北大版本固體物理8省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件

第八章能帶Ⅱ

§1.運(yùn)動方程

1．準(zhǔn)經(jīng)典近似

點陣周期勢場是在點陣常數(shù)范圍內(nèi)改變，這么勢場只能用量子力學(xué)來處理，因為它是一個微觀場，但對于外加宏觀電磁場，在波包范圍內(nèi)基本是恒定，所以對于宏觀場而言，可把波包運(yùn)動看作經(jīng)典粒子運(yùn)動，而采取經(jīng)典力學(xué)方法來處理。這就是準(zhǔn)經(jīng)典近似方法（或稱半經(jīng)典極限，之所以稱“半”是因為對周期場處理仍按量子力學(xué)方法處理）。

第1頁2.運(yùn)動方程

主要考慮Bloch電子在外加電磁場下運(yùn)動規(guī)律。

Bloch電子速度是Bloch波包群速度

三維時：

第2頁第3頁

若外加電場為，則外場對Bloch電子要作功，在t時間內(nèi)，電子能量增加為：

又∵

(即電子能量改變引發(fā)波矢改變?yōu)閗)又

比較

則

第4頁

若足夠小，則有：

三維時：

上式表明了電子在波矢空間運(yùn)動規(guī)律。從式中可看到：電子晶體動量改變率僅決定于外力，而與周期勢場無關(guān)。

第5頁

（真實空間中運(yùn)動規(guī)律）

（波矢空間中運(yùn)動規(guī)律）

第6頁考慮Bloch電子在外加磁場下運(yùn)動規(guī)律：

第7頁Bloch電子函數(shù)形式與自由電子不一樣（自由電子等能面是球面）。但在能帶極值附近，能夠近似展開成球面。普通說來決定于等能面形狀，而等能面梯度決定了電子在波矢空間速度：

第8頁

從上式可看出在外加磁場下，Bloch電子在波矢空間運(yùn)動規(guī)律：

垂直于電子等能面梯度。所以波矢在電子等能面上運(yùn)動。即在外加磁場下電子能量是不變。同時，又垂直于，說明在波矢空間

運(yùn)動方向與磁場方向是垂直。在與垂直平面上運(yùn)動。電子既要在等能面上運(yùn)動，又要在垂直于平面上運(yùn)動，則只能沿這兩個面交線運(yùn)動。第9頁第10頁§2.空穴

電子從一個能帶躍遷到上一個能帶中去，在原能帶中留下一個空軌道，這個空軌道稱為空穴，空穴是一個幾乎充滿能帶中空軌道，它是在波矢空間能帶中概念，不是真實空間中失去電子后空位，也不是原子離開原位置后留下空位缺點，在外加電磁場下，空穴行為如同一個帶電量為+e粒子。

第11頁1.空穴性質(zhì)

〈1〉空穴波矢是失去哪個電子波矢負(fù)值，既一個能帶若失去了一個空軌道，稱為空穴，空穴波矢

第12頁第13頁

空穴是描述失去了電子能帶簡捷方法，一個充滿能帶失去了電子就產(chǎn)生了空軌道，空軌道性質(zhì)是與失去電子能帶中集體行為聯(lián)絡(luò)在一起（即拿一個電子，剩下2N-1個電子），也就是說失去了一個電子能帶既能夠用2N-1個電子集體行為來描寫，也能夠用一個空穴來描寫，空穴行為是與2N-1個電子集體行為聯(lián)絡(luò)在一起。空穴是假象粒子，是準(zhǔn)離子，主要是為了處理問題方便而引入，空穴性質(zhì)由幾乎充滿電子集體行為所決定。

第14頁〈2〉空穴能量

即空穴能量等于失去那個電子能量負(fù)值。

第15頁第16頁第17頁〈3〉空穴速度

即空穴速度與失去了那個電子速度相同。

第18頁〈4〉空穴有效質(zhì)量

即空穴有效質(zhì)量等于失去了那個電子有效質(zhì)量負(fù)值。

第19頁

電子有效質(zhì)量由電子能帶曲線曲率來定義：

有效質(zhì)量是波矢k函數(shù)，因為[空穴和電子]能帶曲線有中心反演對稱性，這兩條曲線曲率是大小相等符號相反，則可得到

第20頁〈5〉在外加電磁場中空穴運(yùn)動方程如一個帶電荷為+e粒子運(yùn)動方程：

第21頁2.電子和空穴在恒定電場下半經(jīng)典運(yùn)動

在外加恒定電場下，電子波矢改變滿足方程式：

在恒定電場中，電子速度以均勻速度改變，若t=0時刻開始加電場，則在時刻t電子波矢為

第22頁在外加電場下t時刻電子速度為:

第23頁

在BZ邊界上，電子因為受Blagg反射形成駐波，駐波速度為零，∴在BZ邊界上電子速度在一維情況下電子速度是有界函數(shù)

