《楊輝三角》教案1

PAGE《楊輝三角》教案1【教學(xué)目標(biāo)】1.使學(xué)生建立“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)之間的直覺(jué)，并探索其中的規(guī)律；2．能運(yùn)用函數(shù)觀(guān)點(diǎn)分析處理二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；3.理解和掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)：楊輝三角的基本性質(zhì)的探索和發(fā)現(xiàn)?！窘虒W(xué)過(guò)程】一、復(fù)習(xí)引入1、二項(xiàng)式定理：________________________________________________；二項(xiàng)式系數(shù)：______________________________________________；2、(1+x)n

=________________________________________________；二、楊輝三角的來(lái)歷及規(guī)律練一練：把(a+b)n

（n=1，2，3，4，5，6）展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)填入課本P37的表格，為了方便，可將上表改寫(xiě)成如下形式：(a+b)1…………………1

1(a+b)2…………………1

2

1(a+b)3………………1

3

3

1(a+b)4……………1

4

6

4

1(a+b)5…………1

5

10

10

5

1(a+b)6………1

6

15

20

15

6

1

……………愛(ài)國(guó)教育，楊輝三角因上圖形如三角形，南宋的楊輝對(duì)其有過(guò)深入研究，所以我們稱(chēng)它為楊輝三角。楊輝，我國(guó)南宋末年數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)教育家．著作甚多?！皸钶x三角”出現(xiàn)在楊輝編著的《詳解九章算法》一書(shū)中，此書(shū)還說(shuō)明表內(nèi)除“一”以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和。楊輝指出這個(gè)方法出于《釋鎖》算書(shū)，且我國(guó)北宋數(shù)學(xué)家賈憲（約公元11世紀(jì)）已經(jīng)用過(guò)它，這表明我國(guó)發(fā)現(xiàn)這個(gè)表不晚于11世紀(jì)。在歐洲，這個(gè)表被認(rèn)為是法國(guó)數(shù)學(xué)家物理學(xué)家帕斯卡首先發(fā)現(xiàn)的（BlaisePascal,1623年~1662年）,他們把這個(gè)表叫做帕斯卡三角．這就是說(shuō)，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早500年左右，由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的。想一想：楊輝三角揭示了二項(xiàng)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的變化情況，那么楊輝三角有何特點(diǎn)？或者說(shuō)二項(xiàng)式系數(shù)有何性質(zhì)呢？蘊(yùn)含規(guī)律：1、同一行中，每行兩端都是1，與這兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等；2、相鄰兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和。3、設(shè)表中任一不為1的數(shù)為C，那么它肩上的兩個(gè)數(shù)分別為C及C，即C=C+C，對(duì)于(a+b)n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，，，…，，從函數(shù)角度看，可看成是以r為自變量的函數(shù)f(r)，其定義域是{0，1，2，…，n}，令f(r)=，定義域?yàn)閧0，1，2，…，n}畫(huà)一畫(huà)：當(dāng)n=6時(shí)，作出函數(shù)f（r）的圖象，并結(jié)合圖象分析二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。三、二項(xiàng)式系數(shù)的重要性質(zhì)1、對(duì)稱(chēng)性：二項(xiàng)展開(kāi)式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等。即=練習(xí)：求(a+b)6的展開(kāi)式中的倒數(shù)第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)。答案：15.2、增減性與最大值由于所以相對(duì)于增減情況由決定，由>1可知，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對(duì)稱(chēng)性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值。當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)和相等，且同時(shí)取得最大值。3、各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和(1+x)n

=+x+x2+…+xr+…+xn,思考：+++…+=？由于x為任意實(shí)數(shù)