第五章 微專題36　雙星或多星模型-2025年高中物理《加練半小時(shí)》新教材版

第五章萬(wàn)有引力與宇宙航行微專題36雙星或多星模型1．雙星問(wèn)題中，雙星各自所需的向心力由彼此間的萬(wàn)有引力提供，即Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ω2r2，其中r1＋r2＝L。2.“雙星問(wèn)題”的隱含條件是兩者所需的向心力相等，周期相同，角速度相同；雙星軌道半徑與質(zhì)量成反比。3.多星問(wèn)題中，每顆星體做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力由其他星體對(duì)該星的引力的合力提供，即F合＝meq\f(v2,r)。1.(2023·廣東深圳市調(diào)研)由于潮汐等因素影響，月球正以每年約3至5厘米的速度遠(yuǎn)離地球。如圖所示，地球和月球可以看作雙星系統(tǒng)，它們繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。多年以后，地球()A．與月球之間的萬(wàn)有引力變大B．繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期不變C．繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度變小D．繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑變小答案C解析地球和月球間距離變大，兩星的質(zhì)量不變，由萬(wàn)有引力定律可知，地球與月球之間的萬(wàn)有引力變小，故A錯(cuò)誤；設(shè)地球與月球的質(zhì)量分別為m1和m2，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為R1和R2，地球和月球間距離為L(zhǎng)，則有L＝R1＋R2，由萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有，eq\f(Gm1m2,L2)＝m1(eq\f(2π,T))2R1＝m1ω2R1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2(eq\f(2π,T))2R2＝m2ω2R2，聯(lián)立可得eq\f(Gm1＋m2,L2)＝eq\f(4π2L,T2)＝ω2L，R1＝eq\f(m2L,m1＋m2)，地球和月球間距離增大，則地球繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T變大，地球繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度變小，地球繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑變大，故B、D錯(cuò)誤，C正確。2.(多選)(2023·湖南衡陽(yáng)市聯(lián)考)科學(xué)家發(fā)現(xiàn)距離地球2764光年的宇宙空間存在適合生命居住的雙星系統(tǒng)，這一發(fā)現(xiàn)為人類研究地外生命提供了新的思路和方向。假設(shè)宇宙中有一雙星系統(tǒng)由質(zhì)量分別為m和M的A、B兩顆星體組成。這兩顆星體繞它們連線上的O點(diǎn)在二者萬(wàn)有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，A、B兩顆星的距離為L(zhǎng)，引力常量為G，則()A．因?yàn)镺A>OB，所以m>MB．兩恒星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2πeq\r(\f(L3,GM＋m))C．若恒星A由于不斷吸附宇宙中的塵埃而使得質(zhì)量緩慢增大，其他量不變，恒星A的周期緩慢增大D．若恒星A由于不斷吸附宇宙中的塵埃而使得質(zhì)量緩慢增大，其他量不變，則恒星A的軌道半徑將緩慢減小答案BD解析設(shè)A、B兩顆星體的軌道半徑分別為R1、R2，雙星之間的萬(wàn)有引力提供向心力，則有eq\f(GmM,L2)＝meq\f(4π2,T2)R1①eq\f(GmM,L2)＝Meq\f(4π2,T2)R2②兩式聯(lián)立得mR1＝MR2③OA>OB，即R1>R2，所以有m<M，A錯(cuò)誤；聯(lián)立①②得兩顆星體的周期為T＝2πeq\r(\f(L3,GM＋m))，若m緩慢增大，其他量不變，周期T變小，故B正確，C錯(cuò)誤；由幾何關(guān)系R1＋R2＝L，結(jié)合③式可得R1＝eq\f(M,M＋m)L，若m緩慢增大，A的軌道半徑將緩慢減小，D正確。