直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)對(duì)選定參考點(diǎn)一樣含有角動(dòng)量。39/64作用于質(zhì)點(diǎn)協(xié)力對(duì)參考點(diǎn)O

力矩，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)O

角動(dòng)量隨時(shí)間改變率.2質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理40/64

質(zhì)點(diǎn)所受對(duì)參考點(diǎn)O協(xié)力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)O角動(dòng)量為一恒矢量.

恒矢量

沖量矩質(zhì)點(diǎn)（系）角動(dòng)量定理：對(duì)同一參考點(diǎn)O，質(zhì)點(diǎn)（系）所受沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)（系）角動(dòng)量增量.3質(zhì)點(diǎn)（系）角動(dòng)量守恒定律41/64

例7二分之一徑為R

光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi).一質(zhì)量為m小球穿在圓環(huán)上,并可在圓環(huán)上滑動(dòng).小球開始時(shí)靜止于圓環(huán)上點(diǎn)A

(該點(diǎn)在經(jīng)過環(huán)心O水平面上),然后從A點(diǎn)開始下滑.設(shè)小球與圓環(huán)間摩擦略去不計(jì).求小球滑到點(diǎn)B

時(shí)對(duì)環(huán)心O

角動(dòng)量和角速度.解小球受重力和支持力作用,支持力力矩為零,重力矩垂直紙面向里由質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理42/64考慮到得由初始條件積分上式43/64二剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量定理非剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量定理O44/64

角動(dòng)量守恒定律是自然界一個(gè)基本定律.

內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)角動(dòng)量.

守恒條件若不變，不變；若變，也變，但不變.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量定理3

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量守恒定律，則若討論

在沖擊等問題中常量45/64有許多現(xiàn)象都能夠用角動(dòng)量守恒來說明.自然界中存在各種守恒定律動(dòng)量守恒定律能量守恒定律角動(dòng)量守恒定律電荷守恒定律質(zhì)量守恒定律宇稱守恒定律等花樣滑冰跳水運(yùn)動(dòng)員跳水46/64

被中香爐慣性導(dǎo)航儀（陀螺）

角動(dòng)量守恒定律在技術(shù)中應(yīng)用

47/64角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律應(yīng)用例8質(zhì)量為Ｍ，半徑為Ｒ轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞過中心豎直軸無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)量為ｍ一個(gè)人，站在距離中心ｒ處（ｒ<R），開始時(shí)，人和臺(tái)處于靜止?fàn)顟B(tài)。假如這個(gè)人沿著半徑為ｒ圓周勻速走一圈，設(shè)它相對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)運(yùn)動(dòng)速度為ｕ，求轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)角速度和相對(duì)地面轉(zhuǎn)過角度。Ｒｒ48/64分析：以人和轉(zhuǎn)臺(tái)為一系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)沒有受到外力矩作用，所以系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。應(yīng)用角動(dòng)量定律時(shí)，其中角速度和速度都是相對(duì)于慣性系而言。所以，人在轉(zhuǎn)臺(tái)走動(dòng)時(shí)，必須考慮人相對(duì)地面速度。解：對(duì)于人和轉(zhuǎn)臺(tái)形成系統(tǒng)，角動(dòng)量守恒（思索？）設(shè)人對(duì)地面速度為，轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)地面轉(zhuǎn)速為

，則有：而：49/64代入得：其中，“-”表示轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)方向與人在轉(zhuǎn)臺(tái)走動(dòng)方向相反。因?yàn)閡為恒量，則也為恒量，即勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)在時(shí)間t內(nèi)轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)地面轉(zhuǎn)過角度為，則有50/64？51/64力矩功一力矩作功力空間累積效應(yīng)

力功,動(dòng)能,動(dòng)能定理.力矩空間累積效應(yīng)力矩功,轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,動(dòng)能定理.二力矩功率4轉(zhuǎn)動(dòng)中功和能52/64三轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能四剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所作功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增量.53/64五含有轉(zhuǎn)動(dòng)剛體機(jī)械能守恒定律由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體與另外物體組成系統(tǒng)，只有保守內(nèi)力做功時(shí)，系統(tǒng)總機(jī)械能保持不變。恒量質(zhì)心到勢(shì)能零點(diǎn)高度54/64質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)鋼體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)速度角速度加速度角加速度力Ｆ力矩Ｍ質(zhì)量ｍ轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ｊ動(dòng)量角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與鋼體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)照表55/64牛二律轉(zhuǎn)動(dòng)定律

動(dòng)量定理角動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定律恒矢量角動(dòng)量守恒恒矢量動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能功力矩功動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理56/64角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律綜合應(yīng)用例9質(zhì)量為ｍ小圓環(huán)，套在一長(zhǎng)為，質(zhì)量為Ｍ光滑均勻桿ＡＢ上，桿能夠繞過其Ａ端固定軸在水平面上自由旋轉(zhuǎn)。開始時(shí)，桿角速度為0，兩小環(huán)位于Ａ點(diǎn)，當(dāng)小環(huán)受到一微小擾動(dòng)后，即沿桿向外滑動(dòng)。試求當(dāng)小環(huán)脫離桿時(shí)速度。ＡｍＢ57/64Note：小球脫離桿時(shí)速度是由環(huán)沿桿速度和桿旋轉(zhuǎn)時(shí)環(huán)沿圓周運(yùn)動(dòng)切向速度合成結(jié)果，所以環(huán)