不象自由電子是線性函數(shù)

第24頁

普通情況下，對電流有貢獻(xiàn)不是電子波矢改變，而是電子速度改變，若恒定，電子k是隨時間t線性增加，而電子速度是周期性改變。那么在恒定電場下Bloch電子對電場響應(yīng)應(yīng)該是交流，這個結(jié)果顯然是錯誤。第25頁這主要是我們沒有考慮電子各種散射，電子在運(yùn)動過程中要與聲子、晶體中雜質(zhì)等發(fā)生碰撞，這種碰撞使得把從電場中得到定向運(yùn)動能量耗散掉使得電子在波矢空間中并不是隨t改變而線性增大。而在波矢空間中只運(yùn)動一個很小距離就停頓了。也就是說電子從電場取得能量與碰撞耗散能量相等時就不動了。第26頁

比如：

則

也就是說電子在外場下取得波矢改變?yōu)?，而一個BZ尺寸，即電子波矢改變僅為BZ尺度。換句話說，電子只能在波矢空間在原波矢附近運(yùn)動一個極小距離。所以觀察不到周而復(fù)始改變，因而電子對外加恒定電場就不可能有周期性響應(yīng)。第27頁第28頁

在外場作用下，空穴由E到D運(yùn)動到D點，D位置是空軌道，在下一時刻，電子在電場力-e（在-k方向）作用下繼續(xù)向-k方向運(yùn)動，空穴運(yùn)動到了C點，空穴在波矢空間中與電子運(yùn)動方向是相同，都向-k方向運(yùn)動。不過空穴波矢都沿正k方向改變（∵在波矢空間）。這個結(jié)論與空穴所滿足運(yùn)動方程是一致。

第29頁

半導(dǎo)體價帶是幾乎充滿，我們用空穴來處理較方便，而導(dǎo)帶中只有少數(shù)電子，通常直接用電子圖象。半導(dǎo)體總電流是指價帶中空穴電流加上導(dǎo)電子電流，但這是對兩個能帶來講。

第30頁§3.有效質(zhì)量

1.有效質(zhì)量定義

一維情況下，，電子在

外場作用下得到加速度為：

而由運(yùn)動方程可知：

或第31頁代入上式可得：

或

第32頁我們定義:

叫作電子有效質(zhì)量,于是:

含有牛頓第二定律形式。第33頁

上式說明，在外場作用下，Bloch電子要得到一個加速度，我們定義有效質(zhì)量后，電子質(zhì)量不再是它慣性質(zhì)量，此時力只包含外力而不包含周期勢場作用。（周期勢場作用已含在有效質(zhì)量m*中）這么我們就可用經(jīng)典牛頓定理來處理問題。

第34頁

現(xiàn)在我們看一看對簡單能帶在區(qū)邊界處電子有效質(zhì)量，在區(qū)邊界處電子能譜為：

為區(qū)邊界上自由電子動能，U是周期勢場付里葉系數(shù)。第35頁據(jù)有效質(zhì)量定義，看看在價帶邊與導(dǎo)帶邊表示形式，對拋物線函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)后：

第36頁對于價帶：

對于導(dǎo)帶：

普通情況下

對于導(dǎo)帶邊電子有效質(zhì)量m*

0

對于價帶邊電子有效質(zhì)量m*

0

第37頁

依據(jù)

則|me|

||

U在禁帶寬度數(shù)量級

而

∴|me|/m～

第38頁對普通半導(dǎo)體Eg～0.2～2ev,而λ在20ev左右。

則|me|/m～～0.1～0.01

范圍。

∴電子有效質(zhì)量只是慣性質(zhì)量0.1～0.01。

第39頁引入m*后,函數(shù)在區(qū)邊界附近可寫成:

對于導(dǎo)帶中電子:

(能量零點取在價帶邊上)

相當(dāng)于一個自由電子能譜。

對于價帶中空穴:

也相當(dāng)于一個自由粒子,不論是電子或空穴都可用自由粒子來處理,只不過用有效質(zhì)量來表示,只適合用于區(qū)邊界。

第40頁電子晶體動量和電子速度之間有：

上式只在區(qū)邊界附近成立，因為隨k是逐點改變，只有在區(qū)邊界附近才近似線形關(guān)系。

第41頁

一樣空穴晶體動量與空穴速度之間也有：

引入有效質(zhì)量后，與自由電子關(guān)系就相同了。第42頁運(yùn)動方程可寫成：

第43頁

引入電子或空穴馳豫時間，則電子或空穴在外場下平均漂移速度為：

第44頁電子或空穴在外電場下電流:

這兩部分電流加起來就是半導(dǎo)體總電流(即價帶中空穴電流和導(dǎo)帶中電子電流)。

第45頁

2.有效質(zhì)量張量

在晶體是各向異性情況下有效質(zhì)量m*將不再是標(biāo)量，而是一個張量。

電子或空穴速度：

電子或空穴加速度：

第46頁寫成份量形式：

則

是一個張量。

第47頁

適當(dāng)選取坐標(biāo)系總可把張量對角化，這么坐標(biāo)系稱為主軸坐標(biāo)系。

是三個主軸方向波矢分量，

是三個主軸方向有效質(zhì)量分量。

第48頁

若等能面有旋轉(zhuǎn)橢球形狀（如Ge.Si）在導(dǎo)帶底附近(能量極小值地方)：

第49頁若坐標(biāo)軸如圖所選,則沿、方向有效質(zhì)量為(短軸方向)稱為橫向有效質(zhì)量,而沿長軸方向(方向)為稱為縱向有效質(zhì)量。

第50頁有效質(zhì)量與等能面形狀即函數(shù)相關(guān)，若從試驗上測出了有效質(zhì)量就可分析等能面形狀以及函數(shù)性質(zhì)。

第51頁3．盤旋共振

在外加恒定磁場作用下，自由電子應(yīng)該在等能面上運(yùn)動，它軌道應(yīng)該在垂直于磁場平面與等能面交線上（而在真實空間中自由電子在磁場中運(yùn)動軌跡應(yīng)是螺旋線）盤旋頻率：

第52頁第53頁

而Blooch電子就與自由電子有所不一樣，但若考慮能帶邊上電子（如半導(dǎo)體導(dǎo)帶邊上電子），在外加磁場作用下電子應(yīng)在等能面上盤旋，電子在波矢空間軌道仍是在垂直于磁場平面與等能面交線上，盤旋頻率為：

第54頁若函數(shù)為：

一樣磁場與有一夾角（如圖中紅線所表示），則能夠證實：

第55頁

m*中已含有和貢獻(xiàn)。

若

第56頁若外加一個與磁場方向垂直交變電場當(dāng)電場等于電子盤旋頻率c時，電子會從交變電場中大量吸收能量，發(fā)生能量共振吸收，稱之為盤旋共振，若改變電場頻率，依據(jù)共振吸收峰位置，就能夠測出電子盤旋頻率c來。

第57頁

要用此方法測電子有效質(zhì)量，需電子在兩次碰撞之間時間中來得及在等能面上盤旋一周，即》1，此時吸收峰位置才能觀察到。

若》1不滿足，則電子有可能與聲子發(fā)生碰撞，要降低電子與聲子碰撞，詳細(xì)來說要增大就要求低溫，（普通在液氦溫度）還要提升樣品純度（降低與雜質(zhì)碰撞），同時還要提升大則盤旋快，對應(yīng)需要

就可小些。

第58頁§4能帶理論限制（金屬一絕緣體轉(zhuǎn)變）

以Na情況為例來說明。我們知道Na是金屬，是一個導(dǎo)體，這主要是它3S能帶是半滿。現(xiàn)在，我們考慮假如用某種方法使Na膨脹，以致于使它點陣常數(shù)a能任意增大，那么是否對于a取任何值時Na材料依然保持是一個導(dǎo)體呢？假如能帶模型是正確話，答案將是完全必定，因為不論a值怎樣改變，3S能帶一直是半滿，它金屬性一直存在。第59頁第60頁然而實際上，上述結(jié)論是不完全正確，因為當(dāng)點陣常數(shù)a繼續(xù)增加到臨界值時，電導(dǎo)率σ突然下降為零，把導(dǎo)體變成了絕緣體，而且只要a>這個結(jié)論就一直保持不變，這么當(dāng)點陣常數(shù)足夠大時金屬就會變成絕緣體，這叫作金屬一絕緣體轉(zhuǎn)變，或稱莫特（Mott）轉(zhuǎn)變。這個結(jié)論用能帶理論顯然無法解釋。

第61頁

在能帶理論中我們曾假設(shè)布洛赫電子是非局域化，這就決定了金屬導(dǎo)電性質(zhì)。作為一個非局域化粒子，Bloch電子要在晶體每個它所碰到原子上花費它一部分時間，而我們只是以平均方式計算了不一樣Bloch電子間相互作用。

第62頁我們知道，能帶寬度決定于交疊積分（以后會講到）大小。交疊積分取決于相鄰原子間距離即與a相關(guān)。當(dāng)a增大時能帶寬度減小，在a足夠大時，它就變得很窄，在這種情況下，能帶模型就被破壞了，因為在能帶很窄情況下，它要允許在同一個點陣位置上存在兩三個電子，而因為電子間排斥，這種情況是不可能發(fā)生，而當(dāng)能帶較寬時，這種情況并不嚴(yán)重，因為盡管電子能量都相同，但它們能夠用調(diào)整動能來賠償其庫侖勢能增加，而對于窄能帶來說，電子動能已經(jīng)很小，這種重新調(diào)整幾乎是不可能。

第63頁

實際上，在a很大時，晶體中電子固有軌