3．(多選)(2023·新疆博樂(lè)市診斷)雙星的運(yùn)動(dòng)是引力波的來(lái)源之一，假設(shè)宇宙中有一雙星系統(tǒng)由P、Q兩顆星體組成，這兩顆星體繞它們連線上的某一點(diǎn)在二者之間萬(wàn)有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)得P星的角速度為ω，P、Q兩顆星體之間的距離為L(zhǎng)，Q、P兩顆星體的軌道半徑之差為Δr(P星的質(zhì)量大于Q星的質(zhì)量)，引力常量為G，則()A．P、Q兩顆星體所需的向心力大小相等B．P、Q兩顆星體的向心加速度大小相等C．P、Q兩顆星體的線速度大小之差為ωΔrD．P、Q兩顆星體的質(zhì)量之比為eq\f(L－Δr,L＋Δr)答案AC解析P、Q兩顆星體的向心力都等于兩者之間的萬(wàn)有引力，因此P、Q兩星體的向心力大小相等，故A正確；兩顆星體的質(zhì)量不相等，根據(jù)F向＝ma可知，兩星體的向心加速度不相等，故B錯(cuò)誤；兩顆星體角速度相等，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)公式v＝ωr，可知Δv＝vP－vQ＝ω(RP－RQ)＝ωΔr，故C正確；對(duì)于兩顆星體有F向＝mPω2RP＝mQω2RQ，所以eq\f(mP,mQ)＝eq\f(RQ,RP)，又因?yàn)閙P>mQ，所以RP<RQ，根據(jù)題意RQ－RP＝Δr，RP＋RQ＝L，解得eq\f(mP,mQ)＝eq\f(RQ,RP)＝eq\f(L＋Δr,L－Δr)，故D錯(cuò)誤。4.如圖所示，“食雙星”是兩顆相距為d的恒星A、B，只在相互引力作用下繞連線上O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，彼此掩食(像月亮擋住太陽(yáng))而造成亮度發(fā)生周期性變化的兩顆恒星。觀察者在地球上通過(guò)望遠(yuǎn)鏡觀察“食雙星”，視線與雙星軌道共面。觀測(cè)發(fā)現(xiàn)每隔時(shí)間T，兩顆恒星與望遠(yuǎn)鏡共線一次，已知引力常量G，則()A．恒星A、B運(yùn)動(dòng)的周期為TB．恒星A質(zhì)量小于B的質(zhì)量C．恒星A、B的總質(zhì)量為eq\f(π2d3,GT2)D．恒星A的線速度大于B的線速度答案C解析每隔時(shí)間T兩顆恒星與望遠(yuǎn)鏡共線一次，則兩恒星的運(yùn)動(dòng)周期為T′＝2T，A錯(cuò)誤；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，Geq\f(mAmB,d2)＝mAeq\f(4π2,2T2)rA＝mBeq\f(4π2,2T2)rB，因?yàn)閞A<rB，則mA>mB，B錯(cuò)誤；兩恒星總質(zhì)量為M＝mA＋mB＝eq\f(π2d3,GT2)，C正確；根據(jù)v＝ωr，兩恒星角速度相等，則vA<vB，D錯(cuò)誤。5.(2023·四川廣安市模擬)已知宇宙中存在著由四顆星組成的孤立星系，一顆母星處在正三角形的中心，三角形的頂點(diǎn)各有一個(gè)質(zhì)量相等的小星圍繞母星做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示。如果兩顆小星間的萬(wàn)有引力大小為F，母星與任意一顆小星間的萬(wàn)有引力大小為6F，則下列說(shuō)法中正確的是()A．母星受到的合力大小為(3eq\r(3)＋3)FB．每顆小星受到的合力大小為(eq\f(\r(3),2)＋6)FC．母星的質(zhì)量是每顆小星質(zhì)量的eq\r(3)倍D．母星的質(zhì)量是每顆小星質(zhì)量的2倍答案D解析母星與任意一顆小星間的萬(wàn)有引力大小為6F，母星受到的三個(gè)萬(wàn)有引力大小相等，夾角均為120°，故根據(jù)合成可知，母星受到的合力為零，故A錯(cuò)誤；根據(jù)受力分析可知，每顆小星受到其余兩顆小星和一顆母星的引力，其合力指向母星以提供向心力，即每顆小星受到的萬(wàn)有引力為F′＝6F＋2Fcos30°＝(eq\r(3)＋6)F，故B錯(cuò)誤；假設(shè)每顆小星的質(zhì)量為m，母星的質(zhì)量為M，等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則小星繞母星運(yùn)動(dòng)軌道半徑為r＝eq\f(\r(3),3)a，根據(jù)萬(wàn)有引力定律，兩顆小星間的萬(wàn)有引力為F＝Geq\f(mm,a2)，母星與任意一顆小星間的萬(wàn)有引力為6F＝Geq\f(Mm,r2)，解得母星的質(zhì)量是每顆小星質(zhì)量的2倍，故D正確，C錯(cuò)誤。6.(多選)(2023·山東省濟(jì)南實(shí)驗(yàn)中學(xué)檢測(cè))“中國(guó)天眼”(500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡，F(xiàn)AST)發(fā)現(xiàn)一個(gè)脈沖雙星系統(tǒng)，科學(xué)家通過(guò)脈沖星計(jì)時(shí)觀測(cè)得知該雙星系統(tǒng)由一顆脈沖星與一顆白矮星組成。如圖所示，假設(shè)在太空中有恒星A、B雙星系統(tǒng)繞O點(diǎn)做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)周期為T1，它們的軌道半徑分別為RA、RB，且RA<RB。C為B的衛(wèi)星，繞B做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T2，且T2<T1。忽略A與C之間的引力，且A與B之間的引力遠(yuǎn)大于C與B之間的引力，引力常量為G。則()A．恒星A的質(zhì)量大于恒星B的質(zhì)量B．恒星B的質(zhì)量為MB＝eq\f(4π2RARA＋RB2,GT12)C．若知道C的軌道半徑，則可求出C的質(zhì)量D．三星A、B、C相鄰兩次共線的時(shí)間間隔為Δt＝eq\f(T1T2,T1－T2)答案AB解析因?yàn)殡p星系統(tǒng)兩恒星的角速度相同，且A、B間的萬(wàn)有引力提供各自運(yùn)動(dòng)的向心力，對(duì)A、B有MARAω2＝MBRBω2，得eq\f(MA,MB)＝eq\f(RB,RA)，其中RA<RB，則恒星A的質(zhì)量大于恒星B的質(zhì)量，故A正確；在A、B組成的雙星系統(tǒng)中，對(duì)恒星A分析，可得Geq\f(MAMB,RA＋RB2)＝MAeq\f(4π2RA,T12)，解得恒星B的質(zhì)量為MB＝eq\f(4π2RARA＋RB2,GT12)，故B正確；對(duì)衛(wèi)星C，滿足Geq\f(MBm,r2)＝meq\f(4π2,T22)r，m會(huì)被約掉，可見只知道C的軌道半徑無(wú)法求出衛(wèi)星C的質(zhì)量，故C錯(cuò)誤；由題意可知，三星A、B、C相鄰兩次共線所用的時(shí)間滿足ωCΔt－ωBΔt＝π，即eq\f(2π,T2)Δt－eq\f(2π,T1)Δt＝π，解得Δt＝eq\f(T1T2,2T1－T2)，故D錯(cuò)誤。7.(多選)近年科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，在宇宙中，三恒星系統(tǒng)約占所有恒星系統(tǒng)的十分之一，可見此系統(tǒng)是一個(gè)比較常見且穩(wěn)定的系統(tǒng)。在三恒星系統(tǒng)中存在這樣一種運(yùn)動(dòng)形式：忽略其他星體對(duì)它們的作用，三顆星體在相互之間的萬(wàn)有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，繞某一共同的圓心O在三角形所在平面內(nèi)以相同角速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如圖所示為A、B、C三顆星體質(zhì)量mA、mB、mC大小不同時(shí)，星體運(yùn)動(dòng)軌跡的一般情況。設(shè)三顆星體在任意時(shí)刻受到的萬(wàn)有引力的合力大小分別為F1、F2、F3，加速度大小分別為a1、a2、a3，星體軌跡半徑分別為RA、RB、RC，下列說(shuō)法正確的是()A．若三顆星體質(zhì)量關(guān)系有mA＝mB＝mC，則三顆星體運(yùn)動(dòng)軌跡圓為同一個(gè)B．若三顆星體運(yùn)動(dòng)軌跡半徑關(guān)系有RA<RB<RC，則三顆星體質(zhì)量大小關(guān)系為mA<mB<mCC．F1、F2、F3的矢量和一定為0，與星體質(zhì)量無(wú)關(guān)D．a(chǎn)1、a2、a3的矢量和一定為0，與星體質(zhì)量無(wú)關(guān)答案AC解析若三個(gè)星體質(zhì)量相等，則根據(jù)對(duì)稱性可知，三個(gè)星體所受的萬(wàn)有引力大小均相同，在角速度都相等的情況下，軌跡半徑也相等，故三顆星體運(yùn)動(dòng)軌跡圓為同一個(gè)，故A正確；若三顆星體軌跡半徑關(guān)系有RA<RB<RC，而因?yàn)槿w星體的角速度相等，則萬(wàn)有引